Obliczenia nośności granicznej zgodne z metodyką przepisów CSR są na tyle żmudne, że celo-wym jest przeprowadzanie ich za pomocą programu komputerowego. W ramach niniejszej pracy przygotowano program ngr cr; opis jego użytkowania znajduje się w załączniku B.
Celem tego etapu było:
1. Przetestowanie przygotowanego programu.
Rysunek 4: Panel usztywniony poprzecznie, metoda CSR
2. Sprawdzenie zgodności wyników uzyskiwanych w ramach metodyki CSR z wiarygodnymi wynikami „niezależnymi”.
3. Przygotowanie bazy porównawczej dla wyników obliczeń wykonywanych za pomocą progra-mów MES.
Jako niezależną bazę porównawczą wykorzystano informacje zawarte w [4].
Przedmiotem analizy były cienkościenne belki o przekroju „statkopodobnym”, gdyż wyniki eks-perymentów na nich przeprowadzonych zostały zamieszczone w [4]. Doświadczalne belki były
„skrzynkami” o długości części roboczej 540 mm, wydzielonej poprzecznymi usztywnieniami; belki te były zginane stałym momentem. Parametry modeli oraz wyniki eksperymentów są zamieszczone w [4] oraz [1].
Model MST–3 reprezentuje kadłub jednoposzyciowego zbiornikowca, wykonany z jednolitego materiału. Charakterystyki geometryczne i wytrzymałościowe przekroju poprzecznego tego modelu są następujące:
Obliczenia dokładne Obliczenia uproszczone moment bezwładności zginania [m4] 8.671 · 10−12 8.826 · 10−12
moment plastyczny [kNm] 787.0 793.5
gdzie Obliczenia dokładne odnoszą się do modelu ciągłego, zgodnego z wiedzą z Wytrzymałości Materiałów, natomiast Obliczenia uproszczone zostały wykonane dla modelu dyskretnego, zgodnego z przepisami CSR (ten model jest realizowany w programie ngr cr); rozbieżność nie przekracza 2%.
Wyniki obliczeń nośności granicznej, wykonanych zgodnie z metodyką CSR, są przedstawione na Rys. 5. Pozwalają one na poczynienie następujących obserwacji:
• Obliczona nośność graniczna przewyższa (średnią) wyznaczoną eksperymentalnie o 12.3% .
Rysunek 5: Model MST–3, wygięcie, metoda CSR
• Moment plastyczny przekroju jest większy o 18.5% od obliczonej nośności.
• Wykres opisuje wygięcie belki kadłuba, więc oś obojętna zginania przemieszcza się w stronę pokładu (rosnące współrzędne z).
• Najszybsza zmiana położenia osi obojętnej zginania zachodzi w strefie maksimum krzywej nośności.
Model MST–4 reprezentuje kadłub jednoposzyciowego zbiornikowca, wykonany z niejednolitych elementów: poszycie jest grubsze niż usztywnienia, lecz jest wykonane z materiału o niższej granicy plastyczności:
tmm Re MPa poszycie 4.35 264 usztywnienia 3.0 287
Wyniki obliczeń nośności granicznej, wykonanych zgodnie z metodyką CSR, są przedstawione na Rys. 6. Widać na nim, że:
• Obliczona nośność graniczna jest prawie równa wyznaczonej eksperymentalnie – rozbieżność nie przekracza 1%.
• Moment plastyczny przekroju jest większy o 10.4% od obliczonej nośności.
• W dużym zakresie krzywizny (ok. 50% zakresu narastania momentu) moment graniczny jest stały.
Rysunek 6: Model MST–4, wygięcie, metoda CSR
3 Obliczenia bezpośrednie bazujące na MES
Metoda Elementów Skończonych (MES) jest obecnie najpowszechniej stosowaną, uniwersalną in-żynierską metodą obliczeniową dla zagadnień mechaniki konstrukcji. Posiada dobrze ugruntowane podstawy teoretyczne i matematyczne, rozwinięte metodyki modelowania i wykonywania obliczeń oraz bogaty zestaw oprogramowania.
Wszystko to skłania do stosowania jej w obliczeniach nośności granicznej kadłuba statku. Ogra-niczeniem może być niemożność uzyskania zgodności z wymaganiami przepisowymi CSR bądź niska wydajność obliczeniowa (długie czasy obliczeń, wymagane duże zasoby pamięci operacyjnej i dyskowej).
Podstawowe cechy, zalety i wady MES w kontekście zagadnienia nośności granicznej, to:
• Topologię analizowanej konstrukcji można odwzorować w sposób bezpośredni wykorzystu-jąc opis powłokowy lub nawet bryłowy. Dzięki temu ciągła konstrukcja zostanie zastąpiona również ciągłym modelem, co pozwoli na zachowanie interakcji między sąsiednimi obszarami.
• Modele powłokowe i bryłowe są zgodne z Teorią Sprężystości, co gwarantuje poprawny opis zjawisk fizycznych w zakresie liniowo-sprężystym, a współczesne komercyjne oprogramowa-nie MES oferuje przyrostowe techniki obliczeń zagadoprogramowa-nień oprogramowa-nieliniowych materiałowo i geome-trycznie.
• Chcąc uzyskać w sposób naturalny odwzorowanie wszystkich uwzględnionych w netodyce CSR form utraty stateczności trzeba środniki usztywnień modelować elementami powłoko-wymi, co może prowadzić do dużych modeli oraz kłopotów z implementacją warunków brze-gowych bądź obciążeń.
• Poprawny opis rzeczywistości fizycznej może być, paradoksalnie, wadą modelu obliczenio-wego, gdyż podstawą sformułowania przepisowego CSR są uproszczone (jednowymiarowe)
modele konstrukcji, które pozwalają na niespójne (ale dzięki temu bardziej swobodne) mode-lowanie.
• Wskazane wyżej problemy ujawniają się podczas implementacji wymuszonych przemieszczeń na brzegach analizowanego segmentu kadłuba statku. Chcąc uniknąć sztucznych spiętrzeń na-prężeń, które w kolejnych krokach obciążenia doprowadziłyby do uplastycznienia i stałyby się przyczyną „zniszczenia” konstrukcji, trzeba w całym przekroju zapewnić spójne przesu-nięcia wzdłuż osi x. Taki wymóg jest jednoznaczny z zadaniem warunku brzegowego typu
„brak obrotu w płaszczyźnie środnika” na końcach usztywnień, co jest sprzeczne z modelem CSR oraz obserwacjami czynionymi podczas eksperymentów. Problem można by było roz-wiązać rozbudowując przestrzennie model, np. do trzech segmentów, ale konsekwencją tego jest bardzo znaczne wydłużenie czasu obliczeń.
• Immanentną cechą obliczeń nośności granicznej konstrukcji cienkościennych jest uwzględnie-nie zjawiska utraty stateczności oraz opis pokrytycznego stadium pracy konstrukcji. W me-todzie MES, w zakresie liniowym, obliczenia stateczności (początkowej) i wytrzymałości są rozdzielone – obsługują je dwa oddzielne „solvery”. Obliczenia nieliniowe mogą śledzić zja-wiska krytyczne i pokrytyczne, ale musi zaistnieć „wymuszenie”, które je zainicjuje; w prze-ciwnym przypadku „idealna” konstrukcja (np. płaska, ściskana blacha) stateczności nie straci.
Wymaga to zbudowania modelu „z imperfekcjami” adekwatnymi do spodziewanych zjawisk krytycznych.
• W konstrukcji rzeczywistej istnieją w stanie początkowym niezerowe stany naprężeń, które są skutkiem uprzednich operacji technologicznych (walcowania, cięcia, spawania, itp.). Na po-ziomie obliczeniowym są one uwzględniane przy analizie stateczności w postaci tzw. paraboli Johnsona – nieliniowej „modyfikacji” klasycznej krzywej Eulera σ–λ.
Fizycznym skutkiem obecności naprężeń początkowych, co obrazuje właśnie parabola John-sona, jest wcześniejsze usiągnięcie stanu plastycznego w pewnych rejonach konstrukcji, co prowadzi do „plastycznej” utraty stateczności – powstania plastycznych przegubów i załomów.
W metodzie MES można uzyskać stan naprężeń początkowych, ale raczej na pewno nie będzie on zgodny ze standardowym modelem przyjmowanym w dotychczasowej „prętowej” praktyce analizy konstrukcji cienkościennych, gdyż zakłada on „niegładką” (skokową) zmianę naprężeń, a jest to sprzeczne z warunkami nierozdzielności będącymi podstawą Teorii Sprężystości.
Standardowe programy MES nie udostępniają również bezpośredniego sposobu odwzorowania paraboli Johnsona, np. jako modelu materiału.
• Model MES nośności granicznej będzie statycznym modelem nieliniowym, a to wymaga ob-liczeń iteracyjnych przy krokowym zwiększaniu obciążenia i uzyskiwaniu stanów równowagi.
Konsekwencją tego stanu rzeczy jest długi czas obliczeń (100 lub więcej razy dłuższy w sto-sunku do obliczeń liniowo–sprężystych), więc należy dążyć do redukcji wielkości modelu.
Model MES i algorytm obliczeń powinny zachować fundamentalne zasady przepisowego sformuło-wania analizy nośności granicznej, pozwalając jednocześnie na bliższe rzeczywistości odwzorowanie zjawisk wytrzymałościowych.
3.1 Model wytrzymałościowy
O poprawności odwzorowania zjawisk wytrzymałościowych mogą decydować:
1. sposób opisu postaci konstrukcji i użyte rodzaje elementów;
2. sposób i gęstość podziału na elementy;
3. model materiału;
4. warunki brzegowe i obciążenia.
Nie zawsze jest możliwe czy celowe zapewnienie najlepszego możliwego do uzyskania sposobu realizacji powyższych parametrów. Czasem jesteśmy ograniczeni sprzecznymi wymaganiami, a cza-sem technicznymi realiami obliczeniowymi.
3.1.1 Model konstrukcji
Świat otaczający nas jest trójwymiarowy, więc „idealnym” sposobem opisu kształtu konstrukcji byłyby bryły, ale prowadzi to do bardzo dużych modeli i monstrualnie długich czasów obliczeń.
Wystarczająco dokładny, zarówno na poziomie kształtu jak i zjawisk wytrzymałościowych, jest opis powłokowy, zarówno płyt poszycia jak i środników usztywnień. Mocniki usztywnień można modelować zarówno powłokami jak i belkami, ale opis belkowy nie pozwoli uwzględnić zjawiska lokalnej utraty stateczności przez mocnik (ale metodyka CSR też tego zjawiska nie uwzględnia, bo przyjmuje się, że poprawnie zaprojektowana konstrukcja wyklucza taką formę utraty stateczno-ści). W pzypadku mocników niesymetrycznych (np. płaskowniki łebkowe) trzeba użyć belkowych elementów mimośrodowych.
Konstrukcja kadłuba statku jest w przeważającej liczbie przypadków (prawie) symetryczna względem PS. Obciążenie też jest symetryczne, więc wydawałoby się, że wzorem standardowych obliczeń wytrzymałościowych można ograniczyć poprzeczny zakres modelu do rejonu od PS do bur-ty zewnętrznej. W przypadku obliczeń nośności granicznej model musi obejmować całą szerokość statku, gdyż „symetryczne” obciążenie może wywołać „antysymetryczne” formy utraty stateczności (np. poszycia dna, wzdłużników, usztywnień wzdłużnych).
Podział obszarów powierzchniowych na elementy skończone powinien spełnić dwa generalne kryteria:
1. elementy powinny być jak najbardziej zbliżone do kwadratów,
2. gęstość powinna być wystarczająca do opisu kształtu, gradientów naprężeń i spodziewanych form deformacji.
Analizowany fragment kadłuba jest obiektem „wyidealizowanym”, bo opisuje hipotetyczną kon-strukcję „pryzmatyczną”, więc każdy z obszarów powierzchniowych jest prostokątem, co pozwala teoretycznie na zastosowanie podziału na elementy kwadratowe. Kłopot mogą sprawić „skale wiel-kości”: usztywnienia mają wysokość rzędu 300 mm, a długość segmentu wynosi ok. 3000 mm.
Chęć zastosowania elementów kwadratowych sprawi, że o ich wielkości będzie decydowała wy-sokość usztywnień, co wymusi gęsty podział na kierunku wzdłużnym. Nie jest to postępowanie błędne, ale prowadzi do dużych modeli i długich czasów obliczeń. W praktyce obliczeniowej ak-ceptuje się proporcje boków elementu 1 : 2, a dopuszcza się 1 : 3; bardziej wydłużone prostokąty mogą prowadzić już do nieakceptowalnych odstępstw od rzeczywistości, ale to zależy od własności elementu użytego w danym programie obliczeniowym.
W przypadku tego modelu, o minimalnej gęstości podziału będą w pierwszym rzędzie decydować spodziewane formy deformacji konstrukcji: utrata stateczności. Z praktyki obliczeniowej wiadomo, że dla poprawnego wyznaczenia obciążeń krytycznych przy analizie stateczności początkowej należy zapewnić podział na ok. 8 części na długości jednej półfali formy utraty stateczności; godząc się na większe odstępstwa można zastosować podział na np. 6 części.
Należy pamiętać, że analiza będzie prowadzona również w zakresie pozasprężystym. Lokalne spiętrzenia naprężeń, np. w narożach płyt, mogą doprowadzić do szybkiego uplastycznienia i dużych lokalnych deformacji, co doprowadzi do niemożności uzyskania stanu równowagi i załamania się obliczeń, nawet przy stosunkowo niewielkim obciążeniu ściskającym. Drugą przyczyną powstania stref silnie uplastycznionych jest zginanie tracących stateczność płyt, co prowadzi do powstania
„załomów plastycznych”. Wiedząc o tym, można (a czasem należy) zagęścić podział w rejonach spodziewanych dużych gradientów naprężeń.
3.1.2 Model materiału
Powszechnie [2] przejmuje się, że do obliczeń nośności granicznej konstrukcji kadłuba statku wy-starczający jest symetryczny, „biliniowy” sprężysto-plastyczny model materiału:
– do odkształceń odpowiadających granicy plastyczności: liniowo-sprężysty,
– po przekroczeniu odkształceń odpowiadających granicy plastyczności: idealnie plastyczny (bez umocnienia).
Do oceny poziomu wytężenia materiału przyjmuje się hipotezę Hubera–Misesa-Hencka.
3.1.3 Warunki brzegowe i obciążenie
Warunki brzegowe wynikają ze specyficznej postaci modelu obliczeniowego nośności granicz-nej. Obliczenia wykonywane są na wydzielonym fragmencie konstrukcji, więc warunki brzegowe powinny odwzorować współpracę na granicach „przecięcia”. Nie powinny również ograniczać swo-body deformacji („przesztywniać” konstrukcji), ale równocześnie powinny umożliwić obliczenia w zakresie statycznym – uniemożliwić ruch jako ciało sztywne.
Przyjmując przepisowy „okrętowy” układ współrzędnych (oś x wzdłuż kadłuba, oś y na lewą burtę, oś z do góry), warunki brzegowe można sformułować następująco:
• Na końcach modelu, w „płaszczyznach przecięcia”, występują hipotetyczne wiązary poprzecz-ne, które są sztywne na zginanie w swojej płaszczyźnie natomiast są podatne na zginanie
„pozapłaszczyznowe”. Wskutek tego:
– Krawędzie blach poszycia powinny pozostawać prostoliniowe, a krawędzie wiązań wzdłuż-nych prostopadłe do nich w całym procesie obciążania. Równocześnie konstrukcja musi mieć możliwość deformacji liniowych na kierunkach prostopadłych do osi x (bo roz-ciaganie/ściskanie na kierunku osi x prowadzi do zmian wymiarów na kierunkach „po-przecznych”). Te wymagania można spełnić zadając warunek
Φx =0
– Wzdłużne elementy konstrukcyjne muszą mieć swobodę obrotu wokół krawędzi (punktu) ich przecięcia z płaszczyzną wiązara poprzecznego, więc obroty Φy i Φzmuszą pozostać swobodne.
– Konstrukcja musi mieć swobodę „deformacji poprzecznych”, więc przemieszczenia Uy
i Uz powinny pozostać swobodne.
• Podczas zginania obowiązuje hipoteza płaskich przekrojów (przynajmniej na krańcach mode-lu), więc:
– Jedna z płaszczyzn skrajnych może pozostać nieruchoma i dla niej przyjmujemy Ux =0.
– Na drugim krańcu nie można zadać takiego warunku, gdyż skutkiem byłoby nie tylko zapewnienie płaskości, ale również uniemożliwienie „zgięcia ogólnego” segmentu kadłu-ba. Środkiem zapewniającym pozostanie węzłów w jednej płaszczyźnie i równocześnie umożliwienie im innych przemieszczeń są równania narzucające grupie węzłów liniowe zależności na przesunięcia na wybranym kierunku – w tym przypadku Ux. Współczesne zaawansowane programy obliczeniowe umożliwiają takie formułowanie warunków brze-gowych, np. w programie NASTRAN są one określane nazwą Multipoint Constraints – MPC.
– Realizując zginanie w płaszczyźnie pionowej, na „ruchomym” końcu trzeba spowodować, aby „płaski przekrój” pozostał prostopadły do płaszczyzny zginania – Φz =0.
• Należy uniemożliwić ruch obiektu jako ciała sztywnego, ale równocześnie należy zapewnić swobodę deformacji. W tym celu należy w jednym węźle zablokować przesunięcia na kierunku osi y i z (Uy = 0 i Uz =0). Wygodnie jest uczynić to na „nieprzesuwnym” brzegu modelu, w PS na dnie zewnętrznym.
Realizację zginania w płaszczyźnie pionowej, przy wykorzystaniu warunków MPC na „ruchomym końcu”, można uzyskać na dwa sposoby:
1. zadając moment gnący My w węźle „Master” i rejestrując kąt obrotu Φy w tym węźle;
2. zadając kąt obrotu Φy w węźle „Master” i rejestrując moment reakcyjny My w tym węźle.
W sposobie pierwszym wielkością narastającą monotonicznie jest moment gnący (obciążenie), nato-miast w sposobie drugim – kąt obrotu (deformacja). Skutkuje to odmiennym procesem znajdowania rozwiązania.
Celem analizy nośności granicznej jest znalezienie maksymalnego momentu, który może prze-nieść konstrukcja, a kryterium „dopuszczalności” jest zniszczenie. Obliczenia są realizowane po-przez krokowe powiększanie obciążenia, więc najwygodniej byłoby odczytać maksymalny moment z wykresu M = f (n) (n – numer kroku). Otrzymanie takiego wykresu z „wiarygodnym” maksimum, tzn. nie występujacym na brzegu, wymaga, aby po uzyskaniu max M krzywa nadal była kontynu-owana. Ten wymóg jest sprzeczny z pierwszym sposobem realizacji zginania, bo w nim moment zawsze narasta, natomiast sposób drugi umożliwia to.
Sposób drugi, mimo że „mniej intuicyjny”, jest odpowiednikiem próby statycznego rozciągania, gdzie wymuszeniem jest zadawane wydłużenie próbki. Taki „przemieszczeniowy” sposób realizacji obliczeń wytrzymałościowych jest właściwy w przypadkach, gdy spodziewamy się, że od pewnego poziomu wymuszenia konstrukcja nie będzie zdolna, chwilowo lub w sposób trwały, do przenoszenia narastajacych obciążeń – wystąpią „procesy bierne”. W przypadku sposobu pierwszego – „obciąże-niowego” – obliczenia najczęściej kończą się na pierwszej „niestabilności” informacją o niemożności uzyskania stanu równowagi i krzywa M(n) urywa się w „fazie wzrostu”.
Sposób drugi – „przemieszczeniowy” – może też znacznie ułatwić proces obliczeń, bo najczę-ściej kroki wymuszenia mogą być większe, niż w sposobie pierwszym.
Jeśli wykorzystywany program obliczeniowy nie udostępnia techniki MPC, to obciążenie w po-staci momentu zginającego „segment” można uzyskać realizując „zgięciowy stan naprężenia” na
„swobodnym brzegu” w postaci ciągłego obciążenia tarczowego bądź układu sił skupionych. Ten sposób ma następujące wady (i chyba żadnych zalet):
– nie realizuje hipotezy płaskich przekrojów;
– postać obciążenia wymaga antycypacji położenia osi obojętnej zginania, a położenie to jest zmienne w kolejnych krokach obciążenia;
– jest to metoda „obciążeniowa”, a więc czuła na „procesy bierne”;
– obciążenie działa w każdym z węzłów niezależnie od sąsiednich, co może doprowadzić do powstania lokalnego spiętrzenia naprężeń, uplastycznienia i utraty stateczności, a w konse-kwencji osiągnięcia stanu „zniszczenia”.
W efekcie należy spodziewać się wyznaczenia znacznie zaniżonego momentu granicznego, ale uzyskane wyniki będą mało wiarygodne.
3.1.4 Odwzorowanie zjawisk wytrzymałościowych
Model oraz proces obliczeń powinny umożliwić odwzorowanie zjawisk wytrzymałościowych istot-nych w danym zagadnieniu. W przypadku nośności granicznej są to uplastycznienie oraz utrata stateczności, realizowane we wspólnym procesie.
Efekty plastyczne uzyskuje się łatwo, definiując odpowiedni model materiału i realizując nieli-niowe obliczenia iteracyjne.
Utrata stateczności połączona z uplastycznieniem jest trudniejsza do uzyskania. Powszechnie wykorzystywanym sposobem jest stosowanie wstępnych imperfekcji geometrycznych. Ich postać może być uzyskiwana na różne sposoby:
1. Forma deformacji jest określana dowolnie.
Zaletą jest dowolność i brak konieczności posiadania uprzednich inormacji. Wadą jest duża pracochłonność, jesli dbamy o niesprzeczność z mechaniką konstrukcji; bywają wykorzysty-wane do tego celu szeregi Fouriera. Jest to nader rzadko stosowany sposób.
2. Forma deformacji odpowiada uzyskanej w eksperymencie.
Sposób najbliższy rzeczywistości, ale dotyczy jednej konkretnej sytuacji. Sposób stosowany właściwie tylko przy opracowywaniu wyników eksperymentów.
3. Deformacje konstrukcji są uzyskiwane poprzez przyłożenie dodatkowego obciążenia powierzch-niowego.
Zaletą jest zgodność postaci deformacji z mechaniką konstrukcji oraz możliwość realizacji imperfekcji zarówno w stanie naprężeniowym jak i beznaprężeniowym. Wadą jest to, że formy deformacji, uzyskane dla obciążenia poprzecznego, mogą nie być zgodne z formami utraty stateczności, właściwymi dla innego obciążenia tej konstrukcji, co może doprowadzić do za-wyżenia obliczanej nośności granicznej [5]. Jest to sposób chętnie stosowany, bo niekłopotliwy i „tani” obliczeniowo (jedne dodatkowe obliczenia liniowej statyki).
4. Deformacje wstępne odpowiadają pierwszej formie utraty stateczności zginanej (bądź ściska-nej) konstrukcji.
Zaletą jest zgodność imperfekcji ze spodziewanymi formami niszczenia. Dużą wadą jest znacz-na czasochłonność tych „wstępnych obliczeń” stateczności, bo one też są iteracyjne. Sposób ten jest często stosowany do stosunkowo niezbyt dużych modeli.
Wielkość wstępnych deformacji jest wyznaczana przy wykorzystaniu szeroko dostępnych formuł (np. [2]) opracowanych na podstawie wyników pomiarów rzeczywistych konstrukcji (najczęściej jest to ułamek grubości blachy).
3.1.5 Prezentacja wyników
Oczekiwaną formą wyników obliczeń nośności granicznej jest zależność M = f(κ)
gdzie κ jest krzywizną „belki kadłuba”.
Stosując technikę „płaskiego brzegu” (MPC) otrzymujemy „punkty obliczeniowe” odpowiadające zależności M = f (Φ), gdzie Φ jest kątem obrotu „brzegu”. Skoro drugi brzeg był nieruchomy, to wiedząc, że kąt obrotu jest mały (nie przekracza dziesiątych części radiana), można wyznaczyć krzywiznę
κ = ls
Φ gdzie ls jest długością analizowanego segmentu kadłuba.