wiele zadań, z których każde jednym, właściwym dla niego, sposobem.
6. Rozwiązania metodami nietypowymi, opisowymi, wymagają od ucznia napisania wielu komentarzy. Uczniowie przychodzący do gimnazjum ze szkoły podstawowej często są przyzwyczajeni tylko do zapisywania wykonywanych obliczeń, bez słowa wyjaśnienia.
Wprowadzono nawet specjalną symbolikę pozwalającą usunąć komentarz słowny z tek-stu matematycznego. Na przykład pionowa kreska na prawo od równania algebraicznego, po której jest napisane na przykład +2x, oznacza: „do obu stron równania dodajemy 2x”. W rozwiązaniach niealgebraicznych często taki komentarz jest niezbędny i ucznio-wie na początku nie ucznio-wiedzą, jak go zapisać. Pamiętam zdumienie mojego ucznia, który z niedowierzaniem dopytywał: czy ja to wszystko mam zapisać słowami? To, że w roz-wiązaniu zadania matematycznego będą nie tylko obliczenia, ale także opis słowny tego, co uczeń robi, nie mieści mu się w głowie. A przecież niedługo taki słowny zapis rozwią-zania będzie konieczny; na przykład wtedy, gdy ten uczeń zacznie rozwiązywać zadania geometryczne na dowodzenie. Chcę uczyć, jak zapisuje się przeprowadzone rozumowanie.
Zaczynam już w gimnazjum, zdając sobie sprawę z tego, że będzie to trwać bardzo długo.
Ale nie chciałbym, by moi uczniowie, tak jak nawet niektórzy moi magistranci, nie umieli napisać poprawnie po polsku tego, co właśnie udowodnili.
6. Algebra
W tym rozdziale chcę zająć się wyrażeniami algebraicznymi. Algebra — jak się powszech-nie uważa — to nauka o równaniach. Oczywiście powszech-nie można temu zaprzeczyć. Równania są na pewno centralnym punktem algebry i one stanowią motywację dla wszystkiego, co później algebrą było nazywane. Ale należy pamiętać również o tym, że algebra to także pewien sposób patrzenia na matematykę, sposób, w którym odrywamy się od konkret-nych liczb i rozumowania dotyczące liczb zastępujemy rozważaniami ogólnymi. Wprowa-dzamy litery oznaczające liczby, a później zajmujemy się strukturami, które wywodzą się od struktur liczbowych.
W tym rozdziale w zasadzie nie będę zajmował się równaniami. O równaniach pierwszego stopnia pisałem w rozdziale o zadaniach tekstowych. Tam też wspomniałem o układach równań. Tu dodam tylko, że w zasadzie wszystko, czego uczę o równaniach, można znaleźć w dowolnym podręczniku gimnazjalnym. Tu natomiast chcę zająć się wyrażeniami alge-braicznymi. Chcę rozszerzyć to, co pisałem w rozdziale o zadaniach tekstowych: pokażę więcej przykładów tworzenia wyrażeń i opisywania za ich pomocą zależności matema-tycznych. Chcę wspomnieć o tym, w jaki sposób uczę czynności rutynowych: działań na wyrażeniach. W szczególności chcę podkreślić, że uważam za ważne uczenie rozkładania wyrażeń na czynniki. Wiele miejsca poświęcę wzorom skróconego mnożenia i zastosowa-niom tych wzorów. Rozdział ten zakończę omówieniem chyba najważniejszego zastoso-wania: użycia wzorów skróconego mnożenia do dowodzenia nierówności.
Tworzenie wzorów
Pokazywałem już, w jaki sposób za pomocą wyrażeń algebraicznych opisuję przebieg rozwiązania (bezpośredniego, bez równań) zadania tekstowego, a także w jaki sposób układamy równania do zadań z danymi w postaci ogólnej i jak takie równania rozwią-zujemy — otrzymując w efekcie wzór ogólny na rozwiązanie. Teraz chcę pokazać kilka zadań prostszych, które na ogół rozwiązuję z uczniami wcześniej. Pierwsze dotyczy tzw.
ułamków prostych.
Ułamek prosty to ułamek o liczniku równym 1. Takie ułamki były używane w starożyt-nym Egipcie; stąd często nazywamy je ułamkami egipskimi. Egipcjanie zapisywali inne ułamki w postaci sum ułamków prostych o różnych mianownikach. Tego dotyczy nasze pierwsze zadanie.
1. Liczbę 132 przedstaw w postaci sumy ułamków o liczniku 1 i różnych mianownikach.
Rozwiązanie można znaleźć dość łatwo:
2 13= 1
7 + 1 91.
Jednak wielu uczniów tego rozkładu nie znajduje. Zadanie daję uczniom na samym po-czątku roku szkolnego, zazwyczaj w pierwszym zestawie zadań domowych. Uczniowie nie widzą żadnej metody, w szkole podstawowej nie rozwiązywano z nimi żadnego zadania podobnego typu. Nieliczni uczniowie decydują się na zgadywanie, tzn. na metodę prób i błędów. Ale dla wielu uczniów ten sposób myślenia jest nie do przyjęcia.
Kiedyś jedna z moich uczennic (zresztą bardzo dobra uczennica, w II klasie była finalistką OMG) zapytała mnie wprost, dlaczego ja namawiam uczniów do zgadywania. Przecież w szkole podstawowej uczono ją, że zgadywanie nie jest metodą rozwiązywania zadań matematycznych. W zadaniu do rozwiązania należy dojść poprzez obliczenia (lub rozu-mowania) prowadzące od danych do wyniku: od tego, co na początku rozwiązania jest
zapisane jako „dane” do tego, co jest zapisane jako „szukane”. A rozwiązania odgadnięte nie były uznawane.
Matematyka, w odróżnieniu od rutynowych rachunków, polega przede wszystkim na od-gadnięciach i tego właśnie musimy naszych uczniów nauczyć. Jeśli rozwiązanie nie wy-maga żadnego odgadnięcia, to znaczy, że nie wywy-magało od ucznia myślenia. Polegało tylko na przypomnieniu sobie, jak takie zadanie było rozwiązane w klasie i powtórzeniu ciągu czynności już raz wykonanych. Jeśli rozwiązanie ma w jakimkolwiek momencie od-biegać od wyuczonego schematu, to znaczy, że uczeń musi wymyślić (a nazywając rzecz po imieniu: odgadnąć), co, w którym miejscu i jak należy zmienić. Odgadnięcie jest naj-ważniejszym elementem rozumowania matematycznego. W tym zadaniu uczymy bardzo prostych odgadnięć.
Większość uczniów, jak wspomniałem, nie potrafi rozwiązać tego zadania. Wtedy, nie pokazując rozwiązania znalezionego przez tych nielicznych pozostałych, daję uczniom wskazówkę: spróbujcie rozwiązać najpierw kilka prostszych zadań:
2. Spróbuj odgadnąć, jak liczby 23, 25, 27, 29, 112 można przedstawić w postaci sumy ułamków o liczniku 1 i różnych mianownikach. Zobacz, czy widzisz jakąś wspólną regułę i zastosuj ją do kilku następnych ułamków tej postaci.
Teraz już wielu uczniów znajduje rozwiązanie:
2 i tak dalej. Teraz już widzą, że
2
Pierwsze przykłady były odgadnięte, następne są wynikiem rozumowania opartego na wynikach odgadnięć. Niektórzy uczniowie mają trudności wynikające z innego odgadnię-cia. Na przykład mamy dwa różne rozkłady
2 Ten drugi rozkład powstał z rozkładu
2 3 =1
2 +1 6
przez podzielenie obu stron przez 3. To oczywiście utrudnia znalezienie rozwiązania ogól-nego, ale wielu uczniów radzi sobie nawet z takimi trudnościami.
W pierwszych tygodniach nauki na tym poprzestaję. Wracam do tego zadania, gdy zaczy-namy zajmować się wyrażeniami algebraicznymi. Wtedy zapisujemy rozwiązanie ogólne na przykład w postaci
Interesujące są wyniki klasówki. Często daję zadanie:
3. Liczbę 133 przedstaw w postaci sumy trzech ułamków o liczniku 1 i różnych mia-nownikach.
Chyba najprostsze rozwiązanie polega na skorzystaniu ze znanego rozwiązania poprzed-niego zadania:
Zdumiewające jest, jak wielu uczniów tego rozwiązania nie znajduje.
Uczniowie często pytają mnie, czy każdy ułamek daje się w ten sposób przedstawić.
Mówię im, że tak i nawet pokazuję metodę (czasami nazywaną algorytmem Fibonacciego) dobrą dla ułamków właściwych: od danego ułamka odejmij największy ułamek prosty mniejszy od niego, potem od różnicy odejmij największy ułamek prosty mniejszy od niej i tak dalej. To działa, chociaż oczywiście nie dowodzę tego w klasie.
Tu jednak pokażę dowód. Weźmy ułamek nieskracalny ab taki, że 1 < a < b. Podzielmy b przez a z resztą: b = am + r, gdzie 0 < r < a. Niech następnie n = m + 1. Mamy
Ponieważ 0 < r < a, więc 0 < a − r < a. Zatem licznik otrzymanego ułamka jest mniejszy od licznika naszego danego ułamka. Po pierwszym odjęciu zmniejszył się licznik, po następnym zmniejszy się jeszcze bardziej i tak dalej. Możemy wykonać tylko skończenie wiele takich odejmowań i w końcu dostaniemy ułamek prosty.
Warto zobaczyć na kilku przykładach, jak ten algorytm działa:
3 Ale czasem odejmowanie kończy się szybciej:
3
Inne zadanie związane z zapisywaniem wzorów także polega na odgadnięciu. Oto ono:
4. Liczby znajdujące się w prawej kolumnie są wartościami pewnego wyrażenia