Porz adek spektralny a operatory samosprz , eżone dodatnie , W tym podrozdziale zajmiemy si e dokładniej zachowaniem si , e porz, a-,





0, gdy x < −1 −√ 2, Q₁, gdy − 1 −√

2 6 x < −1 +√ 2, I, gdy − 1 +√

2 6 x.

W szczególności F_B+C(0) 66 FA+C(0), co oznacza, że A + C 64 B + C.

3.4. Porzadek spektralny a operatory samosprz_, eżone dodatnie_, W tym podrozdziale zajmiemy sie dokładniej zachowaniem si_, e porz_, a-_, dku spektralnego w klasie operatorów samosprzeżonych dodatnich. Roz-_, ważania o porzadku spektralnym dla tej klasy rozpoczniemy od prostej_, ale ważnej obserwacji (por. [21, str. 540]).

Obserwacja 3.4.1. Niech A bedzie operatorem samosprz_, eżonym w_, H. Wówczas 0 4 A wtedy i tylko wtedy, gdy A jest dodatni.

Dowód. Oczywiście F0(x) =

(0, gdy x ∈ (−∞, 0), I, gdy x ∈ [0, ∞).

Stad wynika, że relacja 0 4 A jest równoważna równości E_, A((−∞, 0)) = 0. Ostatnia własność jest równoznaczna z tym, że A jest dodatni.  Przejdziemy teraz do zagadnienia charakteryzacji porzadku spektral-_, nego we wspomnianej klasie operatorów za pomoca zależności pomi_, edzy_, potegami porównywanych operatorów. Na wst_, epie pokażemy, że porz_, a-_, dek spektralny wymusza odpowiednie relacje pomiedzy zbiorami wekto-_, rów ograniczonych, analitycznych, quasi-analitycznych i stieltjesowskich operatorów, które chcemy porównywać.

Propozycja 3.4.2. Niech A i B bed_, a dodatnimi operatorami samo-_, sprzeżonymi w H takimi, że A 4 B. Wówczas dla każdej liczby rzeczy-_, wistej s> 0 zachodza nast_, epuj_, ace warunki :_,

(i) A^s 4 B^s,

(ii) D(B^s) ⊆D(A^s) i D^∞(B^s) ⊆D^∞(A^s), (iii) kA^shk 6 kB^shk dla wszystkich h ∈ D(B^s), (iv) hA^sh, hi 6 hB^sh, hi dla wszystkich h ∈ D(B^s),

(v) A^s 6 B^s.

Co wiecej,_, D^∞(B) ⊆D^∞(A), B(B) ⊆ B(A), A (B) ⊆ A (A), Q(B) ⊆ Q(A) i S (B) ⊆ S (A).

Dowód. (i) Wynika bezpośrednio z propozycji 3.3.2 zastosowanej do funkcji rosnacej f (x) = |x|_, ^sχ_[0,∞)(x).

(ii) Stosujac (i) oraz propozycj_, e 3.3.3 widzimy, że_, D(B^t) ⊆D(A^t) dla każdej liczby rzeczywistej t> 0. Stad wynika, że_, D((B^s)ⁿ) =D(B^sn) ⊆ D(A^sn) = D((A^s)ⁿ) dla wszystkich n ∈ N. Tym samym⁵ D^∞(B^s) ⊆ D^∞(A^s).

(iii) Korzystajac z (ii) i z twierdzenia 2.3.1 do funkcji rosn_, acej f (x) =_,

|x|^2sχ_[0,∞)(x) otrzymujemy, że kA^shk² =

Z

[0,∞)

x^2shE_A(dx)h, hi 6 Z

[0,∞)

x^2shE_B(dx)h, hi = kB^shk² dla wszystkich h ∈D(B^s).

(iv) Wynika natychmiast z (i) i z propozycji 3.3.3 (można też wy-wnioskować (iv) z (iii)).

(v) Wynika bezpośrednio z (ii) i (iii).

Pozostała cześć tezy wynika z (ii) i (iii)._,  Wniosek 3.4.3. Jeśli A i B sa dodatnimi operatorami samosprz_, eżo-_, nymi w H takimi, że A^t 4 B^t dla pewnej rzeczywistej liczby t > 0, to A^s 4 B^s dla każdej liczby rzeczywistej s> 0.

Dowód. Niech s bedzie dowoln_, a nieujemn_, a liczb_, a rzeczywist_, a. Wów-_, czas C^s = (C^t)^s/t, gdzie C jest dodatnim samosprzeżonym operatorem_, w H. Stad na mocy propozycji 3.4.2 (i) otrzymujemy tez_, e._,  Zgodnie z propozycja 3.4.2, jeśli A i B s_, a dodatnimi operatorami sa-_, mosprzeżonymi w H takimi, że A 4 B, to A_, ⁿ6 Bⁿdla wszystkich n ∈ N.

Można w tym miejscu postawić pytanie: czy implikacja odwrotna jest prawdziwa. Jak sie okazuje odpowiedź jest pozytywna (zobacz wniosek_, 3.4.7). Zaczniemy od udowodnienia kluczowego lematu. Poniżej przyj-mujemy konwencje, że 0/0 = 0 i a/0 = ∞ dla a ∈ (0, ∞)._,

Lemat 3.4.4. Jeśli A i B sa dodatnimi operatorami samosprz_, eżonymi_, w H, to

(i) R(FB(x)) ∩EA/B ⊆R(FA(x)) dla każdego x ∈ R, (ii) A4 B zakładajac, że_, B(B) ⊆ EA/B,

gdzie EA/B = {h ∈D^∞(A) ∩D^∞(B) : L_A/B(h) 6 1} oraz⁶

L_A/B(h) := lim inf

s→∞

phAs ^sh, hi/hB^sh, hi, h ∈D^∞(A) ∩D^∞(B).

(3.4.1)

Dowód. Na wstepie zauważmy, że jeśli C jest dodatnim operatorem_, samosprzeżonym w H, to hC_, ^sh, hi =

Z

[0,∞)

x^shEC(dx)h, hi dla każdego

5Zauważmy, że D^∞(C^t) = D^∞(C) dla każdego dodatniego operatora samo-sprzeżonego C i dla wszystkich liczb rzeczywistych t > 0._,

6 Zagadnienie istnienia granicy w (3.4.1) jest dyskutowane w aneksie.

h ∈ D^∞(C). W szczególności stad i ze stwierdzenia 5.1.1 (zastosowa-_, nego do funkcji f : [0, ∞) → R danej wzorem f (x) = x^s dla x > 0 oraz miary borelowskiej µ_h określonej wzorem µ_h(σ) := hE_C(σ)h, hi dla wszystkich σ ∈ B(R)) wynika, że dla dowolnego dodatniego operatora samosprzeżonego C w H oraz dla każdego h ∈_, D^∞(C) istnieje granica lim_s→∞phC^{s s}h, hi ∈ [0, ∞].

(i) Dla danego h ∈D^∞(A) ∩D^∞(B) wprowadźmy pomocnicze ozna-czenie rs(h) = hA^sh, hi/hB^sh, hi. Ustalmy liczbe rzeczywist_, a x > 0 i_, weźmy h ∈R(FB(x)) ∩EA/B. Wówczas na mocy (3.2.2) h ∈Bx(B). Po-nieważ L_A/B(h) 6 1, to istnieje rosnacy ci_, ag {s_{, n}}^∞_n=1 liczb rzeczywistych dodatnich taki, że lim_n→∞ ^snpr_sn(h) 6 1. Stosujac powyższe informacje_, otrzymamy nastepuj_, ace oszacowania_,

n→∞lim

pkAn ⁿhk = lim

n→∞

2nphA²ⁿh, hi (3.4.2)

= lim

n→∞

snphA^snh, hi

= lim

n→∞

snp

r_sn(h) lim

n→∞

snphB^snh, hi 6 lim

n→∞

2nphB²ⁿh, hi

= lim

n→∞

pkBn ⁿhk 6 x.

Dzieki zastosowaniu [30, lemat 8 (b)] do operatora A widzimy, że h ∈_, Bx(A). Stad i z równości (3.2.2) otrzymujemy, że h ∈_, R(FA(x)), co oznacza że R(FB(x)) ∩EA/B ⊆R(FA(x)). To pociaga za sob_, a (i)._,

Punkt (ii) tezy jest natychmiastowym wnioskiem z (i) i (3.2.2).  Możemy teraz udowodnić nasza główn_, a charakteryzacj_, e porz_, adku_, spektralnego.

Twierdzenie 3.4.5. Jeśli A i B sa dodatnimi operatorami samo-_, sprzeżonymi w H, to nast_, epuj_, ace warunki s_, a równoważne:_,

(i) A4 B,

(ii) D^∞(B) ⊆D^∞(A) i L_A/B(h) 6 1 dla wszystkich h ∈ D^∞(B), (iii) B(B) ⊆ D^∞(A) i L_A/B(h) 6 1 dla wszystkich h ∈ B(B), (iv) B(B) ⊆ B(A) i LA/B(h) 6 1 dla wszystkich h ∈ B(B).

Dowód. (i)⇒(ii) Na mocy cześci (ii) i (iv) propozycji 3.4.2 otrzy-_, mujemy, że D^∞(B) ⊆ D^∞(A) i hA^sh, hi 6 hB^sh, hi dla każdego s > 0 i h ∈D^∞(B), co oznacza, że L_A/B(h) 6 1 dla wszystkich h ∈ D^∞(B).

(ii)⇒(iii) To jest oczywiste.

(iii)⇒(i) Wystarczy zastosować lemat 3.4.4 (ii).

(i)⇒(iv) To jest konsekwencja (i)⇒(ii) oraz propozycji 3.4.2._,

(iv)⇒(iii) To jest oczywiste. 

Wniosek 3.4.6. Jeśli A i B sa dodatnimi operatorami samosprz_, eżo-_, nymi w H, to nastepuj_, ace warunki s_, a równoważne:_,

(i) A4 B,

(ii) D^∞(B) ⊆D^∞(A) i IA,B(h) = [0, ∞) dla każdego h ∈D^∞(B), (iii) D^∞(B) ⊆ D^∞(A) i zbiór IA,B(h) jest nieograniczony dla każdego

h ∈D^∞(B),

(iv) B(B) ⊆ D^∞(A) i zbiór IA,B(h) jest nieograniczony dla każdego h ∈B(B),

(v) B(B) ⊆ B(A) i zbiór IA,B(h) jest nieograniczony dla każdego h ∈ B(B),

gdzie IA,B(h) := {s ∈ [0, ∞) : hA^sh, hi 6 hB^sh, hi} dla h ∈ D^∞(A) ∩ D^∞(B).

Dowód. (i)⇒(ii) To wynika z propozycji 3.4.2 (ii)&(iv).

Implikacje (iv)⇒(v) i (v)⇒(i) sa bezpośredni_, a konsekwencj_, a twier-_, dzenia 3.4.5.

Pozostałe implikacje sa oczywiste._, 

Poniższy wniosek, za wyjatkiem punktu (iv), jest uogólnieniem [21,_, twierdzenie 3] na przypadek operatorów nieograniczonych. Równoważ-ność (iii)⇔(iv) poniżej jest ciekawa niezależnie od samych rozważań o porzadku spektralnym._,

Wniosek 3.4.7. Niech A i B bed_, a dodatnimi operatorami samosprz_, e-_, żonymi w H. Załóżmy, że {s_n}^∞_n=1 ⊆ [0, ∞) i {r_n}^∞_n=1 ⊆ [1, ∞) sa_, ciagami takimi, że lim_{, n→∞}s_n = ∞ i lim inf_n→∞ ^sn√

r_n 6 1⁷. Wówczas poniższe warunki sa równoważne:_,

(i) A4 B,

(ii) A^s 4 B^s dla wszystkich s> 0, (iii) A^s 6 B^s dla wszystkich s> 0, (iv) A^sn 6 rⁿB^sn dla wszystkich n > 1.

W szczególności A4 B wtedy i tylko wtedy, gdy Aⁿ 6 Bⁿ dla wszystkich n ∈ N.

Dowód. Na mocy propozycji 3.4.2 wnioskujemy, że (i) implikuje (ii) oraz (ii) implikuje (iii). Implikacja (iii)⇒(iv) jest trywialna.

(iv)⇒(i) Niech C bedzie dowolnym dodatnim operatorem samosprz_, e-_, żonym w H. PonieważD(C^t) ⊆D(C^s) dla wszystkich nieujemnych liczb rzeczywistych s, t takich, że s 6 t, to D^∞(C) = T∞

n=1D(C^sn/2). Z (iv) wynika, żeD(B^sn/2) ⊆D(A^sn/2) dla wszystkich n > 1. Z połaczenia obu_, faktów wnioskujemy, że D^∞(B) ⊆D^∞(A). Stad na mocy (iv) otrzymu-_, jemy, że

hA^snh, hi = kA^sn/2hk² 6 rnkB^sn/2hk²

= r_nhB^snh, hi, h ∈D^∞(B), n > 1.

Stosujac twierdzenie 3.4.5 dostajemy (i)._,

7Z założenia wynika, że lim infn→∞ ^sn

√rn = 1. Dowód samej implikacji (iv)⇒(i) nie wymaga tak silnego warunku.

Pozostała cześć tezy jest szczególnym przypadkiem równoważności_,

(i)⇔(iv). 

Nastepny wniosek rzuca wi_, ecej światła na zwi_, azki pomi_, edzy porz_, a-_, dkami „4” i „6”.

Wniosek 3.4.8. Niech A i B bed_, a dodatnimi operatorami samosprz_, e-_, żonymi w H. Wówczas nastepuj_, ace warunki s_, a równoważne:_,

(i) A 64 B,

(ii) zbiór {s ∈ [0, ∞) : A^s6 B^s} jest ograniczony.

Dodatkowo, jeśli A 64 B i B(B) ⊆ D^∞(A), to istnieje wektor h ∈ B(B) taki, że zbiór {s ∈ [0, ∞) : hA^sh, hi 6 hB^sh, hi} jest ograniczony.

Dowód. Równoważność (i)⇔(ii) można wydedukować z równoważ-ności (i)⇔(iv) we wniosku 3.4.7 dzieki zastosowaniu kontrapozycji (z_, r_n≡ 1 i odpowiednio dobranym ciagiem {s_{, n}}^∞_n=1). Druga cześć tezy jest_,

konsekwencja wniosku 3.4.6 (iv)._, 

3.5. Przykład

Naszym najbliższym celem bedzie zilustrowanie wniosku 3.4.8. Ogra-_, niczamy sie do przypadku dwuwymiarowej przestrzeni Hilberta H =_, C² wyposażonej w baze ortonormaln_, a {(1, 0), (0, 1)}._, W tej sytuacji porzadek spektralny ma prost_, a charakteryzacj_, e, której dowód (dosyć_, techniczny) pozostawiamy czytelnikowi.

Lemat 3.5.1. Niech A i B bed_, a symetrycznymi macierzami dwa na_, dwa o wartościach własnych α₁ 6 α2 i β₁ 6 β2 odpowiednio (jeśli prze-strzeń własna jest dwuwymiarowa, to odpowiadajaca jej wartość własna_, jest liczona dwukrotnie). Wówczas nastepuj_, ace dwa warunki s_, a równo-_, ważne:

(i) A4 B,

(ii) α_j 6 βj dla j = 1, 2, i N (A−α1) =N (B −β1) jeśli tylko β₁ < α₂. Co wiecej, jeśli A 4 B i β_, ¹ < α2, to AB = BA.

Zauważmy, że jeśli α_j 6 βj dla j = 1, 2 i β₁ > α2, to A4 B nie musi implikować przemienności A i B. Rzeczywiście, jeśli α₁ < α₂ 6 β1 < β₂ i P, Q ∈ B(C²) sa dowolnymi nieprzemiennymi rzutami ortogonalnymi, to_, macierze A = (α1−α2)P +α2i B = (β1−β2)Q+β2, które sa symetryczne,_, nie sa przemienne oraz A 4 B (zauważmy, że musi być dim R(P ) =_, dimR(Q) = 1). Zakładajac dodatkowo, że α_{, 1} > 0, dostaniemy, że A > 0 i B > 0.

Niech A i B_θ bed_, a macierzami zdefiniowanymi w nast_, epuj_, acy sposób_, A =1 1

1 1



i Bθ =2 1 1 θ



dla θ ∈ [1, ∞).

(3.5.1)

Oczywiście, A> 0 i Bθ > 0. Macierze A i B1 pojawiaja si_, e w [5, strona_, 584], gdzie zauważono, że A6 B1 oraz A² 66 B1² (zatem A 64 B1).

Lemat 3.5.2. Jeśli A i Bθ sa określone równościami (3.5.1), to na-_, stepuj_, ace warunki s_, a równoważne:_,

(i) A4 B^θ, (ii) AB_θ = B_θA, (iii) θ = 2.

Dowód. Zauważmy, że α1 = 0 i α₂ = 2 sa wartościami własnymi_, macierzy A oraz β_θ,1 = (θ + 2 −√

∆_θ)/2 i β_θ,2 = (θ + 2 + √

∆_θ)/2 sa_, wartościami własnymi macierzy B_θ, gdzie ∆_θ = (θ−2)²+4. Z nierówności θ − 2 6 |θ − 2| <√

∆_θ, wynika, że β_θ,1 < α₂. (3.5.2)

(i)⇒(ii) Na mocy 3.5.1 i (3.5.2), macierze A i Bθ sa przemienne._, (ii)⇔(iii) To jest oczywiste.

(iii)⇒(i) Wynika bezpośrednio z lematu 3.5.1, (3.5.2) i równości A =

A − α₁ = B₂− β_2,1. 

Zauważmy, że lim

θ→∞β_θ,1 = 2 = 1

2(β_2,1+ β_2,2) 6= β_2,1 i lim

θ→∞β_θ,2 = ∞.

W tym momencie możemy zobrazować sytuacje z wniosku 3.4.8. Po-_, każemy mianowicie, że dla każdej liczby całkowitej k > 1 istnieja samo-_, sprzeżone operatory dodatnie A_{, 1} i A₂ działajace na tej samej przestrzeni_, Hilberta takie, że Aⁿ₁ 6 Aⁿ2 dla każdego n = 0, . . . , k i A₁ 64 A2.

Propozycja 3.5.3. Niech A i Bθ bed_, a takie jak w (3.5.1). Wtedy_, dla każdej liczby całkowitej dodatniej k istnieje θ_k ∈ (2, ∞) taka, że dla każdego θ ∈ [θ_k, ∞),

(i) Aⁿ 6 Bθⁿ dla każdego n = 0, . . . , k, (ii) A 64 Bθ.

Dowód. Na mocy zasady indukcji matematycznej Aⁿ= 2ⁿ⁻¹A, n > 1.

Ponieważ macierze B_θ sa symetryczne, to n-t_, a pot_, eg_, e można zapisać w_, postaci

B_θⁿ =a_n b_n b_n c_n



, n > 1, (3.5.3)

gdzie a_n, b_n, c_n sa zależne od θ. Obliczaj_, ac B_{, θ}⁽ⁿ⁺¹⁾ otrzymamy, że

a_n+1 = 2a_n+ b_n, b_n+1= a_n+ θb_n= 2b_n+ c_n, c_n+1 = b_n+ θc_n, n > 1.

(3.5.4)

Stad na mocy zasady indukcji matematycznej możemy wywnioskować,_, że (pamietaj_, ac o tym, że a_{, 1} = 2 i a₂ = 5)

a_n+2, b_n i c_n sa unormowanymi_, ⁸ wielomianami zmiennej θ (3.5.5)

dla każdego n> 1,

współczynniki an, bn i cn sa całkowite i nieujemne dla n > 1,_, (3.5.6)

deg a_n = max{n − 2, 0}, deg b_n= n − 1 i deg c_n = n dla (3.5.7)

wszystkich n> 1.

Oczywiście, wystarczy udowodnić, że dla ustalonej dodatniej liczby cał-kowitej k zachodzi nierówność B_θ^k− A^k > 0 dla odpowiednio dużych θ.

Na wstepie zauważmy, że a_{, k}(θ) − 2^k−1, element (1, 1) macierzy B_θ^k− A^k, jest dodatni dla każdego θ ∈ [1, ∞). Istotnie, wynika to z zasady indukcji matematycznej oraz (3.5.6) zastosowanych do zależności rekurencyjnej

a_n+1(θ) − 2^{n (3.5.4)}= 2(a_n(θ) − 2ⁿ⁻¹) + b_n(θ), n > 1.

Kolejnym krokiem bedzie wykazanie, że det(B_{, θ}^k− A^k) > 0 dla odpowied-nio dużych θ. Uwzgledniaj_, ac to, że wielomian c_, k jest unormowany (zob.

(3.5.5)), otrzymamy

det(B_θ^k− A^k) = (a_kc_k− b²_k) − 2^k−1c_k+ 2^kb_k− 2^k−1a_k

(3.5.3)&(3.5.7)

= det(B_θ^k) − 2^k−1θ^k+ k−1

= (det B_θ)^k− 2^k−1θ^k+ k−1

= (2θ − 1)^k− 2^k−1θ^k+ k−1

= 2^kθ^k− 2^k−1θ^k+ ⁰k−1

= 2^k−1θ^k+ ⁰k−1,

gdzie k−1 i ⁰k−1 sa wielomianami zmiennej θ, których stopień jest_, mniejszy lub równy k − 1. Stosujac kryterium Sylwestra otrzymamy,_, że B_θ^k − A^k > 0 dla odpowiednio dużych θ. Jeśli θ 6= 2, to na mocy

lematu 3.5.2, A 64 Bθ. To kończy dowód. 

3.6. Pewna metoda redukcji do przypadku ograniczonych

W dokumencie Porządek spektralny dla układów operatorów (Stron 23-29)