Sposób II. Rozpatrujemy trzy przypadki w zależności od tego, jaką resztę przy dzieleniu przez 5 daje liczba n
21. Wykonaj mnożenie wielomianów:
Teraz wystarczy pomnożyć obie strony przez an i uprościć ułamek po prawej stronie.
Można zadać pytanie, która metoda wyprowadzenia tych wzorów jest lepsza. Czy zaob-serwować wzory na różnicę potęg i wyprowadzić z nich wzór
1 + b + b2+ . . . + bn−2+ bn−1+ bn=1 − bn+1 1 − b ,
czy odwrotnie — najpierw wyprowadzić ten ostatni wzór i z niego wzór na różnicę po-tęg. Zdecydowanie opowiadam się za sposobem pierwszym. Uczę stawiania hipotez: do-strzegania prawidłowości i formułowania ich w postaci wniosku ogólnego. Drugi sposób wyprowadzenia kiedyś pokażę (albo zrobi to ktoś inny w liceum). Nie stracimy tego, zyskamy za to pewną rzadko ćwiczoną umiejętność rozumowania.
Jednym z zadań, które daję uczniom, jest zadanie polegające na wyprowadzeniu innych wzorów skróconego mnożenia, np. wzoru na kwadrat sumy wielu składników:
21. Wykonaj mnożenie wielomianów:
a) (a + b + c)2,
b) (a + b + c)(a + b − c), c) (a + b − c)(a − b + c),
d) (a + b − c)(a − b + c)(−a + b + c),
e) (a + b + c)(a + b − c)(a − b + c)(−a + b + c), f) (a + b + c)3,
g) (a + b + c + d)2, h) (a + b + c + d)3.
Te wzory są podstawą do ciekawego ćwiczenia. Popatrzmy na pierwszy wzór: mamy obliczyć iloczyn
(a + b + c)2= (a + b + c) · (a + b + c).
Znamy regułę mnożenia: każdy wyraz przez każdy. Spróbujmy teraz wyobrazić sobie, jak wygląda iloczyn. Będą w nim kwadraty: a2, b2 i c2. Kwadrat a2 powstaje przez pomnożenie a z pierwszego czynnika przez a z drugiego czynnika; podobnie inne kwadraty.
A jak powstaje iloczyn ab? Są dwa sposoby: a z pierwszego czynnika i b z drugiego lub na odwrót. W iloczynie mamy zatem trzy kwadraty i 6 iloczynów: dwa ab, dwa ac i dwa bc. Razem 9 składników, czyli tyle, ile miało być: 3 · 3 = 9. A więc, bez wykonywania obliczeń na papierze czy na tablicy, widzimy wynik: a2+ b2+ c2+ 2ab + 2ac + 2bc.
Takie ćwiczenie można przeprowadzić dla kwadratu czterech składników; uczniowie do-strzegają regułę ogólną. Kwadrat sumy jest równy sumie kwadratów składników plus suma wszystkich podwojonych iloczynów. Możemy oczywiście drążyć temat dalej i za-stanawiać się z uczniami, ile jest tych podwojonych iloczynów. W ten sposób zbliżamy się do kombinatoryki; potrzeba zastanawiania się nad takimi pytaniami staje się widoczna.
O tym, jak uczę kombinatoryki, piszę w innym rozdziale.
Wreszcie, podobne rozumowanie można z uczniami przeprowadzić dla sześcianu sumy trzech liczb. Tu problemy będą większe: trzeba na przykład obliczyć, ile razy wystąpi
składnik abc. Ale wielu uczniów potrafi całe rozumowanie przeprowadzić poprawnie. Za-chęcam do takich zadań; ćwiczenie czegoś, co można nazwać wyobraźnią formalną, alge-braiczną, również jest ważną umiejętnością matematyczną.
Proszę uczniów o obliczenie kwadratów prostych wyrażeń liniowych, na przykład:
(2x − 3)2= 4x2− 12x + 9.
Główny cel takich zadań to rozwinięcie umiejętności wykonywania czynności odwrot-nej: zwijania trójmianów do kwadratu. Takie zadania też daję moim uczniom. Podobne umiejętności ćwiczę na wyrażeniach zawierających pierwiastki; daję zadania polegające na podniesieniu do kwadratu
(5 − 3√
2)2= 25 − 30√
2 + 18 = 43 − 30√ 2,
a także na rozpoznaniu kwadratu. Przykładem może być rozpoznanie, że liczba 3 + 2√ 2
Takie zadania zdarzały się na zawodach matematycznych. Zadanie polegające na wyka-zaniu, że liczba
jest naturalna, może być rozwiązane dwoma sposobami. Jeden polega na podniesieniu jej do kwadratu:
Ponieważ liczba x jest dodatnia, więc x = 6. Drugi sposób polega na zauważeniu, że liczby podpierwiastkowe są kwadratami:
Wzory skróconego mnożenia są wykorzystywane do rozkładania wyrażeń na czynniki.
Tego tematu nie będę tu rozwijał; w prawie każdym zbiorze zadań z algebry znajduje się wiele zadań na ten temat.
Jednym z zastosowań wzorów skróconego mnożenia jest rozwiązywanie równań kwadra-towych. Nie wyprowadzam wzorów ogólnych na pierwiastki ani nie przeprowadzam dys-kusji rozwiązalności w zależności od znaku wyróżnika ∆. Pokazuję na przykładach, jak takie równania można rozwiązać tzw. metodą uzupełniania do kwadratu. Popatrzmy na przykład; rozwiążemy równanie
x2+ 8x + 15 = 0.
Patrzymy na pierwsze dwa składniki: x2+8x. Zauważamy, że są to pierwsze dwa składniki kwadratu
(x + 4)2= x2+ 8x + 16.
Zatem do obu stron równania dodajemy 1:
x2+ 8x + 16 = 1, (x + 4)2= 1.
Teraz mamy dwie możliwości:
x + 4 = 1 lub x + 4 = −1.
Pierwsza możliwość daje x1= −3, druga daje x2 = −5. Zwracam uwagę, że otrzymali-śmy dwa rozwiązania. Pokazuję również przykład, gdy równanie kwadratowe ma jedno rozwiązanie oraz gdy nie ma rozwiązania.
Zauważmy, że uczniowie widzą już dwie metody rozwiązywania prostych równań kwadra-towych. Oprócz metody uzupełniania do kwadratu, znają metodę rozkładu na czynniki.
Rozkład
x2+ 8x + 15 = (x + 3)(x + 5) można łatwo odgadnąć.
Uważam, że również w liceum warto najpierw pokazać metodę uzupełniania do kwadratu, a potem wyprowadzić wzory; uczniowie lepiej rozumieją, skąd się te wzory wzięły.
Pokazuję jeszcze jedno zastosowanie wzorów skróconego mnożenia do rozwiązywania rów-nań; tym razem są to pewne układy równań. A oto zadania:
22. Udowodnij, że (a + b)2− (a − b)2= 4ab oraz, korzystając z tego wzoru, znajdź liczby rzeczywiste a i b takie, że:
a) a + b = 7, ab = 12, b) a + b = 9, ab = 8,
c) a − b = 2, ab = 35, d) a − b = −1, ab = 20.
23. Przedstaw liczby a i b w postaci a = s + t, b = s − t dla odpowiednio dobranej liczby s, a następnie korzystając ze wzoru: (s + t)(s − t) = s2− t2, znajdź liczby rzeczywiste a i b takie, że:
a) a + b = −6, ab = 8, b) a + b = 4, ab = 4,
c) a + b = 6, ab = 10, d) a + b = 2, ab = 2.
24. Przedstaw liczby a i b w postaci a = s + t, b = s − t dla odpowiednio dobranej liczby s, a następnie korzystając ze wzoru: (s+t)2+(s−t)2= 2(s2+t2), znajdź liczby rzeczywiste a i b takie, że:
a) a + b = 7, a2+ b2= 25, b) a + b = 7, a2+ b2= 29, c) a + b = 10, a2+ b2= 68, d) a + b = 10, a2+ b2= 178.
Popatrzmy też na przykładowe rozwiązania. Niech a + b = 7 i ab = 12. Te liczby pod-stawmy do wzoru
(a + b)2− (a − b)2= 4ab.
Mamy
72− (a − b)2= 4 · 12,
skąd dostajemy (a−b)2= 1. Teraz większość uczniów pisze, że a−b = 1 i szybko znajdują jedno rozwiązanie:
a = 4, b = 3.
Należy uświadomić uczniom, że istnieje także druga możliwość: a − b = −1, prowadząca do rozwiązania symetrycznego:
a = 3, b = 4.
Inny sposób rozwiązania polega na zauważeniu, że jeśli a + b = 7, to a można zapisać w postaci a = 3,5 + x dla pewnego x, a b można zapisać w postaci b = 3,5 − x dla tej samej liczby x. Mówiąc inaczej, liczby a i b różnią się od 3,5 o tyle samo: jedna na plus, druga na minus. Mamy wtedy
(3,5 + x) · (3,5 − x) = 12, czyli
(3,5)2− x2= 12.
Teraz dostajemy
x2= (3,5)2− 12 = 0,25.
Zatem x = ±0,5 i stąd dostajemy oba rozwiązania. Wreszcie, jeśli wiemy, że a2+b2= 25, to w tej drugiej metodzie dostaniemy równanie
(3,5 + x)2+ (3,5 − x)2= 25, czyli
2 (3,5)2+ x2 = 25.
Rozwiązując to równanie otrzymamy znów x2 = 0,25 i dostaniemy znane nam już roz-wiązania.
Znajdowanie liczb a i b, jeśli znane są ich suma i iloczyn, pozwala oczywiście rozkładać na czynniki trójmiany kwadratowe, a więc także rozwiązywać równania kwadratowe.
Uczniowie widzą teraz dwie metody rozwiązywania równań kwadratowych i tylko maleńki krok dzieli ich od zauważenia, że znalezienie rozwiązań równania i rozłożenie trójmianu na czynniki to zagadnienia w istocie równoważne.
Dowodzenie nierówności
Ostatnim zastosowaniem wzorów skróconego mnożenia, które pokazuję moim uczniom, jest dowodzenie nierówności. Nierówności występują bardzo często w zadaniach olimpij-skich na każdym poziomie (zarówno w OMG, jak i w OM). Umiejętność dowodzenia nierówności jest wielką sztuką, której poświęcono wiele książek ([Kourliandtchik], [Mitri-nović]) oraz zbiorów zadań (dla gimnazjalistów na przykład [Kubica-Szymczyk]).
Zaczynam od podania podstawowych własności relacji mniejszości w zbiorze liczb
Te własności podaję uczniom bez dowodu; można powiedzieć, że są to aksjomaty nierów-ności. Krótko je omawiam i pokazuję, że niektóre można łatwo uogólnić; na przykład, można udowodnić własności analogiczne do 5) i 6) dla wyższych potęg. Teraz przystę-pujemy do dowodzenia nierówności. Zaczynam od porównywania liczb zapisanych za pomocą pierwiastków. Popatrzmy na kilka przykładów.