Wybór strategii sterowania dla zestawów niekonwencjonalnych

Poprzez sterowanie można osiągnąć różne efekty poprawy dynamiki pojazdu. W celu poprawy stateczności jazdy jedną z możliwości jest zastosowanie aktywnego tłumienia ruchu poprzecznego pojazdu, gdzie siła sterowania przyłożona jest w kierunku poprzecznym do linii środkowej toru i jest proporcjonalna do prędkości obrotowej nabiegania zestawu kołowego.

Można też skupić się na ruchu obrotowym zestawów w płaszczyźnie nabiegania i stosować aktywne tłumienie przykładając moment sterujący do zestawu. Ten sposób sterowania, który jest sterowaniem typu AIRW przedstawiony został w artykule (Mei T. X, Goodall R. M., 2001), gdzie dla wózka z zestawami typu IRW zamodelowano regulator, który przetwarza sygnał wejściowy w postaci względnej prędkości obrotowej kół po przeciwnych stronach zestawu i względnej prędkości nabiegania między zestawem a nadwoziem. Autorzy tej publikacji proponują też sterowanie DIRW, które ma poprawiać prowadzenie pojazdu na torze wzdłuż linii środkowej (zmniejszanie przemieszczeń poprzecznych), co w przypadku tramwajów z niekonwencjonalnymi wózkami jest podstawowym problemem zaobserwowanym w wynikach symulacji przedstawionych w rozdziale 4. W strategii sterowania poprawiającej jazdę wzdłuż linii środkowej toru najbardziej pożądanym sygnałem wejściowym do regulatora byłoby przemieszczenie poprzeczne zestawu kołowego względem toru, ale bezpośredni pomiar takiej wielkości jest niemożliwy, lub wymagający złożonego układu. Dlatego proponuje się alternatywę w postaci upodobnienia zestawu niekonwencjonalnego do klasycznego ze stałą osią. Powodem takiego postępowania jest to, że wózki z zestawami klasycznymi posiadają cechę centrowania się na

102

torze po wyjściu z krzywej. Sterowaniem można narzucić warunek, który będzie imitował połączenie dwóch kół stałą osią, tj. zadać cel sterowania, w którym różnica prędkości obrotowych na krzywej jest równa zero.

𝜔_1𝑟− 𝜔_1𝑙= 0 (5.1)

𝜔_1𝑟,𝑙 – prędkość obrotowa koła prawego (lewego) zestawu kołowego, zaznaczona na rys. 5.6:

Rys. 5.6. Zestaw kołowy typu IRW podlegający sterowaniu

Sterowanie typu DIRW polega więc na przyłożeniu momentów obrotowych do prawego i lewego koła:

M_1r = K_1rω_1r (5.2)

M_1l = K_1lω_1l

Wg (Mei T. X, Goodall R. M., 2001) dodanie tych wyrażeń do ogólnych równań ruchu rozpatrywanego wózka przesuwa część rzeczywistą wartości własnych układu do wartości ujemnych, co w badaniu stabilności liniowych układów ciągłych wg kryterium biegunów oznacza stabilność układu.

Zatem jeżeli rozważamy równanie ruchu pojazdu w postaci liniowego układu równań różniczkowych zwyczajnych, to można skłaniać się do zastosowania sterowania modalnego.

Regulatory opierające się na tym sterowaniu zostały opisane między innymi w (Mei T. X., Goodall R. M., 2000) na przykładzie wózków konwencjonalnych. Autorzy twierdzą, że sterowanie modalne umożliwia bardziej szczegółową analizę zachowania się układu, a także bardziej rygorystyczne zaprojektowanie regulatora. Porównują oni sterowanie modalne np. do sterowania optymalnego, które zostało opisane również na przykładzie wózka konwencjonalnego i z zestawami IRW w (Mei T. X., Goodall R. M., 1999). W obu artykułach badacze skupiają się na implementacji sterowania ASW (Actuated Solid-Axle Wheelset), które kontroluje kąt nabiegania zestawu kołowego. Jako zmienne użyte w funkcji kosztu w sterowaniu optymalnym wybrane są dla zestawów konwencjonalnych wózkach ich

103

przemieszczenia poprzeczne i kąty nabiegania. Za (Mei T. X., Goodall R. M., 1999) funkcja kosztów może być wyrażona następująco:

𝐽 = ∫(𝑦^𝑇𝑄𝑦 + 𝑢^𝑇𝑅𝑢)𝑑𝑡 (5.3)

gdzie 𝑦 = [𝑦₁ 𝜓₁ 𝑦₂ 𝜓₂], natomiast 𝑦₁, 𝑦₂ – przemieszczenia poprzeczne pierwszego i drugiego zestawu: 𝜓₁, 𝜓₂ – kąty nabiegania pierwszego i drugiego zestawu.

Jest to kwadratowa funkcja kosztu dla regulatora LQR (liniowo-kwadratowego, z ang.

linear quadratic regulator). Parametrami tej funkcji są wagi Q i R, które trzeba dobrać tak, aby działanie regulatora nie kolidowało z naturalnymi pożądanymi cechami zestawu konwencjonalnego. Autorzy Mei i Goodall zakładają stałą wartość R, natomiast wagę Q dopasowują w zależności od odpowiedzi układu otrzymanego w symulacjach. Kluczem do udanego sterowania jest rozważne dobranie wag Q i R, tak aby były odporne na niepewności w układzie pochodzące od toru. Trudnością jest znajomość wektora stanu y jako sygnału wejściowego.

Inna metoda sterowania prezentowana jest we wspomnianym już artykule (Mei T. X., Goodall R. M., 2000) i służy ona do ustateczniania jazdy pojazdu kolejowego. Warto nakreślić główną ideę sterowania modalnego na ogólnym przykładzie zamieszczonym w (Pietrucha J., Szewczyk Z., 1976) przekładając go na równania ruchu pojazdu. Można je opisać następująco:

𝑞̇(𝑡) = 𝑎𝑞(𝑡) (5.4)

Rozwiązaniem takiego równania jest

𝑞(𝑡) = 𝑞₀𝑒^𝑎𝑡 (5.5)

Charakterystyka dynamiczna tego układu zależy od parametru 𝑎 i układ jest niestateczny gdy 𝑎 > 0. W celu wyeliminowania tego możliwego scenariusza, wprowadzamy do układu sterowanie liniowe (jak np. momenty obrotowe w sterowaniu typu DIRW):

𝑢(𝑡) = 𝑘𝑞(𝑡) (5.6)

Sterowanie to jest w postaci sprzężenia zwrotnego. Równanie układu zamkniętego ma postać:

𝑞̇(𝑡) = 𝑎𝑞(𝑡) + 𝑏𝑢(𝑡) = (𝑎 + 𝑏𝑘)𝑞(𝑡) (5.7) Zmienia się wtedy postać rozwiązania:

𝑞(𝑡) = 𝑞₀𝑒^{(𝑎+𝑏𝑘)𝑡} (5.8)

Jeżeli chcemy zmienić konkretną charakterystykę dynamiczną układu zamkniętego, to poprzez sterowanie możemy zmieniać wartość 𝑘, a co za tym stoi – możemy narzucić np. warunek stateczności, tak żeby 𝑎 + 𝑏𝑘 przyjęło daną wartość 𝑠.

104

W wózku kolejowym występują znaczne nieliniowości między innymi związane z kontaktem obrzeża koła z szyną, jednak w przypadku sterowania, którego celem jest unikanie tego zdarzenia, możemy zastosować model liniowy. Wówczas zestaw kołowy będzie toczył się po liniowej stożkowej części powierzchni tocznej koła.

W celu przeprowadzenie analizy wpływu sterowania na zachowanie się dynamiczne modelu tramwaju z wózkami o w pełni niezależnych kołach wydaje się, że najbardziej celowym byłoby zastosowanie metody sterowania modalnego z regulatorem PID, co zostało opisane dla typu proporcjonalno – różniczkującego regulatora w (Taha H.,. Abdelaziz S., 2015) dla przypadków układów zmiennych w czasie (Linear Time-Varying Systems) i tych, w których macierze B i A nie są zależne od czasu:

𝑞̇(𝑡) = 𝐴𝑞(𝑡) + 𝐵𝑢(𝑡) (5.9)

gdzie q(t) to wektor zmiennych stanu, u(t) to wektor sterowania. Metoda ta polega na tym, że wartości własne układu umieszczamy w pożądanych miejscach za pomocą regulatora PID (w przypadku autorów pracy regulatora PD). Wówczas zamknięcie pętli sterowania realizowane jest następującym wyrażeniem na u(t):

𝑢(𝑡) = 𝐾_𝑝𝑞(𝑡) + 𝐾_𝐷𝑞̇(𝑡) (5.10)

i zamknięty układ można wyrazić jako:

𝑞̇(𝑡) = (𝐼_𝑛− 𝑏𝐾_𝐷)⁻¹(𝐴 + 𝑏𝐾_𝑃)𝑞(𝑡) (5.11) Wartości własne tego układu odpowiadają żądanym wartościom poprzez odpowiednio dostrojone wartości wzmocnień KP i K_D.

Autorce wydaje się, że zastosowanie tak zaawansowanej metody sterowania przekraczałoby zakres tej pracy, dlatego też w dalszych rozważaniach przyjęła uproszczoną postać metody sterowania sprowadzającą się do użycia samego regulatora PID (w szczególności członu proporcjonalnego i całkującego). Skoncentrowano się na doborze nastawy regulatora w trakcie jazdy wózka tramwaju po łuku z różnymi prędkościami.