V tir 1=1 Vtsrl/=1
7.5. Równania i schematy zastępcze maszyny indukcyjnej w stanach ustalonych symetrycznych
W stanach sym etrycznych stojan maszyny indukcyjnej zasilany jest z 3-fazowego symetrycznego źródła napięcia sinusoidalnie zmiennego w czasie o pulsacji cos . Fazor przestrzenny napięcia stojana
J(®,-<»*)< jj —j j _p)<PuS (7-91)
U . = V s0e v U s 0 = U s0e
ma stały m oduł niezależny od czasu. W konsekwencji można przyjąć, że w stanach ustalonych symetrycznych:
• fazory przestrzenne prądu i strumieni sprzężonych stojana oznaczone ogólnym symbolem W_s
K s =K sO e K s O = Ws O ^ (7.92)
fazory przestrzenne prądów, napięć i strumieni sprzężonych wirnika pierścieniowego i wirnika klatkowego oznaczone ogólnym symbolem W_’r
K r o = W> j^ - (7‘93)
K r = K ' r O ^ '
fazory przestrzenne prądów i strumieni sprzężonych zastępczych obwodów wirnika klatkowego głębokożłobkowego
ELsO’ — 'o > — riu > ^ r*20 - fazory przestrzenne dowolnych wielkości elektromagnetycznych stojana i wirnika dla chwili czasu t=0.
Podstawiając zależności (7.92) - (7.95) do równań (7.43) i (7.44) po przekształceniach otrzymuje się dla maszyny indukcyjnej pierścieniowej i klatkowej:
cbl o
s-a O
1 O i i o ■ 1 • V. << 1O• 5^ ^11
+ J 0 1 1 ^ 0
o (7.96)
Modele matematyczne maszyn elektrycznych prądu przemiennego. 117
Z s O L a s U s 0 ) L m ( L m o ) L m U m o ) — sO
Układowi rów nań (7.98) można przyporządkować schemat zastępczy przedstawiony na rys. 7.7.
j 0)sL ar (Iro) Rs j 6JsL as(Iso)
A
Rvs. 7.7. Schemat zastępczy maszyny indukcyjnej w stanie ustalonym
Fig. 7.7. Equivalent circuit o f induction machine under steady state conditions
Postępując w podobny sposób, równania (7.45) i (7.46) przyjm ująpostac:
o
118 Jerzy Kudła
W rezultacie otrzymuje się układ równań algebraicznych nieliniowych:
L Ł s O = (RS + j a>sL<B(I s0) ) ls0 + )O>sLm(I m0)( ls0
+ ZrlO + Z r2 o )
® ( ^ r 2 + j sa>s L a r 2 ) / r 20 + ( * r + ) s(>}s L a r ( I rQ ) ) ( / r l 0 + L r 20 )"*“ (^m O ) (^sO + L rlO + - r 2 o ) '
(7.101) Przedstawionemu układowi równań przyporządkować można schemat zastępczy pokazany na rys. 7.8.
Rys. 7.8. Schemat zastępczy maszyny indukcyjnej głębokożłobkowej w stanie ustalonym Fig. 7.8. Equivalent circuit of deep-bar induction machine under steady State conditions
Sformułowane modele matematyczne maszyn indukcyjnych w stanach ustalonych mają strukturę podobną do klasycznych modeli maszyn indukcyjnych. Nasycenie magnetyczne rdzeni stojana i wirnika powoduje jedynie zmianę wartości odpowiednich indukcyjności statycznych.
8. W Y N I K I B A D A N S Y M U L A C Y J N Y C H M A S Z Y N Y IN D U K C Y J N E J
Model matematyczny maszyny indukcyjnej uwzględniający nasycenie magnetyczne rdzeni wykorzystano do badań symulacyjnych typowych stanów nieustalonych oraz stanów ustalonych. Celem badań symulacyjnych było porównanie przebiegów dynamicznych i charakterystyk statycznych silnika wyznaczonych przy uwzględnieniu i pominięciu nasycenia magnetycznego rdzeni. Badania symulacyjne przeprowadzono dla silnika indukcyjnego klatkowego o danych znamionowych:
P„ =3 kW, U sn =220/380 V, / s„ =11,5/6,7 A, cos(cpjn) =0,82, «„=1430 obr/min.
Do obliczeń przyjęto parametry skupione oraz syntetyczne charakterystyki strumieni sprzężonych silnika wyznaczone na podstawie pom iarów stanu jałow ego i zwarcia.
W badaniach symulacyjnych, w których pominięto nasycenie magnetyczne rdzeni, jako parametry stanu nienasyconego przyjęto wartości maksymalne odpowiednich indukcyjności statycznych.
R s =2,0 Q, < = 1 ,6 5 Q , L a =0,01 H, L’ar= 0,01 H, L m =0,281 H, J=0,01 kgm2.
Syntetyczne charakterystyki strumieni sprzężonych pola głównego oraz pola rozproszenia przedstawiono na rys. 8.1.
2.0
[Wb]
1.6 1.2
0.8
0.4
0.0 /
0.5
[Wb]
0.4
0.3
0.2
0.1 0.0 8 12
L [A]
16 20 20 40 60
's [A]
80
Rys. 8.1. Charakterystyki syntetyczne strumieni sprzężonych pola głównego i pola rozproszenia stojana Fig. 8.1. Synthetic characteristics of flux linkages of the main and stator leakage field
Syntetyczne charakterystyki aproksymowano funkcjami:
'f'm ( L ) = Am arctg (Bml m ) + Cml m , (8.1)
^ a s U s ) = 4 t , arctg ( BasI s ) + CasI s (8.2) oraz przyjęto, że
K r ( O = Ą rr arctg ( B ^ r O + C ^ i ; = r c s {Is ) , (8.3) przy czym współczynniki funkcji w ynoszą :
A0s = 0 ,0 9 7 Wb, A , =1,30 Wb, Bœ = 0 ,0 7 1/A, B m =0,226 1/A, Cas =0,0045 Wb/A.
Na rysunkach 8.2 - 8.4 przedstawiono przebiegi wybranych wielkości elektromagne
tycznych i elektrodynamicznych silnika podczas rozruchu. W obliczeniach przyjęto, że silnik załączono do sieci o napięciu znamionowym.
120 Jerzy’ Kudła
Rys. 8.2. Moduł fazora przestrzennego prądu stojana oraz moment elektromagnetyczny podczas rozruchu silnika obliczone przy uwzględnieniu (model nieliniowy) i pominięciu (model liniowy) nasycenia magnetycznego
Fig. 8.2. Stator current space phasor module and electromagnetic torque during motor starting computed when taking into account (nonlinear model) and neglecting (linear model) magnetic saturation
2.5x10“ uwzględnieniu (model nieliniowy) i pominięciu (model liniowy) nasycenia magnetycznego Fig. 8.3. Instantaneous power and reactive instantaneous power of the stator during motor starting
computed when taking into account (nonlinear model) and neglecting (linear model) magnetic saturation
Rys. 8.4. Prędkość kątowa elektryczna wirnika oraz trajektoria momentu elektromagnetycznego w funkcji prędkości elektrycznej wirnika podczas rozruchu silnika obliczone przy uwzględnieniu (model nieliniowy) i pominięciu (model liniowy) nasycenia magnetycznego
Fig. 8.4. Rotor electric angular speed and electromagnetic torque trajectory vs rotor electric speed during motor starting computed when taking into account (nonlinear model) and neglecting (linear model) magnetic saturation
Modele matematyczne maszyn elektrycznych prądu przemiennego.. 121
Na rysunkach 8.5 - 8.6 przedstawiono charakterystyki silnika indukcyjnego w stanie ustalonym zasilanego z sieci o napięciu znamionowym.
Rys. 8.5. Moduł fazora przestrzennego prądu stojana oraz moment elektromagnetyczny w funkcji poślizgu obliczone przy uwzględnieniu (model nieliniowy) i pominięciu (model liniowy) nasycenia magnetycznego
Fig. 8.5. Module of the stator current space phasor and electromagnetic torque vs the slip computed when taking into account (nonlinear model) and neglecting (linear model) magnetic saturation
2.0x104 nieliniowy) i pominięciu (model liniowy) nasycenia magnetycznego
Fig. 8.6. Stator active and reactive power vs the slip computed when taking into account (nonlinear model) and neglecting (linear model) magnetic saturation
W celu określenia wpływu współczynników funkcji aproksymujących syntetyczne charakterystyki strumieni sprzężonych na charakterystyki silnika obliczono wrażliwość mocy czynnej i biernej stojana na zmiany współczynników. W pracy rozpatrzono charakterystyki wrażliwości względnej zdefiniowane w następujący sposób:
(8.4)
Pm,ai ‘ j-ty parametr syntetycznej charakterystyki pola głównego i pola rozproszenia,
- wektory zawierające współczynniki funkcji aproksymujących syntetyczne charakterystyki strumieni sprzężonych pola głównego i pola rozproszenia,
122 Jerzy Kudła
p Q
S ps’^s - wrażliwość względna m ocy czynnej oraz mocy biernej stojana na zmianę /-tego* m ,o i parametru.
Charakterystyki wrażliwości um ożliwiają ocenę względnych zmian parametrów na względne zmiany mocy czynnej i biernej stojana. Na podstawie charakterystyk wrażliwości m ożna ocenić wpływ na charakterystyki maszyny w stanie ustalonym nasycenia magnetycznego rdzeni przez pole główne i pola rozproszenia.
N a rysunku 8.7 przedstawiono charakterystyki wrażliwości m ocy czynnej i biernej na zmianę w spółczynników określających syntetyczną charakterystykę strumienia sprzężonego pola głównego. Na rysunku 8.8 przedstawiono charakterystyki wrażliwości mocy czynnej i biernej na zmianę w spółczynników określających syntetyczną charakterystykę strumienia sprzężonego pola rozproszenia. określających syntetyczną charakterystykę strumienia sprzężonego pola głów nego
Fig. 8.7. Sensitivity o f the stator active and reactive pow er vs the slip to the change o f coefficients determining the synthetic characteristic o f the main flux linkage
0.0 określających syntetyczną charakterystykę strumienia sprzężonego pola rozproszenia
Fig. 8.8. Sensitivity o f the stator active and reactive pow er vs the slip to the change o f coefficients determining the synthetic characteristic o f the leakage flux linkage
Przedstawione wybrane wyniki badań wykazały potrzebę uwzględnienia nasycenia magnetycznego rdzeni w m odelu matematycznym maszyny asynchronicznej. Porównania przebiegów, obliczonych przy uwzględnieniu i pominięciu zjawiska nasycenia w modelu m atem atycznym maszyny, wskazały na istnienie rozbieżności między przebiegami.
Przykładowo, różnice m iędzy wartościam i maksymalnymi m odułu fazora przestrzennego
Modele matematyczne maszyn elektrycznych prądu przemiennego.. 123
prądu stojana w ynoszą około (5-^18)%, a maksymalne różnice między wartościami maksymalnymi momentu elektromagnetycznego wynoszą 30%. Podobne różnice można zaobserwować na charakterystykach silnika w stanie ustalonym. G łów ną przyczyną obserwowanych rozbieżności jest nasycenie rdzeni maszyny przez pole rozproszenia.
Nasycenie magnetyczne rdzeni przez pole magnetyczne główne nie m a istotnego wpływu na wartości maksymalne przebiegów w początkowym okresie procesu rozruchu. Wpływ tego nasycenia zaznacza się przy poślizgach wirnika maszyny zbliżonych do zera. Potw ierdzają te wnioski charakterystyki wrażliwości m ocy czynnej i biernej na zmianę współczynników określających syntetyczną charakterystykę strumienia sprzężonego pola głównego. W pływ nasycenia rdzeni przez pole główne można zaobserwować na przebiegach silnika wyznaczonych przy podwyższonym napięciu zasilania silnika. N a rysunku 8.9 przedstawiono porównanie wyników obliczeń przebiegów silnika podczas rozruchu, wyznaczonych przy znamionowym oraz powiększonym o 50% napięciu zasilania. W prezentowanych wynikach obliczeń pominięto nasycenie rdzeni maszyny przez pole rozproszenia.
100
Rys. 8.9. M oduł fazora przestrzennego prądu stojana oraz moment elektromagnetyczny podczas rozruchu silnika obliczone przy uwzględnieniu (m odel nieliniowy) i pominięciu (m odel liniow y) nasycenia magnetycznego rdzeni przez pole magnetyczne główne
Fig. 8.9. Stator current space phasor module and electromagnetic torque during motor starting computed when taking into account (nonlinear m odel) and neglecting (linear m odel) magnetic saturation o f cores by the main magnetic field
Uwzględnienie nasycenia magnetycznego rdzeni maszyny w obwodowym modelu matematycznym przyczynia się do poprawy dokładności obliczeń stanów nieustalonych i ustalonych maszyny asynchronicznej.