Wszelkie inne obliczenia (np. obliczanie wartości aktualnej) prowadzimy dokładnie tak samo jak dla renty stałej.
Zauważmy, że renta stała też jest rentą geometryczną, ale dla ilorazu a = 1. Wzory po podstawieniu a = 1 się zgadzają, więc tak naprawdę wystarczy znać wzory na rentę geometryczną i wzory na rentę stałą wynikają z nich natychmiast.
Renta geometryczna - komentarz
Wszelkie inne obliczenia (np. obliczanie wartości aktualnej) prowadzimy dokładnie tak samo jak dla renty stałej.
Zauważmy, że renta stała też jest rentą geometryczną, ale dla ilorazu a = 1. Wzory po podstawieniu a = 1 się zgadzają, więc tak naprawdę wystarczy znać wzory na rentę geometryczną i wzory na rentę stałą wynikają z nich natychmiast.
Przykład
Zadanie
Rozważamy kapitalizację półroczną z nominalną roczną stopą
procentową 8%. Z pewnego kapitału można wypłacać rentę wieczystą półroczną z góry w wysokości 40jp. Jeśli z tego samego kapitału chcemy wypłacać rentę geometryczną półroczną z dołu, której każda kolejna rata jest o 2, 5% większa od poprzedniej, przez 10 lat, to jakiej maksymalnej wysokości może być pierwsza rata takiej renty?
Po pierwsze OK 6= OS , więc musimy zastosować stopę względną
¯
r = 0,082 = 0, 04 na pół roku. Wtedy OS=OK=OP, więc q = 1, 04. Obliczmy najpierw kapitał początkowy:
40 = Rw = 0, 04K
1, 04 ⇒ K = 1040.
Przykład
Zadanie
Rozważamy kapitalizację półroczną z nominalną roczną stopą
procentową 8%. Z pewnego kapitału można wypłacać rentę wieczystą półroczną z góry w wysokości 40jp. Jeśli z tego samego kapitału chcemy wypłacać rentę geometryczną półroczną z dołu, której każda kolejna rata jest o 2, 5% większa od poprzedniej, przez 10 lat, to jakiej maksymalnej wysokości może być pierwsza rata takiej renty?
Po pierwsze OK 6= OS , więc musimy zastosować stopę względną
¯
Przykład
Zadanie
Rozważamy kapitalizację półroczną z nominalną roczną stopą
procentową 8%. Z pewnego kapitału można wypłacać rentę wieczystą półroczną z góry w wysokości 40jp. Jeśli z tego samego kapitału chcemy wypłacać rentę geometryczną półroczną z dołu, której każda kolejna rata jest o 2, 5% większa od poprzedniej, przez 10 lat, to jakiej maksymalnej wysokości może być pierwsza rata takiej renty?
Po pierwsze OK 6= OS , więc musimy zastosować stopę względną
¯
Przykład
Zadanie
Rozważamy kapitalizację półroczną z nominalną roczną stopą
procentową 8%. Z pewnego kapitału można wypłacać rentę wieczystą półroczną z góry w wysokości 40jp. Jeśli z tego samego kapitału chcemy wypłacać rentę geometryczną półroczną z dołu, której każda kolejna rata jest o 2, 5% większa od poprzedniej, przez 10 lat, to jakiej maksymalnej wysokości może być pierwsza rata takiej renty?
Po pierwsze OK 6= OS , więc musimy zastosować stopę względną
¯
r = 0,082 = 0, 04 na pół roku. Wtedy OS=OK=OP, więc q = 1, 04.
Obliczmy najpierw kapitał początkowy: 40 = Rw = 0, 04K
1, 04 ⇒ K = 1040.
Przykład
Zadanie
Rozważamy kapitalizację półroczną z nominalną roczną stopą
procentową 8%. Z pewnego kapitału można wypłacać rentę wieczystą półroczną z góry w wysokości 40jp. Jeśli z tego samego kapitału chcemy wypłacać rentę geometryczną półroczną z dołu, której każda kolejna rata jest o 2, 5% większa od poprzedniej, przez 10 lat, to jakiej maksymalnej wysokości może być pierwsza rata takiej renty?
Po pierwsze OK 6= OS , więc musimy zastosować stopę względną
¯
r = 0,082 = 0, 04 na pół roku. Wtedy OS=OK=OP, więc q = 1, 04.
Obliczmy najpierw kapitał początkowy:
40 = Rw = 0, 04K
1, 04 ⇒ K = 1040.
Przykład
Zadanie
Rozważamy kapitalizację półroczną z nominalną roczną stopą
procentową 8%. Z pewnego kapitału można wypłacać rentę wieczystą półroczną z góry w wysokości 40jp. Jeśli z tego samego kapitału chcemy wypłacać rentę geometryczną półroczną z dołu, której każda kolejna rata jest o 2, 5% większa od poprzedniej, przez 10 lat, to jakiej maksymalnej wysokości może być pierwsza rata takiej renty?
K = 1040, q = 1, 04. Zajmijmy się teraz rentą geometryczną.
Z treści zadania a = 1, 025 i OS=OK=OP. Liczba płatności w ramach tej renty to N = 20 (10 lat, 2 płatności w roku). Zatem, korzystając z zależności pomiędzy K , a S20:
1040 = K = S20(1, 04)−20 ⇒ S20 = 2278, 7681.
Przykład
Zadanie
Rozważamy kapitalizację półroczną z nominalną roczną stopą
procentową 8%. Z pewnego kapitału można wypłacać rentę wieczystą półroczną z góry w wysokości 40jp. Jeśli z tego samego kapitału chcemy wypłacać rentę geometryczną półroczną z dołu, której każda kolejna rata jest o 2, 5% większa od poprzedniej, przez 10 lat, to jakiej maksymalnej wysokości może być pierwsza rata takiej renty?
K = 1040, q = 1, 04. Zajmijmy się teraz rentą geometryczną. Z treści zadania a = 1, 025 i OS=OK=OP. Liczba płatności w ramach tej renty to N =
20 (10 lat, 2 płatności w roku). Zatem, korzystając z zależności pomiędzy K , a S20:
1040 = K = S20(1, 04)−20 ⇒ S20 = 2278, 7681.
Przykład
Zadanie
Rozważamy kapitalizację półroczną z nominalną roczną stopą
procentową 8%. Z pewnego kapitału można wypłacać rentę wieczystą półroczną z góry w wysokości 40jp. Jeśli z tego samego kapitału chcemy wypłacać rentę geometryczną półroczną z dołu, której każda kolejna rata jest o 2, 5% większa od poprzedniej, przez 10 lat, to jakiej maksymalnej wysokości może być pierwsza rata takiej renty?
K = 1040, q = 1, 04. Zajmijmy się teraz rentą geometryczną. Z treści zadania a = 1, 025 i OS=OK=OP. Liczba płatności w ramach tej renty to N = 20 (10 lat, 2 płatności w roku).
Zatem, korzystając z zależności pomiędzy K , a S20:
1040 = K = S20(1, 04)−20 ⇒ S20 = 2278, 7681.
Przykład
Zadanie
Rozważamy kapitalizację półroczną z nominalną roczną stopą
procentową 8%. Z pewnego kapitału można wypłacać rentę wieczystą półroczną z góry w wysokości 40jp. Jeśli z tego samego kapitału chcemy wypłacać rentę geometryczną półroczną z dołu, której każda kolejna rata jest o 2, 5% większa od poprzedniej, przez 10 lat, to jakiej maksymalnej wysokości może być pierwsza rata takiej renty?
K = 1040, q = 1, 04. Zajmijmy się teraz rentą geometryczną. Z treści zadania a = 1, 025 i OS=OK=OP. Liczba płatności w ramach tej renty to N = 20 (10 lat, 2 płatności w roku). Zatem, korzystając z zależności pomiędzy K , a S20:
1040 = K = S20(1, 04)−20 ⇒ S20 = 2278, 7681.
Przykład
Zadanie
Rozważamy kapitalizację półroczną z nominalną roczną stopą
procentową 8%. Z pewnego kapitału można wypłacać rentę wieczystą półroczną z góry w wysokości 40jp. Jeśli z tego samego kapitału chcemy wypłacać rentę geometryczną półroczną z dołu, której każda kolejna rata jest o 2, 5% większa od poprzedniej, przez 10 lat, to jakiej maksymalnej wysokości może być pierwsza rata takiej renty?
N = 20, S20= 2278, 7681, q = 1, 04, a = 1, 025, q 6= a.
Wystarczy te dane podstawić do wzoru na rentę geometryczną z dołu:
2278, 7681 = S20= Rq20− a20
q − a ⇒ R = 28, 6969.
Odp: Pierwsza rata takiej renty może wynosić maksymalnie 28,6969.
Przykład
Zadanie
Rozważamy kapitalizację półroczną z nominalną roczną stopą
procentową 8%. Z pewnego kapitału można wypłacać rentę wieczystą półroczną z góry w wysokości 40jp. Jeśli z tego samego kapitału chcemy wypłacać rentę geometryczną półroczną z dołu, której każda kolejna rata jest o 2, 5% większa od poprzedniej, przez 10 lat, to jakiej maksymalnej wysokości może być pierwsza rata takiej renty?
N = 20, S20= 2278, 7681, q = 1, 04, a = 1, 025, q 6= a. Wystarczy te dane podstawić do wzoru na rentę geometryczną z dołu:
2278, 7681 = S20= Rq20− a20
q − a ⇒ R = 28, 6969.
Odp: Pierwsza rata takiej renty może wynosić maksymalnie 28,6969.