5. Strumienie płatności: renty

(1)

5. Strumienie płatności: renty

Grzegorz Kosiorowski

Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie

Matematyka finansowa

(2)

1 Motywacja, oznaczenia, założenia

2 Renta czasowa - wzory

3 Renta wieczysta

4 Renta geometryczna

5 Zakończenie renty czasowej

6 Stopa zwrotu

(3)

Definicja

Rentą często nazywa się dowolny strumień płatności.

Jednak dla nas rentą będzie strumień płatności polegający na

wypłacaniu pewnych sum (rat) z wcześniej uzbieranych środków lub na podstawie umowy.

Prostymi przykładami rent są comiesięczne wypłaty wynagrodzenia, czy emerytury, typowa renta z posiadanego kapitału, dywidendy z posiadania akcji, kupony z tytułu posiadania obligacji.

(4)

Definicja

Rentą często nazywa się dowolny strumień płatności.

Jednak dla nas rentą będzie strumień płatności polegający na

wypłacaniu pewnych sum (rat) z wcześniej uzbieranych środków lub na podstawie umowy.

Prostymi przykładami rent są comiesięczne wypłaty wynagrodzenia, czy emerytury, typowa renta z posiadanego kapitału, dywidendy z posiadania akcji, kupony z tytułu posiadania obligacji.

(5)

Podstawowe oznaczenia

W zadaniach związanych z rentami istotne będą następujące wielkości i oznaczenia:

Stopa procentowa r z podanym okresem kapitalizacji OK i okresem stopy OS. Jak zwykle, zakładamy przy dalszych

wzorach, że OS = OK . Jeśli tak nie jest, zaczynamy zadanie od uzgodnienia stopy za pomocą stopy względnej.

Okres płatności OP jest to odstęp czasowy pomiędzy kolejnymi wpłatami. Jest to domyślna jednostka czasu w takim zadaniu (przyjmujemy OP = 1). N - liczba płatności.

Przez Ri oznaczamy wysokość i -tej raty renty. Jeśli wszystkie raty są równe, oznaczamy ich wysokość przez R.

Przez S_i oznaczamy wartość renty po zakończeniu i -tego okresu płatności, zaktualizowaną na moment i .

(6)

Podstawowe oznaczenia

(7)

Podstawowe oznaczenia

(8)

Podstawowe oznaczenia

(9)

Podstawowe oznaczenia

(10)

Podstawowe oznaczenia

Doprecyzujmy ostatni punkt: Si to wartość kapitału zawartego we wszystkich płatnościach do końca i -tego okresu płatności,

zaktualizowana na koniec i -tego okresu płatności. Jest równa ona sumie zaktualizowanych na ten moment wartości wszystkich rat renty wpłaconych do tego momentu.

(11)

Podstawowe oznaczenia

Doprecyzujmy ostatni punkt: Si to wartość kapitału zawartego we wszystkich płatnościach do końca i -tego okresu płatności,

zaktualizowana na koniec i -tego okresu płatności. Jest równa ona sumie zaktualizowanych na ten moment wartości wszystkich rat renty wpłaconych do tego momentu.

(12)

Podstawowe założenia - z góry, czy z dołu

Jak przy wpłatach, musimy ustalić dodatkowe założenia dotyczące sposobu dokonywania wypłat rent. Mogą być one dokonywane:

z dołu, czyli na końcu każdego okresu płatności, czyli w momentach 1, 2, . . . , N − 1, N. Taką sytuację oznaczają podkreślenia danych zmiennych i oznaczeń np. S_k. Jest to domyślny sposób dokonywania płatności w strumieniu

finansowym tj. jeśli w zadaniu nie jest nic innego napisane, to zakładamy, że płatności są z dołu.

z góry, czyli na początku każdego okresu płatności, czyli w momentach 0, 1, 2, . . . , N − 1. Taką sytuację oznaczają kreski nad danymi zmiennymi i oznaczeniami np. S_k.

(13)

Podstawowe założenia - z góry, czy z dołu

(14)

Podstawowe założenia - z góry, czy z dołu

(15)

Podstawowe założenia - model kapitalizacji

Przy okazji wpłat analizowaliśmy różne modele kapitalizacji wkładów:

złożony, prosty i polski. Dokładnie tak samo można analizować te modele w sytuacji rent.

Jednakże, z powodów wyjaśnionych wcześniej, model złożony jest najbardziej sensownym modelem wyceny w przygniatającej większości sytuacji, więc od tej pory tylko ten model będziemy analizować - zarówno w tej części wykładu, jak i w kolejnych.

(16)

Podstawowe założenia - model kapitalizacji

Przy okazji wpłat analizowaliśmy różne modele kapitalizacji wkładów:

złożony, prosty i polski. Dokładnie tak samo można analizować te modele w sytuacji rent.

Jednakże, z powodów wyjaśnionych wcześniej, model złożony jest najbardziej sensownym modelem wyceny w przygniatającej większości sytuacji, więc od tej pory tylko ten model będziemy analizować - zarówno w tej części wykładu, jak i w kolejnych.

(17)

Założenia dla rent

Tak jak przy wkładach, zakładamy, że wypłaty rat dokonywane są okresowo co okres OP, z dołu, przy złożonym modelu kapitalizacji w podokresach, stopie procentowej r o OK = OS (jeśli by tak nie było, zadanie zaczniemy od uzgodnienia okresu stopy za pomocą stopy względnej).

W tym modelu, pierwszym krokiem jest uzgodnienie OK i OP przez zmianę długości okresu kapitalizacji stopy r . By móc to uczynić zmieniamy stopę r na stopę r_ef, taką, że OS_ef = OK_ef = OP, takim samym wzorem jak zwykle. We wzorach będziemy częściej używać czynnika akumulacji q = 1 + r_ef.

(18)

Założenia dla rent

W tym modelu, pierwszym krokiem jest uzgodnienie OK i OP przez zmianę długości okresu kapitalizacji stopy r .

By móc to uczynić zmieniamy stopę r na stopę r_ef, taką, że OS_ef = OK_ef = OP, takim samym wzorem jak zwykle. We wzorach będziemy częściej używać czynnika akumulacji q = 1 + r_ef.

(19)

Założenia dla rent

W tym modelu, pierwszym krokiem jest uzgodnienie OK i OP przez zmianę długości okresu kapitalizacji stopy r . By móc to uczynić zmieniamy stopę r na stopę r_ef, taką, że OS_ef = OK_ef = OP, takim samym wzorem jak zwykle.

We wzorach będziemy częściej używać czynnika akumulacji q = 1 + r_ef.

(20)

Założenia dla rent

W tym modelu, pierwszym krokiem jest uzgodnienie OK i OP przez zmianę długości okresu kapitalizacji stopy r . By móc to uczynić zmieniamy stopę r na stopę r_ef, taką, że OS_ef = OK_ef = OP, takim samym wzorem jak zwykle. We wzorach będziemy częściej używać czynnika akumulacji q = 1 + r_ef.

(21)

Raty różnej wysokości

Zauważmy, że wszystkie założenia są dokładnie takie jak w modelu wkładów okresowych: jedyną różnicą jest notacja R_i zamiast W_i oraz kierunek przepływu kapitału.

Zatem otrzymane wzory muszą być takie same, jak wzory otrzymane w wypadku wkładów. W

szczególności, jeśli założymy, że wysokości rat są dowolne (R₁, W₂, . . . , W_N), w momentach 1, 2, . . . , N, to:

S_k = R₁q^k−1+ R₂q^k−2+ . . . + . . . R_k−1q + R_k.

S_k = R₁q^k + R₂q^k−1+ . . . + . . . R_k−1q²+ R_kq.

(22)

Raty różnej wysokości

Zauważmy, że wszystkie założenia są dokładnie takie jak w modelu wkładów okresowych: jedyną różnicą jest notacja R_i zamiast W_i oraz kierunek przepływu kapitału. Zatem otrzymane wzory muszą być takie same, jak wzory otrzymane w wypadku wkładów. W

S_k = R₁q^k−1+ R₂q^k−2+ . . . + . . . R_k−1q + R_k.

S_k = R₁q^k + R₂q^k−1+ . . . + . . . R_k−1q²+ R_kq.

(23)

Raty różnej wysokości

Zauważmy, że wszystkie założenia są dokładnie takie jak w modelu wkładów okresowych: jedyną różnicą jest notacja R_i zamiast W_i oraz kierunek przepływu kapitału. Zatem otrzymane wzory muszą być takie same, jak wzory otrzymane w wypadku wkładów. W

S_k = R₁q^k−1+ R₂q^k−2+ . . . + . . . R_k−1q + R_k.

S_k = R₁q^k + R₂q^k−1+ . . . + . . . R_k−1q²+ R_kq.

(24)

Renta - wzory

Przy najczęstszym założeniu, że wszystkie raty są równe (R₁ = R₂ = . . . = R_N = R), mamy:

Renta, raty z dołu

S_k = Rq^k − 1 q − 1 .

Renta, raty z góry

S_k = Rqq^k − 1 q − 1.

(25)

Wartość aktualna renty

Możemy obliczać wartość aktualną renty, zgodnie ze wzorem:

Wartość aktualna renty

PV =

SNq^−N.

S_N oczywiście oznacza S_N lub S_N, w zależności od kontekstu. Będzie to kluczowy wzór w wielu zagadnieniach związanych z rentą. PV może być ceną, jaką inwestor jest gotów zapłacić za pozyskanie danej renty, jeśli szuka stopy zwrotu r_ef na okres płatności lub też

kapitałem początkowym, z którego jest wypłacana renta i który ma wystarczyć na cały czas jej trwania, jeśli jest inwestowany według warunków oprocentowania.

(26)

Wartość aktualna renty

PV = S_Nq^−N.

S_N oczywiście oznacza S_N lub S_N, w zależności od kontekstu.

Będzie to kluczowy wzór w wielu zagadnieniach związanych z rentą. PV może być ceną, jaką inwestor jest gotów zapłacić za pozyskanie danej renty, jeśli szuka stopy zwrotu r_ef na okres płatności lub też

(27)

Wartość aktualna renty

PV = S_Nq^−N.

S_N oczywiście oznacza S_N lub S_N, w zależności od kontekstu. Będzie to kluczowy wzór w wielu zagadnieniach związanych z rentą. PV może być ceną, jaką inwestor jest gotów zapłacić za pozyskanie danej renty, jeśli szuka stopy zwrotu r_ef na okres płatności lub też

(28)

Przykład

Zadanie

Pewien hojny sponsor ufundował stypendium dla zdolnego studenta w postaci renty o ratach w wysokości 1500 PLN wypłacanych na

początku każdego miesiąca przez okres studiów licencjackich, czyli 3 lata. Renta ta była wypłacana z pewnego kapitału zdeponowanego na funduszu oszczędnościowym z nominalną roczną stopą procentową 20% i kapitalizacją kwartalną. Ile co najmniej wynosił ten kapitał?

Po pierwsze OK 6= OS , więc musimy zastosować stopę względną

¯ r =

0,20

4 = 0, 05 na kwartał. Następnie musimy dopasować OK do OP, czyli do miesiąca. Zatem q = (1 + ¯r )¹³ = 1, 0164. Wreszcie 3 lata to 36 miesięcy, więc będziemy mieć do czynienia z N = 36 okresami płatności. Jako, że pieniądze są wypłacane na początku miesiąca, używamy wzoru na S₃₆.

(29)

Przykład

Zadanie

¯

r = ^0,20₄ = 0, 05 na kwartał.

Następnie musimy dopasować OK do OP, czyli do miesiąca. Zatem q = (1 + ¯r )¹³ = 1, 0164. Wreszcie 3 lata to 36 miesięcy, więc będziemy mieć do czynienia z N = 36 okresami płatności. Jako, że pieniądze są wypłacane na początku miesiąca, używamy wzoru na S₃₆.

(30)

Przykład

Zadanie

¯

r = ^0,20₄ = 0, 05 na kwartał. Następnie musimy dopasować OK do OP, czyli do miesiąca.

Zatem q = (1 + ¯r )¹³ = 1, 0164. Wreszcie 3 lata to 36 miesięcy, więc będziemy mieć do czynienia z N = 36 okresami płatności. Jako, że pieniądze są wypłacane na początku miesiąca, używamy wzoru na S₃₆.

(31)

Przykład

Zadanie

¯

r = ^0,20₄ = 0, 05 na kwartał. Następnie musimy dopasować OK do OP, czyli do miesiąca. Zatem q =

(1 + ¯r )¹³ = 1, 0164. Wreszcie 3 lata to 36 miesięcy, więc będziemy mieć do czynienia z N = 36 okresami płatności. Jako, że pieniądze są wypłacane na początku miesiąca, używamy wzoru na S₃₆.

(32)

Przykład

Zadanie

¯

r = ^0,20₄ = 0, 05 na kwartał. Następnie musimy dopasować OK do OP, czyli do miesiąca. Zatem q = (1 + ¯r )¹³ = 1, 0164.

Wreszcie 3 lata to 36 miesięcy, więc będziemy mieć do czynienia z N = 36 okresami płatności. Jako, że pieniądze są wypłacane na początku miesiąca, używamy wzoru na S₃₆.

(33)

Przykład

Zadanie

¯

r = ^0,20₄ = 0, 05 na kwartał. Następnie musimy dopasować OK do OP, czyli do miesiąca. Zatem q = (1 + ¯r )¹³ = 1, 0164. Wreszcie 3 lata to 36 miesięcy, więc będziemy mieć do czynienia z N = 36 okresami płatności.

Jako, że pieniądze są wypłacane na początku miesiąca, używamy wzoru na S₃₆.

(34)

Przykład

Zadanie

¯

r = ^0,20₄ = 0, 05 na kwartał. Następnie musimy dopasować OK do OP, czyli do miesiąca. Zatem q = (1 + ¯r )¹³ = 1, 0164. Wreszcie 3 lata to 36 miesięcy, więc będziemy mieć do czynienia z N = 36 okresami płatności. Jako, że pieniądze są wypłacane na początku miesiąca, używamy wzoru na S₃₆.

(35)

Przykład

Zadanie

q = 1, 0164, N = 36 S₃₆=

1500qq³⁶− 1

q − 1 = 74007, 0659.

(36)

Przykład

Zadanie

q = 1, 0164, N = 36

S₃₆= 1500qq³⁶− 1 q − 1 =

74007, 0659.

(37)

Przykład

Zadanie

q = 1, 0164, N = 36

S₃₆= 1500qq³⁶− 1

q − 1 = 74007, 0659.

(38)

Przykład

Zadanie

To jeszcze nie koniec zadania, bo S₃₆ to wartość całej renty zaktualizowanej na koniec jej wypłacania (czyli na za 3 lata).

K = PV =

S₃₆· q⁻³⁶ = 41204, 5862.

Odp: Kapitał początkowy konieczny do wypłacenia tej renty wynosił co najmniej 41204,5862 PLN.

(39)

Przykład

Zadanie

To jeszcze nie koniec zadania, bo S₃₆ to wartość całej renty zaktualizowanej na koniec jej wypłacania (czyli na za 3 lata).

K = PV = S₃₆· q⁻³⁶ = 41204, 5862.

Odp: Kapitał początkowy konieczny do wypłacenia tej renty wynosił co najmniej 41204,5862 PLN.

(40)

Renta wieczysta - motywacja

Rentę o skończonej liczbie rat nazywamy rentą czasową.

Możliwa też jest próba zaplanowania tzw. renty wieczystej, czyli renty o nieskończonej liczbie rat. Na przykład w ten sposób można

zaplanować sobie wypłaty emerytury, bez zakładania długości życia na tej emeryturze. Taki format mogą też przybrać wypłaty z

niektórych inwestycji (np. obligacji wieczystych, zwanych konsolami), a także przydaje się on przy fundamentalnej wycenie akcji.

Dla ustalenia uwagi, bez utraty ogólności, zakładamy, że mamy zawsze do czynienia z tzw. rentą pewną - czyli wypłacaną niezależnie od tego, czy odbiorca żyje i od jakichkolwiek innych okoliczności.

(41)

Renta wieczysta - motywacja

Rentę o skończonej liczbie rat nazywamy rentą czasową. Możliwa też jest próba zaplanowania tzw. renty wieczystej, czyli renty o nieskończonej liczbie rat.

Na przykład w ten sposób można

(42)

Renta wieczysta - motywacja

Rentę o skończonej liczbie rat nazywamy rentą czasową. Możliwa też jest próba zaplanowania tzw. renty wieczystej, czyli renty o nieskończonej liczbie rat. Na przykład w ten sposób można

zaplanować sobie wypłaty emerytury, bez zakładania długości życia na tej emeryturze.

Taki format mogą też przybrać wypłaty z

(43)

Renta wieczysta - motywacja

Rentę o skończonej liczbie rat nazywamy rentą czasową. Możliwa też jest próba zaplanowania tzw. renty wieczystej, czyli renty o nieskończonej liczbie rat. Na przykład w ten sposób można

(44)

Renta wieczysta z dołu - wyprowadzenie wzoru

Spróbujmy wycenić wartość teraźniejszą renty wieczystej PV lub, w innej interpretacji, wielkość kapitału K z której można ją wypłacać.

Załóżmy, że rata takiej renty wynosi Rw, renta jest wypłacana z dołu i obowiązuje stopa procentowa r , taka, że OS = OK = OP (w innym wypadku używamy stopy względnej i efektywnej tak, by dopasować te okresy), a q = 1 + r . Wtedy PV = K musi być równe sumie

zaktualizowanych na moment 0 rat takiej renty: PV = K = R_wq⁻¹+ R_wq⁻²+ . . . =

∞

X

i =1

R_wq⁻ⁱ.

(45)

Renta wieczysta z dołu - wyprowadzenie wzoru

Załóżmy, że rata takiej renty wynosi Rw, renta jest wypłacana z dołu i obowiązuje stopa procentowa r , taka, że OS = OK = OP (w innym wypadku używamy stopy względnej i efektywnej tak, by dopasować te okresy), a q = 1 + r .

Wtedy PV = K musi być równe sumie zaktualizowanych na moment 0 rat takiej renty:

PV = K = R_wq⁻¹+ R_wq⁻²+ . . . =

∞

X

i =1

R_wq⁻ⁱ.

(46)

Renta wieczysta z dołu - wyprowadzenie wzoru

zaktualizowanych na moment 0 rat takiej renty:

PV = K =

R_wq⁻¹+ R_wq⁻²+ . . . =

∞

X

i =1

R_wq⁻ⁱ.

(47)

Renta wieczysta z dołu - wyprowadzenie wzoru

zaktualizowanych na moment 0 rat takiej renty:

PV = K = R_wq⁻¹+ R_wq⁻²+ . . . =

∞

X

i =1

R_wq⁻ⁱ.

(48)

Renta wieczysta z dołu - wzór

PV = K =^P^∞_{i =1}R_wq⁻ⁱ.

Zauważmy, że po prawej stronie tego wzoru mamy do czynienia z szeregiem geometrycznym o pierwszym wyrazie R_wq⁻¹ i ilorazie 0 < q⁻¹ < 1. Ze wzoru na sumę tego szeregu otrzymujemy zależność:

PV = K = Rwq⁻¹

1 − q⁻¹ = Rw

q − 1 = Rw

r .

(49)

Renta wieczysta z dołu - wzór

PV = K =^P^∞_{i =1}R_wq⁻ⁱ.

Zauważmy, że po prawej stronie tego wzoru mamy do czynienia z szeregiem geometrycznym o pierwszym wyrazie R_wq⁻¹ i ilorazie 0 < q⁻¹ < 1.

Ze wzoru na sumę tego szeregu otrzymujemy zależność: PV = K = Rwq⁻¹

1 − q⁻¹ = Rw

q − 1 = Rw

r .

(50)

Renta wieczysta z dołu - wzór

PV = K =^P^∞_{i =1}R_wq⁻ⁱ.

PV = K =

Rwq⁻¹

1 − q⁻¹ = Rw

q − 1 = Rw

r .

(51)

Renta wieczysta z dołu - wzór

PV = K =^P^∞_{i =1}R_wq⁻ⁱ.

PV = K = Rwq⁻¹ 1 − q⁻¹ =

Rw

q − 1 = Rw

r .

(52)

Renta wieczysta z dołu - wzór

PV = K =^P^∞_{i =1}R_wq⁻ⁱ.

PV = K = Rwq⁻¹

1 − q⁻¹ = Rw

q − 1 = Rw

r .

(53)

Renta wieczysta z góry - wyprowadzenie wzoru

Oczywiście, analogicznie możemy obliczyć ten sam wzór przy założeniu, że renta jest wypłacana z góry:

PV = K =

R_w + R_wq⁻¹+ . . . =

∞

X

i =0

R_wq⁻ⁱ =

= R_w

1 − q⁻¹ = R_wq r .

(54)

Renta wieczysta z góry - wyprowadzenie wzoru

PV = K = R_w + R_wq⁻¹+ . . . =

∞

X

i =0

R_wq⁻ⁱ =

= R_w

1 − q⁻¹ = R_wq r .

(55)

Renta wieczysta z góry - wyprowadzenie wzoru

PV = K = R_w + R_wq⁻¹+ . . . =

∞

X

i =0

R_wq⁻ⁱ =

= R_w

1 − q⁻¹ = R_wq r .

(56)

Renta wieczysta - wzory

Podsumowując, otrzymujemy następujące wzory na wartość kapitału K potrzebnego do wypłaty renty wieczystej w wysokości R_w:

Renta wieczysta, raty z dołu

K = R_w r .

Renta wieczysta, raty z góry

K = R_wq r .

(57)

Maksymalna renta wieczysta

Te wzory łatwo przekształcić tak, by otrzymać wzory na maksymalną możliwą rentę wieczystą wypłacaną z kapitału K :

Maksymalna renta wieczysta z dołu

Rw = Kr .

Maksymalna renta wieczysta z góry

R_w = Kr q .

(58)

Maksymalna renta wieczysta - interpretacja

Co ciekawe, do wzoru na maksymalną rentę wieczystą z dołu można dojść bez przekształceń matematycznych, a czysto logicznie:

otóż, Kr są to odsetki, które gromadzą się na naszej inwestycji w trakcie pierwszego okresu płatności. Jeśli wypłacamy kwotę nie większą niż Kr , to kapitału wyjściowego nie ubywa, więc możemy takie kwoty wypłacać w nieskończoność. Jeśli zaś wypłacamy więcej, to kapitał startowy się zmniejsza, więc coraz mniejsze są od niego odsetki i coraz większy jest z każdą ratą ubytek kapitału, który stopniowo maleje do zera.

Dlatego Kr jest to maksymalna wysokość renty wieczystej z dołu. Analogiczną analizę można przeprowadzić dla renty wieczystej z góry.

(59)

Maksymalna renta wieczysta - interpretacja

Co ciekawe, do wzoru na maksymalną rentę wieczystą z dołu można dojść bez przekształceń matematycznych, a czysto logicznie: otóż, Kr są to odsetki, które gromadzą się na naszej inwestycji w trakcie pierwszego okresu płatności.

Jeśli wypłacamy kwotę nie większą niż Kr , to kapitału wyjściowego nie ubywa, więc możemy takie kwoty wypłacać w nieskończoność. Jeśli zaś wypłacamy więcej, to kapitał startowy się zmniejsza, więc coraz mniejsze są od niego odsetki i coraz większy jest z każdą ratą ubytek kapitału, który stopniowo maleje do zera.

(60)

Maksymalna renta wieczysta - interpretacja

Co ciekawe, do wzoru na maksymalną rentę wieczystą z dołu można dojść bez przekształceń matematycznych, a czysto logicznie: otóż, Kr są to odsetki, które gromadzą się na naszej inwestycji w trakcie pierwszego okresu płatności. Jeśli wypłacamy kwotę nie większą niż Kr , to kapitału wyjściowego nie ubywa, więc możemy takie kwoty wypłacać w nieskończoność.

Jeśli zaś wypłacamy więcej, to kapitał startowy się zmniejsza, więc coraz mniejsze są od niego odsetki i coraz większy jest z każdą ratą ubytek kapitału, który stopniowo maleje do zera.

(61)

Maksymalna renta wieczysta - interpretacja

Co ciekawe, do wzoru na maksymalną rentę wieczystą z dołu można dojść bez przekształceń matematycznych, a czysto logicznie: otóż, Kr są to odsetki, które gromadzą się na naszej inwestycji w trakcie pierwszego okresu płatności. Jeśli wypłacamy kwotę nie większą niż Kr , to kapitału wyjściowego nie ubywa, więc możemy takie kwoty wypłacać w nieskończoność. Jeśli zaś wypłacamy więcej, to kapitał startowy się zmniejsza, więc coraz mniejsze są od niego odsetki i coraz większy jest z każdą ratą ubytek kapitału, który stopniowo maleje do zera.

(62)

Maksymalna renta wieczysta - interpretacja

Dlatego Kr jest to maksymalna wysokość renty wieczystej z dołu.

Analogiczną analizę można przeprowadzić dla renty wieczystej z góry.

(63)

Maksymalna renta wieczysta - interpretacja

Dlatego Kr jest to maksymalna wysokość renty wieczystej z dołu.

Analogiczną analizę można przeprowadzić dla renty wieczystej z góry.

(64)

Renty czasowe i wieczyste - nazewnictwo

Wspomnę jeszcze, że w niektórych źródłach rentę czasową nazywa się annuitetem, a wieczystą perpetuitetem. Nie wymagam znajomości tego nazewnictwa.

(65)

Renta geometryczna - motywacja

Wyobraźmy sobie, że ktoś oblicza kapitał potrzebny mu do przejścia na emeryturę.

Kapitał potrzebny mu na emeryturze w jednostce czasu OP szacuje na R. Jednakże, nie chce wypłacać kolejnych rat emerytury w stałej wysokości: potrzebuje uwzględnić inflację, wynoszącą i w czasie OP. Dlatego każda kolejna rata musi być 1 + i = a razy większa. W ten sposób kolejne raty emerytury układają się w ciąg geometryczny: R, Ra, Ra², ...

Jakiego wzoru można użyć do oszacowania wielkości potrzebnego kapitału?

(66)

Renta geometryczna - motywacja

Wyobraźmy sobie, że ktoś oblicza kapitał potrzebny mu do przejścia na emeryturę. Kapitał potrzebny mu na emeryturze w jednostce czasu OP szacuje na R.

Jednakże, nie chce wypłacać kolejnych rat emerytury w stałej wysokości: potrzebuje uwzględnić inflację, wynoszącą i w czasie OP. Dlatego każda kolejna rata musi być 1 + i = a razy większa. W ten sposób kolejne raty emerytury układają się w ciąg geometryczny: R, Ra, Ra², ...

(67)

Renta geometryczna - motywacja

Wyobraźmy sobie, że ktoś oblicza kapitał potrzebny mu do przejścia na emeryturę. Kapitał potrzebny mu na emeryturze w jednostce czasu OP szacuje na R. Jednakże, nie chce wypłacać kolejnych rat emerytury w stałej wysokości: potrzebuje uwzględnić inflację, wynoszącą i w czasie OP. Dlatego każda kolejna rata musi być 1 + i = a razy większa.

W ten sposób kolejne raty emerytury układają się w ciąg geometryczny: R, Ra, Ra², ...

(68)

Renta geometryczna - motywacja

Wyobraźmy sobie, że ktoś oblicza kapitał potrzebny mu do przejścia na emeryturę. Kapitał potrzebny mu na emeryturze w jednostce czasu OP szacuje na R. Jednakże, nie chce wypłacać kolejnych rat emerytury w stałej wysokości: potrzebuje uwzględnić inflację, wynoszącą i w czasie OP. Dlatego każda kolejna rata musi być 1 + i = a razy większa. W ten sposób kolejne raty emerytury układają się w ciąg geometryczny: R, Ra, Ra², ...

(69)

Renta geometryczna z dołu - wyprowadzenie wzoru

Załóżmy, że renta jest wypłacana z dołu, pierwsza rata wynosi R i przewidziane jest N rat. Wtedy, dla każdego k ¬ N:

S_k =

Rq^k−1+ Raq^k−2+ Ra²q^k−3. . . + Ra^k−1 =

k

X

i =1

Ra^{i −1}q^k−i.

(70)

Renta geometryczna z dołu - wyprowadzenie wzoru

Załóżmy, że renta jest wypłacana z dołu, pierwsza rata wynosi R i przewidziane jest N rat. Wtedy, dla każdego k ¬ N:

S_k = Rq^k−1+ Raq^k−2+ Ra²q^k−3. . . + Ra^k−1 =

k

X

i =1

Ra^{i −1}q^k−i.

(71)

Renta geometryczna z dołu - wyprowadzenie wzoru

S_k =^P^k_{i =1}Ra^{i −1}q^k−i.

Zauważmy, że po prawej stronie tego wzoru mamy do czynienia z sumą n wyrazów ciągu geometrycznego o pierwszym wyrazie Rq^k−1 i ilorazie aq⁻¹. Zatem, jeśli a 6= q:

S_k = Rq^k−1(aq⁻¹)^k − 1

aq⁻¹− 1 = Rq^k − a^k q − a .

(72)

Renta geometryczna z dołu - wyprowadzenie wzoru

S_k =^P^k_{i =1}Ra^{i −1}q^k−i.

Zauważmy, że po prawej stronie tego wzoru mamy do czynienia z sumą n wyrazów ciągu geometrycznego o pierwszym wyrazie Rq^k−1 i ilorazie aq⁻¹.

Zatem, jeśli a 6= q:

S_k = Rq^k−1(aq⁻¹)^k − 1

aq⁻¹− 1 = Rq^k − a^k q − a .

(73)

Renta geometryczna z dołu - wyprowadzenie wzoru

S_k =^P^k_{i =1}Ra^{i −1}q^k−i.

S_k =

Rq^k−1(aq⁻¹)^k − 1

aq⁻¹− 1 = Rq^k − a^k q − a .

(74)

Renta geometryczna z dołu - wyprowadzenie wzoru

S_k =^P^k_{i =1}Ra^{i −1}q^k−i.

S_k = Rq^k−1(aq⁻¹)^k − 1 aq⁻¹− 1 =

Rq^k − a^k q − a .

(75)

Renta geometryczna z dołu - wyprowadzenie wzoru

S_k =^P^k_{i =1}Ra^{i −1}q^k−i.

S_k = Rq^k−1(aq⁻¹)^k − 1

aq⁻¹− 1 = Rq^k − a^k q − a .

(76)

Renta geometryczna z dołu - wyprowadzenie wzoru

Sk =^P^k_{i =1}Ra^{i −1}q^k−i.

Jeśli a = q, to po prostu każdy element sumy tego ciągu jest równy Rq^k−1, więc:

S_k = kRq^k−1.

Analogicznie można wyprowadzić wzory na wartość renty geometrycznej z góry.

(77)

Renta geometryczna z dołu - wyprowadzenie wzoru

Sk =^P^k_{i =1}Ra^{i −1}q^k−i.

S_k =

kRq^k−1.

(78)

Renta geometryczna z dołu - wyprowadzenie wzoru

Sk =^P^k_{i =1}Ra^{i −1}q^k−i.

S_k = kRq^k−1.

(79)

Renta geometryczna - wzory

Renta geometryczna z dołu

S_k =







R^q_q−a^k^−a^k, q 6= a;

kRq^k−1, q = a.

Renta geometryczna z góry

S_k =







Rq^q_q−a^k^−a^k, q 6= a;

kRq^k, q = a.

(80)

Renta geometryczna - komentarz

Wszelkie inne obliczenia (np. obliczanie wartości aktualnej) prowadzimy dokładnie tak samo jak dla renty stałej.

Zauważmy, że renta stała też jest rentą geometryczną, ale dla ilorazu a = 1. Wzory po podstawieniu a = 1 się zgadzają, więc tak naprawdę wystarczy znać wzory na rentę geometryczną i wzory na rentę stałą wynikają z nich natychmiast.

(81)

Renta geometryczna - komentarz

Wszelkie inne obliczenia (np. obliczanie wartości aktualnej) prowadzimy dokładnie tak samo jak dla renty stałej.

Zauważmy, że renta stała też jest rentą geometryczną, ale dla ilorazu a = 1. Wzory po podstawieniu a = 1 się zgadzają, więc tak naprawdę wystarczy znać wzory na rentę geometryczną i wzory na rentę stałą wynikają z nich natychmiast.

(82)

Przykład

Zadanie

Rozważamy kapitalizację półroczną z nominalną roczną stopą

procentową 8%. Z pewnego kapitału można wypłacać rentę wieczystą półroczną z góry w wysokości 40jp. Jeśli z tego samego kapitału chcemy wypłacać rentę geometryczną półroczną z dołu, której każda kolejna rata jest o 2, 5% większa od poprzedniej, przez 10 lat, to jakiej maksymalnej wysokości może być pierwsza rata takiej renty?

¯

r = ^0,08₂ = 0, 04 na pół roku. Wtedy OS=OK=OP, więc q = 1, 04. Obliczmy najpierw kapitał początkowy:

40 = R_w = 0, 04K

1, 04 ⇒ K = 1040.

(83)

Przykład

Zadanie

¯ r =

0,08

2 = 0, 04 na pół roku. Wtedy OS=OK=OP, więc q = 1, 04. Obliczmy najpierw kapitał początkowy:

40 = R_w = 0, 04K

1, 04 ⇒ K = 1040.

(84)

Przykład

Zadanie

¯

r = ^0,08₂ = 0, 04 na pół roku.

Wtedy OS=OK=OP, więc q = 1, 04. Obliczmy najpierw kapitał początkowy:

40 = R_w = 0, 04K

1, 04 ⇒ K = 1040.

(85)

Przykład

Zadanie

¯

r = ^0,08₂ = 0, 04 na pół roku. Wtedy OS=OK=OP, więc q = 1, 04.

Obliczmy najpierw kapitał początkowy: 40 = R_w = 0, 04K

1, 04 ⇒ K = 1040.

(86)

Przykład

Zadanie

¯

r = ^0,08₂ = 0, 04 na pół roku. Wtedy OS=OK=OP, więc q = 1, 04.

Obliczmy najpierw kapitał początkowy:

40 = R_w = 0, 04K

1, 04 ⇒ K = 1040.

(87)

Przykład

Zadanie

K = 1040, q = 1, 04. Zajmijmy się teraz rentą geometryczną.

Z treści zadania a = 1, 025 i OS=OK=OP. Liczba płatności w ramach tej renty to N = 20 (10 lat, 2 płatności w roku). Zatem, korzystając z zależności pomiędzy K , a S₂₀:

1040 = K = S20(1, 04)⁻²⁰ ⇒ S20 = 2278, 7681.

(88)

Przykład

Zadanie

K = 1040, q = 1, 04. Zajmijmy się teraz rentą geometryczną. Z treści zadania a = 1, 025 i OS=OK=OP. Liczba płatności w ramach tej renty to N =

20 (10 lat, 2 płatności w roku). Zatem, korzystając z zależności pomiędzy K , a S₂₀:

1040 = K = S20(1, 04)⁻²⁰ ⇒ S20 = 2278, 7681.

(89)

Przykład

Zadanie

K = 1040, q = 1, 04. Zajmijmy się teraz rentą geometryczną. Z treści zadania a = 1, 025 i OS=OK=OP. Liczba płatności w ramach tej renty to N = 20 (10 lat, 2 płatności w roku).

Zatem, korzystając z zależności pomiędzy K , a S₂₀:

1040 = K = S20(1, 04)⁻²⁰ ⇒ S20 = 2278, 7681.

(90)

Przykład

Zadanie

K = 1040, q = 1, 04. Zajmijmy się teraz rentą geometryczną. Z treści zadania a = 1, 025 i OS=OK=OP. Liczba płatności w ramach tej renty to N = 20 (10 lat, 2 płatności w roku). Zatem, korzystając z zależności pomiędzy K , a S₂₀:

1040 = K = S₂₀(1, 04)⁻²⁰ ⇒ S₂₀ = 2278, 7681.

(91)

Przykład

Zadanie

N = 20, S₂₀= 2278, 7681, q = 1, 04, a = 1, 025, q 6= a.

Wystarczy te dane podstawić do wzoru na rentę geometryczną z dołu:

2278, 7681 = S₂₀= Rq²⁰− a²⁰

q − a ⇒ R = 28, 6969.

Odp: Pierwsza rata takiej renty może wynosić maksymalnie 28,6969.

(92)

Przykład

Zadanie

N = 20, S₂₀= 2278, 7681, q = 1, 04, a = 1, 025, q 6= a. Wystarczy te dane podstawić do wzoru na rentę geometryczną z dołu:

2278, 7681 = S₂₀= Rq²⁰− a²⁰

q − a ⇒ R = 28, 6969.

Odp: Pierwsza rata takiej renty może wynosić maksymalnie 28,6969.

(93)

Zakończenie renty czasowej

W porównaniu z zadaniami z wkładów oszczędnościowych, w zadaniach z rent czasowych może pojawić się nowy problem - czas i sposób wymuszonego zakończenia wypłat.

O ile wpłacać kapitał na jakiś program oszczędnościowy można potencjalnie w nieskończoność, to wypłacać można tylko wtedy, gdy jakiś kapitał do wypłacania nam zostaje...

Rozważamy zatem zadanie typu: przy danym modelu oprocentowania, na ile wypłat rent w wysokości R wystarczy kapitał K ? Dodatkowo, mało prawdopodobne, by wypłaty tej samej wysokości DOKŁADNIE wyczerpały dany kapitał, więc powstaje dodatkowe pytanie - jakiej wysokości będzie ostatnia wypłata?