Udowodnij, że trójkąt ABC na rysunku 9.15 jest równoramienny (AC = BC)

A

B C

Rys. 9.15

Z tego ostatniego zadania wynika, że dwa trójkąty prostokątne na rysunku 9.16 (trójkąt ACE o przyprostokątnych CE i AE długości 8 i 1 oraz trójkąt BCD o przyprostokątnych CD i BD długości 7 i 4) mają przeciwprostokątne tej samej długości. Z twierdzenia Pitagorasa rzeczywiście dostaniemy taki wniosek:

8²+ 1²= 64 + 1 = 65 = 49 + 16 = 7²+ 4².

A

B

C D

E Rys. 9.16

To zadanie ilustruje ciekawą własność niektórych liczb naturalnych; mianowicie mają one dwa różne rozkłady na sumę dwóch kwadratów. Jak widzieliśmy wyżej, tę własność ma na przykład liczba 65. Oto kilka innych przykładów takich liczb:

50 = 7²+ 1²= 5²+ 5², 85 = 9²+ 2²= 7²+ 6², 125 = 11²+ 2²= 10²+ 5². Proponuję jako ćwiczenie zrobienie odpowiednich rysunków na papierze w kratkę.

Papier w kratkę świetnie nadaje się do zilustrowania niektórych własności trójkątów.

Popatrzmy na dwa trójkąty z narysowanymi środkowymi na rysunku 9.17.

Rys. 9.17

W każdym trójkącie zaznaczone są punkty kratowe, przez które przechodzą boki i środ-kowe. Widzimy wyraźnie, że trzy środkowe przecinają się w jednym punkcie (środku ciężkości) oraz że ten środek ciężkości dzieli każdą środkową w stosunku 2 : 1. Zwracam uwagę na to, że te rysunki nie wymagają mierzenia odcinków oraz że nie musimy jakoś specjalnie uzasadniać, iż środkowe rzeczywiście przecinają się w jednym punkcie. Jest to po prostu widoczne na rysunku; mamy pewność, że odpowiednie odcinki przechodzą przez zaznaczone punkty kratowe.

Rysunek 9.18 ilustruje znane twierdzenie Eulera, mówiące, że środek okręgu opisanego, środek ciężkości i ortocentrum trójkąta leżą na jednej prostej (tzw. prostej Eulera):

A

B C

O

S

H

Rys. 9.18

Punkt O jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie ABC, punkt S jest środkiem cięż-kości, a punkt H jest ortocentrum tego trójkąta. Widzimy, że te trzy punkty leżą na jednej prostej oraz że HS : SO = 2 : 1.

Zliczając kratki łatwo znajdujemy współrzędne punktów. Przyjmijmy, że punkt A leży w początku układu współrzędnych oraz że oś Ox jest położona poziomo. Mamy wtedy następujące współrzędne punktów:

A = (0, 0), B = (48, 24), C = (18, 54), O = (18, 24), S = (22, 26), H = (30, 30).

Korzystając z ostatnich rysunków, możemy pokazać uczniom, że współrzędne środka cięż-kości otrzymujemy obliczając średnie arytmetyczne współrzędnych trzech wierzchołków.

Takie obserwacje nie stanowią oczywiście dowodu, ale mogą być dobrą podstawą do tego, by podać uczniom te własności trójkątów, zapewniając przy tym, że odpowiednie dowody można przeprowadzić.

Oczywiście podobne doświadczenia można przeprowadzić bez papieru w kratkę, wyko-nując starannie rysunki za pomocą cyrkla i linijki. Pamiętajmy jednak, że na papierze w kratkę rysuje się znacznie łatwiej i mamy pewność, że odpowiednie linie przecięły się w danym punkcie kratowym. Dlatego taki rysunek jak ostatni uczniowie mogą przygo-tować sami, rysując linie nawet od ręki, bez przyrządów. Inny rysunek ilustrujący twier-dzenie Eulera otrzymamy wybierając A = (0, 0), B = (30, 0) oraz C = (12, 36). Wówczas O = (15, 15), S = (14, 12) oraz H = (12, 6).

Wreszcie rysunek 9.19 ilustruje twierdzenie o tzw. okręgu dziewięciu punktów. Rysujemy trójkąt ABC, w którym A = (0, 0), B = (18, 6) oraz C = (8, 16). W tym trójkącie znajdujemy środek okręgu opisanego i ortocentrum. Wówczas następujące punkty leżą na jednym okręgu (którego środkiem jest środek odcinka OH):

• spodki wysokości trójkąta ABC;

• środki boków trójkąta ABC;

• środki odcinków łączących ortocentrum z wierzchołkami trójkąta ABC.

A

B C

O H

Rys. 9.19

Nietrudno zauważyć, że te punkty na rysunku 9.19 leżą na okręgu o promieniu równym 5 kratkom (przypominam tu o trójkącie prostokątnym o bokach 3, 4 i 5 kratek).

Dobrym wprowadzeniem do wektorów są następujące wyścigi samochodowe. Mamy tor wyścigowy z zaznaczoną linią startu i mety: na niej zaznaczone są trzy punkty. Wyścig rozpoczyna się w dowolnym z tych trzech punktów. Zawodnik wykonuje pierwszy ruch do

jednego z sąsiednich punktów kratowych. Reguła wykonywania następnych ruchów jest następująca; przypuśćmy, że w poprzednim ruchu pojechaliśmy z punktu A do punktu B.

Przedłużamy poprzedni ruch AB, zaznaczamy otrzymany koniec odcinka (punkt C) i mo-żemy poruszyć się do zaznaczonego punktu lub do jednego z ośmiu sąsiadujących z nim punktów kratowych (rys. 9.20).

Rys. 9.20

W języku wektorów: jeśli −−→AB = [a, b], to następny ruch jest jednym z następujących 9 wektorów [a + i, b + j], gdzie i, j ∈ {−1, 0, 1}. Inaczej mówiąc, następny ruch jest jednym z 9 wektorów:

[a − 1, b − 1], [a − 1, b], [a − 1, b + 1], [a, b − 1], [a, b], [a, b + 1], [a + 1, b − 1], [a + 1, b], [a + 1, b + 1].

Wyścig kończy się na trasie startu; samochód musi zatrzymać się na tej linii (tzn. na-stępny ruch zgodny z regułami może być ruchem w miejscu, czyli wektorem zerowym).

Oczywiście, jeśli zawodnik wypadnie z trasy, to przegrywa. Teraz każdy zawodnik wyko-nuje swoje ruchy na torze niezależnie od innych zawodników; wygrywa ten, kto przejedzie trasę w najmniejszej liczbie ruchów.

Zauważmy, że reguła ruchów powoduje, że samochodu bardzo mocno rozpędzonego nie da się szybko zatrzymać. Nie da się także gwałtownie zmienić kierunku jazdy. Przed każdym zakrętem należy odpowiednio wcześnie zacząć wytracać prędkość, by nie wypaść z trasy.

Po przejechaniu trasy każdy zawodnik musi zapisać wszystkie swoje ruchy za pomocą współrzędnych wektorów. Pokazuję również zawodnikom przykładowe ruchy, informując ich, że nie jest to trasa optymalna i zachęcając do uzyskania lepszego wyniku.

Zapis ruchu za pomocą wektorów jest bardzo naturalny: pokazuje, o ile kratek w prawo (lub w lewo w zależności od znaku) oraz do góry (lub w dół) przemieści się samochód.

A oto trasa wyścigu (rys. 9.21).

Rys. 9.21

Na rysunku 9.22 widzimy przykładową drogę samochodu.

Rys. 9.22

Po wprowadzeniu wektorów można zadać uczniom pytanie o współrzędne wektora pro-stopadłego do danego wektora. Istnieją dwa wektory prostopadłe tej samej długości. Na przykład, dla wektora [5, 3] będą to wektory [−3, 5] oraz [3, −5] (rys. 9.23).

Rys. 9.23

Ogólnie, dla wektora [a, b] mamy dwa wektory prostopadłe tej samej długości:

[−b, a] oraz [b, −a].

Wektor [−b, a] otrzymujemy z wektora [a, b] przez obrót o kąt 90^◦w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara, zaś wektor [b, −a] otrzymujemy przez obrót w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara.

Następne zadania dotyczą obliczania pól trójkątów o wierzchołkach w punktach krato-wych. Umiemy łatwo obliczyć pole prostokąta, którego boki zawierają się w prostych tworzących kratki. Umiemy również obliczyć pole trójkąta prostokątnego, którego przy-prostokątne zawierają się w prostych tworzących kratki. Trochę ogólniej: umiemy łatwo obliczyć pole trójkąta, którego jeden bok zawiera się w prostej poziomej lub pionowej.

Nietrudne jest też obliczenie pola trapezu, którego podstawy zawierają się w dwóch prostych poziomych lub dwóch prostych pionowych. Obliczenie pola dowolnego trójkąta o wierzchołkach w punktach kratowych można sprowadzić do obliczenia pól takich figur.