Wielowymiarowy porz adek spektralny dla spektralnie , przemiennych układów operatorów samosprz eżonych ,

dodatnich

Badanie własności wielowymiarowego porzadku spektralnego w przy-_, padku spektralnie przemiennych układów operatorów samosprzeżonych_, dodatnich zaczniemy od nastepuj_, acego stwierdzenia_,

Stwierdzenie 4.7.1. Niech A = (A1, . . . , A_κ) i B = (B₁, . . . , B_κ) bed_, a spektralnie przemiennymi układami operatorów samosprz_, eżonych w_, H. Załóżmy, że A i B sa dodatnie oraz, że A 4 B. Wówczas dla_, wszystkich α = (α₁, . . . , α_κ) ∈ [0, ∞)^κ zachodza nast_, epujace warunki:_,

(i) X^α(A) 4 X^α(B),

(ii) D(X^α(B)) ⊂D(X^α(A)),

(iii) kX^α(A)hk 6 kX^α(B)hk dla każdego h ∈D(X^α(B)), (iv) hX^α(A)h, hi 6 hX^α(B)h, hi dla każdego h ∈D(X^α(B)),

(v) X^α(A) 6 X^α(B).

Co wiecej_, D^∞(B) ⊂D^∞(A) oraz B(B) ⊂ B(A).

Dowód. (i) Żadan_, a relacj_, e otrzymamy dzi_, eki zastosowaniu twierdze-_, nia 4.4.10 do funkcji ψ_α, która jest oddzielnie rosnaca._,

(ii), (iii), (iv) i (v) wynikaja z (i) oraz z punktów (ii), (iii), (iv) oraz_, (v) propozycji 3.4.2 dla s = 1 i operatorów X^α(A) oraz X^α(B), które sa_, dodatnie.

Dla dowodu drugiej cześci twierdzenia należy zauważyć, że inkluzja_, D^∞(B) ⊂ D^∞(A) wynika z (ii) oraz z wniosku 4.6.2. Jeśli h ∈ Ba(B) dla pewnego a ∈ (0, ∞)^κ, to na mocy stwierdzenia 4.6.4 (ii) oraz (iii) punktu dowodzonego twierdzenia znajdziemy liczbe rzeczywist_, a c > 0_, taka, że_,

kX^α(A)hk 6 kX^α(B)hk 6 ca^α, dla wszystkich α ∈ N^κ,

Korzystajac ponownie ze stwierdzenia 4.6.4 otrzymamy, że h ∈_, Ba(A),

co daje nam druga z inkluzji._, 

Poniższe twierdzenie jest uogólnieniem twierdzenia 3.4.5.

Twierdzenie 4.7.2. Niech A = (A1, . . . , A_κ) i B = (B₁, . . . , B_κ) bed_, a układami spektralnie przemiennych operatorów samosprz_, eżonych do-_, datnich w H. Załóżmy, że N (Aj) = {0} dla j = 1, . . . , κ. Niech Λ ⊂ [0, ∞)^κ spełnia warunek (4.6.6). Wówczas nastepuj_, ace warunki s_, a_, równoważne:

(i) A4 B,

(ii) D^∞(B) ⊆D^∞(A) i L_A/B(h) 6 1 dla każdego h ∈ D^∞(B), (iii) D^∞(B) ⊆D^12Λ(A) i L^Λ_A/B(h) 6 1 dla każdego h ∈ D^∞(B), (iv) B(B) ⊆ D^∞(A) i L_A/B(h) 6 1 dla każdego h ∈ B(B),

(v) B(B) ⊆ D^12Λ(A) i L^Λ_A/B(h) 6 1 dla każdego h ∈ B(B), (vi) B(B) ⊆ B(A) i LA/B(h) 6 1 dla każdego h ∈ B(B), (vii) B(B) ⊆ B(A) i L^Λ_A/B(h) 6 1 dla każdego h ∈ B(B), gdzie

L^Λ_A/B(h) := lim sup

|α|→∞

α∈Λ

|α|q

kX^α2(A)hk/kX^α2(B)hk, h ∈D^12Λ(A) ∩D^12Λ(B)

oraz

L_A/B(h) := L^[0,∞)

κ

A/B (h), h ∈D^∞(A) ∩D^∞(B).

Dowód. (i)⇒(ii) Teza wynika bezpośrednio ze stwierdzenia 4.7.1.

Implikacje (ii)⇒(iii) można wyprowadzić z wniosku 4.6.2 (c)._, (iii)⇒(v) To jest oczywiste.

(v)⇒(i) Musimy pokazać, że F_B(a) 6 FA(a) dla dowolnego a ∈ R^κ. Ponieważ układy A i B sa dodatnie, to F_{, A}(a) = F_B(a) = 0 dla a ∈ R^κ\[0, ∞)^κ. Aby zakończyć dowód wystarczy pokazać, że F_B(a) 6 FA(a) dla każdego a ∈ [0, ∞)^κ.

Niech a ∈ [0, ∞)^κ i h ∈ R(FB(a)). Na mocy stwierdzenia 4.6.4 wiemy, że h ∈B(B) oraz

(4.7.1) kX^12α(B)hk 6 ca^12α

dla pewnej liczby rzeczywistej c > 0. Stad i z założenia wynika, że_,

(4.7.2) h ∈D^12Λ(A).

Ustalmy ε > 0. Z założenia istnieje liczba rzeczywista M > 0 taka, że

|α|p

r_α(h) < 1 + ε, dla każdego α ∈ Λ_M := Λ ∩ {β ∈ [0, ∞)^κ: |β| > M }, gdzie r_α(h) := kX^α2(A)hk/kX^α2(B)hk. W szczególności

kX^α2(A)hk = rα(h)kX^α2(B)hk (4.7.3)

6 (1 + ε)^|α|kX^α2(B)hk

6 c(1 + ε)^|α|a^α2 = c[(1 + ε)²a]^α2,

dla dowolnego α ∈ Λ_M. Z założenia wiemy, że h⊥Sκ

j=1N (Aj). Dzieki_, temu, warunkowi (4.7.2), nierówności (4.7.3) oraz stwierdzeniu 4.6.4 (c) wnioskujemy, że h ∈R(FA((1 + ε)²a)). Przechodzac z ε → 0_, ⁺ otrzymu-jemy, że h ∈R(FA(a)).

(i)⇒(vi) Wynika z implikacji (i)⇒(ii) oraz stwierdzenia 4.7.1.

Wynikanie (vi)⇒(vii) jest oczywiste.

Implikacja (vii)⇒(v) jest bezpośrednia konsekwencj_, a wniosku 4.6.2_, (c), gdyżB(A) ⊂ D^∞(A).

(ii)⇒(iv) To jest oczywiste.

(iv)⇒(v) Można wywnioskować za pomoca wniosku 4.6.2 (c)._,  Uwaga 4.7.3. Należy w tym miejscu zaznaczyć, że prawdziwa jest także druga wersja twierdzenia 4.7.2, gdzie w miejsce L^Λ_A/B(h) podsta-wimy ˜L^Λ_A/B(h) := lim sup

|α|→∞

α∈Λ

|α|phX^α(A)h, hi/hX^α(B)h, hi a D^12Λ(A)

(od-powiednioD^12Λ(B)) zastapimy przez_, D^Λ(A) (odpowiednioD^Λ(B)). Na-leży podkreślić, że z obu wariantów tego twierdzenia wynika twierdzenie 3.4.5. Jednakże ze wzgledu na dalsze zastosowania oraz uwag_, e 4.6.6 ogra-_, niczyliśmy sie do sformułowania i udowodnienia tylko jednej z nich._,

Wniosek 4.7.4. Niech A = (A1, . . . , A_κ) i B = (B₁, . . . , B_κ) bed_, a_, układami spektralnie przemiennych operatorów samosprzeżonych dodat-_, nich w H. Załóżmy, że N (Aj) = {0} dla j = 1, . . . , κ. Niech Λ ⊂ [0, ∞)^κ bedzie zbiorem spełniaj_, acym warunek (4.6.6)._, Załóżmy, że {r_α}_α∈Λ ⊂ [1, ∞) jest rodzina spełniaj_, ac_, a warunek_,

lim sup

|α|→∞

α∈Λ

|α|√

r_α 6 1.

Wtedy poniższe warunki sa równoważne:_, (i) A4 B,

(ii) X^α(A) 4 X^α(B) dla każdego α ∈ [0, ∞)^κ, (iii) X^α(A) 6 X^α(B) dla każdego α ∈ [0, ∞)^κ, (iv) X^α(A) 6 rαX^α(B) dla każdego α ∈ Λ.

Dowód. Implikacja (i)⇒(ii) jest konsekwencja stwierdzenia 4.7.1._, (ii)⇒(iii) wynika z propozycji 3.4.2.

Implikacja (iii)⇒(iv) jest oczywista.

(iv)⇒(i) Niech h ∈B(B). Z założenia wynika, że zachodzi inkluzja D(X^α2(B)) ⊂D(X^α2(A)) i spełniona jest nierówność

(4.7.4)

kX^α2(A)hk² = k(X^α(A))¹²hk² 6 rαk(X^α(B))¹²hk² = kX^α2(B)hk², α ∈ Λ.

Stad oraz z wniosku 4.6.2 otrzymujemy, że h ∈_, D^12Λ(A). Z nierówności (4.7.4) oraz założenia dostaniemy, że

L^Λ_A/B(h) 6 lim sup

|α|→∞

α∈Λ

|α|√

r_α 6 1.

Zastosowanie twierdzenia 4.7.2 (v) kończy dowód.  Niech A = (A₁, . . . , A_κ) i B = (B₁, . . . , B_κ) bed_, a układami spektral-_, nie przemiennych operatorów samosprzeżonych dodatnich w H. Zdefi-_, niujmy nastepuj_, acy zbiór_,

Λ(A, B) := {α ∈ [0, ∞)^κ: X^α(A) 6 X^α(B)}.

Dzieki stwierdzeniu 4.7.1 wiemy, że relacja A 4 B implikuje równość_, Λ(A, B) = [0, ∞)^κ. W nawiazaniu do podrozdziału 3.4 postaramy si_, e_, odpowiedzieć na pytanie jak „duży” powinien być zbiór Λ(A, B), aby A 4 B. Przy braku dodatkowych założeń o A i B prawdziwa jest nastepuj_, aca propozycja_,

Propozycja 4.7.5. Jeśli A = (A1, . . . , A_κ) i B = (B₁, . . . , B_κ) sa_, spektralnie przemiennymi układami dodatnich operatorów samosprzeżo-_, nych w H, to nastepuj_, ace warunki s_, a równoważne_,

(i) A4 B,

(ii) dla każdego j = 1, . . . , κ zbiór Λ(A, B) ∩ {se_j: s ∈ [0, ∞)} jest nieograniczony.

Dowód. (i)⇒(ii) To wynika ze stwierdzenia 4.7.1.

(ii)⇒(i) Dla dowolnego dodatniego układu operatorów samosprzeżo-_, nych spektralnie przemiennych C prawdziwa jest równość ψ_sej = ϕ_s◦ π_j E_C-prawie wszedzie dla każdego s ∈ [0, ∞) i j = 1, . . . , κ. St_, ad oraz_, z [2, lemat 6.5.2] mamy, że C_j^s = X^sej(C) dla dowolnego s ∈ [0, ∞) i j = 1, . . . , κ. To wraz z wnioskiem 3.4.8 implikuje, że A_j 4 Bj dla każdego j = 1, . . . , κ. Korzystajac z obserwacji 4.4.7 wnioskujemy, że_,

A 4 B. 

Rozważmy teraz sytuacje, w której_, N (Aj) = {0} dla każdego j = 1, . . . , κ. Wówczas możemy zrezygnować z warunku (ii) w powyższej propozycji żadajac jedynie, aby zbiór Λ(A, B) spełniał (4.6.6)._,

Twierdzenie 4.7.6. Niech A = (A1, . . . , A_κ) i B = (B₁, . . . , B_κ) bed_, a_, spektralnie przemiennymi układami dodatnich operatorów samosprzeżonych, przy czym_, N (Aj) = {0} dla j = 1, . . . , κ. Jeśli Λ(A, B) spełnia warunek (4.6.6), to A 4 B.

Dowód. Nierówność A 4 B jest bezpośrednia konsekwencj_, a wnio-_, sku 4.7.4 zastosowanego do zbioru Λ = Λ(A, B) oraz rodziny {r_α}_α∈Λ,

gdzie r_α= 1 dla każdego α ∈ Λ. 

Podrozdział zakończymy dwoma przykładami ilustrujacymi przedsta-_, wione przed chwila twierdzenia. Pierwszy z nich ukazuje istotność wa-_, runku (4.6.6) w twierdzeniu 4.7.6 na to, aby A4 B.

Przykład 4.7.7. Niech κ bedzie liczb_, a całkowit_, a wi_, eksz_, a lub równ_, a_, 2. Połóżmy H = C. Możemy utożsamić B(C) ∼= C. Rozważmy nastepuj_, ace dwa układy κ operatorów na C:_,

(4.7.5) A = (1, . . . , 1) i B = (1

2, 2, . . . , 2).

Jak łatwo zauważyć warunek X^α(A) 6 X^α(B) jest równoważny nierów-ności 1 6 2^|α|−2α1 dla dowolnego α ∈ N^κ. Zatem α ∈ Λ(A, B) wtedy i tylko wtedy, gdy α₁ 6 |α| − α1. Stad_,

sup

α∈Λ(A,B)

α₁

1 + |α| − α₁ 6 sup

α∈Λ(A,B)

|α| − α₁

1 + |α| − α₁ = 1.

Mimo tego, że N (Aj) = {0} dla j = 1, . . . , κ, A 64 B, co wynika z obserwacji 4.4.7 oraz tego, że A₁ = 1 B1 = ¹₂.

Jeśli wśród operatorów układu A znajduja si_, e operatory, które maj_, a_, niezerowe jadra, to spełnienie warunku (4.6.6) nie gwarantuje, że A 4 B._, Co wiecej, w tej sytuacji warunkek (ii) z propozycji 4.7.5 nie może być_, zastapiony żadnym innym warunkiem. Mówi_, ac dokładniej znajdziemy_, dwa układy A i B operatorów spektralnie przemiennych takie, że zbiór Λ(A, B) ∩ {se_j: s ∈ [0, ∞)} jest ograniczony oraz Λ(A, B) zawiera zbiór [0, ∞)^κ\{se_j: s ∈ [0, ∞)} dla pewnego j ∈ {1, . . . , κ}. Poniżej podajemy przykład, który ilustruje ta sytuacj_, e odsłaniaj_, ac jednocześnie różnice_, pomiedzy przypadkiem jednowymiarowym i wielowymiarowym. Podczas_, gdy założenie o zerowaniu sie j_, ader odgrywa kluczowe znaczenie w przy-_, padku układów operatorów, to w sytuacji pojedynczych operatorów jest ono zbedne (por. twierdzenie 3.4.5, 4.7.2, 4.7.6 oraz wniosek 3.4.8)._,

Przykład 4.7.8. Niech H = C² bedzie przestrzeni_, a Hilberta z baz_, a_, ortonormalna {(1, 0), (0, 1)} a A i B_{, θ}, gdzie θ ∈ [1, ∞), bed_, a macierzami_, dwa na dwa określonymi równościami (3.5.1). Rozważmy nastepuj_, ace_, układy operatorów na H: A = (A₁, A₂) i B_θ = (B_θ,1, B_θ,2), gdzie A₁ = A, A₂ =  1 −1

−1 1



, B_θ,1 = B_θ oraz B_θ,2 = 2IH. Oczywiście wszystkie wymienione operatory A₁, A₂, B_θ,1 i B_θ,2 sa samosprz_, eżone. Na mocy_, propozycji 3.5.3 dla każdej liczby całkowitej dodatniej k znajdziemy θk ∈ (2, ∞) takie, że A^s₁ 6 Bθ,1^s dla każdego θ ∈ [θk, ∞) oraz s = 0, . . . , k.

Poniżej wykażemy, że układy A i Bθ spełniaja nast_, epuj_, ace warunki:_, (i) N (A1) 6= {0} iN (A2) 6= {0},

(ii) A i B_θ sa układami operatorów spektralnie przemiennych,_,

(iii) dla każdej liczby całkowitej dodatniej k zbiór Λ(A, B_θ) zawiera (0, ∞) × [0, ∞) ∪ {0, . . . , k} × {0}, jeśli tylko θ ∈ [θ_k, ∞),

(iv) A4 Bθ wtedy i tylko wtedy, gdy θ = 2.

Niech α_j,1, α_j,2, gdzie α_j,1 6 αj,2, oznaczaja wartości własne macierzy A_{, j} dla j = 1, 2. Zanim przejdziemy do dowodu (i), (ii), (iii) i (iv) zauważmy, że α_1,1 = α_2,1 = 0 i α_1,2 = α_2,2 = 2. Jak łatwo sprawdzić wartościom własnym α_1,1, α_2,1, α_1,2 i α_2,2 odpowiadaja odpowienio wektory własne_, h₁, h₂, h₂ i h₁, gdzie h₁ = (1, −1) oraz h₂ = (1, 1). W szczególności macierze A₁ i A₂ możemy przedstawić w nastepuj_, acy sposób:_,

(4.7.6) A₁ =1 1

ad. (ii) Elementarne rachunki pokazuja, że każdy z układów A oraz_, B_θ, gdzie θ ∈ [1, ∞), sa układami macierzy przemiennych._,

ROZDZIAł 5

Aneks

5.1. Granica

Na zakończenie pracy rozważymy zagadnienie istnienia granicy w (3.4.1). W tych rozważaniach bedziemy potrzebowali nast_, epuj_, acego faktu_, (por. [23, Ćwiczenia 4. i 5., str. 73])

Stwierdzenie 5.1.1. Niech X bedzie przestrzeni_, a mierzaln_, a a µ nie-_, ujemna miar_, a skończon_, a na X. Jeśli f : X → C jest funkcj_, a mierzaln_, a,_, to lim

p→∞kf k_p = kf k∞ ∈ [0, ∞], gdzie kf k_p =Z

X

|f |^pdµ1/p

dla p ∈ [1, ∞) oraz kf k∞= ess sup|f |.

Jeśli dodatkowo µ(X) = 1, to funkcja ϕ : [1, ∞) → [0, ∞], gdzie ϕ(p) = kf k_p dla p ∈ [1, ∞), jest rosnaca._,

Propozycja 5.1.2. Jeśli A i B sa dodatnimi operatorami samosprz_, e-_, żonymi w H, to dla każdego wektora h należacego do_, X := (B(A) ∩ D^∞(B)) ∪ (D^∞(A) ∩B(B)) istnieje granica lim

s→∞

phAs ^sh, hi/hB^sh, hi ∈ [0, ∞].

Dowód. Dowód rozbijemy na kilka kroków.

Krok 1. Jeśli C jest dodatnim operatorem samosprzeżonym w H i_, h ∈D^∞(C), to nastepuj_, ace warunki s_, a równoważne_, ¹:

(a) h ∈N (C),

(b) dla każdej liczby rzeczywistej s > 1, hC^sh, hi = 0, (c) istnieje liczba rzeczywista t > 1 taka, że hC^th, hi = 0, (d) LC(h) := lim

s→∞

phCs ^sh, hi = 0.

Implikacje (a)⇒(b) i (b)⇒(c) sa oczywiste. Dla dowodu (c)⇒(d), za-_, uważmy, że równość R

[0,∞)x^thEC(dx)h, hi = hC^th, hi = 0 oznacza, że miara hE_C(·)h, hi jest skupiona w zbiorze {0}. Tym samym hC^sh, hi = 0 dla wszystkich liczb rzeczywistych s > 1, co daje (d). Implikacje,

(d)⇒(a) można łatwo wywnioskować z faktu², że funkcja [1, ∞) 3 s → phCs ^sh, hi ∈ [0, ∞] jest rosnaca dla każdego wektora h ∈_, D^∞(C) o nor-mie równej 1 (zob. n.p., [33]).

1 Istnienie granicy w (d) było już dyskutowane w dowodzie lematu 3.4.4.

2Do dowodu faktu wystarczy zastosować rozumowanie analogiczne jak w dowodzie lematu 3.4.4 i skorzystać z równości µh([0, ∞)) = khk²= 1.

Krok 2. Granica lim

s→∞

phAs ^sh, hi/hB^sh, hi istnieje dla wszystkich h ∈ D^∞(A) ∩N (B).

Rzeczywiście z kroku 1. granica równa sie 0, gdy h ∈_, N (A) i ∞ w przeciwnym razie.

Krok 3. Granica lim

s→∞

phAs ^sh, hi/hB^sh, hi istnieje dla każdego h ∈X . Istotnie, ze wzgledu na krok 1. i 2. możemy założyć, że L_{, B}(h) > 0.

Wiemy już, że obie granice L_A(h) i L_B(h) istnieja i należ_, a do predziału_, [0, ∞]. Z naszych założeń o h wynika, że jedna z tych granic jest skoń-czona. Stad już łatwo wywnioskować, że granica lim_,

s→∞

phAs ^sh, hi/hB^sh, hi

istnieje i jest równa L_A(h)/L_B(h). 

Indeks

N∗-zbiór liczb całkowitych dodatnich 5 Z-zbiór liczb całkowitych 5

A-domkni¯ ecie operatora A 6_, D^∞(A) =T∞

I = I_H-operator identycznościowy na H 7

S(X, E) 8 ϕ(A) 8 A^s8

supp µ-domkniety nośnik miary µ 8_, δa-miara Diraca a 10

supp E-nośnik miary spektralnej E 39 π_j42

ess sup g-istotny kres górny funkcji mierzalnej g : X → [0, ∞] 69

Bibliografia

[1] R. B. Ash, Real Analysis and Probability, Academic Press, Inc., New York, San Francisco, London, 1972.

[2] M. Sh. Birman, M. Z. Solomjak, Spectral theory of selfadjoint operators in Hilbert space, D. Reidel Publishing Co., Dordrecht, 1987.

[3] H. Comman, Upper regularization for extended selfadjoint operators, J. of Ope-rator theory 55 (2006), 91-116.

[4] W. G. Faris, Selfadjoint operators, Lecture Notes in Math., vol. 433, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, 1975.

[5] S. Gudder, An order for quantum observables, Math. Slovaca 56 (2006), 573-589.

[6] P. R. Halmos, Commutativity and spectral properties of normal operators, Acta Sci. Math. (Szeged ) 12 (1950), 153-156.

[7] P. R. Halmos, Measure theory, van Nostrand, Princeton 1956.

[8] G. H. Hardy, J. E. Littlewood, G. Pólya, Inequalities, Cambridge University Press, London, New York, 1934.

[9] R. V. Kadison, Order properties of bounded self-adjoint operators, Proc. Amer.

Math. Soc. 2 (1951), 505-510.

[10] T. Kato, Spectral order and a matrix limit theorem, Linear and Multilinear Algebra 8 (1979/80), 15-19.

[11] T. Kato, Perturbation theory for linear operators, Springer-Verlag, Berlin 1980.

[12] H. Leinfelder, A geometric proof of the spectral theorem for unbounded selfadjo-int operators, Math. Ann. 242 (1979), 85-96.

[13] B. A. Lengyel, M. H. Stone, Elementary proof of the spectral theorem, Ann. of Math. 37 (1936), 853-864.

[14] S. Łojasiewicz, Wstep do teorii funkcji rzeczywistych, Państwowe Wydawnictwo_, Naukowe, Warszawa, 1973.

[15] S. Miyajima, I. Saito, ∞-hyponormal operators and their spectral properties, Acta Sci. Math. (Szeged ) 67 (2001), 357-371.

[16] W. Mlak, Hilbert spaces and operator theory, PWN-Polish Scientific Publishers and Kluwer Academic Publishers, Warszawa, Dordrecht, 1991.

[17] E. Nelson, Analytic vectors, Ann. Math. 70 (1959), 572-615.

[18] J. von Neumann, Zur Theorie der unbeschr¨ankten Matrizen, Journal f¨ur die reine und angewandte Mathematik 161 (1929), 208 - 236.

[19] A. E. Nussbaum, Quasi-analytic vectors, Ark. Math. 6 (1965), 179-191.

[20] A. E. Nussbaum, A note on quasi-analytic vectors, Studia Math. 33 (1969), 305-309.

[21] M. P. Olson, The selfadjoint operators of a von Neumann algebra form a condi-tionally complete lattice, Proc. Amer. Math. Soc. 28 (1971), 537-544.

[22] A. Płaneta, J. Stochel, Spectral order for unbounded operators.

[23] W. Rudin, Real and Complex Analysis, McGraw-Hill, New York, 1974.

[24] W. Rudin, Analiza funkcjonalna, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa, 2002.

[25] J. Rusinek, p-analytic and p-quasi-analytic vectors, Studia Math. 127 (1998), 233-250.

[26] J. Rusinek, Non-linearity of the set of p-quasi-analytic vectors for some essentially self-adjoint operators, Bull. Polish Acad. Sci. Math. 48 (2000), 287-292.

[27] Y. S. Samoilenko, Spectral theory of families of self-adjoint operators, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 1991. (1951), 227-232.

[28] S. Sherman, Order in operator algebras, Amer. J. Math. 73 (1951), 227-232.

[29] J. Stochel and F. H. Szafraniec, On normal extensions of unbounded operators.

I, J. Operator Theory 14 (1985), 31-55.

[30] J.Stochel and F. H. Szafraniec, C^∞-vectors and boundedness, Ann. Polon. Math.

66 (1997), 223-238.

[31] J.Stochel and F. H. Szafraniec, Domination of unbounded operators and com-mutavity, J. Math. Soc. Japan 55 (2003), 405-437.

[32] M. H. Stone, Linear transformations in Hilbert space and their applications to analysis, Amer. Math. Soc. Colloq. Publ. 15, Amer. Math. Soc., Providence, R.I.

1932.

[33] F. H. Szafraniec, Kato-Protter type inequalities, bounded vectors and the expo-nential function, Ann. Polon. Math. 51 (1990), 303-312.

[34] D. M. Topping, Lectures on von Neumann algebras, Van Nostrand Reinhold Company, London, 1971.

[35] J. Weidmann, Linear operators in Hilbert spaces, Springer-Verlag, New York, 1980.

W dokumencie Porządek spektralny dla układów operatorów (Stron 64-74)