Porządek spektralny dla układów operatorów

Uniwersytet Jagielloński

Wydział Matematyki i Informatyki

Artur Płaneta

Porz adek spektralny dla układów operatorów

Rozprawa doktorska

Promotor

prof. dr hab. Jan Stochel

Kraków 2010

Podzi ekowania

Pragne złożyć serdeczne podzi_, ekowania Panu Profesorowi dr hab. Ja-_, nowi Stochelowi za życzliwość, poświecony czas oraz pomoc podczas pi-_, sania pracy. Chciałbym również podziekować Panu Profesorowi dr hab._, Franciszkowi Hugonowi Szafrańcowi oraz Panu Profesorowi dr hab. Ja- nowi Janasowi za możliwość przedstawienia wyników zawartych w tej rozprawie na prowadzonych przez nich seminariach: „Teoria operatorów”

i „Seminarium z przestrzeni Hilberta”.

W tym miejscu pragne jeszcze złożyć podzi_, ekowania dr hab. Markowi_, Kośkowi, dr Dariuszowi Cichoniowi oraz dr Zenonowi Jabłońskiemu za wszelka udzielon_, a mi pomoc w trakcie studiów._,

Praca została cześciowo sfinansowana z grantu promotorskiego MNiSW_, N N201 526638.

Spis treści

Rozdział 1. Przedmowa 3

Rozdział 2. Preliminaria 5

2.1. Wstep_, 5

2.2. Nierówności całkowe dla przedziałów ograniczonych 8

2.3. Nierówności całkowe na R 11

Rozdział 3. Porzadek spektralny_, 14

3.1. Rzuty ortogonalne a algebry von Neumanna 14 3.2. Rozszerzenie definicji porzadku Olsona_, 15 3.3. Porzadek spektralny pośród operatorów samosprz_, eżonych_, 18 3.4. Porzadek spektralny a operatory samosprz_, eżone dodatnie_, 22

3.5. Przykład 26

3.6. Pewna metoda redukcji do przypadku ograniczonych

operatorów samosprzeżonych_, 28

3.7. Zwiazki z istotn_, a samosprz_, eżoności_, a_, 33 Rozdział 4. Wielowymiarowy porzadek spektralny_, 36 4.1. Zbiory ćwiartkowe i funkcje oddzielnie rosnace_, 36

4.2. Regularność miar spektralnych 38

4.3. Nierówności całkowe na R^κ 39

4.4. Wielowymiarowy porzadek spektralny_, 42 4.5. Jednomiany a wielowymiarowy porzadek spektralny_, 50 4.6. Wektory ograniczone układów operatorów 57 4.7. Wielowymiarowy porzadek spektralny dla spektralnie_,

przemiennych układów operatorów samosprzeżonych_,

dodatnich 63

Rozdział 5. Aneks 69

5.1. Granica 69

Indeks 71

Bibliografia 72

ROZDZIAł 1

Przedmowa

Porzadek spektralny został zdefiniowany przez M. P. Olsona w roku_, 1971 dla ograniczonych operatorów samosprzeżonych._, Jedna z głów-_, nych motywacji poszukiwania tego porzadku była słabość klasycznego_, porzadku (zdefiniowanego za pomoc_, a form kwadratowych) polegaj_, aca_, na braku fundamentalnych własności kratowych (Sherman 1951, Kadi- son 1951). Jak wykazał Kadison, zbiór B_S(H) wszystkich ograniczo- nych operatorów samosprzeżonych na zespolonej przestrzeni Hilberta H_, jest antykrata, co oznacza, że dla dowolnych A, B ∈ B_{, S}(H) istnienie kresu dolnego A i B wzgledem zwykłego porz_, adku „6” w B_, S(H) (zob.

(2.1.2)) jest równoważna temu, że A i B sa porównywalne (zob. [9, twier-_, dzenie 6]). Nieco wcześniej, Sherman udowodnił, że jeśli zbiór samo- sprzeżonych elementów C_, ^∗-algebry A ograniczonych operatorów na H jest krata wzgl_, edem porz_, adku „6”, to A jest przemienna (zob. [28,_, twierdzenie 1 i 2]). Porzadek znaleziony przez Olsona jest silniejszy niż_, klasyczny i posiada żadane własności kratowe. Sam Olson w swojej pracy_, udowodnił, że zbiór wszystkich samosprzeżonych elementów algebry von_, Neumanna ograniczonych operatorów liniowych na H jest krata warun-_, kowo zupełna wzgl_, edem porz_, adku spektralnego (zob. [21, twierdzenie 1])._, To w szczególności oznacza, że dla każdego skończonego zbioru ograni- czonych operatorów samosprzeżonych na H istnieje kres górny wzgl_, edem_, porzadku „4”. Jawny wzór został podany przez Kato w [11]. Cen_, a jako_, płacimy stosujac porz_, adek spektralny jest to, że nie jest on wektorowy_, (zob. [21]).

Celem niniejszej rozprawy doktorskiej jest przeniesienie porzadku_, spektralnego na grunt nieograniczonych operatorów samosprzeżonych, a_, nastepnie skończonych układów operatorów samosprz_, eżonych._, Pierw- szemu z zagadnień poświecony jest w głównej mierze rozdział 3. Jak_, zostało pokazane wiele własności porzadku spektralnego przenosi si_, e in_, extenso na ten grunt. Sa jednak istotne różnice, mianowicie bez dodat-_, kowych założeń nie można znaleźć sensownych relacji pomiedzy dziedzi-_, nami operatorów które sa porównywalne w sensie porz_, adku spektralnego_, (zob. przykłady 3.3.4 i 3.3.5). Okazuje sie jednak, że naturalne inklu-_, zje dziedzin zachodza o ile tylko porównujemy operatory samosprz_, eżone_, i półograniczone z dołu. Porzadek spektralny w przypadku operato-_, rów ograniczonych charakteryzuje sie za pomoc_, a klasycznego o ile ten_, ostatni zachodzi dla wszystkich poteg porównywanych operatorów. Jak_,

sie okazuje dla każdej liczby naturalnej k można znaleźć przykład dwóch_, macierzy skalarnych 2 na 2 których wszystkie potegi od 0 do k s_, a kla-_, sycznie porównywalne natomiast nie sa porównywalne w sensie porz_, adku_, spektralnego. Okazuje sie, że dwa dodatnie operatory samosprz_, eżone s_, a_, porównywalne w sensie porzadku spektralnego wtedy i tylko wtedy, gdy_, nieskończenie wiele poteg tych operatorów jest porównywalna klasycznie_, (jest to novum także w przypadku operatorów ograniczonych). Wynik ten jest konsekwencja znacznie ogólniejszego kryterium (zob. twierdzenie_, 3.4.5 i wniosek 3.4.7). Warto tutaj nadmienić, że charakteryzacja ta jest interesujaca niezależnie od samego porz_, adku spektralnego._,

Rozdział 4 traktuje o drugim z zagadnień czyli o porzadku spek-_, tralnym dla skończonych układów operatorów samosprzeżonych. O ope-_, ratorach tworzacych każdy z porównywanych układów zakłada si_, e, że_, sa spektralnie przemienne, natomiast same układy nie musz_, a być prze-_, mienne miedzy sob_, a. W badaniach nad wielowymiarowym porz_, adkiem_, spektralnym koncentrujemy sie na kilku kwestiach. Pierwsz_, a z nich jest_, odpowiedź na pytanie, w jakiej sytuacji rachunek operatorowy Stone’a- von Neumanna zachowuje wielowymiarowy porzadek spektralny. Pro-_, blem ten dyskutowany jest w podrozdziale 4.4. Wnioskiem z otrzyma- nych rezultatów jest opis nowych sytuacji, w których porzadek spektralny_, w przypadku pojedynczych operatorów posiada cechy porzadku wekto-_, rowego.

Drugim z problemów jest znalezienie zwiazków pomi_, edzy dziedzinami_, jednomianów układów, które sa porównywalne w sensie wielowymiaro-_, wego porzadku spektralnego (zob. twierdzenie 4.5.2)._,

W kontekście charakteryzacji porzadku spektralnego za pomoc_, a pot_, eg_, operatorów, o której wspomniałem powyżej w przypadku pojedynczych operatorów, interesujacym zagadnieniem staj_, a si_, e zwi_, azki pomi_, edzy wie-_, lowymiarowym porzadkiem spektralnym a porz_, adkiem zadanym za po-_, moca form kwadratowych (zwłaszcza z uwzgl_, ednieniem pot_, eg porówny-_, wanych operatorów). Ta kwesti_, e rozpatrujemy w podrozdziale 4.7._,

Jednym z głównych narzedzi badawczych stosowanych w tej pracy jest_, wspólna miara spektralna układu spektralnie przemiennych operatorów samosprzeżonych (zob. [2]). Duże znaczenie zwłaszcza w przypadku_, dodatnich operatorów samosprzeżonych odgrywaj_, a zależności pomi_, edzy_, wspólna miar_, a spektraln_, a układu a wektorami ograniczonymi układu._, Istotna rol_, e odgrywaj_, a też nierówności całkowe dla funkcji rosn_, acych._, W przypadku funkcji wielu zmiennych pojecie monotoniczności jest za-_, stapione przez oddzieln_, a monotoniczność. W odróżnieniu od monoto-_, niczności w przypadku jednej zmiennej, która automatycznie gwarantuje borelowskość rozważanych funkcji, oddzielna tego nie czyni.

ROZDZIAł 2

Preliminaria

2.1. Wstep_,

Symbole N, N^∗, Z, Q, R i C bed_, a oznaczać odpowiednio zbiór liczb_, całkowitych nieujemnych, zbiór liczb całkowitych dodatnich, zbiór liczb całkowitych, ciało liczb wymiernych, ciało liczb rzeczywistych oraz ciało liczb zespolonych. Pod pojeciem rozszerzonego zbioru liczb rzeczywistych_, rozumiemy zbiór R := {−∞} ∪ R ∪ {∞}.

Przez χσbedziemy oznaczać funkcj_, e charakterystyczn_, a zbioru σ (dzie-_, dzina funkcji χσ bedzie zależna od sytuacji, w której si_, e pojawi)._,

Jeśli X jest przestrzenia topologiczn_, a, to przez B(X) oznaczamy ro-_, dzine wszystkich zbiorów borelowskich na X. Jeśli Y ⊂ X jest wyposa-_, żony w topologie indukowan_, a z X, to_,

(2.1.1) B(Y ) = B(X) ∩ Y := {σ ∩ Y : σ ∈ B(X)}.

2.1.1. Porzadki. Kluczowym poj_, eciem tej pracy jest porz_, adek. Z_, tego wzgledu oraz dla wygody czytelnika przypomnimy podstawow_, a ter-_, minologie dotycz_, ac_, a zbiorów uporz_, adkowanych._,

Definicja 2.1.1. Relacje ≺⊂ X ×X nazywamy relacj_, a porz_, adkuj_, ac_, a_, zbiór X lub porzadkiem na X jeśli ≺ jest zwrotna, przechodnia oraz_, antysymetryczna tzn. spełnione sa własności:_,

(i) x ≺ x dla każdego x ∈ X,

(ii) dla dowolnych x, y, z ∈ X jeśli x ≺ y oraz y ≺ z, to x ≺ z, (iii) dla dowolnych x, y ∈ X jeśli x ≺ y oraz y ≺ x, to x = y.

Mówimy, że zbiór uporzadkowany (X, ≺) jest krat_, a, jeśli dla dowol-_, nych x, y ∈ X istnieje sup{x, y} oraz inf{x, y}. Zbiór uporzadkowany_, (X, ≺) nazywamy krata warunkowo zupełn_, a, gdy dowolny niepusty i_, ograniczony¹ podzbiór X posiada kres dolny i kres górny.

Jeśli rozważamy rzeczywista przestrzeń wektorow_, a X, to na szcze-_, gólna uwag_, e zasługuj_, a te porz_, adki na X, które s_, a zgodne ze struktur_, a_, przestrzeni wektorowej tzn. dla dowolnych x, y, z ∈ X oraz dla dowolnej liczby rzeczywistej λ> 0 spełnione sa nast_, epuj_, ace warunki:_,

(i) jeśli x ≺ y, to x + z ≺ y + z, (ii) jeśli 0 ≺ x, to 0 ≺ λx.

1Zbiór Y ⊂ X nazywamy ograniczonym, gdy zbiór minorant Y i zbiór majorant Y sa niepuste._,

Wówczas przestrzeń (X, ≺) określa sie mianem uporz_, adkowanej prze-_, strzeni wektorowej.

Mówimy, że uporzadkowana przestrzeń wektorowa X jest antykrat_, a,_, gdy dla dowolnych x, y ∈ X zachodzi równoważność

istnieje inf{x, y} ⇔ x i y sa porównywalne._,

Nietrudno wykazać, że uporzakowana przestrzeń wektorowa X jest an-_, tykrata wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych x, y ∈ X spełniony jest_, poniższy warunek

istnieje sup{x, y} ⇔ x i y sa porównywalne._,

Przykładem uporzadkowanej przestrzeni wektorowej jest (B_{, S}(H), 6)- przestrzeń wszystkich ograniczonych samosprzeżonych operatorów na ze-_, spolonej przestrzeni Hilberta H z porzadkiem zdefiniowanym za pomoc_, a_, warunku (2.1.2).

2.1.2. Operatory. Symbol H jest rezerwujemy dla zespolonej prze- strzeni Hilberta. Przez operator w H rozumiemy liniowe odwzorowanie A : H ⊇ D(A) → H zdefiniowane na podprzestrzeni wektorowej D(A) przestrzeni H, która nazywa si_, e dziedzin_, a A;_, N (A) i R(A) bed_, a oznaczać_, odpowiednio jadro i obraz A. Symbol ¯_, A bedzie używany na oznaczenie_, domkniecia operatora domykalnego A. Odnotujmy w tym miejscu rów-_, nież, że podprzestrzeń wektorowa E przestrzeni D(A) nazywamy rdze- niem operatora A jeśli wykres A jest zawarty w domknieciu wykresu A|_{, E} - obciecia operatora A do_, E . W szczególności, jeśli A jest domkniety i_, E jest rdzeniem A, to wektor h ∈ H należy do D(A) wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje ciag {h_, n}^∞_n=1 ⊆ E taki, że hn daży do h i {Ah_, n}^∞_n=1 jest ciagiem Cauchy’ego._,

Jeśli A i B sa operatorami w H, to piszemy A ⊂ B, gdy_, D(A) ⊂ D(B) oraz Ah = Bh dla każdego h ∈D(A).

Niech A bedzie operatorem w H. Kładziemy_, D^∞(A) =T∞

n=1D(Aⁿ) oraz

Ba(A) = [

c∈Rc>0

∞

\

n=0

{h ∈D^∞(A) : kAⁿhk 6 caⁿ}

dla każdej liczby rzeczywistej a > 0. Każdy element zbioru B(A) :=

S

a>0Ba(A) nazywamy wektorem ograniczonym A (zob. [4]). Powiemy, że wektor h ∈D^∞(A) jest wektorem analitycznym A, jeśli istnieje liczba rzeczywista t > 0 taka, że P∞

n=0kAⁿhktⁿ/n! < ∞ (zob. [17]), wektorem quasi-analitycznym A, gdyP∞

n=1kAⁿhk^−1/n = ∞ z konwencja, że 1/0 =_,

∞ (zob. [19]), i wektorem stieltjesowskim A, jeśliP∞

n=1kAⁿhk^−1/2n= ∞ (zob. [20]). Zbiory wektorów analitycznych, quasi-analitycznych i stiel- tjesowskich operatora A bedziemy oznaczać odpowiednio przez_, A (A), Q(A) i S (A). Zwróćmy uwage, że_, B(A) ⊆ A (A) ⊆ Q(A) ⊆ S (A)

(każda z inkluzji może być silna). Zbiory B(A) i A (A) sa podprze-_, strzeniami wektorowymi D^∞(A). Jednakże, w ogólnej sytuacji, zbiory Q(A) i S (A) nie musza być podprzestrzeniami wektorowymi_, D^∞(A) (por. [25, 26]).

Przez B(H) oznaczmy C^∗-algebre wszystkich ograniczonych opera-_, torów A w H z dziedzina_, D(A) = H. Niech I = IH oznacza opera- tor identycznościowy na H. Dla danych operatorów samosprzeżonych_, A, B ∈ B(H), bedziemy pisać A 6 B jeśli_,

hAh, hi 6 hBh, hi, h ∈ H.

(2.1.2)

Powiemy, że operator A w H jest ograniczony od dołu przez liczbe_, a ∈ R, jeśli

akhk² 6 hAh, hi, h ∈D(A).

Każdy operator A w H, dla którego istnieje liczba a ∈ R taka, że A jest ograniczony od dołu przez liczbe a ∈ R, b_, edziemy nazywać ograniczonym_, od dołu.

Gesto określony operator A w H nazywa si_, e symetrycznym jeśli jego_, sprzeżenie A_, ^∗ jest rozszerzeniem A, a dodatnim jeśli hAh, hi > 0 dla wszystkich h ∈D(A). Powiemy, że operator A w H jest samosprzeżony,_, gdy A = A^∗, i istotnie samosprzeżony jeśli A_, ^∗ jest równe domknieciu A._, Wektory ograniczone okazuja si_, e być użyteczne zwłaszcza w kontek-_, ście istotnej samosprzeżoności pot_, eg operatorów symetrycznych (co wy-_, różnia zbiór wektorów ograniczonych od pozostałych rodzin wektorów klasy C^∞ wprowadzonych powyżej²).

Propozycja 2.1.2. Jeśli A jest operatorem symetrycznym w H ta- kim, że B(A) jest gesty w H, to dla każdej liczby całkowitej k > 1 ope-_, rator A^k|_B(A) jest istotnie samosprzeżony oraz_,

A^k|_B(A) = A^k= ¯A^k. (2.1.3)

Dowód. Ponieważ operator A^kjest symetryczny, to A^k|_B(A), restryk- cja A^k do swojej podprzestrzeni niezmienniczej B(A), jest również sy- metryczny. Skoro B(A^k) = B(A) (inkluzja “⊇” jest oczywista podczas gdy inkluzje “⊆” można wywnioskować z [30, lematu 8 (b)]) i_, B(A) jest gesty w H, to A_, ^k|_B(A) jest istotnie samosprzeżony (por. [4, strona_, 99] lub [12, Lemat 4]). Inkluzja A^k|_B(A) ⊆ A^k wraz z maksymalnościa_, operatora samosprzeżonego A_, ^k|_B(A) daje pierwsza z równości w (2.1.3)._, Stosujac to dla k = 1, widzimy, że A|_{, B(A)}= ¯A oraz operator ¯A jest samo- sprzeżony. St_, ad również operator ¯_, A^k jest samosprzeżony (por. [2, pod-_, rozdział 6.1.4]). Stad w szczególności wynika, że A_, ^k|_B(A) ⊆ ¯A^k. Dzieki_, maksymalności A^k|_B(A) ostatnia inkluzja staje sie równości_, a._, 

2Wektor f ∈ H określamy mianem wektora klasy C^∞ dla operatora A jeśli f ∈ D^∞(A).

Niech X bedzie przestrzeni_, a topologiczn_, a oraz niech E b_, edzie miar_, a_, spektralna na B(X). Wówczas przez S(X, E) oznaczamy zbiór wszyst-_, kich funkcji borelowskich f : X → R takich, że E(f⁻¹({−∞, ∞})) = 0.

Niech A bedzie operatorem samosprz_, eżonym w H z miar_, a E. Dla_, danej funkcji borelowskiej ϕ ∈ S(R, EA) definiujemy

ϕ(A) = Z

R

ϕ(x)E(dx).

Operator ϕ(A) jest samosprzeżony. Co wi_, ecej, jeśli ϕ > 0, to ϕ(A)_, jest dodatni. Wiecej informacji dotycz_, acych rachunku operatorowego_, Stone’a-von Neumanna odnaleźć można w monografiach [2, 35]. Dla danej liczby rzeczywistej s> 0 i dodatniego operatora samosprzeżonego_, A w H kładziemy A^s = ϕ_s(A) gdzie ϕ_s(x) = |x|^sχ_[0,∞)(x) dla x ∈ R (używamy konwencji w której 0⁰ = 1). Ta definicja zgadza sie ze zwykł_, a_, definicja dla nieujemnych liczb całkowitych s. Jeśli A i B s_, a dodat-_, nimi operatorami samosprzeżonymi w H takimi, że_, D(B^1/2) ⊆D(A^1/2) i kA^1/2hk 6 kB^1/2hk dla wszystkich h ∈D(B^1/2), to piszemy A 6 B (por.

[11]). Łatwo zauważyć, że definicja ta jest zgodna z podana wcześniej_, definicja porz_, adku „6” dla operatorów ograniczonych na H._,

2.2. Nierówności całkowe dla przedziałów ograniczonych Inspiracja dla rozważań tego podrozdziału jest twierdzenie 107 z [8]_, (które w istocie jest konsekwencja twierdzenia 2.2.1 poniżej) jak również_, pewne nierówności, które pojawiaja si_, e w [21]. B_, edziemy pisali supp µ_, na oznaczenie domknietego nośnika skończonej nieujemnej miary bore-_, lowskiej µ na R (pojecie nośnika ma sens, gdyż każda taka miara jest_, automatycznie regularna, zob. np., [23, twierdzenie 2.18]).

Twierdzenie 2.2.1. Niech [a, b] bedzie ograniczonym i domkni_, etym_, przedziałem w R, gdzie a < b, i niech µ1 oraz µ₂ bed_, a skończonymi_, dodatnimi miarami borelowskimi na R takimi, że supp µj ⊆ [a, b] dla j = 1, 2. Połóżmy Fj(x) = µj((−∞, x]) dla x ∈ R i j = 1, 2. Rozważmy nastepuj_, ace trzy warunki :_,

(i) F₂(x) 6 F1(x) dla wszystkich x ∈ (a, b), (ii) R

[a,b]f dµ1 6 R

[a,b]f dµ2 dla każdej funkcji rosnacej_, f : [a, b] → [0, ∞),

(iii) R

[a,b]f dµ₁ 6R

[a,b]f dµ₂ dla każdej funkcji rosnacej f : [a, b] → R._, Jeśli (ii) zachodzi, to F₁(b) 6 F2(b). Jeśli F₁(b) 6 F2(b), to (i) implikuje (ii). Jeżeli (iii) zachodzi, to F₁(b) = F₂(b). Jeśli F₁(b) = F₂(b), to wszystkie warunki (i), (ii) oraz (iii) sa równoważne._,

Dowód. Podstawiajac f ≡ 1, zobaczymy, że warunek (ii) implikuje_, nierówność F₁(b) 6 F2(b). Natomiast jeśli rozważymy f ≡ ±1, to z warunku (iii) otrzymamy równość F₁(b) = F₂(b).

Załóżmy teraz, że F₁(b) 6 F2(b).

(i)⇒(ii) Na poczatku rozważmy przypadek, gdy f : [a, b] → [0, ∞)_, jest funkcja rosn_, ac_, a i ci_, agł_, a. Niech a = t_{, 0} < t₁ < . . . < t_n= b bedzie po-_, działem przedziału [a, b]. Połóżmy g = f (t₀)χ{t₀}+Pn

j=1f (t_j−1)χ_(tj−1,tj]. Ponieważ f jest nieujemna i rosnaca, to_,

Z

[a,b]

gdµ₁ = f (a)F₁(a) +

n

X

j=1

f (t_j−1)(F₁(t_j) − F₁(t_j−1))

= f (a)F1(a) +

n

X

j=1

f (tj−1)F1(tj) −

n−1

X

j=0

f (tj)F1(tj)

=

n−1

X

j=1

(f (t_j−1) − f (t_j))F₁(t_j) + f (t_n−1)F₁(b)

6

n−1

X

j=1

(f (t_j−1) − f (t_j))F₂(t_j) + f (t_n−1)F₂(b)

= Z

[a,b]

gdµ₂.

Z jednostajnej ciagłości funkcji ci_, agłych na [a, b] wynika, że funkcja f_, może być aproksymowana jednostajnie funkcjami postaci g na przedziale [a, b]. Stad natychmiast otrzymujemy nierówność_, R

[a,b]f dµ₁ 6R

[a,b]f dµ₂. Niech teraz f : [a, b] → [0, ∞) bedzie dowoln_, a funkcj_, a rosn_, ac_, a. Bez_, straty ogólności możemy założyć, że f nie jest funkcja stał_, a. W prze-_, ciwnym razie nierówność wynika natychmiast z założenia F₁(b) 6 F2(b).

Skoro f jest rosnaca, to f (a) < f (b). Z warunku (i) i prawostronnej_, ciagłości F_, j w punkcie a wynika, że

F₂(x) 6 F1(x), x ∈ [a, b).

(2.2.1)

Dla j = 1, 2 zdefiniujmy skończone nieujemne miary borelowskie µe_j na R wzorem µe_j(σ) := µ_j(f⁻¹(σ)) dla każdego σ ∈ B(R). Ponieważ f jest rosnaca, to f ([a, b]) ⊆ [f (a), f (b)]. Tym samym supp_, µe_j ⊆ [f (a), f (b)].

Niech eF_j(y) := µe_j((−∞, y]) dla y ∈ R.

Weźmy y ∈ [f (a), f (b)). Ponieważ a ∈ f⁻¹([f (a), y]), możemy zdefi- niować

y_f = sup f⁻¹([f (a), y]) ∈ [a, b].

Stad dzi_, eki temu, że f jest rosn_, aca wynika, że_, [a, y_f) ⊆ f⁻¹([f (a), y]) ⊆ [a, y_f].

Jeśli f⁻¹([f (a), y]) = [a, yf], to yf < b i eFj(y) = µj(f⁻¹([f (a), y])) = Fj(yf). To wraz (2.2.1), implikuje, że eF2(y) 6 eF1(y). Z kolei, jeśli f⁻¹([f (a), y]) = [a, yf), to yf > a i eFj(y) = limn→∞Fj(yf − _n¹), co daje

nierówność eF₂(y) 6 eF₁(y). W rezultacie dostajemy, że eF₂(y) 6 eF₁(y) dla każdego y ∈ [f (a), f (b)), i

Fe₁(f (b)) = F₁(b) 6 F2(b) = eF₂(f (b)).

Stosujac twierdzenie o transporcie miary ([7, twierdzenie C, str. 163]) i_, wyniki poprzedniego paragrafu do przedziału [f (a), f (b)] i miar µe₁ oraz µe₂ otrzymujemy

Z

[a,b]

f dµ₁ = Z

[f (a),f (b)]

xeµ₁(dx) 6 Z

[f (a),f (b)]

xeµ₂(dx) = Z

[a,b]

f dµ₂. Załóżmy na koniec, że F₁(b) = F₂(b).

(i)⇒(iii) Rozumujemy analogicznie jak w implikacji (i)⇒(ii).

(iii)⇒(ii) Oczywiste.

(ii)⇒(i) Ustalmy x ∈ (a, b). Oczywiście f = χ_(x,b]jest funkcja rosn_, ac_, a_, na [a, b]. Stad i z założenia wynika, że_,

F₁(b) − F₁(x) = µ₁((x, b])

(ii)

6 µ2((x, b]) = F₂(b) − F₂(x),

co wraz z równościa F_{, 1}(b) = F₂(b) implikuje, że F₂(x) 6 F1(x). To

kończy dowód. 

Poniższy przykład pokazuje, że warunek F₁(b) < F₂(b) na ogół nie gwarantuje prawdziwości implikacji (ii)⇒(i) w twierdzeniu 2.2.1 (po- mimo, że implikacja odwrotna jest prawdziwa).

Przykład 2.2.2. Niech α1, β₁, α₂ i β₂ bed_, a dodatnimi liczbami rze-_, czywistymi takimi, że α₁ 6 β1 < α₂ 6 β2 i (β₂ − α₂) − (β₁− α₁) > 0.

Kładziemy µj = αjδa+ (βj − αj)δb dla j = 1, 2, gdzie δa i δb sa miarami_, Diraca określonymi na B(R). Oczywiście

F₁(x) =

(α₁ dla a6 x < b,

β₁ dla x = b, i F₂(x) =

(α₂ dla a6 x < b, β₂ dla x = b.

Jeśli f : [a, b] → [0, ∞) jest funkcja borelowsk_, a, to_,

f (a)(α₁− α₂) 6 0 6 f (b)((β2− α₂) − (β₁− α₁)), co pociaga za sob_, a, że_,

Z

[a,b]

f dµ₁ = f (a)α₁+ f (b)(β₁− α₁) 6 f (a)α2+ f (b)(β₂− α₂) =

Z

[a,b]

f dµ₂.

W szczególności oznacza to, że warunek (ii) zachodzi. Jednak pomimo tego F₁(x) < F₂(x) dla wszystkich x ∈ [a, b].

2.3. Nierówności całkowe na R

Zajmiemy sie teraz odpowiednikiem twierdzenia 2.2.1 dla miar zdefi-_, niowanych na całej prostej rzeczywistej.

Twierdzenie 2.3.1. Niech µ1 i µ2 bed_, a skończonymi nieujemnymi_, miarami borelowskimi na R. Rozważmy nastepuj_, ace trzy warunki :_,

(i) µ₂((−∞, x]) 6 µ1((−∞, x]) dla każdego x ∈ R, (ii) R

Rf dµ₁ 6R

Rf dµ₂ dla każdej funkcji rosnacej f : R → [0, ∞),_, (iii) R

Rf dµ₁ 6R

Rf dµ₂ dla każdej funkcji rosnacej f : R → R takiej, że_, R

R|f |dµ₂ < ∞ (całka R

Rf dµ₁ może być równa −∞).

Jeśli warunek (i) (odpowiednio : (ii), (iii)) zachodzi, to µ₂(R) 6 µ1(R) (odpowiednio: µ₁(R) 6 µ2(R), µ1(R) = µ2(R)). Jeśli µ1(R) 6 µ2(R) oraz warunek (i) jest spełniony, to µ₁(R) = µ2(R). Jeśli µ1(R) = µ2(R), to wszystkie warunki (i), (ii) i (iii) sa równoważne._,

Dowód. W rozszerzonym zbiorze liczb rzeczywistych rozważmy stan- dardowa topologi_, e, z któr_, a R stanowi przestrzeń topologiczn_, a zwart, a._, Dla j = 1, 2 rozszerzamy miary µj do skończonych miar borelowskich na R przyjmujac µ_{, j}({±∞}) = 0. Rozważmy dowolny rosnacy homeomor-_, fizm φ : R → [−1, 1] (np., φ(x) = x/(1 + |x|) dla x ∈ R i φ(±∞) = ±1).

Zdefiniujemy skończone miary borelowskie ν₁ i ν₂ na R w nastepuj_, acy_, sposób

νj(σ) = µj(φ⁻¹(σ)), σ ∈ B(R), j = 1, 2.

Połóżmy G_j(x) = ν_j((−∞, x]) dla x ∈ R i j = 1, 2. Oczywiście, supp νj ⊂ [−1, 1], G_j(−1) = 0 i G_j(1) = G_j(1−) = µ_j(R) dla j = 1, 2.

Załóżmy, że µ₁(R) = µ2(R) (pozostałe cześci tezy s, a oczywiste). Tym_, samym G1(1) = G2(1).

Niech f : R → R bedzie ograniczon, a funkcj_, a rosn_, ac_, a._, Oznaczmy przez f∞ rozszerzenie f do R dane wzorem f^∞(±∞) = lim_x→±∞f (x).

Oczywiście f_∞jest ograniczona funkcj_, a rosn_, ac_, a. St_, ad funkcja f_{, ∞}◦φ⁻¹też jest ograniczona i rosnaca. Z twierdzenia o transporcie miary dostaniemy,_, że

Z

R

f dµ_j = Z

R

f_∞dµ_j = Z

R

f_∞◦ φ⁻¹◦ φ dµ_j = Z

[−1,1]

f_∞◦ φ⁻¹dν_j (2.3.1)

dla j = 1, 2. W zwiazku z tym, jeśli warunek (i) zachodzi, to z twierdzenia_, 2.2.1 otrzymujemy, że

Z

R

f dµ₁ ^(2.3.1)= Z

[−1,1]

f_∞◦ φ⁻¹dν₁ 6 Z

[−1,1]

f_∞◦ φ⁻¹dν₂ ^(2.3.1)= Z

R

f dµ₂ (2.3.2)

dla każdej ograniczonej funkcji rosnacej f : R → R._,

(i)⇒(ii) Załóżmy, że f : R → [0, ∞) jest funkcja rosn, ac_, a. Dla n ∈ N_, ^∗ definiujemy funkcje f_{, n}: R → [0, ∞) wzorem fn(x) = min{f (x), n} dla

x ∈ R. Wówczas funkcje fn sa ograniczonymi funkcjami rosn_, acymi na R_, takimi, że f_n(x) 6 fn+1(x) i lim_n→∞f_n(x) = f (x) dla x ∈ R. Stosujac_, twierdzenie Lebesgue’a o zbieżności monotonicznej dostaniemy, że

Z

R

f dµ₁ = lim

n→∞

Z

R

f_ndµ₁

(2.3.2)

6 lim

n→∞

Z

R

f_ndµ₂ = Z

R

f dµ₂. (2.3.3)

(i)⇒(iii) Niech f : R → R bedzie funkcj_, a rosn_, ac_, a tak_, a, że_, R

R|f |dµ₂ <

∞. Funkcja f+: R → [0, ∞) zdefiniowana wzorem f⁺(x) = max{f (x), 0}

dla x ∈ R jest rosnaca oraz, R

Rf₊dµ₂ < ∞. Stad i z implikacji (i)⇒(ii)_, możemy wywnioskować, że R

Rf+dµ1 < ∞. Jeśli R

Rf dµ1 = −∞, wów- czas nierówność R

Rf dµ₁ 6 R

Rf dµ₂ jest oczyista. W przeciwnym ra- zie R

R|f |dµ₁ < ∞. Dla n ∈ N^∗ rozważmy funcje f_{, n}: R → R, gdzie f_n(x) = max{−n, min{f (x), n}} dla x ∈ R. Wówczas f_n sa funk-_, cjami ograniczonymi i rosnacymi na R takimi, że |f_, n(x)| 6 |f (x)| i lim_n→∞f_n(x) = f (x) dla x ∈ R. Korzystajac z twierdzenia Lebesgue’a o_, zbieżności zmajoryzowanej otrzymamy (2.3.3).

(iii)⇒(ii) To jest oczywiste.

(ii)⇒(i) Podstawiajac f = χ_{, (x,∞)}, x ∈ R, i korzystajac z równości,

µ₁(R) = µ2(R) otrzymamy (i). To kończy dowód twierdzenia.  Uwaga 2.3.2. Twierdzenia 2.2.1 i 2.3.1 pozostaja prawdziwe jeśli_, wyrażenie „funkcja rosnaca” zast_, apimy przez ”ograniczona ci_, agła funkcja_, rosnaca”. Tylko implikacja (ii)⇒(i) wymaga dowodu. Rozważmy na_, poczatek przypadek twierdzenia 2.2.1. Ustalmy x ∈ (a, b) i zdefiniujmy_, dla n = 1, 2, . . . ograniczone ciagłe funkcje rosn_, ace f_{, n}: [a, b] → [0, 1]

wzorem

f_n(t) =











0, gdy a6 t 6 x, n(t − x)

b − x , gdy x < t6 x +_n¹(b − x), 1 w przeciwnym wypadku.

Z (ii) wynika, że R

[a,b]f_ndµ₁ 6 R

[a,b]f_ndµ₂ dla wszystkich n > 1. Ponie- waż {f_n}^∞_n=1 jest zbieżny punktowo do χ_(x,b], to z twierdzenia Lebesgue’a o zbieżności monotonicznej otrzymujemy, że

F₁(b) − F₁(x) = µ₁((x, b]) 6 µ2((x, b]) = F₂(b) − F₂(x),

co wraz z równościa F_{, 1}(b) = F₂(b) prowadzi do nierówności F₂(x) 6 F₁(x). Przypadek twierdzenia 2.3.1 można uzyskać na mocy podobnego rozumowania.

Uwaga 2.3.3. Przypatrzmy sie jeszcze raz warunkowi (iii) z twier-_, dzenia 2.3.1. Rozważmy dwie miary µ1 i µ2 (o których zakładamy, że spełniaja warunek (i) i równość µ_, 1(R) = µ²(R)) skupione na przedziale [a, ∞), gdzie a ∈ R.. WówczasR

R|f |dµ₁ < ∞ dla każdej funkcji rosnacej_, f : R → R takiej, żeR

R|f |dµ2 < ∞. Wynika to bezpośrednio z faktu, że f (x) > f (a) dla prawie wszystkich x ∈ R wzgledem miary µ, ₁.

W tym miejscu warto zauważyć, że warunek (iii) twierdzenia 2.3.1 nie gwarantuje sam z siebie, żeR

R|f |dµ₁ < ∞ dla funkcji rosnacej f : R → R_, takiej, że R

R|f |dµ₂ < ∞.

Przykład 2.3.4. Niech µ bedzie skończon_, a miar_, a borelowsk_, a na R_, dana przez dµ(x) = (1+x_, ²)^−3/2dx. Weźmy sciśle rosnac_, a funkcj_, a φ : R →_, R taka, że,

φ(x) =

(x jeśli x> −1

−x² jeśli x < −1.

Oczywiście φ jest homeomorfizmem z R do R takim, że φ(x) 6 x i x 6 φ⁻¹(x) dla wszystkich x ∈ R.

(2.3.4)

Oznaczmy przez µ◦φ⁻¹skończona nieujemn_, a miar_, e borelowsk_, a na R dan_, a_, wzorem µ ◦ φ⁻¹(σ) = µ(φ⁻¹(σ)) dla każdego σ ∈ B(R). Z bijektywności φ oraz nierówności (2.3.4) wynika, że µ(R) = µ ◦ φ⁻¹(R) i

µ((−∞, x]) 6 µ((−∞, φ⁻¹(x)]) = µ ◦ φ⁻¹((−∞, x]), x ∈ R.

Stad na mocy twierdzenia 2.3.1 (lub bezpośrednich rachunków z użyciem_, twierdzenia o transporcie miary) otrzymamy, że R

Rf dµ ◦ φ⁻¹ 6 R

Rf dµ dla każdej funkcji rosnacej f : R → R spełniaj_, acej warunek_, R

R|f |dµ <

∞. Tym samym miary µ ◦ φ⁻¹ i µ spełniaja warunek (iii). Pomimo_, tego dla funkcji identycznościowej f na R mamy, że R

R|f |dµ < ∞ oraz R

Rf dµ ◦ φ⁻¹ = −∞.

ROZDZIAł 3

Porz adek spektralny

3.1. Rzuty ortogonalne a algebry von Neumanna

Rozważmy zbiór uporzadkowany (P (H), 6), gdzie P (H) jest zbiorem_, wszystkich rzutów ortogonalnych na przestrzeni H. Warto zwrócić uwage_, na fakt, że dla każdej rodziny rzutów ortogonalnych A ⊂ P (H) istnieje kres górny i kres dolny¹. Symbolu W A (odpowiednio V A) bedziemy_, używali na oznaczenie kresu górnego (odpowiednio kresu dolnego) zbioru A.

Jeśli {Mj}j∈J jest rodzina podzbiorów H, to_, W

j∈J Mj bedzie ozna-_, czało najmniejsza (w sensie inkluzji) domkni_, et_, a podprzestrzeń wekto-_, rowa H zawieraj_, ac_, a zbiór_, S

j∈JM_j. Z kolei niech V

j∈JM_j :=T

j∈JM_j. Jeśli M jest domkniet_, a podprzestrzeni_, a wektorow_, a przestrzeni Hilberta_, H, to przez P_M oznaczamy rzut ortogonalny na M . Dla każdej rodziny A = {P_Mj}_j∈J, gdzie M_j jest domkniet_, a podprzestrzeni_, a wektorow_, a H_, dla j ∈ J , prawdziwe sa równości_,

(3.1.1) _

A =_

{P_Mj}_j∈J = P^W

j∈JMj

oraz

(3.1.2) ^

A =^

{PMj}j∈J = P^V_j∈JMj.

Jeśli h ∈ H, to funkcja p_h: B(H) → [0, ∞) dana wzorem p_h(T ) := kT hk dla T ∈ B(H) jest półnorma. Zbiór {p_{, h}: h ∈ H} zadaje na przestrzeni B(H) topologie lokalnie wypukł_, a, któr_, a nazywamy siln_, a topologi_, a ope-_, ratorowa. Można wykazać, że ci_, ag uogólniony {T_{, j}}, gdzie T_j ∈ B(H) jest silnie zbieżny do T ∈ B(H) wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego h ∈ H ciag uogólniony {k(T_{, j} − T )hk} jest zbieżny do 0. Do oznacze- nia granicy funkcji o wartościach w B(H) z silna topologi_, a operatorow_, a_, bedziemy używali symbolu s − lim._,

Zbiór V ⊂ B(H) nazywamy algebra von Neumanna, jeśli_, V jest ze- spolona ∗-algebr_, a domkni_, et_, a w silnej topologii operatorowej. W dalszym_, ciagu b_, edziemy zawsze zakładali, że I ∈_, V . Poniższa propozycja opisuje ważna własność rodziny rzutów ortogonalnych zawartych w algebrze von_, Neumanna.

1Jeśli A = ∅, to kres górny (odpowiednio kres dolny) jest równy 0 (odpowiednio I).

Propozycja 3.1.1. Niech V ⊂ B(H) bedzie algebr_, a von Neumanna._, Wówczas ^

j∈J

E_j,_

j∈J

E_j ∈ P (H) ∩V dla dowolnej rodziny {Ej}_j∈J ⊂ P (H) ∩V .

Warto również zwrócić w tym miejscu uwage na nast_, epuj_, acy fakt._, Stwierdzenie 3.1.2. Niech V ⊂ B(H) bedzie algebr_, a von Neu-_, manna taka, że I ∈_, V . Niech E bedzie borelowsk_, a miar_, a spektraln_, a na_, R. Jeśli F jest dystrybuanta spektraln_, a tak_, a, że E((−∞, x]) = F (x) dla_, dowolnego x ∈ R, to poniższe warunki sa równoważne:_,

(i) E(σ) ∈V dla każdego σ ∈ B(R), (ii) F (x) ∈V dla każdego x ∈ R.

Niech X bedzie dowolnym zbiorem. Mówimy, że funkcja F : X →_, B(H) jest skojarzona zV , jeżeli F (X) ⊂ V .

3.2. Rozszerzenie definicji porzadku Olsona_,

Jeśli E jest miara spektraln_, a samosprz_, eżonego operatora A w H, to_, funkcje_,

F (x) = E((−∞, x]), x ∈ R, (3.2.1)

bedziemy nazywać dystrybuant_, a spektraln_, a_,²operatora A. Spektralne dys- trybuanty moga być też zdefiniowane w sposób abstrakcyjny bez odwo-_, ływania sie do miary spektralnej jako funkcje F : R → P (H) spełniaj_, ace,

poniższe warunki

(m) F (x)6 F (y), gdy x 6 y dla x, y ∈ R, (monotoniczność) (z) s − lim

x→−∞F (x) = 0 i s − lim

x→∞F (x) = I, (zupełność) (c) s − lim

x→x⁺₀

F (x) = F (x₀) dla każdego x₀ ∈ R. (prawostronna ciagłość)_,

Okazuje sie, że zachodzi wzajemnie jednoznaczna odpowiedniość pomi_, e-_, dzy miarami spektralnymi a dystrybuantami spektralnymi dana równo- ścia (3.2.1) (zob. n.p., [2, Rozdział 6])._,

Od tej chwili rezerwujemy symbole E_A i F_A odpowiednio dla miary spektralnej i dystrybuanty spektralnej operatora samosprzeżonego A._,

Mówimy, że operatory samosprzeżone A i B w H s_, a spektralnie prze-_, mienne jeśli ich miary spektralne sa przemienne t.j._, E_A(σ)E_B(τ ) = E_B(τ )E_A(σ) dla wszystkich σ, τ ∈ B(R). Wiadomo, że A i B sa spek-_, tralnie przemienne wtedy i tylko wtedy, gdy F_A(x)F_B(y) = F_B(y)F_A(x) dla wszystkich x, y ∈ R (ta równoważność można wywnioskować z [32,,

twierdzenie 8.1] oraz [2, twierdzenie 6.3.2]).

2W dawniejszej terminologii używano pojecia rozkład identyczności (por. [2])._,

Poniższa propozycja 3.2.1, która jest szczególnym przypadkiem [31, propozycja 4] (patrz również [13, 6, 12]), opisuje zależności pomiedzy_, wektorami ograniczonymi a dystrybuanta spektraln_, a._,

Propozycja 3.2.1. Jeśli A jest dodatnim samosprzeżonym operato-_, rem w H, to

R(FA(x)) =Bx(A), x > 0.

(3.2.2)

NiechV bedzie algebr_, a von Neumanna w B(H). Mówimy, że opera-_, tor samosprzeżony A w H jest skojarzony z_, V wtedy i tylko wtedy, gdy EA(σ) ∈ V dla każdego σ ∈ B(R). Warunek ten okazuje sie być równo-_, ważny żadaniu, aby F_{, A}(x) ∈ V dla wszystkich x ∈ R (użyć twierdzenia o bikomutancie).

W tym miejscu rozszerzamy definicje porz_, adku spektralnego wprowa-_, dzonego przez Olsona w [21] do przypadku nieograniczonych operatorów samosprzeżonych (zob. również [10])._,

Definicja 3.2.2. Niech A i B bed_, a operatorami samosprz_, eżonymi w_, H. Piszemy, że A 4 B, jeśli F^B(x) 6 F^A(x) dla wszystkich x ∈ R.

Ciagłość miar poci_, aga za sob_, a, że definicja relacji A 4 B nie zależy_, od sposobu definicji spektralnej dystrybuanty, co potwierdza poniższy lemat.

Lemat 3.2.3. Jeśli A i B sa operatorami samosprz_, eżonymi w H,_, to A 4 B wtedy i tylko wtedy, gdy EB((−∞, x)) 6 EA((−∞, x)) dla wszystkich x ∈ R.

Oczywiście relacja „4” jest porzadkiem w zbiorze wszystkich opera-_, torów samosprzeżonych w H. Relacja ta jest nazywana porz_, adkiem spek-_, tralnym. Olson udowodnił w [21], że zbiór wszystkich samosprzeżonych_, elementów algebry von Neumanna w B(H) jest krata warunkowo zu-_, pełna wzgl_, edem porz_, adku spektralnego. Sformułujemy teraz i udowod-_, nimy odpowiednik twierdzenia Olsona dla nieograniczonych operatorów samosprzeżonych_, ³.

Twierdzenie 3.2.4. Niech V bedzie algebr_, a von Neumanna w B(H)_, i niech {T_ω: ω ∈ Ω} bedzie rodzin_, a samosprz_, eżonych operatorów w H_, skojarzonych zV . Załóżmy, że A1 i A₂ sa operatorami samosprz_, eżonymi_, w H takimi, że A₁ 4 Tω 4 A2 dla wszystkich ω ∈ Ω. Wtedy istnieje inf_ω∈ΩT_ω i sup_ω∈ΩT_ω (wzgledem porz_, adku „4”) i każdy z tych operatorów_, jest skojarzony z V .

Dowód. (por. dowód twierdzenia 1. w [21]) Dowód rozbijemy na kilka kroków.

Krok 1. Niech F_sup(x) :=V

ω∈ΩF_Tω(x) dla x ∈ R. Pokażemy, że

3Czytelników zainteresowanych dalszymi uogólnieniami twierdzenia Olsona odsy- łamy do [3].

(i) F_sup jest dystrybuanta spektraln_, a skojarzon_, a z_, V ,

(ii) jeśli G jest dystrybuanta spektraln_, a skojarzon_, a z_, V taka, że_, (3.2.3) F_sup(x) 6 G(x) 6 FTω(x), x ∈ R, ω ∈ Ω,

to F_sup = G.

ad. (i) Z założenia twierdzenia oraz ze stwierdzenia 3.1.1 dostajemy, że F_sup(x) ∈ V i FA2(x) 6 Fsup(x) dla każdego x ∈ R. Stad wynika, że_, s− lim

x→∞F_sup(x) = I. Równość s− lim

x→−∞F_sup(x) = 0 i monotoniczność F_sup sa natychmiastow_, a konsekwencj_, a odpowiednich własności F_{, Tω}, ω ∈ Ω. W szczególności dzieki monotoniczności F_{, sup} otrzymujemy, że

s − lim

x→x⁺₀

F_sup(x) = ^

x>x⁺₀

F_sup(x) = ^

x>x⁺₀

 ^

ω∈Ω

F_Tω(x)

= ^

ω∈Ω

 ^

x>x⁺₀

F_Tω(x)

= ^

ω∈Ω

F_Tω(x₀) = F_sup(x₀).

Powyższa równość oznacza, że F_sup jest prawostronnie ciagła. Zatem F_{, sup} jest dystrybuanta spektraln_, a._,

ad. (ii) Wynika bezpośrednio z definicji F_sup.

Krok 2. Wykażemy, że jeśli funkcja G : R → P (H) skojarzona z V spełnia warunki (m) i (z), to Gr: R → P (H) zdefiniowana wzorem Gr(x) := V

y>xG(y) jest dystrybuanta spektraln_, a skojarzon_, a z_, V . Bez trudu sprawdzamy, że G_r spełnia warunki (m) i (z). Zauważmy równocześnie, że

s − lim

y→x⁺Gr(y) = ^

y>x

Gr(y) = ^

y>x

 ^

v>y

G(v)



= ^

v>x

G(v) = Gr(x), co oznacza, że G_r jest prawostronnie ciagła._,

Krok 3. Niech G(x) :=W

ω∈ΩF_Tω(x). Wówczas

(iii) Finf := G_r jest dystrybuanta spektraln_, a skojarzon_, a z_, V , (iv) jeśli H jest dystrybuanta spektraln_, a skojarzon_, a z_, V taka, że_, (3.2.4) F_Tω(x) 6 H(x) 6 Gr(x), dla każdego x ∈ R i ω ∈ Ω,

to H = G_r.

ad. (iii) Na mocy kroku 2. wystarczy wykazać, że G jest monoto- niczna i zupełna. Oczywiście s− lim

x→∞G(x) = I. Równocześnie z założenia i z definicji G wynika, że G(x)6 FA1(x) dla dowolnego x ∈ R. Wynika stad, że s − lim_,

x→−∞G(x) = 0. Monotoniczność G wynika bezpośrednio z monotoniczności FTω dla każdego ω ∈ Ω.

ad. (iv) Z nierówności (3.2.4) wynika, że G(x) 6 H(x) 6 Gr(x) dla dowolnego x ∈ R. Stad oraz z prawostronnej ci_, agłości H otrzymamy, że_,

H(x) 6 Gr(x) = ^

y>x

G(y) 6 ^

y>x

H(y) = H(x), dla każdego x ∈ R.

W szczególności H = G_r.

Krok 4. Z jednoznacznej odpowiedniości pomiedzy miarami spektral-_, nymi na B(R) a dystrybuantami spektralnymi oraz stwierdzenia 3.1.2 znajdziemy miary spektralne E_sup i E_inf na B(R) skojarzone z V ta- kie, że E_sup((−∞, x]) = F_sup(x) oraz E_inf((−∞, x]) = F_inf(x) dla każ- dego x ∈ R. Stad na mocy kroku 1._, i kroku 3. otrzymujemy, że R

Rx dE_sup(x) = sup_ω∈ΩT_ω i R

Rx dE_inf(x) = inf_ω∈ΩT_ω.  Poniższy wniosek jest bezpośrednia konsekwencj_, a twierdzenia 3.2.4._, Wniosek 3.2.5. Jeśli V jest algebra von Neumanna w B(H), to zbiór_, wszystkich samosprzeżonych operatorów A w H, które s_, a skojarzone z_, V jest krata warunkowo zupełn_, a wzgl_, edem porz_, adku „4”._,

3.3. Porzadek spektralny pośród operatorów samosprz_, eżonych_, Ten podrozdział zaczniemy od sformułowania użytecznej (i łatwej w dowodzie) własności funkcji rosnacych, któr_, a użyjemy w dowodzie pro-_, pozycji 3.3.2.

Lemat 3.3.1. Niech f : R → R bedzie funkcj_, a rosn_, ac_, a i niech a ∈ R_, bedzie takie, że f_, ⁻¹([−∞, a]) 6= ∅. Połóżmy a_f = sup f⁻¹([−∞, a]).

Wówczas

(−∞, a_f) ⊆ f⁻¹([−∞, a]) ⊆ (−∞, a_f] ∩ R.

(3.3.1)

Dodatkowo jeśli f jest półciagła z dołu, to_,

f⁻¹([−∞, a]) = (−∞, a_f] ∩ R.

Propozycja 3.3.2. Niech A i B bed_, a operatorami samosprz_, eżonymi_, w H takimi, że A4 B. Wtedy f (A) 4 f (B) dla każdej funkcji rosnacej_, f : R → R takiej, że f ∈ S(R, EA) ∩ S(R, EB). W szczególności f (A) 4 f (B) dla każdej funkcji rosnacej f : R → R._,

Dowód. Na mocy twierdzenia o transporcie miary (por. [2, twier- dzenie 5.4.10]) mamy

E_{f (C)}(σ) = E_C◦ f⁻¹(σ), σ ∈ B(R),

gdzie C jest dowolnym operatorem samosprzeżonym w H. Z powyższej_, równości oraz z założenia, że f ∈ S(R, E^A) ∩ S(R, E^B), możemy wywnio- skować, że

E_{f (C)}(σ) = E_C◦ f⁻¹(σ ∪ {−∞}), σ ∈ B(R), (3.3.2)

dla C = A, B.

Ustalmy a ∈ R. Jeśli f⁻¹([−∞, a]) = ∅, to z równości (3.3.2) wynika, że F_{f (B)}(a) = F_{f (A)}(a) = 0. W przeciwnym wypadku f⁻¹([−∞, a]) 6= ∅.

Stad i z lematu 3.3.1 wiemy, że zachodzi (3.3.1). Jeśli a_{, f} = ∞, to z (3.3.1) i (3.3.2) otrzymujemy, że

F_{f (B)}(a) = E_B(R) = I = EA(R) = Ff (A)(a).