ANALIZA WŁAŚCIWOŚCI BIEGOWYCH WÓZKÓW LEKKICH POJAZDÓW SZYNOWYCH NA PRZYKŁADZIE WÓZKÓW Z NIEZALEŻNIE OBRACAJĄCYMI SIĘ KOŁAMI Magdalena Sowińska POZNAŃSKA POLITECHNIKA

P O L I T E C H N I K A P O Z N A Ń S K A

WYDZIAŁ MASZYN ROBOCZYCH I TRANSPORTU

Magdalena Sowińska

ANALIZA WŁAŚCIWOŚCI BIEGOWYCH WÓZKÓW LEKKICH POJAZDÓW SZYNOWYCH NA PRZYKŁADZIE WÓZKÓW Z NIEZALEŻNIE

OBRACAJĄCYMI SIĘ KOŁAMI

Promotor: prof. dr hab. inż. Andrzej Chudzikiewicz

POZNAŃ 2018

4

P O Z N A N U N I V E R S I T Y O F T E C H N O L O G Y

FACULTY OF MACHINES AND TRANSPORT

Magdalena Sowińska

ANALYSIS OF RUNNING CHARACTERISTICS OF LIGHT RAIL VEHICLES BOGIES ON THE

EXAMPLE OF BOGIES EQUIPPED WITH INDEPENDENTLY ROTATING WHEELS

Supervisor: prof. dr hab. inż. Andrzej Chudzikiewicz

POZNAŃ 2018

3

Spis treści

Wykaz oznaczeń 4

Streszczenie 6

Abstract 7

1. Wstęp 8

1.1. Analiza literatury 9

1.2. Uzasadnienie podjęcia tematu 16

1.3. Cel, zakres i teza pracy 18

2. Teoretyczne podstawy budowy modelu matematycznego układu 22

2.1. Założenia wstępne 22

2.2. Nieinercjalne układy współrzędnych przyjęte w modelowaniu układu 24 2.3. Model matematyczny swobodnego koła toczącego się po szynie 26 3. Koncepcja konstrukcji wózków tramwaju z niezależnymi kołami 34

3.1. Schemat konstrukcji tramwaju z wózkami klasycznymi 34

3.2. Schemat konstrukcji tramwaju z wózkami wyposażonymi w zestawy

o niezależnie obracających się kołach (IRW) 40

3.3. Schemat konstrukcji wózków tramwaju z niezależnymi kołami (FIW) 46

3.3.1. Obliczenia wytrzymałościowe 52

3.4. Schemat konstrukcji tramwaju z wózkami z niezależnymi kołami 58

4. Eksperymenty symulacyjne 62

4.1. Model fizyczny 62

4.2. Dobór profili kół i szyn do badań symulacyjnych 66

4.2.1. Parametry kontaktu między szyną rowkową Ri60N a kołem o profilu PST. 66 4.2.2. Parametry kontaktu między szyną rowkową UIC60 a kołem o profilu PST. 68 4.2.3. Parametry kontaktu między szyną rowkową Ri60N a kołem o profilu V15 z Blackpool. 70

4.3. Scenariusze badań symulacyjnych 72

4.4. Wyniki badań symulacyjnych 74

4.4.1. Ruch ustalony na łuku 74

4.4.2. Ruch po torze o kształcie S 77

4.4.3. Ruch po torze z wyboczeniem 79

4.4.4. Ruch po torze z jednostronnym zwężeniem 82

4.4.5. Ruch po torze z nierównościami 84

4.4.6. Przykłady wyników symulacji dla różnych profili układu koło- szyna 87

4.5. Wnioski z badań symulacyjnych 93

5. Dobór strategii sterowania zestawami niekonwencjonalnymi 96

5.1. Wstęp 96

5.2. Przegląd strategii sterowania 97

5.3. Wybór strategii sterowania dla zestawów niekonwencjonalnych 101

5.4. Model matematyczny rozważanego układu 104

5.5. Przykłady wyników badan symulacyjnych układu ze sterowaniem 107

5.6. Wnioski 119

6. Podsumowanie i wnioski 120

Bibliografia 124

Spis tabel 130

Spis rysunków 131

4

Wykaz oznaczeń

l w długość ramy wózka [m]

I tx , I ty , I tz główne centralne momenty bezwładności ramy; [kg∙m ² ]

ψ kąt nabiegania zestawu, [rad]

𝜙 kąt pochylania koła [rad]

𝜃 _𝑙 , 𝜃 _𝑟 . kąty nawijania koła lewego i prawego [rad]

m

masa koła z obejmą [kg]

m b masa ramy wózka [kg]

m

masa ramy wózka napędnego [kg]

m _t masa ramy wózka tocznego [kg]

m w masa zestawu kołowego [kg]

I _w moment bezwładności koła względem osi poprzecznej y [kg∙m ² ] I _b moment bezwładności ramy wózka względem osi pionowej z [kg∙m ² ] I _wz moment bezwładności zestawu kołowego względem osi

pionowej z [kg∙m ² ]

w obciążenie działające na oś [kN]

l

, l

odległości między kołami wózka [m]

a pół długości rozstawu kół [m]

b 2 pół odległości między amortyzatorami drugiego stopnia

zawieszenia [m]

b ₁ pół odległości między amortyzatorami pierwszego stopnia

zawieszenia [m]

L 1 pół odległości między sprężynami działającymi w kierunku

poprzecznym [m]

L ₂ pół odległości między tłumikami działającymi w kierunku

poprzecznym [m]

r ₀ promień koła [m]

y przemieszczenie poprzeczne środka masy zestawu [m]

s

szerokość ramy wózka [m]

K _sy sztywność drugiego stopnia zawieszenia w kierunku

poprzecznym [MN/m]

K sx sztywność drugiego stopnia zawieszenia w kierunku

wzdłużnym [MN/m]

K py sztywność pierwszego stopnia zawieszenia w kierunku

poprzecznym [MN/m]

K _px sztywność pierwszego stopnia zawieszenia w kierunku

wzdłużnym [MN/m]

f 12 współczynnik siły pełzania poprzeczno-wiertny [N∙m ² ]

f ₁₁ współczynnik siły pełzania w kierunku poprzecznym [MN]

5

f ₃₃ współczynnik siły pełzania w kierunku wzdłużnym [MN]

f 22 współczynnik siły pełzania wiertny [N]

C sy współczynnik tłumienia drugiego stopnia zawieszenia w

kierunku poprzecznym [kN∙s/m]

C _sx współczynnik tłumienia drugiego stopnia zawieszenia w

kierunku wzdłużnym [kN∙s/m]

C px współczynnik tłumienia pierwszego stopnia zawieszenia w

kierunku wzdłużnym [kN∙s/m]

C _py współczynnik tłumienia pierwszego stopnia zawieszenia w

kierunku poprzecznym [kN∙s/m]

x tC , y tC , z tC

współrzędne środka masy ramy względem zdefiniowanego

układu odniesienia [m]

λ zastępcza stożkowatość -

Pozostałe oznaczenia zdefiniowane są w tekście.

6

Streszczenie

Jednym z głównych trendów w transporcie miejskim jest rozwój pojazdów i infrastruktury, które w najmniej inwazyjny sposób wpływają na krajobraz miasta. Problem ten dotyczy również transportu kolejowego, który jest istotny w dużych aglomeracjach i zwykle dotyczy szerokiej kategorii lekkich pojazdów szynowych. Zakres tej pracy koncentruje się w szczególności na tramwajach, które stanowią podgrupę lekkich pojazdów szynowych, i ujawnia możliwość zaprojektowania pojazdu, którego konstrukcja nie opiera się na typowym kształcie skrzynkowym ramy wózka oraz na zestawach kołowych ze stałą osią.

W pracy zaproponowano koncepcję wózka z tzw. "całkowicie niezależnymi kołami", którego model bryłowy został utworzony za pomocą oprogramowania do modelowania 3D.

Następnie za pomocą metody elementów skończonych przeprowadzono obliczenia dla najgorszego przypadku obciążenia pojazdu i sił w kontakcie układu koło-szyna.

Niekonwencjonalna konstrukcja wózka wymaga innego potraktowania interakcji dynamicznej

między kołem i szyną, która nie jest dostępna w komercyjnym oprogramowaniu. Praca

przedstawia wyprowadzenie równań ruchu koła po szynie za pomocą formalizmu Boltzmanna

Hamela dla układów z więzami nieholonomicznymi, które występują w kontakcie koło-szyna

w opracowanej koncepcji wózka z niezależnymi kołami. Rozważany w pracy układ można

potraktować jako rozszerzenie znanego przykładu układu nieholonomicznego tj. dysku

toczącego się na płaskiej powierzchni. Implementacja modelu matematycznego została

wykonana w autorskim programie, który symuluje różne scenariusze jazdy dla

trójczłonowego tramwaju. Obliczenia zostały przeprowadzone przy użyciu pakietu

Matlab/Simulink. Ponadto, ze względu na brak zdolności tramwajów z niekonwencjonalnymi

wózkami do samocentrowania się na torze, zaproponowano i przetestowano strategię

sterowania z regulatorem PID.

7

Abstract

One of the major trends in urban transport is development of vehicles and infrastructure that are influencing the city landscape in the least invasive way. This problem affects also a railway transport which is essential in the big agglomerations and usually concern the wide category of light rail vehicles. The scope of this work focuses specifically on the tramcars, which are a subgroup of LRV, and reveals the possibility of designing the vehicle which is not basing on the typical box shape of the bogie frame and on solid-axle wheelsets.

Consequently, the thesis proposes the concept of bogie with so-called “fully

independent wheels”, which geometrical model is created with the use of 3D modelling

software. It is followed by the finite element method calculations for the worst case of the

vehicle loading and dynamic impact in the wheel-rail contact. The unconventional layout of

the bogie leads to the necessity of different understanding of the dynamic interaction between

the wheel and rail, which is not covered by the available commercial software. Thesis

presents derivation of equations of motion of wheel on the rail with the use of Boltzmann

Hamel formalism for systems with nonholonomic constraints, which are present in the wheel-

rail contact of newly developed concept of fully independent wheels bogie. It can be treated

as an extension of the common example of the nonholonomic system of disk rolling on the

flat surface. Implementation of the mathematical model is realized in the Author’s code,

simulating different ride scenarios for articulated three-body tramcar with various rail and

wheel profiles. It is executed in the Matlab/Simulink package. In addition, because of the lach

of the self-centering ability of tramcars with unconventional bogies, the steering strategy with

PID controller is proposed and tested.

8

1. Wstęp

Według międzynarodowej organizacji non-profit zrzeszającej specjalistów z dziedziny transportu publicznego UITP (L’Union Internationale des Transports Publics), sieci lekkich pojazdów szynowych i tramwajów wykorzystywane są rocznie przez 13,6 miliarda pasażerów na całym świecie. Choć w skali świata podróżujący za pomocą lekkich pojazdów szynowych stanowią 3% całkowitej liczby pasażerów używających transportu publicznego, to wyraźnie zauważa się wzrost zainteresowania rozwojem sieci komunikacyjnych i środków transportu z tej grupy. Najbardziej rozwinięte sieci transportu lekkimi pojazdami szynowymi zlokalizowane są przede wszystkim w Europie, ale rejony takie jak Afryka lub Ameryka Południowa również zaczynają uważać Lekkie Pojazdy Szynowe za stosowne rozwiązanie, uzupełniające linie metra i autobusowe (bus rapid transit) (http://www.uitp.org/). W Europie i Azji, w dobie rozrastających się wielkich aglomeracji i dalekich dystansów, które mieszkańcy muszą pokonywać przy codziennych czynnościach, sieć lekkich pojazdów szynowych wydaje się najwygodniejszym rozwiązaniem zwiększającym mobilność ludności. Oddzielona od ruchu ulicznego i jednocześnie nieodizolowana jak metro, pozwala na sprawne dotarcie do celu, a budowa jej jest o wiele mniej złożonym przedsięwzięciem w porównaniu z budową metra. Kluczem do jej sukcesu jest zapewnienie jak najmniejszej inwazyjności w strukturę miasta, co jednocześnie stawia wymóg stworzenia i rozwoju nowoczesnych pojazdów szynowych.

Obecnie rozwój transportu szynowego zatarł granice między różnymi typami środków miejskiej komunikacji i ich klasyfikacja nie jest jasna. Lekkie pojazdy szynowe przenikają się w aglomeracjach miejskich swoim zastosowaniem z tramwajami czy też metrem.

Niekiedy sieci lekkich pojazdów szynowych zbliżają się swoją charakterystyką do szybkich kolei podmiejskich („rapid transit”), a niektóre z tych systemów nazywane są też lekkim metrem.

Inne sieci lekkich pojazdów szynowych są podobne do tramwajowych i częściowo operują na ulicach miast. Nazewnictwo zależy więc w dużej mierze od indywidualnych cech transportu w danym mieście.

To przenikanie się zastosowań różnych środków transportu szynowego pokazują np.

tramwaje dwusystemowe (http://www.lightrail.nl/) łączące właściwości pojazdu kolejowego i

tramwaju, mogące poruszać się zarówno po torach tramwajowych i po torach kolejowych na

odcinkach podmiejskich.

9

Odpowiednikiem szybkich kolei w ruchu miejskim jest szybki tramwaj – rodzaj systemu transportu miejskiego łączącego w sobie cechy tramwaju i metra, a czasem określenie pojazdu szynowego kursującego w takim systemie. Linia szybkiego tramwaju jest w znacznym stopniu niezależna od pozostałej komunikacji (wydzielone torowiska, wiadukty, nasypy, podziemne i napowietrzne przejścia piesze), ewentualnie dopuszcza się skrzyżowania jednopoziomowe z układem sygnalizacji świetlnej dającej bezwzględne pierwszeństwo pojazdowi szynowemu. Szybki tramwaj z odcinkami tunelowymi zbudowanymi dla przyszłego włączenia w sieć metra określa się jako premetro. Średnia prędkość komunikacyjna szybkiego tramwaju wynosi około 27 km/h, a nie mniej niż 24 km/h.

Przyjmuje się także większe odległości międzyprzystankowe niż dla klasycznego tramwaju, tj. średnio, co ok. 600 (od 500 do 800) metrów (w porównaniu do tramwajowego standardu, czyli co 300 – 500 metrów).

Rozwój rodzajów transportu miejskiego szynowego zmusza do konieczności zapewnienia jak najmniejszej inwazyjności w strukturę miasta, co skłania też do rozwoju konstrukcji wózków tych pojazdów i między innymi niskopodłogowych lekkich pojazdów szynowych (www.railwaygazette.com).

1.1. Analiza literatury

Główna problematyka poruszana w pracy, chociaż jest związana z zagadnieniem pojazdów z tzw. niezależnie obracającymi się kołami (ang. Independently Rotating Wheels - IRW), to przegląd literatury rozpoczęty zostanie od prac mających fundamentalne znaczenie dla badań nad dynamiką pojazdów szynowych. Przytoczone zostaną prace dotyczące zagadnienia wyznaczania sił w kontakcie koło-szyna, modelowania układów wieloczłonowych (MBS), obliczania parametrów geometrycznych kontaktu i modelowania elementów zawieszenia. Prace te mają istotne znaczenie dla rozwoju wózków lekkich pojazdów szynowych.

Do prac mających olbrzymie znaczenie dla badania sił w kontakcie koło szyna należy książka (Kalker J.J., 1967) rozwijająca szereg takich prac jak np.: (Johnson K. L. 1958a, Johnson K. L. 1958b). Będący uproszczeniem teorii Kalkera algorytm FASTSIM jest obecnie uznany za standard obliczeń sił w kontakcie koła z szyną (Kalker J.J., 1982). Jako prace rozwijające czy alternatywne do algorytmu FASTSIM należy wymienić m.in.

(Pascal J. P., 1993), (Kik W., Piotrowski J., 1996).

Ważną rolę dla rozwoju problematyki modelowania pojazdów szynowych odgrywają

10

publikacje związane z modelowaniem wielobryłowych układów. Są to prace (Schiehlen W.

(ed.), 1990), (Kortum W., Sharp R. S., 1991), (Kortum, W., Sharp, R. S., 1993), (Schiehlen W., 2006). Pokazane w tych pracach metody automatycznego generowania równań ruchu oparte były o równania ruchu Newtona-Eulera z mnożnikami Lagrange’a.

Rozwój metod badania dynamiki pojazdów szynowych spowodował, że powstała literatura ujmująca je kompleksowo. Do jednej z pierwszych pozycji należy zaliczyć pracę (Garg V. K., Dukkipati R. V., 1984). Książka ta zawiera modele matematyczne i ich zastosowanie do analiz dynamicznych i projektowania pojazdów szynowych.

Stosunkowo niedawno ukazała się książka podsumowująca całą tematykę modelowania pojazdów szynowych (Iwnicki S., 2006). Przedstawiono w niej cały przekrój informacji, które wprowadzają do głównych zagadnień mających wpływ na dynamiczne zachowanie się pojazdów szynowych oraz podsumowano historię i aktualny stan wiedzy dokonując przeglądu analitycznych i komputerowych narzędzi wykorzystywanych w tej dziedzinie.

Dokonując przeglądu publikacji z zakresu modelowania dynamiki pojazdów szynowych powinno się wymienić także książki wydane w Polsce (Chudzikiewicz A., et al., 1982), (Kisilowski J. red., 1991), (Kisilowski J., Knothe K., red., 1991), które również dokładnie opisują tematykę dynamiki pojazdów szynowych.

Więzy w układzie koła i szyny są to nieliniowe zależności opisujące parametry geometryczne punktu kontaktu między tymi dwoma stykającymi się bryłami. Zależą one od położenia koła względem szyny. Takie wielkości jak na przykład promienie krzywizn stykających się ciał w punkcie kontaktu lub kąt kontaktu między bryłą koła i szyną znacząco wpływają na siły pojawiające się w układzie. Wynika to z teorii Hertza i teorii kontaktu tocznego Kalkera. Z tego powodu algorytmy wyznaczania położenia punktu kontaktu były przedmiotem szeregu prac. Do pierwszych trzeba zaliczyć (Cooperrider N., K, et al., 1976) i pracę (Decuyper M., 1989) i (De Pater A. D., 1988). Prace te były rozwijane przez (Kik W., 1997) a ostatnio przez (Polach O., 2009).

W ostatnich latach nastąpił również gwałtowny rozwój w modelowaniu takich układów

pojazdów szynowych jak zawieszenie. Rozbudowany przegląd sposobów modelowania

elementów zawieszenia takich jak na przykład cięgna z linkami, poduszki zawieszenia,

sprężyny pneumatyczne, prowadniki, tłumiki cierne zależne od obciążenia układu, gumowe

podkładki z uwzględnieniem histerezy etc. zawiera praca (Eickhoff B. M., et al., 1995) czy

też praca (Uhl T., et al., 2000). Podsumowanie prac związanych z modelowaniem

11

zawieszenia, łącznie z dyskusją dotyczącą wymaganej szczegółowości modelu znalazło się w artykule (Bruni S., et al., 2011), a modelowanie elementów gumowych zawieszenia zostało opisane w artykułach (Berg M., 1997, Berg M., 1998a, Berg M 1998b).

Niezależnie obracające się koła były początkowo zaproponowane jako rozwiązanie konstrukcyjne zapobiegające zjawisku wężykowania zestawów kołowych w pociągach poruszających się z dużymi prędkościami. Jednym z pierwszych praktycznych zastosowań było wprowadzenie do eksploatacji w 1942 r. pociągów typu TALGO, których podstawową cechą charakterystyczną jest pasywny system sterujący i jednoosiowe wózki z zestawami o niezależnie obracających się kołach.

Do pierwszych pozycji literaturowych związanych z zagadnieniem niezależnie obracających się kół można zaliczyć np.: (Gruitch J. M., Philips O. H., 1950), (Kaplan A., et al., 1970). Brak samosterowności zestawu kołowego wyposażonego w niezależnie obracające się koła spowodował dalszy rozwój badań nad tym układem mechanicznym. Prace toczyły się w dwóch kierunkach. Pierwszy związany był z analizą układu z punktu widzenia mechaniki i miał na celu poprawę właściwości kinematycznych i dynamicznych układu, drugi kierunek badań dotyczył technik sterowania.

Podstawowymi pracami dotyczącymi dynamiki układu z niezależnie obracającymi się kołami są publikacje: (Frederich F., 1989), (Eickhoff B. M., Harvey R. F., 1989) gdzie problem „samocentrowania” się koła zaproponowano rozwiązać za pomocą wykorzystania sztywności grawitacyjnej tzw. Einzelrad-Einzel-Fahrverk (EEF). Rozwiązanie to nie jest szeroko stosowane z powodu skomplikowanej geometrii wózka. Projekt „Stadtbahn 2000”, który postulował jego zastosowanie, nie został do końca zrealizowany.

W pracach (Eickhoff B. M., Harvey R. F., 1989), (Eickhoff B. M., 1991), (Elkins J. A., 1989), dokonano porównania wyników badań eksperymentalnych i symulacyjnych pojazdów z wózkami o niezależnie obracających się kołach. Potwierdzono w nich eliminację zjawiska wężykowania zestawów kołowych, ale również stwierdzono tendencje do pozostawania obrzeża koła w kontakcie z szyną. W pracy (Fisette P., Samin J. C., 1991) przedstawiono model do badania poprzecznej dynamiki wózka stosowanego w pojazdach przegubowych z niezależnie obracającymi się kołami.

Zaprezentowano metodę generowania automatycznego równań w postaci symbolicznej.

Podobną tematykę można znaleźć w pracy (Ród J., et al., 1997). W pracy (Satou E.,

Miyamoto M., 1991) przedstawiono wózek opracowany w Railway Technical Research

12

Institute (RTRI) w Japonii z niezależnie obracającymi się kołami, którego masa jest dwukrotnie mniejsza od masy wózka konwencjonalnego. Wózek tego typu był przeznaczony do poprawienia stabilności biegowych przy wysokich prędkościach w trakcie jazdy na torze prostym i łukach, jako kolejna generacja wózka stosowanego na Japońskich Liniach Kolejowych z wąskimi torami. Prototypy wózka były testowane na stanowiskach rolkowych i w trakcie testów polowych. Poprzez pomiary zweryfikowano fakt, że dzięki nowemu profilowi kół wózki posiadają właściwości samosterujące, a zachowanie wózka jest bardziej przewidywalne. Analiza wartości własnych modelu oraz wyniki symulacji wykazały lepszą stabilność prowadzenia wózków z niezależnie obracającymi się kołami.

Praca (Dukkipati R. V., et al., 1992) ma charakter przeglądowy. Przedyskutowano w niej różne metody służące do poprawienia prowadzenia w torze zestawu z niezależnie obracającymi się kołami.

Na uwagę zasługuje również praca (Jawahar P. M., Gupta K. N., Raghu E., 1990), w której opisano konstrukcję nieliniowego modelu matematycznego dynamiki poprzecznej wózka. W badaniach uwzględniono poprzeczną sztywność toru. Dokonano analizy dynamiki poprzecznej układu dla wózka z klasycznymi zestawami i zestawami o niezależnie obracających się kołach.

W pracy (Dukkipati R. V., et al., 1995) przeprowadzono badania porównawcze ruchu ustalonego na łuku niekonwencjonalnych wózków. Badano tam wpływ tłumienia pierwszego stopnia zawieszenia na dynamikę układu oraz zanalizowano dynamikę układu, w którym tylny zestaw ma niezależnie obracające się koła, a przedni zestaw jest zestawem klasycznym.

Ci sami autorzy w pracy ( Dukkipati R. V., Narayanaswamy S., January 1999) zajęli się problemem tłumienia wężykowania.

Zagadnieniom związanym z geometrią profili kół w niekonwencjonalnych wózkach zajęto się w pracy (Santamaria J., Vadillo E. G., 2004). Porównano w niej, poprzez analizę wyników symulacji, zachowanie się kilku niekonwencjonalnych konstrukcji wózków.

Badania symulacyjne dotyczyły zachowania się pojazdu szynowego w czasie przejazdów po łukach o małym promieniu i określenia dopuszczalnego poziomu zużycia profili kół. Badano pojazdy poruszające się z dużymi prędkościami jak i pojazdy stosowane w komunikacji miejskiej.

W artykułach (Maoru C., et al., 2008) i (Maoru C., et al., 2009) został rozważony układ

13

tzw. sprzężonego wózka (dwa jednoosiowe sprzężone sprężyście wózki) wyposażony w zestawy kołowe o niezależnie obracających się kołach. Przeprowadzona analiza teoretyczna tego układu wykazała, że doskonale zachowuje się na łuku i na torze prostym. Analiza wyników symulacji dynamiki układu wykazała, że sprzężony wózek może znacznie zmniejszyć problemy samosterowności takiego układu.

Poruszone w dwóch poprzednich artykułach koncepcje zostały rozwinięte w pracy (Xingwen W., et al., 2014). W publikacji opisano mechanizm różnicowy, którego zastosowanie poprawia zachowanie się na łukach o dużym promieniu i torach prostych pojazdu wyposażonego w zestawy o niezależnie obracających się kołach. Zaproponowano w niej sprzężenie kół za pomocą sprzęgła typu różnicowego o ograniczonym poślizgu.

Mechanizm różnicowy składa się ze sprzęgła ze wstępnym statycznym naprężeniem, które może zablokować koła względem siebie w trakcie jazdy po łuku o dużym promieniu i odblokować je na łuku o małym promieniu umożliwiając w ten sposób przejazd po nim przy niedużych przemieszczeniach. Badania symulacyjne skoncentrowano na analizie samosterowności układu i jego wężykowaniu.

Koncepcja zastosowania kół o „odwróconej geometrii” w zestawie o niezależnie obracających się kołach została przedstawiona w pracy (Suda Y., et al., 2012). W pracy opisano eksperymenty na modelu zbudowanym w skali 1:10 i na modelu matematycznym układu zbudowanym w środowisku SIMPACK. Odwrócenie stożkowatości bieżni jak również wprowadzenie do układu semi-aktywnego tłumika drgań skrętnych spowodowało poprawę stabilności układu bez konieczności wprowadzania skomplikowanych zmian konstrukcji wózka.

Na szczególną uwagę zasługują prace związane z opisem dynamiki pociągów typu TALGO. Należy tu wymienić takie pozycje jak (García E., Chiva J., 2001), (Baeza L., 2006) czy (Carballeira J., et al., 2008). Podano w nich opis modelu matematycznego pojazdu wykorzystujący formalizm Newtona – Eulera z mnożnikami Lagrange’a. Cechy charakterystyczne pociągów typu TALGO spowodowały, że do badań symulacyjnych użyto programów autorskich, a nie komercyjnych. Badania symulacyjne dotyczyły zachowania się pojazdu na łuku.

Brak samocentrowania się zestawów kołowych z niezależnie obracającymi się kołami

spowodował rozwój prac nad sterowaniem kołami. Problemem zajmowali się przede

wszystkim brytyjscy, japońscy i chińscy naukowcy. Wykonany poniżej przegląd literaturowy

14

na pewno nie wyczerpuje zagadnienia, ale sygnalizuje główne, zdaniem autorki, tendencje w badaniach nad sterowaniem zestawami kołowymi.

Z prac brytyjskich naukowców można wymienić np.: (Mei T.X., Goodall R. M., 1999) oraz (Mei T.X., Goodall R. M., 2000), gdzie zajmowano się optymalnym sterowaniem liniowo-kwadratowym, które może być zastosowane zarówno dla wózka konwencjonalnego jak i dla wózka z IRW. Natomiast w pracy (Goodall R. M., Li H., 2000) dokonano analizy ruchu zestawów kołowych z kołami niezależnie obracającymi się, która wykazała możliwość powstawania w układzie pewnych quasi kinematycznych oscylacji. Określono w niej również możliwości typ sterowania, który może być zastosowany do stabilizacji ruchu zestawu kołowy bez wpływu na jego stacjonarny ruch po łuku.

Sterowanie krzepkie H∞ było przedmiotem pracy (Mei T. X., Goodall R. M., 2001).

Praca (Mei T. X., Goodall R. M., 2003), poświęcona była podstawowym problemom aktywnego sterowania. Omówiony tam regulator jest w stanie utrzymać jednocześnie stabilność i efektywne działanie nawet jeśli w układzie występują zmienne parametry, co można zwłaszcza zaobserwować w strefie kontaktu koła z szyną. Sterowanie to jest odporne na niepewności w układzie, które nie są uwzględnione w modelu, np. te związane z dynamiką aktuatorów. Ponadto w praktyce układ sterowania krzepkiego używa tylko czujników pomiarów prędkości i przyspieszeń, ponieważ podstawowe pomiary wymagane dla sterowania aktywnego, jak np. przemieszczenia poprzeczne koła względem szyny, nie mogą być łatwo i tanio zmierzone w praktyce.

W pracy (Li J., et al., 2003) poruszono problem sterowników stosowanych do pojazdów poruszających sie z niewielkimi prędkościami.

(Mei T. X., et al., 2005) sformułowali dwa warunki perfekcyjnego sterowania: Warunek 1 to równe wartości sił poprzecznych na wszystkich zestawach kołowych i warunek 2 to zerowe siły wzdłużne na wszystkich zestawach.

W pracy (Liang B., Iwnicki S. D., 2011) przedstawiono badania nowej konstrukcji

silnika indukcyjnego i sterownika dla IRW, które mają na celu zapewnienie stabilności

wymaganej w trakcie eksploatacji w pojeździe szynowym. Opracowany model

mechanicznych i elektrycznych elementów systemu został przebadany symulacyjnie i

następnie przeprowadzono badania na obiekcie rzeczywistym. Badania wykazały, że zestawy

kołowe z aktywną kontrolą silnika napędowego o niezależnie napędzanych kół mają lepszą

stabilność w porównaniu z konwencjonalnym zestawem kołowym. Okazuje się też, że

15

regulatory ze sterowaniem pośrednią metodą orientacji polowej zastosowane do układów sterowania silnikami indukcyjnymi są dla nich odpowiednie zarówno pod względem szybkości odpowiedzi jak i sterowalności.

Z prac badaczy chińskich można wymienić między innymi: pracę (Maoru C., et al., 2008) gdzie opisano model wózka z niezależnie obracającymi się kołami składający się z dwóch ram wózków jednoosiowych sprzężonych sprężyście, a w pracy (Maoru C., Jing Z., Wenhao G., Weihua Z., Xuesong J., 2009) przeprowadzono analizę tego układu, która wykazała, że doskonale zachowuje się on na łuku a następnie, po wyjściu z łuku, na torze prostym. Analiza wyników symulacji dynamiki układu wykazała, że zastosowanie sprzężonego wózka może znacznie zmniejszyć problemy ze sterownością w układzie.

Z prac badaczy japońskich można wymienić prace (Obata R., et al., 2006) i (Wang W., et al., 2008).

Publikacji ściśle dedykowanych niskopodłogowym tramwajom jest zdecydowanie mniej niż poświęconych zagadnieniom dynamicznym pojazdów kolejowych. Niektóre z nich mają charakter popularny lub informacyjny np.: (Hondius, H., 1992), a niektóre zajmują się problematyką konstrukcji i jej wytrzymałości (Sarunac, R., Zeolla, N., 2003).

Szeroki przegląd konstrukcji niskopodłogowych lekkich pojazdów szynowych oraz różnych możliwości ich zastosowania znajduje się w pracach (TCRP Report 2, 1995) oraz w pracy (TCRP Report 114, 2004)

Wśród publikacji dotyczących dynamiki niskopodłogowych lekkich pojazdów szynowych należy wymienić (Kuba T., Lugner P., 2012). W pracy przebadano zachowanie się wieloczłonowego przegubowego tramwaju z wózkami z klasycznymi zestawami i z wózkami z zestawami o niezależnie obracających się kołach. Przedmiotem analizy było zachowanie się tramwaju w trakcie jazdy po łuku przy różnych prędkościach. Analityczny model niskopodłogowego tramwaju z wózkami o zestawach z niezależnie obracającymi się kołami pokazano w pracy (Cho Y., Kwak J., 2012). Dokonano w niej porównania prędkości krytycznych dla modelu tramwaju o zestawach klasycznych i zestawach z osią łamaną.

Z prac badaczy polskich jako reprezentatywne dla problematyki badania dynamiki lekkich pojazdów szynowych trzeba wymienić prace (Uhl T., et al., 1999), (Chudzikiewicz A., Firlik B., 2009) i (Firlik B., 2009).

Problematyka dynamiki lekkich pojazdów szynowych była przedmiotem prac autorki

16

rozprawy takich jak (Chudzikiewicz A., Sowińska M., 2015a), (Chudzikiewicz A., Sowińska M., 2014), (Chudzikiewicz A., Sowińska M., 2015b), (Sowińska M., 2015), (Chudzikiewicz A., et al., 2015), czy też (Chudzikiewicz A., Sowińska M., 2014).

1.2. Uzasadnienie podjęcia tematu

W transporcie, wraz z rozwojem cywilizacyjnym, zaczęto brać pod uwagę osoby niepełnosprawne, dzieci, starców, czy innych ludzi, którym korzystanie z dotychczasowych środków komunikacji publicznej sprawia kłopoty. Niskopodłogowe Lekkie Pojazdy Szynowe (LFLRV –Low Floor Light Railway Vehicles) (klasyfikacja wg. TCRP Report 2, 1995) mają wiele istotnych zalet, a zwłaszcza łatwiejszą dostępność i możliwość wykorzystywania mniej inwazyjnych, dla ruchu ulicznego, niskich peronów na przystankach. LFLRV stały się

„standardowym” rozwiązaniem projektowym oferowanym przez wszystkich głównych dostawców miejskich środków transportu.

Pewną zaletą niskopodłogowych pojazdów szynowych w zastosowaniu do sieci miejskiej jest również zmniejszenie czasu wchodzenia i wychodzenia z pojazdu, a to zapewnia lepsze jego wykorzystanie jednocześnie wpływając na całkowite koszty eksploatacji.

Na ogół przyjmuje się, że w tramwajach niskopodłogowych podłoga znajduje się ok.

350 mm nad główką szyny, a jej część wyższa nie może być umieszczona wyżej niż ok. 600 mm nad główką szyny. W pełni niskopodłogowym tramwaju cała podłoga jest na jednakowym poziomie, ok. 350 mm nad główką szyny. Jednak powyżej wózków podłoga może być nieco wyższa (do 450 mm powyżej górnej szyny)

Wśród niskopodłogowych tramwajów wyróżnia się pojazdy używające konwencjonalnego wózka napędowego i konwencjonalnych wózków ciągniętych. Mają od 9 do 15% obszaru niskopodłogowego, ale mogą mieć też do 48 procent obszaru niskopodłogowego. Następną kategorią niskopodłogowych tramwajów są pojazdy używające konwencjonalnych wózków napędowych na każdym końcu i innowacyjnych wózków ciągniętych. Do tej kategorii należy zaliczyć niektóre konstrukcje wyposażone w wózki ciągnięte o konwencjonalnej konstrukcji, ale z kołami o mniejszych średnicach. Mają one od 50 do 75% niskopodłogowej nieprzerywanej powierzchni między wózkami napędowymi.

„Najwyżej” zaawansowaną konstrukcyjnie kategorię stanowią pojazdy używające

innowacyjnych wózków napędowych i wózków ciągniętych. Mają one ok. 100%,

niskopodłogowej nieprzerywanej powierzchni.

17

Konstrukcja 100% niskopodłogowych pojazdów wyklucza stosowanie klasycznych zestawów kołowych ze stałymi osiami między prawym i lewym kołem.

Rozwój pojazdów szynowych doprowadził do powstania konstrukcji pojazdów szynowych, których modele matematyczne wymagają zastosowania aparatu nieuwzględnianego w dotychczasowej literaturze i istniejących pakietach do obliczania ich dynamiki. Do konstrukcji takich zaliczyć można pojazdy szynowe typu monorail, bądź pojazdy, w których konstrukcja wózka nie jest skrzynkowa, a koła są w pełni niezależne.

Więzy w układzie między kołem i szyną dla takich konstrukcji są nieholonomiczne.

Uproszczonym przykładem tych więzów jest toczący się po płaszczyźnie dysk np.:

(Batista M., 2005). W tym przypadku więzy są analogiczne do więzów bryły toczącej się po powierzchni. Za powierzchnię tę należy uznać powierzchnię szyny a za bryłę koło pojazdu szynowego.

Obecnie istniejące pakiety do badań symulacyjnych dynamiki pojazdu szynowego nie uwzględniają w swoim zakresie stosowalności więzów nieholonomicznych w układzie.

Równania Boltzmanna-Hamela nadają się do opisu ruchu układu w nieinercjalnym układzie odniesienia i pozwalają w dokładny sposób uwzględnić istniejące w nim więzy nieholonomiczne (Nejmark J. I., Fufajew N. A., 1967), (Bloch A. M., 2015), (Book W. J., Cameron J. M., 1997).

Jednocześnie porównując stosowane formalizmy do opisu dynamiki układów z więzami nieholonomicznymi (np.: Maggiego) można stwierdzić, że formalizm Boltzmanna-Hamela redukuje liczbę równań różniczkowych opisujących ruch.

Autorka pracy sądzi, że jej praca uzupełniłaby lukę w istniejących opisach dynamiki innowacyjnych pojazdów szynowych i oprogramowaniu służącym do jej symulacji.

Układ pracy jest następujący:

W rozdziale drugim zawarto podstawy teoretyczne konieczne do zbudowania modelu koła (bryły) toczącego się po szynie (powierzchni) z wykorzystaniem formalizmu Boltzmanna-Hamela. Przedstawiono więzy w układzie i zbudowano model matematyczny.

W rozdziale trzecim przedstawiono propozycje konstrukcji wózków z całkowicie

niezależnymi kołami oraz przeprowadzono dla tych konstrukcji obliczenia

wytrzymałościowe. Rozdział ten zawiera również wyznaczenie parametrów

bezwładnościowych, sprężystych i geometrycznych potrzebnych do budowy modelu

18 matematycznego, który posłuży do badań symulacyjnych.

W rozdziale czwartym przedstawione zostaną wyniki badań symulacyjnych trzech rodzajów pojazdów tramwajowych, każdy wyposażony w inny typ wózka.

W rozdziale piątym zostaną opisane: dobór strategii sterowania kołami w wózkach niekonwencjonalnych, wprowadzenie algorytmu sterowania do programu symulacyjnego i analiza efektywności metody.

Rozdział szósty zawierać będzie podsumowanie i wnioski.

1.3. Cel, zakres i teza pracy

Cel pracy

Głównym celem pracy jest opracowanie modelu fizycznego i matematycznego wózka niekonwencjonalnego z w pełni niezależnymi kołami, analiza porównawcza właściwości biegowych takiego wózka oraz propozycja rozwiązania konstrukcyjnego takiego układu.

Do celów cząstkowych należy zaliczyć:

- budowę modelu matematycznego koła tramwaju toczącego się po powierzchni szyny uwzględniającego więzy nieholonomiczne,

- przeprowadzenie obliczeń wytrzymałościowych propozycji konstrukcji tramwaju z wózkami z w pełni niezależnymi kołami,

- przeprowadzenie badań symulacyjnych porównujących zachowanie się dynamiczne modelu matematycznego tramwaju z wózkami o klasycznych zestawach z modelami tramwaju z wózkami o niezależnie obracających się kołach i w pełni niezależnych kołach,

- przeprowadzenie analizy wpływu sterowania na zachowanie się dynamiczne modelu tramwaju z wózkami o niezależnie obracających się kołach.

Zakres pracy

Badania przedstawione w pracy obejmują modelowanie, eksperymenty symulacyjne

statyczne i dynamiczne i analizę otrzymanych wyników. Obiektem badań jest przegubowy,

wieloczłonowy lekki pojazd szynowy, którego parametry w przypadku wózków o

konwencjonalnych zestawach są zbliżone do parametrów istniejących pojazdów, a w

przypadku wózków o niekonwencjonalnych zestawach parametry będą wynikiem obliczeń

wytrzymałościowych.

19

Eksperymenty symulacyjne zostaną przeprowadzone w środowisku MATLAB za pomocą kodu własnego.

Ze względu na postawione cele, w pracy przeprowadzone zostały symulacje dotyczące dynamiki pojazdów tramwajowych z wózkami klasycznymi i wózkami wyposażonymi w zestawy o niezależnie obracających się kołach (IRW).

Budowa oprogramowania badającego ich dynamikę jest oparta na modelach matematycznych zbudowanych w ramach projektu finansowanego przez Narodowe Centrum Badań i Rozwoju „Opracowanie i przetestowanie całkowicie niskopodłogowego tramwaju z niezależnie obracającymi się kołami w skali demonstracyjnej”. Projekt był prowadzony w latach 2014-2015 na Wydziale Transportu Politechniki Warszawskiej, a kierownikiem projektu był profesor dr hab. inż. Andrzej Chudzikiewicz.

Oprogramowanie, w obu przypadkach, obejmuje dynamikę wieloczłonowego tramwaju w zakresie nazywanym drganiami niskoczęstotliwościowymi tzn. do ok. 30 Hz. Modele przyjęte do rozważań składają się z brył sztywnych połączonych za pomocą bezmasowych elementów podatnych.

Bryły sztywne uwzględniane w modelach to: nadwozie, ramy wózków i zestawy kołowe lub koła (w zależności od rozważanego modelu pojazdu).

Różnica między modelami sprowadza się do innego opisu matematycznego ruchu zestawu kołowego. W modelu o zestawach typu IRW istnieje możliwość niezależnego obrotu jego kół (tzw. kąt nawijania) podczas gdy w modelu opisującym zestaw klasyczny koła są połączone sztywną osią.

Charakterystyki elementów podatnych są liniowe. Układy są modelowane w nieinercjalnym układzie odniesienia poruszającym się ze stałą prędkością razem z pojazdem.

Parametry bezwładnościowe pojazdu oraz parametry elementów usprężynowania przyjęte w modelach są wynikiem analizy literaturowej danych dotyczących tramwajów

„Pesa Swing” i „Pesa Jazz Duo” przeprowadzonej w trakcie prac nad projektem (kierownik projektu Andrzej Chudzikiewicz: Opracowanie i przetestowanie całkowicie niskopodłogowego tramwaju z niezależnie obracającymi się kołami w skali demonstracyjnej).

Tramwaje są produkowane przez zakłady „Pojazdy Szynowe PESA Bydgoszcz”.

Podstawowym, rozpatrywanym w pracy układem jest pojazd tramwajowy z wózkami

niekonwencjonalnymi o całkowicie niezależnie obracających się kołach (typu FIW – Fully

20

Independent Wheels). Model matematyczny rozważanego układu uwzględnia więzy nieholonomiczne występujące w opisie ruchu swobodnego koła po powierzchni szyny. W pracy zostały przedstawione propozycje dwóch rozwiązań konstrukcyjnych takiego układu.

Propozycji tych nie należy uważać za pełne projekty układu, ale za pewne schematy pozwalające określić parametry bezwładnościowe i sprężyste modelu potrzebne do badań symulacyjnych jego dynamiki. Przeprowadzona analiza wytrzymałościowa tych propozycji pozwoliła określić zakres tych parametrów.

Badania symulacyjne układu zostały przeprowadzone według kilku scenariuszy zaadoptowanych z programu badań symulacyjnych pojazdów kolejowych opublikowanych w raporcie (Samavedam G, Gomes J., 2000)

Koła w zestawie typu IRW mają te same stopnie swobody z wyjątkiem obrotu (nawijanie), który jest różny dla każdego z kół. W ten sposób, przy różnicy promieni tocznych oba koła mogą toczyć się z różnymi prędkościami kątowymi, ale taki układ jest niestabilny i w wielu przypadkach traci zdolność „samosterowalności”. To samo zjawisko może pojawić się w czasie ruchu pojazdu wyposażonego w koła typu FIW. Przyczyny te powodują konieczność zastosowania w układzie sterowania. W pracy przeprowadzono porównanie efektywności sterowania PID dla takiego układu.

Jako wstęp do postawienia tezy pracy może posłużyć następujące uzasadnienie: rozwój

pojazdów szynowych doprowadził do powstania konstrukcji pojazdów, których modele

matematyczne wymagają zastosowania aparatu nie uwzględnianego w dotychczasowej

literaturze i istniejących pakietach do obliczania ich dynamiki. Do konstrukcji takich zaliczyć

można pojazdy szynowe typu monorail, bądź pojazdy, w których konstrukcja wózka nie jest

skrzynkowa. Więzy w układzie między kołem i szyną dla takich konstrukcji są

nieholonomiczne. Przykładem tych więzów jest toczący się po płaszczyźnie dysk. W tym

przypadku więzy są analogiczne do więzów bryły toczącej się po powierzchni. Za

powierzchnię tę należy uznać powierzchnię szyny a za bryłę koło pojazdu szynowego. Celem

ogólnym pracy jest opis takiego zjawiska oraz próba wykorzystania tego opisu w modelu

pojazdu oraz analizie symulacyjnej jego dynamiki. Programy wykorzystywane do

komputerowego wspomagania prac inżynierskich niejednokrotnie wskazują kierunek

dalszych prac konstruktorskich, przyczyniając się do weryfikacji powstałych konstrukcji jak

również mogą być wykorzystywane w procesie badawczym danego układu wieloczłonowego,

w naszym przypadku pojazdu szynowego w procesie dopuszczenia do eksploatacji.

21

Powszechnie stosowane metody modelowania i analizy dynamiki konwencjonalnych rozwiązań konstrukcyjnych w lekkich pojazdach szynowych, bazujących na równaniach Lagrange’a bądź Newtona-Eulera, nie pozwalają w pełni na ocenę właściwości dynamicznych lekkiego pojazdu szynowego w przypadku zastosowania rozwiązania niekonwencjonalnego typu IRW lub FIW z uwagi na nieuwzględnianie więzów nieholonomicznych w układzie pojazd szynowy-tor.

Istniejące komercyjne pakiety komputerowe dedykowane do badania dynamiki pojazdów szynowych nie posiadają opcji analizy takich układów. Realizowane jest to w nich za pomocą więzów holonomicznych lub metody układów wieloczłonowych.

Dlatego też istnieje potrzeba, w takim przypadku, korzystania z własnych programów opracowanych do tego typu zagadnień.

Teza pracy

Omówiony powyżej zakres pracy oraz jej cele są zgodne z tezą pracy, którą można sformułować następująco:

Zastosowanie równań Boltzmanna-Hamela pozwala na opis ruchu pojazdu

szynowego z niekonwencjonalnymi zestawami kołowymi w nieinercjalnym układzie

odniesienia, uwzględniając istniejące w nim więzy nieholonomiczne.

22

2. Teoretyczne podstawy budowy modelu matematycznego układu

Analizę właściwości układu mechanicznego wykonuje się poprzez badania obiektu rzeczywistego jak i jego modelu matematycznego. Badania obiektu rzeczywistego można przeprowadzać w warunkach zbliżonych do warunków normalnej eksploatacji lub w warunkach „laboratoryjnych”, w których obiekt jest eksploatowany zgodnie ze scenariuszami założonymi przez prowadzącego doświadczenie.

Rozważany w pracy obiekt – tramwaj z kołami lewym i prawym niepołączonymi poprzez oś, można uznać za konstrukcję całkowicie nową – nieistniejącą jako obiekt rzeczywisty. Sprawia to, że może być on badany tylko poprzez jego model matematyczny.

Powstanie modelu matematycznego jest zawsze poprzedzone budową modelu nominalnego układu niekiedy zwanego modelem fizycznym. Zgodnie z (https://pl.wikipedia.org/wiki/Model_fizyczny) „…model fizyczny jest to abstrakcyjny twór odzwierciedlający w uproszczeniu układ rzeczywisty. Jednocześnie model fizyczny zachowuje najbardziej istotne cechy układu rzeczywistego…”. Należy jednak brać pod uwagę fakt, że układ rzeczywisty można analizować biorąc pod uwagę rozmaite kryteria i w związku z tym obiekt rzeczywisty może być opisywany różnymi modelami nominalnymi, a co za tym idzie różnymi modelami matematycznymi. Chociaż w pracy są analizowane różne modele pojazdów to ten rozdział jest poświęcony podstawowym założeniom, które zostały przyjęte przy budowie modelu matematycznego układu pojazdu tramwajowego z całkowicie niezależnymi kołami.

2.1. Założenia wstępne

Oznaczenia do rozważań przeprowadzonych w tym podrozdziale będą odnosiły się do inercjalnego układu współrzędnych związanego z ziemią, takiego, w którym tor znajduje się w płaszczyźnie OXY, a oś pionowa jest skierowana do góry.

Założenia zostaną sformułowane w następujących punktach:

1) model nominalny układu składa się ze sztywnych brył połączonych bezmasowymi łącznikami sprężysto-tłumiącymi;

2) układ znajduje się w jednorodnym polu grawitacyjnym;

3) wartość rzutu prędkości środka masy koła na płaszczyznę OXY inercjalnego układu odniesienia związanego z ziemią OXYZ jest stała;

4) w układzie koło – szyna występują więzy nieholonomiczne;

23

5) promień toczny koła jako funkcja przemieszczenia poprzecznego y, kąta obrotu wokół osi OX, oraz kąta nabiegania ψ zmieniają się w sposób ciągły;

6) tor w badanych modelach będzie traktowany jako element sztywny reprezentowany przez swoją geometrię.

Przyjęcie niektórych z takich założeń wymaga uzasadnienia.

Założenie przytoczone w punkcie 1) ogranicza stosowalność modelu do zakresu drgań niskoczęstotliwościowych. Zakres ten w zastosowaniu do pojazdów kolejowych został zdefiniowany w pracy (Chudzikiewicz A., et al., 1982) i podobny może być przyjęty dla pojazdów tramwajowych.

Założenie sformułowane w punkcie 2) jest oczywiste, jednak tworząc model matematyczny układu należy wziąć pod uwagę, że reakcja pionowa szyny nie musi być przyłożona pod środkiem masy koła. Będzie ona dawała moment siły obracający koło i powinna być redukowana przez odpowiednie usprężynowanie, aby nie dopuścić do zbyt dużych kątów obrotu wokół osi wzdłużnej toru OX.

Punkt 3) założeń ma charakter uproszczenia zagadnienia. Wprawdzie w dalszych rozważaniach założono ruch ustalony, ale na skutek obrotu koła wokół prostej OX oraz ruchu poprzecznego koła zmienia się współrzędna Z położenia środka masy. Zmiana współrzędnej Z położenia środka masy wynika z ruchu poprzecznego, któremu towarzyszy zmiana promienia tocznego i zmiana współrzędnej Z punktu kontaktu na szynie. Odróżnia to rozpatrywane zagadnienie od klasycznego problemu dysku toczącego się po poziomej płaszczyźnie i te zjawiska zostały uwzględnione. Pominięto natomiast zmianę rzutu wektora prędkości środka masy koła spowodowaną lokalnymi nierównościami szyny. Faktycznie wektor prędkości środka masy może być styczny do powierzchni wyznaczonej przez nierówność i jego rzut na płaszczyznę OXY może się zmieniać.

Fakt istnienia więzów nieholonomicznych w układzie koło – szyna (punkt 4 założeń) może znaleźć uzasadnienie nawet wtedy, gdy rozważany jest model matematyczny dynamiki zestawu kołowego z niezależnie obracającymi się kołami (IRW). Przyjmowanie do rozważań przy modelowaniu IRW zerowych poślizgów wzdłużnych jest powszechną praktyką np.:

(Dukkipati R. V.,et al., 1992). Już przyjęcie takiego równania ma postać więzu

nieholonomicznego, czego przykład można znaleźć w układzie Benentiego np. w

(Monforte J. C., 2002). Jako dodatkowe uzasadnienie na brak poślizgów poprzecznych należy

przytoczyć eksperymenty obliczeniowe wykonane w trakcie prac nad projektem

24

„Opracowanie i przetestowanie całkowicie niskopodłogowego tramwaju z niezależnie obracającymi się kołami w skali demonstracyjnej” przez (Konowrocki R., Sowińska M.,:

Raport 2014) wykonane programem komercyjnym Simpack, gdzie rozpatrywano ruch zestawu kołowego o niezależnie obracających się kołach (typ IRW). Prace te wykazały pomijalne wartości poślizgów i sił stycznych w kontakcie koła z szyną. Wynika z tego, że w opisie mechaniki zjawiska toczącego się niezależnego koła należy stosować więzy nieholonomiczne, które w sposób dokładny będą to zjawisko opisywały. Uzasadnienie tego założenia trzeba uzupełnić o analizę geometrii kontaktu między kołem a szyną. W przypadku całkowicie niezależnych kół nie można całkowicie wykluczyć dwupunktowego kontaktu miedzy kołem a szyną (rys. 2.1). Ze względu na różnice promieni tocznych w punktach kontaktu istnienie poślizgów między kołem a szyną jest oczywiste. Powoduje to, że założenie o braku poślizgów nie jest spełnione. W takim przypadku ma miejsce kontakt toczny Kalkera i można zastosować do obliczeń algorytm FASTSIM.

Rys. 2.1. Przykład wystąpienia na kole kontaktu dwupunktowego

Założenie 5) podobnie jak założenie 3) jest założeniem upraszczającym zagadnienie.

Likwiduje nieciągłość jednego z parametrów równań ruchu.

Założenie 6) wynika z tego, że istniejące różne rodzaje nawierzchni torowisk tramwajowych sprawiają, że jedynym uniwersalnym składnikiem je charakteryzującym jest geometria profili szyn, (chociaż i w tym przypadku stosuje się rozmaite szyny) i toru. Dlatego ograniczono się w badaniach modelowych do uwzględnienia w modelu toru tylko jego geometrii.

2.2. Nieinercjalne układy współrzędnych przyjęte w modelowaniu układu Podczas modelowania układu pojazdu szynowego z torem należy brać pod uwagę różne warunki jazdy i dobrać odpowiednie do nich układy odniesienia. Powszechnie przyjmowanymi układami współrzędnych są na przykład układy odniesienia podane w

0 15 30 45 60 75 90

-15

Y [mm]

0

-20 -10

-40 -30

Z [mm]

25

(Kisilowski J., red., 1991). Ze względu na specyfikę modelu w opisywanym przypadku zostaną one dla bryły koła zmodyfikowane.

Przyjęte układy współrzędnych to:

1. Inercyjny układ współrzędnych OXYZ.

2. Nieinercyjny układ współrzędnych związany z linią środkową toru – układ stosowany do opisu ruchu całego pojazdu O 1 XYZ. Układ ten porusza się po linii środkowej toru ze stałą prędkością 𝑣. Ruch początku układu (punkt O 1 ) jest wyznaczany przez nierówność linii środkowej toru. Układ ten obraca się zgodnie z powierzchnią wyznaczoną przez tor. Zmiany kierunku osi tego układu pokazane są na rys. 2.3-2.4 w rzutach na płaszczyzny OXY i OXZ oraz OYZ układu inercjalnego OXYZ. Rzut osi O 1 X jest styczny do nierówności poprzecznej linii środkowej toru. Rzut osi O 1 X na płaszczyznę OXZ styczny jest do nierówności pionowej linii środkowej toru. Rzut osi O 1 Y na OYZ wyznaczony przez różnicę nierówności lewej i prawej szyny oraz szerokości toru. Jeżeli nierówność poprzeczna dana jest przez y(x) i z=0 w układzie OXYZ, oraz 𝑥 = 𝑣𝑡 (gdzie t – czas), wówczas tangens kąta jaki tworzy styczna w punkcie x 0 do nierówności poprzecznej jest dany poprzez 𝑡𝑔𝛼 =

𝑑𝑦

𝑑𝑥 (𝑥 ₀ ). Ponieważ dla konkretnego położenia x 0 mamy 𝑥 ₀ = 𝑣𝑡 ₀ , to dostajemy zależność 𝑡𝑔(𝛼(𝑡)) i 𝛼(𝑡) = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 ( ^𝑑𝑦 _𝑑𝑥 (𝑡)). Gdy to wyrażenie zróżniczkujemy otrzymamy prędkość kątową obrotu układu nieinercjalnego względem osi OY oznaczaną przez ω O1Z . Postępując analogicznie z nierównością pionową z(x) dostaniemy prędkość kątową obrotu układu nieinercjalnego względem osi OY oznaczaną przez ω O1Y . W przypadku kąta obrotu wokół osi OX sprawa jest prostsza. Jeżeli oznaczymy szerokość toru przez s(x) a nierówność pionową szyny lewej przez z l (x) i prawej przez z p (x) to kąt obrotu ϕ (zwany niekiedy lokalną przechyłką dany jest przez 𝑡𝑔𝜙 = ^𝑧

^−𝑧 _𝑠

(𝑥) . Dla małych kątów mamy 𝑡𝑔𝜙 ≈ 𝑠𝑖𝑛𝜙 ≈ 𝜙 i zadanie wyznaczenia ostatniej składowej wektora prędkości kątowej sprowadza się do obliczenia 𝜔 _𝑂1𝑋 = ^𝑑𝜙 _𝑑𝑡 . Powtórne zróżniczkowanie wektora 𝜔 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = { 𝜔 _{𝑂1 𝑂1𝑋} , 𝜔 _𝑂1𝑌 , 𝜔 _𝑂1𝑍 } daje nam wektor przyspieszenia kątowego 𝜀 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = { 𝜀 _{𝑂1 𝑂1𝑋} , 𝜀 _𝑂1𝑌 , 𝜀 _𝑂1𝑍 }. Możemy wyznaczyć teraz siły bezwładności związane z opisem ruchu w układzie nieinercjalnym. Przytoczony sposób postępowania nie jest prawidłowy w przypadku gdy kąty są bliskie π/2. Sytuacja taka ma miejsce, gdy chcemy płaszczyznę toru potraktować jako nierówności, a w płaszczyźnie toru mamy zakręt lub pętlę.

3. Trzeci układ współrzędnych jest nieinercjalnym układem współrzędnych Cxyz

26

związanym ze środkiem masy koła. Środek tego układu znajduje się w środku masy koła C.

Jego osie są skierowane równolegle do osi układu nieinercyjnego opisanego w punkcie 2.

Opisane w powyższych punktach układy współrzędnych są pokazane na rysunku 2.2.

Rys. 2.2. Układy współrzędnych przyjęte do opisu ruchu koła

4. Ostatni układ współrzędnych Cξηζ jest sztywno związany z kołem, a jego osie są skierowane jak centralne główne osie bezwładności.

2.3. Model matematyczny swobodnego koła toczącego się po szynie

Używając układów współrzędnych opisanych w podrozdziale 2.2 w bieżącym podrozdziale dokonane zostanie wyprowadzenie równań ruch swobodnego koła toczącego się po szynie z wykorzystaniem formalizmu Boltzmanna-Hamela.

Biorąc pod uwagę układy współrzędnych pokazane na rysunku 2.3 możemy zapisać wektory prędkości środka masy koła w układzie nieinercjalnym Cxyz następująco:

𝑉 _𝐶

⃗⃗⃗⃗ = {𝑉 _x 𝑉 _y 𝑉 _z } 𝜔 _𝐶

⃗⃗⃗⃗⃗ = {𝜔 _x 𝜔 _y 𝜔 _z } Natomiast w układzie nieinercjalnym Cξηζ:

𝑉⃗ = {𝑉 _ξ 𝑉 _η 𝑉 _ζ } 𝜔 ⃗⃗ = {𝜔 _ξ 𝜔 _η 𝜔 _ζ }

Do napisania równań ruchu za pomocą formalizmu Boltzmanna-Hamela konieczne jest

wyrażenie zależności pomiędzy prędkościami w układach Cxyz oraz Cξηζ przy

27

uwzględnieniu możliwych kątów obrotu kołem typu FIW. Rotacja układu Cξηζ o kąt przechylania ϕ oraz nabiegania ψ względem Cxyz zobrazowana jest na rys. 2.3.

Rys. 2.3. Orientacja układów współrzędnych Cxyz i Cξηζ po obrocie koła o kąt ϕ oraz ψ Na rys. 2.4 przedstawiono wektory prędkości w obu rozpatrywanych układach nieinercjalnych.

Rys. 2.4. Wektory prędkości kątowej w układach współrzędnych Cxyz i Cξηζ

Na podstawie schematów z rys. 2.2 i rys. 2.3 przedstawiających rotację układu Cξηζ o kąt ϕ oraz ψ względem układu współrzędnych Cxyz, można zapisać następującą zależność między wektorem prędkości w układzie Cxyz a wektorem prędkości w układzie Cξηζ:

{ V _x V _y V _z ω _x

ω _y ω _z }

= [

cosψ −cosϕsinψ sinϕsinψ 0 0 0

sinψ sinϕcosψ cosϕcosψ 0 0 0

0 sinϕ cosϕ 0 0 0

0 0 0 cosψ −cosϕsinψ sinϕsinψ

0 0 0 sinψ sinϕcosψ cosϕcosψ

0 0 0 0 sinϕ cosϕ ] {

V _ξ V _η V _ζ ω _ξ ω _η ω _ζ }

(2.1)

28 co można w skrócie zapisać:

𝑉 _𝑐 = 𝝉𝑉 (2.2)

Jeżeli chcemy otrzymać wektor prędkości koła w układzie nieinercjalnym Cξηζ, to po odwróceniu macierzy 𝝉 uzyskujemy:

𝑉 = 𝝉 ⁻¹ 𝑉 _𝑐 (2.3)

{ 𝑉 _𝜉 𝑉 _𝜂 𝑉 _𝜁 𝜔 _𝜉 𝜔 _𝜂 𝜔 _𝜁 }

=

[

cosψ sinψ 0 0 0 0

−cosϕsinψ cosϕcosψ sinϕ 0 0 0

sinϕsinψ −sinϕcosψ cosϕ 0 0 0

0 0 0 cosψ sinψ 0

0 0 0 −cosϕsinψ cosϕcosψ sinϕ

0 0 0 sinϕsinψ −sinϕcosψ cosϕ] {

𝑉 _x 𝑉 _y 𝑉 _z 𝜔 _x

𝜔 _y 𝜔 _z }

(2.4)

Następnie można zauważyć, że prędkości kątowe to:

𝜔 _𝜉 = 𝜙̇ – prędkość kątowa pochylania koła 𝜔 _𝜂 = 𝜃̇ – prędkość kątowa nawijania koła 𝜔 _z = 𝜓̇ – prędkość kątowa nabiegania koła

oraz można też założyć, że 𝜔 _𝜁 = _{𝑐𝑜𝑠𝜙} ^𝜓̇ − 𝜃̇𝑡𝑔𝜙 ≈ 𝜓̇ przy małych wartościach kąta przechylania 𝜙.

W układzie niezależnie obracającego się koła z szyną, podczas swobodnego toczenia, występuje ich jednopunktowy kontakt, w którym to nie zachodzą poślizgi. Wektor prędkości liniowej w punkcie kontaktu koła z szyną w tym przypadku może być wyrażony następująco:

𝑉 _𝑃

⃗⃗⃗⃗ = [𝑉 _𝜉𝑃 𝑉 _𝜂𝑃 𝑉 _𝜁𝑃 ] (2.5)

Na rys. 2.5 zaznaczono położenie punktu kontaktu koła z szyną.

29

Rys. 2.5. Położenie punktu kontaktu koła z szyną

Prędkość w punkcie kontaktu P oraz składowe jej wektora wyrazić można w układzie Cξηζ:

𝑉 _𝑃

⃗⃗⃗⃗ = 𝑉⃗ + 𝜔⃗⃗ × 𝑟 ⃗⃗⃗ _𝑝 (2.6) 𝑉 _𝜉𝑝 = 𝑉 _𝜉 + 𝜔 _𝜂 𝑟 _𝑝𝜁 − 𝜔 _𝜁 𝑟 _𝑝𝜂

𝑉 _𝜂𝑝 = 𝑉 _𝜂 + 𝜔 _𝜉 𝑟 _𝑝𝜁 − 𝜔 _𝜁 𝑟 _𝑝𝜉 (2.7) 𝑉 _𝜁𝑝 = 𝑉 _𝜁 + 𝜔 _𝜉 𝑟 _𝑝𝜂 − 𝜔 _𝜂 𝑟 _𝑝𝜉

Można założyć, że w układzie Cξηζ punkt kontaktu znajduje się w osi ζ, zatem wektor wodzący 𝑟 ⃗⃗⃗ ma składowe: _𝑝

𝑟 _𝑝𝜉 = 0

𝑟 _𝑝𝜂 = 0 (2.8)

𝑟 _𝑝𝜁 = −𝑟 _𝑝

Przy założeniu braku poślizgów w punkcie kontaktu można przyjąć następujące więzy 𝑉 _𝜉𝑝 = 0

𝑉 _𝜂p = 0 (2.9)

𝑉 _𝜁p = 𝑉 _𝜁 − 𝑟 _𝑝 ̇

Więzy nieholonomiczne bardzo często występują podczas ruchu tocznego i ogólnie

mają postać 𝑓(𝑞 ₁ , … , 𝑞 _𝑛 , 𝑞̇ ₁ , … , 𝑞̇ _𝑛 , 𝑡) = 0 gdzie 𝑞 _𝑖 to współrzędne uogólnione i 𝑞̇ _𝑖 to

prędkości uogólnione (i=1,…,n, gdzie n to liczba współrzędnych potrzebnych do opisu

30

układu, często większa od liczby stopni swobody). Biorąc pod uwagę zależności (2.7) i składowe wektora położenia punktu kontaktu (2.8) otrzymujemy następujące niecałkowalne więzy kinematyczne nałożone na punkt kontaktu P:

𝑉 _𝜉𝑝 = 𝑉 _𝜉 − 𝜔 _𝜂 𝑟 _𝑝

𝑉 _𝜂𝑝 = 𝑉 _𝜂 − 𝜔 _𝜉 𝑟 _𝑝 (2.10)

𝑉 _𝜁𝑝 = 𝑉 _𝜁 − 𝑟 _𝑝 ̇

Istnieją liczne sposoby uzyskania równań ruchu. Chociaż końcowe równania dla każdego z tych sposobów są równoważne, to formalizmy wyprowadzone z mechaniki analitycznej często oferują większą prostotę rozwiązania. Na przykład, równania Lagrange’a są łatwe do zastosowania, ale ich klasyczna forma nie jest stosowalna w zakresie układów nieholonomicznych. Takie układy mogą zostać wykorzystane dzięki wprowadzeniu mnożników Lagrange’a, które reprezentują dodatkowe siły reakcji potrzebne do ujęcia występujących w układzie więzów. Niewygodą tego podejścia jest konieczność wyeliminowania nieznanych mnożników z równań ruchu. Natomiast formalizm Boltzmanna- Hamela automatycznie eliminuje jakiekolwiek nieznane siły reakcji w równaniach. Równania wyprowadza się z równań d’Alemberta-Lagrange’a (Nejmark J. I., Fufajew N. A., 1967) i sprowadza do postaci, w której używa się quasi-prędkości, które w rozważanym przypadku są kombinacją liniową prędkości uogólnionych 𝑎 _𝑖 (𝑞)𝑞̇ _𝑖 . W rozpatrywanym układzie przyjęto sześć quasi-prędkości, z czego trzy są w postaci równań więzów, a pozostałe przyjęte tak, aby uprościć rozwiązywany problem matematyczny:

𝜔 ₁ = 0 = 𝑉 _𝜉𝑝 𝜔 ₂ = 0 = 𝑉 _𝜂p

𝜔 ₃ = 𝜌̇ = 𝑉 _𝜁p (2.11)

𝜔 ₄ = 𝜙̇

𝜔 ₅ = 𝜃̇

𝜔 ₆ = 𝜓̇

Związek pomiędzy quasi-prędkościami a prędkościami uogólnionymi można zapisać następująco:

𝜔 ⃗⃗ = 𝜶𝑞 ⃗⃗⃗ _𝑐 ̇ (2.12)

31 gdzie:

𝜶 =

[

cosψ sinψ 0 𝑟 _𝑝 cosϕsinψ −𝑟 _𝑝 cosϕcosψ −𝑟 _𝑝 𝑠𝑖𝑛𝜙

−𝑐𝑜𝑠𝜙𝑠𝑖𝑛𝜓 cosϕcosψ 𝑠𝑖𝑛𝜙 −𝑟 _𝑝 cosψ −𝑟 _𝑝 sinψ 0

sinϕsinψ −sinϕcosψ 𝑐𝑜𝑠𝜙 0 0 0

0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 1 ]

(2.13)

Po odwróceniu macierzy 𝜶 otrzymamy wektor prędkości uogólnionych w układzie Cξηζ w zależności od quasi-prędkości

𝑞 _𝑐 ̇

⃗⃗⃗ = 𝜷𝜔⃗⃗ (2.14)

{ 𝑉 _𝜉 𝑉 _𝜂 𝑉 _𝜁 𝜔 _𝜉 𝜔 _𝜂 𝜔 _𝜁 }

= 𝜷 {

𝜔 ₁ 𝜔 ₂ 𝜔 ₃ 𝜔 ₄ 𝜔 ₅ 𝜔 ₆ }

(2.15)

𝜿 = 𝜷 {

𝜔 ₁ 𝜔 ₂ 𝜔 ₃ 𝜔 ₄ 𝜔 ₅ 𝜔 ₆ }

(2.16)

Zależności te posłużą do wyrażenia energii całkowitej układu za pomocą przyjętych wcześniej quasi-prędkości:

𝑇 = 0.5𝑚(𝑉 _ξ ² + 𝑉 _η ² + 𝑉 _ζ ² ) + 0.5(𝐽 _ξ 𝜔 _ξ ² + 𝐽 _η 𝜔 _η ² + 𝐽 _ζ 𝜔 _ζ ² ) =

0.5𝑚(𝜿(𝟏) ² + 𝜿(𝟐) ² + 𝜿(𝟑) ² ) + 0.5(𝐽 _ξ 𝜿(𝟒) ² + 𝐽 _η 𝜿(𝟓) ² + 𝐽 _ζ 𝜿(𝟔) ² ) (2.17) gdzie:

𝐽 _ξ – moment bezwładności koła względem osi ξ, 𝐽 _η - moment bezwładności koła względem osi η, 𝐽 _ζ – moment bezwładności koła względem osi ζ, m – masa koła.

Tym sposobem otrzymujemy energię całkowitą układu wyrażoną w quasi-prędkościach,