Załóżmy, że raty są spłacane z góry i ostatnia rata ma być
zmniejszona. W takim wypadku ostatnia rata to rata numer N + 1, a ta rata jest płacona w momencie N.
Dlatego jest ona po prostu równa pozostającemu kapitałowi wartości KN:
RN+1 = KN
Raty z góry, ostatnia zmniejszona
Załóżmy, że raty są spłacane z góry i ostatnia rata ma być
zmniejszona. W takim wypadku ostatnia rata to rata numer N + 1, a ta rata jest płacona w momencie N. Dlatego jest ona po prostu równa pozostającemu kapitałowi wartości KN:
RN+1 = KN
Przykład
Zadanie
Załóżmy, że nominalna stopa procentowa wynosi 10% rocznie z kapitalizacją roczną. Na ile rat rocznych z dołu w wysokości 200 jp wystarczy kapitał początkowy uzyskany za pomocą 5 wpłat rocznych z góry w wysokości 150 jp. Ile wynosi ostatnia rata, jeśli będzie ona I.
zwiększona, II. zmniejszona?.
Przez całe zadanie mamy q = 1, 1, OS=OK=OP. Najpierw obliczmy kapitał, z którego mamy rentę wypłacać. W tym wypadku nie mamy do czynienia z rentą, tylko z wpłatami, więc nie używamy równania końca renty:
K = S5 = 150 · 1, 1 · (1, 1)5− 1
1, 1 − 1 = 1007, 3415.
Przykład
Zadanie
Załóżmy, że nominalna stopa procentowa wynosi 10% rocznie z kapitalizacją roczną. Na ile rat rocznych z dołu w wysokości 200 jp wystarczy kapitał początkowy uzyskany za pomocą 5 wpłat rocznych z góry w wysokości 150 jp. Ile wynosi ostatnia rata, jeśli będzie ona I.
zwiększona, II. zmniejszona?.
Przez całe zadanie mamy q = 1, 1, OS=OK=OP. Najpierw obliczmy kapitał, z którego mamy rentę wypłacać.
W tym wypadku nie mamy do czynienia z rentą, tylko z wpłatami, więc nie używamy równania końca renty:
K = S5 = 150 · 1, 1 · (1, 1)5− 1
1, 1 − 1 = 1007, 3415.
Przykład
Zadanie
Załóżmy, że nominalna stopa procentowa wynosi 10% rocznie z kapitalizacją roczną. Na ile rat rocznych z dołu w wysokości 200 jp wystarczy kapitał początkowy uzyskany za pomocą 5 wpłat rocznych z góry w wysokości 150 jp. Ile wynosi ostatnia rata, jeśli będzie ona I.
zwiększona, II. zmniejszona?.
Przez całe zadanie mamy q = 1, 1, OS=OK=OP. Najpierw obliczmy kapitał, z którego mamy rentę wypłacać. W tym wypadku nie mamy do czynienia z rentą, tylko z wpłatami, więc nie używamy równania końca renty:
K = S5 = 150 · 1, 1 · (1, 1)5 − 1
1, 1 − 1 = 1007, 3415.
Przykład
Zadanie
Załóżmy, że nominalna stopa procentowa wynosi 10% rocznie z kapitalizacją roczną. Na ile rat rocznych z dołu w wysokości 200 jp wystarczy kapitał początkowy uzyskany za pomocą 5 wpłat rocznych z góry w wysokości 150 jp.
Teraz rozwiązujemy równanie końca renty:
KqN = SN ⇔
1007, 3415(1, 1)N = 200(1, 1)N− 1 1, 1 − 1 ⇔
⇔ 0, 50367075(1, 1)N = (1, 1)N−1 ⇔ (1, 1)N = 2, 0148 ⇔ N = 7, 3497.
Przykład
Zadanie
Załóżmy, że nominalna stopa procentowa wynosi 10% rocznie z kapitalizacją roczną. Na ile rat rocznych z dołu w wysokości 200 jp wystarczy kapitał początkowy uzyskany za pomocą 5 wpłat rocznych z góry w wysokości 150 jp.
Teraz rozwiązujemy równanie końca renty:
KqN = SN ⇔ 1007, 3415(1, 1)N = 200(1, 1)N− 1 1, 1 − 1
⇔
⇔ 0, 50367075(1, 1)N = (1, 1)N−1 ⇔ (1, 1)N = 2, 0148 ⇔ N = 7, 3497.
Przykład
Zadanie
Załóżmy, że nominalna stopa procentowa wynosi 10% rocznie z kapitalizacją roczną. Na ile rat rocznych z dołu w wysokości 200 jp wystarczy kapitał początkowy uzyskany za pomocą 5 wpłat rocznych z góry w wysokości 150 jp.
Teraz rozwiązujemy równanie końca renty:
KqN = SN ⇔ 1007, 3415(1, 1)N = 200(1, 1)N− 1 1, 1 − 1 ⇔
⇔ 0, 50367075(1, 1)N = (1, 1)N−1 ⇔ (1, 1)N = 2, 0148 ⇔ N = 7, 3497.
Przykład
Zadanie
Załóżmy, że nominalna stopa procentowa wynosi 10% rocznie z kapitalizacją roczną. Na ile rat rocznych z dołu w wysokości 200 jp wystarczy kapitał początkowy uzyskany za pomocą 5 wpłat rocznych z góry w wysokości 150 jp. Ile wynosi ostatnia rata, jeśli będzie ona I.
zwiększona, II. zmniejszona?
Zatem możemy wypłacić 7 rat rocznych w wysokości 200 jp. Ile wtedy zostałoby z wyjściowego kapitału po 7 latach?
K7 = Kq7− S7 = 1007, 3415(1, 1)7 − 200(1, 1)7− 1
1, 1 − 1 = 65, 5894.
Przykład
Zadanie
Załóżmy, że nominalna stopa procentowa wynosi 10% rocznie z kapitalizacją roczną. Na ile rat rocznych z dołu w wysokości 200 jp wystarczy kapitał początkowy uzyskany za pomocą 5 wpłat rocznych z góry w wysokości 150 jp. Ile wynosi ostatnia rata, jeśli będzie ona I.
zwiększona, II. zmniejszona?
Zatem możemy wypłacić 7 rat rocznych w wysokości 200 jp.
Ile wtedy zostałoby z wyjściowego kapitału po 7 latach?
K7 = Kq7− S7 = 1007, 3415(1, 1)7 − 200(1, 1)7− 1
1, 1 − 1 = 65, 5894.
Przykład
Zadanie
Załóżmy, że nominalna stopa procentowa wynosi 10% rocznie z kapitalizacją roczną. Na ile rat rocznych z dołu w wysokości 200 jp wystarczy kapitał początkowy uzyskany za pomocą 5 wpłat rocznych z góry w wysokości 150 jp. Ile wynosi ostatnia rata, jeśli będzie ona I.
zwiększona, II. zmniejszona?
Zatem możemy wypłacić 7 rat rocznych w wysokości 200 jp. Ile wtedy zostałoby z wyjściowego kapitału po 7 latach?
K7 =
Kq7− S7 = 1007, 3415(1, 1)7 − 200(1, 1)7− 1
1, 1 − 1 = 65, 5894.
Przykład
Zadanie
Załóżmy, że nominalna stopa procentowa wynosi 10% rocznie z kapitalizacją roczną. Na ile rat rocznych z dołu w wysokości 200 jp wystarczy kapitał początkowy uzyskany za pomocą 5 wpłat rocznych z góry w wysokości 150 jp. Ile wynosi ostatnia rata, jeśli będzie ona I.
zwiększona, II. zmniejszona?
Zatem możemy wypłacić 7 rat rocznych w wysokości 200 jp. Ile wtedy zostałoby z wyjściowego kapitału po 7 latach?
K7 = Kq7− S7 = 1007, 3415(1, 1)7− 200(1, 1)7− 1
1, 1 − 1 = 65, 5894.
Przykład
Zadanie
Załóżmy, że nominalna stopa procentowa wynosi 10% rocznie z kapitalizacją roczną. Na ile rat rocznych z dołu w wysokości 200 jp wystarczy kapitał początkowy uzyskany za pomocą 5 wpłat rocznych z góry w wysokości 150 jp. Ile wynosi ostatnia rata, jeśli będzie ona I.
zwiększona, II. zmniejszona?
Jeśli ostatnia rata miałaby być zwiększona, to jest to rata numer 7 wypłacana w momencie 7, więc wystarczy zwiększyć ją o K7:
R7 = R + K7 = 265, 5894.
Przykład
Zadanie
Załóżmy, że nominalna stopa procentowa wynosi 10% rocznie z kapitalizacją roczną. Na ile rat rocznych z dołu w wysokości 200 jp wystarczy kapitał początkowy uzyskany za pomocą 5 wpłat rocznych z góry w wysokości 150 jp. Ile wynosi ostatnia rata, jeśli będzie ona I.
zwiększona, II. zmniejszona?
Jeśli ostatnia rata miałaby być zwiększona, to jest to rata numer 7 wypłacana w momencie 7, więc wystarczy zwiększyć ją o K7:
R7 = R + K7 = 265, 5894.
Przykład
Zadanie
Załóżmy, że nominalna stopa procentowa wynosi 10% rocznie z kapitalizacją roczną. Na ile rat rocznych z dołu w wysokości 200 jp wystarczy kapitał początkowy uzyskany za pomocą 5 wpłat rocznych z góry w wysokości 150 jp. Ile wynosi ostatnia rata, jeśli będzie ona I.
zwiększona, II. zmniejszona?
Jeśli ostatnia rata miałaby być zmniejszona, to jest to rata numer 8 wypłacana w momencie 8, więc wystarczy przesunąć K7 o jeden okres kapitalizacji do przodu:
R8 = K7q = 72, 1483.
Odp: Kapitał ten wystarczy na wypłatę 7 rat wysokości 200 jp. Ostatnia rata będzie wysokości I. 265,5894 jp lub II. 72,1483 jp.
Przykład
Zadanie
Załóżmy, że nominalna stopa procentowa wynosi 10% rocznie z kapitalizacją roczną. Na ile rat rocznych z dołu w wysokości 200 jp wystarczy kapitał początkowy uzyskany za pomocą 5 wpłat rocznych z góry w wysokości 150 jp. Ile wynosi ostatnia rata, jeśli będzie ona I.
zwiększona, II. zmniejszona?
Jeśli ostatnia rata miałaby być zmniejszona, to jest to rata numer 8 wypłacana w momencie 8, więc wystarczy przesunąć K7 o jeden okres kapitalizacji do przodu:
R8 = K7q = 72, 1483.
Odp: Kapitał ten wystarczy na wypłatę 7 rat wysokości 200 jp.
Ostatnia rata będzie wysokości I. 265,5894 jp lub II. 72,1483 jp.