5. Dobór strategii sterowania zestawami niekonwencjonalnymi 1. Wstęp
5.5. Przykłady wyników badan symulacyjnych układu ze sterowaniem
Jako przykład zastosowania sterowania rozważony w pracy będzie model wózka z zestawami typu IRW. Parametry układu przedstawione są w tabeli 5.1.
108
Tab. 5.1. Opis wielkości pojawiających się w równaniach oraz ich wartości użyte w obliczeniach Wielkość Wartość Jednostka Opis
mw 800 kg masa zestawu kołowego mb 3575 kg masa ramy wózka
w 56 kN obciążenie działające na oś
Iwz 400 kg∙m2 moment bezwładności zestawu kołowego względem osi pionowej z
Iw 100 kg∙m2 moment bezwładności koła względem osi poprzecznej y Ib 3100 kg∙m2 moment bezwładności ramy wózka względem osi
pionowej z
r0 0.33 m promień koła
b1 1.01 m pół odległości między amortyzatorami pierwszego stopnia zawieszenia
b2 1.11 m pół odległości między amortyzatorami drugiego stopnia zawieszenia
a 0.7175 m pół długości rozstawu kół
L1 1.155 m pół odległości między sprężynami działającymi w kierunku poprzecznym
L2 1.155 m pół odległości między tłumikami działającymi w kierunku poprzecznym
λ 0.05 - zastępcza stożkowatość
Kpx 12 MN/m sztywność pierwszego stopnia zawieszenia w kierunku wzdłużnym
Kpy 4.182 MN/m sztywność pierwszego stopnia zawieszenia w kierunku poprzecznym
Ksx 0.124 MN/m sztywność drugiego stopnia zawieszenia w kierunku wzdłużnym
Ksy 0.124 MN/m sztywność drugiego stopnia zawieszenia w kierunku poprzecznym
Cpx 27.7 kN∙s/m współczynnik tłumienia pierwszego stopnia zawieszenia w kierunku wzdłużnym
Cpy 11.6 kN∙s/m współczynnik tłumienia pierwszego stopnia zawieszenia w kierunku poprzecznym
Csx 2.77 kN∙s/m współczynnik tłumienia drugiego stopnia zawieszenia w kierunku wzdłużnym
Csy 2.77 kN∙s/m współczynnik tłumienia drugiego stopnia zawieszenia w kierunku poprzecznym
f11 2.212 MN współczynnik siły pełzania w kierunku poprzecznym f12 3120 N∙m2 współczynnik siły pełzania poprzeczno-wiertny f22 16 N współczynnik siły pełzania wiertny
f33 2.536 MN współczynnik siły pełzania w kierunku wzdłużnym Wartości własne dla rozważanego układu są umieszczone w tabeli 5.2.
109
Tabela 5.2. Wartości własne dla rozważanego układu wózka IRW L.P Wartość własna
Rys. 5.8. Wartości własne modelu liniowego wózka typu IRW.
1. 0 2. 0 3. 0 4. 0 5. -3876.1 6. -3876.6
7. -110.6 + 310.3i 8. -110.6 - 310.3i 9. -80.4 + 260.6i 10. -80.4 - 260.6i 11. -10.3 + 135.9i 12. -10.3 - 135.9i 13. -23.6 + 83.4i 14. -23.6 - 83.4i 15. -17.8
16. -0.6 17. -80.2 18. -89.5 19. -3106.9 20. -3106.9
Poza wartościami własnymi o numerach 5 i 6 oraz 19 i 20, części rzeczywiste znajdują się w pobliżu zera, co pokazane jest na rysunku 5.8.
Wybór strategii sterowania ogólnie przedstawiony w podrozdziale 5.3 wymaga od nas przyjęcia w naszym szczególnym przypadku następującego sposobu postępowania.
Zakładamy, że będziemy zmieniać 1-4 i 11-16 wartość własną, czyli m=10 wartości własnych spośród n=20. Należy wygenerować m sygnałów sterujących w postaci kombinacji liniowej zmiennych stanu.
𝑠𝑖 = 𝜇𝑖𝑇𝑞(𝑡), 𝑖 = 1, … , 𝑚 (5.28) Sygnały te wymagają wzmocnienia ki, w wyniku czego otrzymamy sterowanie
𝑢(𝑡) = ∑𝑚𝑖=1𝑘𝑖𝑠𝑖 (5.29)
110
Po podstawieniu równanie dla układu zamkniętego jest następujące:
𝑞̇(𝑡) = (𝐴 + 𝑏 ∑𝑚𝑖=1𝑘𝑖𝜇𝑖𝑇)𝑞(𝑡) = 𝐻𝑞(𝑡) (5.30) H jest to nowa macierz stanu po zaimplementowaniu sterowania.
Za wektor 𝜇𝑖𝑇 przyjmujemy wektor własny 𝑣𝑖 macierzy transponowanej AT, który został wyznaczony w środowisku Matlab dla rozważanego przykładu. Następnie zgodnie z kryterium stateczności w programie Matlab wyznaczono macierz wzmocnienia za pomocą funkcji place.
Uszczegóławiając strategię sterowania skupimy się tylko na fragmencie bloku sterującego, pomijając model silnika indukcyjnego. Omawiane będą sposoby regulacji prędkości obrotowej kół, a dokładniej wpływ nastawy regulatora i dobór strategii sterowania na przemieszczenia poprzeczne zestawów kołowych. Regulator wybrany dla tego zastosowania to regulator typu PI, który został podłączony do zestawów typu IRW (Rys. 5.):
Rys. 5.9. Zestaw kołowy z niezależnie obracającymi się kołami.
Zestaw ten posiada cztery stopnie swobody, tj. y przemieszczenie poprzeczne środka masy zestawu, kąt nabiegania ψ zestawu, oraz kąty nawijania koła lewego 𝜃𝑙 i prawego 𝜃𝑟.
Sterowanie opiera się na pętli sprzężenia zwrotnego sygnału w postaci prędkości obrotowej koła lewego i prawego, wynikającej z zależności:
(5.31) gdzie 𝜔𝑙 to prędkość obrotowa koła lewego, 𝜔𝑟 to prędkość obrotowa koła prawego, a jest to rzut na oś y odległości między punktem kontaktu koła lewego i prawego a odpowiednio szyną lewą i prawą, 𝑣 jest to prędkość pojazdu, 𝑟0 to nominalny promień toczny koła, zaś 𝜌 to krzywizna linii środkowej toru. Podczas jazdy po krzywej powinna być spełniona zależność (5.31), jest to warunek, który ma za zadanie wymusić jazdę zestawu po torze w położeniu centralnym. Wadą takiego warunku jest konieczność znajomości krzywizny toru na trasie danej linii tramwajowej.
111
Regulator PI jest to regulator proporcjonalno – całkujący (proportional – integral controller) pracujący w pętli sprzężenia zwrotnego. Jego celem jest utrzymanie wartości wyjściowej naokreślonym poziomie, zwanym wartością zadaną (na rys. 5.12 jest to „wzad”).
Na rys. 5.10 przedstawiony jest schemat opisujący strategię sterowania oraz fragment bloku sterującego. Sygnałem wejściowym do regulatora „PI3” jest uchyb sygnału w postaci różnicy między pożądaną wartością zadaną a otrzymaną z symulacji wartością zmiennej procesu.
Rys. 5.10. Schemat opisujący strategię sterowania oraz fragment bloku sterującego.
W celu otrzymania różnych wartości momentu z silnika indukcyjnego do modelu zbudowanego w pakiecie Simulink, wstawiono dwa oddzielne bloki sterujące odpowiadające stronie lewej i prawej wózka. Blok sterujący kątem nawijania koła lewego jako wartość pożądaną przyjmuje sumę i porównuje ją z prędkością obrotową koła lewego wynikającą z symulacji. Blok sterujący kątem nawijania koła lewego przyjmuje jako wartość pożądaną sumę oraz prędkości obrotowej koła prawego. Wszystkie te zależności wynikają z (5.31).
Wyrażenie 𝛥𝜔∗ = 2𝑎𝑣𝑟
0 𝜌 to funkcja skokowa przyjmująca daną wartość podczas jazdy na łuku. Na rys. 5.11 przedstawiono przykładową postać takiej funkcji.
112
Rys. 5.11. Przykład żądanej różnicy prędkości obrotowej na łuku w postaci funkcji skokowej.
Funkcja ta stanowi sygnał odniesienia przy obliczaniu uchybu dla regulatora PI.
Na rys. 5.12 pokazany jest fragment schematu programu zbudowanego w pakiecie Simulink.
Rys. 5.12. Fragment schematu programu z regulatorami.
Bloki sterujące kołem lewym i prawym generują momenty 𝑀𝑙 oraz 𝑀𝑟, które dołączane są do równań ruchu nawijania kół zestawu.
Zastosowanie regulatora PID stanowi najlepsze rozwiązanie w przypadku braku wiedzy na temat obiektu regulacji. Należy pamiętać, że ta metoda sterowania nie jest sterowaniem optymalnym. Poprzez odpowiedni dobór nastaw regulatora uzyskuje się regulację dostosowaną dla danego obiektu. W naszym przypadku nie uwzględniono członu różniczkującego regulatora. Wówczas transmitancja operatorowa niezależnego regulatora PI
113 jest postaci:
𝐺𝑃𝐼𝐷(𝑠) = 𝐾𝑝+ 𝐾𝑖1𝑠 (5.32)
gdzie Kp – wzmocnienie części proporcjonalnej; Ki – wzmocnienie części całkującej; s – zmienna zespolona w przekształceniu Laplace’a.
Regulatory PI spotyka się dość często, gdyż działanie różniczkujące jest wrażliwe na szum pomiarowy, a ewentualny brak członu całkującego może uniemożliwić osiągnięcie przez układ wartości zadanej.
Dobór nastaw regulatora PI polega na określeniu optymalnych wartości parametrów poszczególnych członów tak, aby uzyskać pożądane sterowanie. Zwykle, początkowe nastawy uzyskane za pomocą dostępnych metod muszą być kilkakrotnie poprawiane poprzez prowadzenie symulacji komputerowych do czasu, aż układ będzie działał zgodnie z oczekiwaniami lub zaakceptuje się rozwiązanie kompromisowe. Proces doboru nastawy regulatora w przypadku prowadzonych przez nas badań odbył się „manualnie” w kilku etapach.
Etap pierwszy
W pierwszym kroku przyjęto wartości wzmocnień: Kp = 30 i Ki = 3. Nastawa ta jednak nie tłumiła uchybu prędkości obrotowych i moment generowany przez silnik narastał w czasie (rys. 5.13).
Rys. 5.13. Momenty generowane przez silniki przy nastawach Kp = 30 i Ki = 3.
Ponieważ w modelu uwzględniony został fakt, że pojazd porusza się ruchem ustalonym ze stałą prędkością V, to narastający moment przyłożony do kół niekorzystnie wpływał na dynamikę pojazdu, a model zachowywał się nieadekwatnie do przyłożonych wymuszeń.
Należy tu zaznaczyć, że w istniejącej literaturze rozpatrywane są tylko modele ruchu ze stała prędkością np. (Mei T. X., Goodall R.M., 2001), (Lu Z., Sun X., Zhang J., 2014). Na rys. 5.14 przedstawiono przemieszczenia poprzeczne środka masy zestawu dla przypadku wózka
0 300 600 900 1200
droga [m]
0 3000 6000 9000 12000
moment [Nm]
Moment dzialajacy na lewe i prawe kolo; wyjscie z silnika; R = 100 m; v = 20 km/h
Mr Ml
114 tocznego i wózka ze sterowaniem.
Rys. 5.14. Porównanie przemieszczeń poprzecznych zestawu kołowego przy nastawach Kp = 30 i Ki = 3 i bez sterowania.
Różnica momentów na lewym i prawy kole spowodowała, że zestaw kołowy nie powracał do położenia centralnego po zjeździe z łuku. Jego zachowanie pogorszyło się.
Etap drugi
Takie zachowanie zestawu poprowadziło do wniosku, że należy dodać do modelu opory ruchu, które będą wprost proporcjonalne do prędkości obrotowej koła postaci Bω. Ten sposób postępowania sugerowany jest w (Liang B., Iwnicki S. D., 2011). Jest to przybliżenie sytuacji, w której nie zmienia się prędkość pojazdu. Symulacje przeprowadzono dla różnych wartości współczynnika B (rys. 5.15).
Rys. 5.15. Porównanie przemieszczeń poprzecznych zestawu kołowego dla różnych wartości współczynnika B i nastawy Kp = 30 i Ki = 3.
Realne wartości oporów ruchu, odpowiadające np. B = 1500, pokazują, że wprowadzenie takiego oporu niewiele zmienia w przebiegu przemieszczeń poprzecznych zestawu. Dopiero większe wartości współczynnika zmniejszają przemieszczenia, ale nadal nie można zaobserwować powrotu zestawu kołowego do położenia centralnego. Istotne różnice
0 300 600 900 1200
droga [m]
0 0,001 0,002 0,003 0,004 0,005
przemieszczenie [m]
Przemieszczenie srodka masy zestawu kolowego; R = 100m, v = 20 km/h IRW toczny IRW sam moment toczny; Kp = 30; Ki = 3
0 300 600 900 1200
droga [m]
0 0,001 0,002 0,003 0,004 0,005
przemieszczenie [m]
Przemieszczenie poprzeczne srodka masy zestawu kolowego; R = 100 m, v = 20 km/h po dodaniu oporów ruchu
B = 150000 B = 0 B = 15000 B = 1500
Ze sterowaniem IRW, Kp=30 Ki=3
115
w przemieszczeniach występują dopiero dla B = 150000 kgm2/s.
Etap trzeci
W trzecim kroku usunięto człon całkujący regulatora (Ki = 0), aby wyeliminować narastanie momentu podczas jazdy na prostej. Zwiększono też nastawę proporcjonalną regulatora na Kp = 80. Uzyskano następujący przebieg momentu generowanego przez silnik po lewej i prawej stronie wózka (rys. 5.16):
Rys. 5.16. Przebieg momentu generowanego przez silnik po lewej i prawej stronie wózka.
W ten sposób uzyskano moment kompensujący różnicę prędkości obrotowej podczas jazdy na łuku.
Etap czwarty
Na rys. 5.17 zilustrowano przebiegi prędkości obrotowej koła lewego i prawego zestawu z niezależnie obracającymi się kołami podczas jazdy po łuku. Jest to prędkość obrotowa obliczana względem prędkości V/r0 wynikającej z ruchu ustalonego pojazdu. Tak więc podczas jazdy po prostej wykresy przedstawiające przebieg zmian tej prędkości będą wskazywać wartość 0.
W przypadku wózka tocznego, podczas jazdy na łuku, różnica prędkości obrotowych między lewym a prawym kołem wynosi ok. 0.02 rad/s. Zestaw taki przemieszcza się też o wartość maksymalną równą 4.5 mm wchodząc w kontakt z obrzeżem. Nową ideą poprawiania zachowania się zestawu jest wprowadzenie momentów hamujących w postaci funkcji skokowej. Wówczas różnica między prędkością obrotową koła lewego i prawego zmniejsza się dwukrotnie, co widać na rys. 5.17.
0 300 600 900 1200
droga [m]
0 0,005 0,01 0,015
-0,005
-0,01
-0,015
moment [Nm]
Moment z silnika na lewe i prawe kolo; R = 100m, v= 20 km/h
Mr Ml
116
Rys. 5.17. Porównanie przebiegów prędkości obrotowej koła lewego i prawego zestawu z niezależnie obracającymi się kołami podczas jazdy po łuku – układy bez sterowania i ze sterowaniem.
Wydaje się, że takie sterowanie przybliża wózek typu IRW do przypadku wózka z zestawami klasycznymi. Ponieważ wózki konwencjonalne charakteryzują się mniejszymi przemieszczeniami poprzecznymi podczas jazdy po łuku niż wózki niekonwencjonalne, badania symulacyjne wskazują na spodziewaną poprawę zachowania się zestawów IRW z takim sterowaniem.
Etap piąty
Symulacje przeprowadzono w programie Simulink dla różnych wartości prędkości jazdy oraz promienia łuku. Na rys. 5.18 przedstawiono przebiegi przemieszczeń poprzecznych zestawu kołowego podczas jazdy na łuku o promieniu R = 20 m i prędkości jazdy V = 10 km/h. Symulacje przeprowadzono dla wózka konwencjonalnego, wózka typu IRW tocznego oraz wózka sterowanego z Kp = 80.
Rys. 5.18. Porównanie przebiegów przemieszczeń poprzecznych zestawu kołowego podczas jazdy po łuku o promieniu R = 20 m i prędkości jazdy V = 10 km/h.
Przemieszczenia poprzeczne są najmniejsze dla przypadku konwencjonalnego wózka.
Wózek toczny ze sterowaniem zmniejszył przemieszczenia środka masy zestawu kołowego
0 300 600 900 1200
droga [m]
0 0,005 0,01 0,015
-0,005
-0,01
-0,015
predkosc obrotowa [rad/s]
Predkosc obrotowa kola lewego i prawego; R= 100m, v = 20 km/h Ze sterowaniem wl Ze sterowaniem wr Toczny wl Toczny wr
0 300 600 900 1200 1500
droga [m]
0 0,002 0,004 0,006
-0,002
przemieszczenie [m]
Przemieszczenia poprzeczne srodka masy zestawu kolowego; R = 20m; v=10 km/h IRW sterowany Konwencjonalny IRW toczny
117
względem linii środkowej toru, ale taki moment sprawił też, że przemieszczenia poprzeczne przesunęły się w stronęwewnętrznej szyny na łuku. Celem eliminacji takiego zachowania był ręczny dobór nastawy proporcjonalnej (rys. 5.19). Szereg przeprowadzonych eksperymentów pokazało, że dla współczynnika Kp = 60 przemieszczenia są najbliższe zeru.
Rys. 5.19. Porównanie przebiegów przemieszczeń poprzecznych zestawu kołowego podczas jazdy po łuku o promieniu R = 20 m i prędkości jazdy V = 10 km/h przy ręcznym dobrze nastawy
proporcjonalnej.
Dla większych prędkości, np. V = 20 km/h, moment generowany przez silnik dla nastawy regulatora Kp = 60 jest za mały by uzyskać zadowalające efekty zachowania się zestawu.
Rys. 5.20 przedstawia przebiegi przemieszczeń poprzecznych zestawu kołowego podczas jazdy na łuku o promieniu R = 100 m z dwiema prędkościami V = 20 km/h i V = 50 km/h. Na wykresie porównano przypadki wózka tocznego i wózka ze sterowaniem.
Rys. 5.20. Porównanie przebiegów przemieszczeń poprzecznych zestawu kołowego podczas jazdy po łuku dla różnych prędkości ze sterowaniem i bez sterowania.
Wyniki te pokazują, że układ nie reaguje na sterowanie przy prędkościach większych niż 20 km/h, czyli np. 50 km/h. Nawet zwiększanie wartości momentu sterującego nie poprawia zachowania się układu, co widać na rys. 5.21.
0 200 400 600 800
droga [m]
0 0,002 0,004 0,006
-0,002
-0,004
przemieszczenie [m]
Przemieszczenie poprzeczne srodka masy zestawu kolowego Toczny Ki = 40 Ki = 60 Ki = 80 Ki = 100
0 200 400 600 800
droga [m]
0 0,002 0,004 0,006
-0,002
przemieszczenie [m]
Przemieszczenia poprzeczne srodka masy zestawu kolowego
Ze sterowaniem v = 50km/h Ze sterowaniem v = 20km/h Toczny v = 50 km/h Toczny v = 20 km/h
118
Rys. 5.21. Porównanie przemieszczeń poprzecznych zestawu dla różnych wartości Kp.
Dla prędkości równej 40 km/h (rys. 5.22) przemieszczenia poprzeczne zestawu kołowego sterowanego mają przebieg podobny do przemieszczeń zestawu kołowego w wózku tocznym, z tą różnicą, że przy wyjściu z łuku przemieszczenia te przyjmują wartości ujemne, tzn. środek masy zestawu kołowego przechodzi przez linię środkową toru, zamiast pozostać w położeniu centralnym.
Rys. 5.22. Porównanie przemieszczeń poprzecznych zestawu dla różnych promieni łuków i prędkości V=40 km/h.
Wyniki symulacji pokazują, że sterowanie korzystnie wpływa na zachowanie się układu (zmniejszając wartość przemieszczeń poprzecznych zestawu podczas jazdy po łuku) jedynie przy małych prędkościach jazdy. Na rys. 5.23 pokazane są przykładowe przebiegi przemieszczeń dla prędkości V = 20 km/h i różnych promieni łuków.
119
Rys. 5.23. Przykłady przemieszczeń poprzecznych zestawu kołowego dla różnych promieni łuków przy prędkości V = 20 km/h.
Dla wartości nastawy proporcjonalnej Kp = 80, podczas jazdy na łuku o promieniu 50 m, przemieszczenia poprzeczne zmniejszają się o 0.5 mm, na łuku o promieniu 100 m ok. 2 mm, zaś na łuku o promieniu 150 m o ok. 2.7 mm. Podobne zmiany przemieszczeń można zaobserwować w przypadku ramy wózka.
5.6. Wnioski
Przeprowadzone eksperymenty symulacyjne wskazują, że przy przyjętej strategii sterowania wartości nastaw regulatora nie mogą być przyjęte a priori dla dowolnych sytuacji zachodzących w trakcie jazdy. Większe prędkości pojazdu sprawiają, że jest on niewrażliwy na łukach na zmiany momentu sterującego. Efektywne sterowanie zachodzi dla prędkości niskich, ale jest zależne od promienia łuku. Można postawić hipotezę, że im mniejsza jest siła odśrodkowa tym sterowanie działa lepiej. W rzeczywistości nastawy regulatora będą musiały być dobrane na zasadzie „prób i błędów” w zależności od prędkości i promienia łuku, uwzględniając ogólne reguły zapisane powyżej. Jednocześnie należy stwierdzić, że nawet te ograniczone i proste próby wprowadzenia sterowania do układu z niezależnymi kołami są w stanie poprawić jego właściwości związane z samocentrowaniem.
120