w lewej kolumnie). Nietrudno zauważyć, że wyrażeniem algebraicznym opisującym
liczby w prawej kolumnie może być n2+ 1 (nie jest to jedyne takie wyrażenie!).
Spróbuj znaleźć wyrażenie algebraiczne opisujące liczby w prawej kolumnie tabelki 2:
tabelka 1
1 2
2 5
3 10
4 17
5 26
6 37
7 50
8 65
9 82
tabelka 2
1 0
2 1
3 3
4 6
5 10
6 15
7 21
8 28
9 36
Czynności rutynowe
Po nauce zapisywania i odgadywania wzorów przystępujemy do działań na wyrażeniach algebraicznych. Tu ograniczę się tylko do kilku uwag. Zestawy zadań algebraicznych zo-staną dołączone do poradnika w postaci pliku w formacie pdf; kilka przykładowych zadań podaję dalej.
Wielu uczniom pomaga zapisywanie sum algebraicznych rzeczywiście w postaci sumy; na przykład, zamiast
5ab − 3a2c − 2abc + 4bc − 3bc2 piszą
5ab + (−3)a2c + (−2)abc + 4bc + (−3)bc2.
Przy odejmowaniu sum algebraicznych najpierw zmieniamy znaki wewnątrz nawiasów, a potem dodajemy:
(a + b − 2c) − (3a + b − 4c) = a + b + (−2)c
− 3a + b + (−4)c =
= a + b + (−2)c + (−3)a + (−1)b + 4c =
= a + b + (−2)c + (−3)a + (−1)b + 4c =
= a + b − 2c − 3a − b + 4c =
= −2a + 2c.
Podobną sztuczkę stosuję przy mnożeniu przez jednomiany. Zamiast a(2a + b) − b(3a − 2ab + b) + b(ab − b2) − ab(ab − a2) piszemy
a(2a + b) + (−b) 3a + (−2)ab + b + b ab + (−1)b2 + (−ab) ab + (−1)a2 . Potem mnożymy każdą sumę w nawiasach przez odpowiedni jednomian i otrzymane wielomiany dodajemy. To zmniejsza początkowo liczbę błędów przy działaniach na wie-lomianach (sumach algebraicznych). Wreszcie uczniowie dostają ode mnie kilka dużych zestawów zadań na mnożenie wielomianów. Zaczynamy od mnożenia, po którym nie na-stępuje redukcja wyrazów podobnych. W takich przykładach można łatwo prześledzić
kolejność działań i sprawdzić, czy nie ma błędów. Przy okazji za każdym razem zastana-wiamy się, ile składników ma mieć iloczyn; to się bardzo przyda później. Potem uczniowie mnożą takie sumy, w których wystąpi redukcja wyrazów podobnych. Wreszcie ostatnie przykłady to mnożenie wielomianów wyższych stopni (na przykład 4, 5 lub 6) z jedną zmienną. Uczniowie dość szybko nabierają wprawy i po kilku tygodniach na klasówce (na której daję około 10 mnożeń, w tym kilka przykładów mnożenia wielomianów stopni 3, 4 lub 5), bezbłędnie rozwiązują prawie wszystkie przykłady (zdecydowana większość klasy robi nie więcej niż 1 błąd). Wtedy przechodzimy do rozkładania na czynniki.
W tym miejscu chcę napisać parę uwag na temat biegłości rachunkowej. Uważam ją za bardzo ważny element wykształcenia matematycznego. W przyszłości nasi uczniowie będą musieli umieć przeprowadzić nawet bardzo długie obliczenia. Jeszcze w trakcie przy-gotowania do Olimpiady Matematycznej w liceum namawiam uczniów do nauczenia się geometrii analitycznej tak, by mogli dowodzić twierdzenia metodą analityczną (wpro-wadzenie do takich metod zamieszczam w rozdziale o funkcjach). Rozwiązanie zadania geometrycznego metodą analityczną nierzadko zajmuje kilka stron; są to obliczenia nie na konkretnych liczbach, ale na wyrażeniach algebraicznych. Mianowicie, współrzędne punktów na ogół nie są konkretnymi liczbami, ale mają postać ogólną, np. (a, b). Obli-czenia te muszą być przeprowadzone bezbłędnie; na ogół nie widać źródeł ewentualnych błędów i rozwiązanie błędne trudno poprawić. Na studiach takich obliczeń jest więcej, zwłaszcza na studiach technicznych (warto tu sobie przypomnieć szukanie ekstremów za pomocą mnożników Lagrange’a).
Daję moim uczniom w I klasie kilkanaście zadań rachunkowych (nazywam je „tasiem-cami”); przykładowym takim zadaniem jest:
6. Oblicz:
Takie zadania biorę ze znakomitego rosyjskiego zbioru zadań [Skanavi]. Wymagania wo-bec uczniów dotyczące rozwiązywania „tasiemców” są proste: uczniowie mają najpierw rozwiązać pierwsze cztery zadania. Jeśli uczeń rozwiąże wszystkie bezbłędnie (spraw-dzam tylko wyniki, prawdopodobieństwo uzyskania poprawnego wyniku mimo błędów rachunkowych jest bliskie zeru), to ma temat zaliczony. W przeciwnym przypadku za każde zadanie rozwiązane błędnie rozwiązuje dwa następne. Uczniowie bardzo szybko rozumieją, że naprawdę opłaca się niezwykle dokładnie sprawdzić wszystkie obliczenia. Zresztą do-radzam im, jak rozwiązywać takie zadania: wykonywać kolejne działania oddzielnie, nie przepisując całego wyrażenia. Bardzo wiele błędów bierze się bowiem z niepotrzebnego przepisywania. Kolejne obliczenia mogą więc wyglądać następująco:
1
0,25 −1
Zauważmy, że wszystkie liczby w tych obliczeniach zostały zamienione na ułamki zwy-kłe, czasem niewłaściwe. To polecam moim uczniom: obliczenia wykonujcie na ułamkach zwykłych, nie przejmując się tym, że niektóre będą niewłaściwe. Wymuszana przez wielu nauczycieli zamiana ułamków zwykłych na liczby mieszane jest wielokrotnie przyczyną różnych błędów rachunkowych. Zamiana na ułamki dziesiętne prowadzi natomiast do obliczeń przybliżonych. Ale powróćmy do zasadniczego tematu. Uczniowie rozwiązują
„tasiemce” do skutku (najczęściej pierwsze cztery z jednym lub dwoma błędami; w na-stępnej serii znów mają jeden lub dwa błędy, a w trzeciej lub czwartej kolejce błędów już nie ma). Z reguły zestaw 15 tasiemców wystarcza; w zbiorze zadań jest ich zresztą więcej.
W przypadku wyrażeń algebraicznych już nie stosuję tak drastycznych metod, jednak daję uczniom zestawy wielu zadań i sprawdzam wyniki. Robię dwie klasówki: jedną bez mnożenia wyrażeń algebraicznych, drugą — dużo później — poświęconą wyłącznie mnożeniu wyrażeń. Przed każdą klasówką robię również dwie lub trzy kartkówki — tak, by pokazać uczniom, czego mogą się spodziewać na klasówce. Przed każdą klasówką daję również uczniom zestaw przygotowawczy, zawierający zadania podobne do tych, które będą na klasówce. Jak wspomniałem wyżej, wyniki klasówek są już na ogół zadowalające. A teraz obiecanych kilka przykładów zadań. Najpierw działania wstępne, jeszcze bez mnożenia wyrażeń algebraicznych. Załączam przykładowy zestaw przygotowawczy do klasówki.
Wyrażenia algebraiczne — przygotowanie do klasówki 7. Wykonaj mnożenie jednomianów i zapisz wynik w postaci uporządkowanej:
a) (−2a3b2c)3· (−3a2b5c2)2,
b) (−2abbaacbaacbc)4· (−5aabcbccabbacaabcbbc)3. 8. Dokonaj redukcji wyrazów podobnych:
a) 3x3− 5x2+ 2x + 4x3− 5 + 2x − 4x2+ 5x3− 7x − 14 + 3x, b) 3a2b − 5ab2− 3aba + 6aab − 4abba + 12bab − 4baa + 3aabb.