Zbiory ćwiartkowe i funkcje oddzielnie rosn ace , Rozważania dotycz ace wielowymiarowego porz , adku spektralnego po-,

przedzimy zebraniem i uporzadkowaniem wiadomości na temat funkcji_, oddzielnie rosnacych i zbiorów ćwiartkowych._,

Niech κ bedzie dowoln_, a liczb_, a naturaln_, a różn_, a od zera. Na zbiorze R_, ^κ rozważamy topologie zadan_, a przez metryk_, e euklidesow_, a. Niech a, b ∈ R_, ^κ. Piszemy, że a6 b (odpowiednio a < b), jeśli aj 6 bj (odpowiednio a_j <

b_j), dla każdego j = 1, . . . , κ, gdzie a = (a₁, . . . , a_κ) i b = (b₁, . . . , b_κ).

Przez przedział (a, b] (odpowiednio [a, b]) rozumiemy zbiór {x ∈ R^κ: a <

x 6 b} (odpowiednio {x ∈ R^κ: a 6 x 6 b}). Dla uproszczenia notacji bedziemy używać oznaczenia ∞ zamiast (∞, . . . , ∞)_,

| {z }

κ

. W szczególności, jeśli x ∈ R^κ, to (−∞, x] = {y ∈ R^κ: y 6 x} = (−∞, x1] × . . . × (−∞, x_κ], gdzie x = (x₁, . . . , x_κ).

Definicja 4.1.1. Niech Ω ⊂ R^κ. Mówimy, że zbiór Ω jest zbiorem ćwiartkowym, gdy dla dowolnego x ∈ Ω zachodzi inkluzja (−∞, x] ⊂ Ω.

Obserwacja 4.1.2. Niech Γ bedzie rodzin_, a ćwiartkowych podzbiorów_, R^κ. Wówczas T Γ jest zbiorem ćwiartkowym.

Dla Ω ⊂ R^κ zdefiniujmy zbiór Ω^¬ :=\

{W ⊂ R^κ: W jest ćwiartkowy i Ω ⊂ W }.

Na mocy obserwacji 4.1.2 Ω^¬ jest najmniejszym zbiorem ćwiartkowym zawierajacym zbiór Ω._,

Obserwacja 4.1.3. Niech Ω, Ω1, Ω₂ ⊂ R^κ. Wówczas (i) Ω^¬ =S

x∈Ω(−∞, x],

(ii) jeśli Ω₁ ⊂ Ω₂, to Ω^¬₁ ⊂ Ω^¬₂,

(iii) jeśli Ω jest zbiorem zwartym, to Ω^¬ jest zbiorem domknietym._, Dowód. (i) (⊃) wynika wprost z definicji zbioru Ω^¬.

(⊂) Wystarczy zauważyć, żeS

x∈Ω(−∞, x] jest zbiorem ćwiartkowym zawierajacym Ω._,

(ii) To jest oczywiste.

(iii) Ustalmy x ∈ Ω^¬. Istnieje wówczas ciag {x_{, n}}^∞_n=1 ⊂ Ω^¬ taki, że x_n → x, gdy n → ∞. Na mocy (i) znajdziemy ciag {y_{, n}}^∞_n=1 ⊂ Ω

spełniajacy warunek x_{, n} 6 yn dla n = 1, 2, . . .. Dzieki zwartości Ω z_, ciagu {y_{, n}}^∞_n=1⊂ Ω możemy wybrać podciag {y_{, nk}}^∞_k=1zbieżny do pewnego y ∈ Ω. W szczególności x = lim

k→∞x_nk 6 lim

k→∞y_nk = y. Stad i z (i) wynika,_,

że x ∈ Ω^¬. 

Nawiazuj_, ac do obserwacji 4.1.3 (iii) warto zwrócić uwag_, e, że w przy-_, padku, gdy κ ≥ 2, domknietość zbioru Ω nie gwarantuje, że Ω_, ^¬ jest domkniety. Sytuacj_, e t_, a obrazuje nast_, epuj_, acy przykład._,

Przykład 4.1.4. Niech Ω = {(−_n¹, n) : n ∈ N^∗}. Oczywiście Ω jest domkniety. Z drugiej strony na mocy obserwacji 4.1.3 (i) otrzymujemy,_, że Ω^¬ = S∞

n=1(−∞, (−_n¹, n)] = (−∞, 0) × R. Tym samym Ω^¬ nie jest domkniety._,

Definicja 4.1.5. Niech κ1, κ₂ ∈ N^∗, Ω ⊂ R^κ1 oraz ϕ : Ω → R^κ2. Powiemy, że ϕ jest funkcja oddzielnie rosn_, ac_, a jeśli_,

x 6 y ⇒ ϕ(x) 6 ϕ(y), dla dowolnych x, y ∈ Ω.

Wprost z definicji funkcji oddzielnie rosnacej wynika nast_, epuj_, aca wła-_, sność

Obserwacja 4.1.6. Niech κ1, κ₂ ∈ N^∗ i Ω ⊂ R^κ1. Wówczas ϕ = (ϕ₁, . . . , ϕ_κ2) : Ω → R^κ2 jest funkcja oddzielnie rosn_, ac_, a wtedy i tylko_, wtedy, gdy ϕ_j jest funkcja oddzielnie rosn_, ac_, a dla każdego j = 1, . . . , κ_{, 2}.

Nastepne stwierdzenie ł_, aczy poj_, ecia zbioru ćwiartkowego i funkcji_, oddzielnie rosnacej._,

Stwierdzenie 4.1.7. Niech κ1, κ₂ ∈ N^∗. Wówczas ϕ : R^κ1 → R^κ2 (odpowiednio ϕ : R^κ1 → R^κ2) jest funkcja oddzielnie rosn_, ac_, a wtedy i tylko_, wtedy, gdy dla każdego x ∈ R^κ2 zbiór ϕ⁻¹((−∞, x]) jest ćwiartkowy (od-powiednio dla każdego x ∈ R^κ2 zbiór ϕ⁻¹([−∞, x]) jest ćwiartkowy ).

Dowód. Dowód przeprowadzimy tylko dla funkcji ϕ : R^κ1 → R^κ2, ponieważ drugi z przypadków dowodzi sie analogicznie._,

(⇒) Wynika wprost z definicji funkcji oddzielnie rosnacej._,

(⇐) Ustalmy x₁, x₂ ∈ R^κ1 takie, że x₁ 6 x2. Zauważmy, że x₁ ∈ Ω :=

ϕ⁻¹((−∞, ϕ(x₂)]), ponieważ Ω jest ćwiartkowy i x₂ ∈ Ω. Stad wynika,_,

że ϕ(x₁) 6 ϕ(x2). 

Niech Ω ⊂ R^κ oraz niech bedzie dana liczba rzeczywista  > 0. Jeśli_, k.k jest norma na R_, ^κ, to definiujemy nastepuj_, acy zbiór_, ¹

(4.1.1) Ω^() := {x ∈ R^κ: inf

y∈Ωkx − yk 6 }.

1Przyjmujemy z definicji, że inf ∅ = ∞.

Stwierdzenie 4.1.8. Niech Ω ⊂ R^κ bedzie zbiorem ćwiartkowym_, oraz niech k.k bedzi_, a dowoln_, a norm_, a na R_, ^κ. Wówczas

(i) funkcja odległości od zbioru Ω jest funkcja oddzielnie rosn_, ac_, a_,², (ii) Ω^() jest zbiorem ćwiartkowym dla dowolnego  > 0.

Dowód. Bez straty ogólności możemy założyć, że Ω 6= ∅.

(i) Niech x, y ∈ R^κ bed_, a takie, że x 6 y. Wykażemy, że d_, ^Ω(x) 6 d_Ω(y). Ustalmy liczbe rzeczywist_, a  > 0. Ponieważ Ω 6= ∅, to istnieje_, y_ ∈ Ω takie, że ky−y_k < d_Ω(y)+. Ponieważ x 6 y, to x := y_+x−y 6 y_. Stad oraz tego, że Ω jest ćwiartkowy wynika, że x_{, } ∈ Ω. Oczywiście kx − x_k = ky − y_k < d_Ω(y) + . Stad wnioskujemy, że d_{, Ω}(x) 6 dΩ(y) + .

Przechodzac z  do 0 otrzymamy ż_, adan_, a nierówność._,

(ii) Wystarczy zauważyć, że Ω^() = d⁻¹_Ω ((−∞, ]) oraz skorzystać z (i)

oraz ze stwierdzenia 4.1.7. 

Na zakończenie tego podrozdziału odnotujmy, że nie każda funkcja oddzielnie rosnaca f : R_, ^κ → R musi być borelowska. Uwaga ta nie doty-czy jedynie przypadku κ = 1, w którym monotoniczność funkcji gwara-tuje jej borelowskość (zob. lemat 3.3.1) .

Przykład 4.1.9. Niech V ⊂ [0, 1] bedzie zbiorem Vitaliego (por._, [14, str. 118]). Niech S₁ := {(x, y) ∈ R²: x + y < 0}, S₂ := {(x, y) ∈ R²: x + y = 0 i x ∈ V } oraz S := {(x, y) ∈ R²: x + y = 0}. Wówczas funkcja ϕ : R² → R określona wzorem ϕ := χR²\(S1∪S2) jest funkcja od-_, dzielnie rosnac_, a. Z drugiej strony zauważmy, że funkcja ϕ nie jest funkcj_, a_, borelowska. Gdyby ϕ była funkcj_, a borelowsk_, a, to zbiór ϕ_, ⁻¹((−∞,¹₂]) = S₁ ∪ S₂ byłby zbiorem borelowskim w R². Stad oraz z tego, że zbiór_, S₁ jest otwarty w R² wynika, że zbiór S₂ = (S₁ ∪ S₂)\S₁ jest zbiorem borelowskim w R². Jeśli na S wprowadzimy topologie indukowan_, a z R_, ², to na mocy równości (2.1.1) otrzymamy, że S₂ ∈ B(S). Ponieważ π : S 3 (x, y) → x ∈ R jest homeomorfizmem, to zbiór V = π(S²) ∈ B(R).

Otrzymujemy sprzeczność, wobec tego ϕ nie jest funkcja borelowsk_, a._, 4.2. Regularność miar spektralnych

W tym podrozdziale przypomnimy kilka faktów dotyczacych regular-_, ności miar. Zaczniemy od nastepuj_, acego twierdzenia (zob. [1, twierdze-_, nie 4.3.8.]).

Twierdzenie 4.2.1. Jeśli X jest ośrodkowa i zupełn_, a przestrzeni_, a_, metryczna oraz µ jest miar_, a skończon_, a na B(X), to_,

µ(σ) = sup{µ(K) : Kzwarty podzbiór σ}, dla każdego σ ∈ B(X).

2Z definicji dΩ(x) := inf{kx − yk : y ∈ Ω} dla x ∈ R^κ.

Wniosek 4.2.2. Niech X bedzie ośrodkow_, a i zupełn_, a przestrzeni_, a_, metryczna oraz niech E b_, edzie miar_, a spektraln_, a na B(X). Jeśli σ ∈_, B(X), to

E(σ) =_

{E(K) : Kzwarty podzbiór σ}.

Dowód. Niech E0(σ) := W{E(τ ) : τ zwarty podzbiór σ}. Przypu-śćmy nie wprost, że E(σ) 6= E0(σ). Ponieważ E0(δ) 6 E(δ) dla każdego δ ∈ B(X), to istnieje h ∈ H\{0} takie, że h = E(σ)h oraz E(τ )h = 0 dla każdego zbioru zwartego τ ⊂ σ. W szczególności

(4.2.1) µ_h(τ ) := hE(τ )h, hi = 0, dla każdego zbioru zwartego τ ⊂ σ.

Oczywiście µ_h jest skończona miar_, a na B(X). St_, ad na mocy twierdzenia_, 4.2.1 oraz równości (4.2.1) otrzymujemy, że µ_h(σ) = 0. Z drugiej strony ponieważ h 6= 0, to

0 < khk² = hE(σ)h, hi = µ_h(σ).

Otrzymujemy sprzeczność, co kończy dowód. 

Niech X bedzie przestrzeni_, a topologiczn_, a oraz niech E b_, edzie miar_, a_, spektralna na B(X). Zbiór Y ⊂ X nazywamy nośnikiem miary spek-_, tralnej E, gdy Y jest najmniejszym (w sensie inkluzji) podzbiorem do-mknietym X takim, że E(X\Y ) = 0. Nośnik miary spektralnej E ozna-_, czamy przez supp E. Nietrudno pokazać, że punkt x ∈ supp E wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego U otoczenia x mamy E(U ) 6= 0. Wiadomo również, że dla każdej miary spektralnej E na B(X), gdzie X jest ośrod-kowa i zupełn_, a przestrzeni_, a metryczn_, a, nośnik istnieje (por. [2, strona_, 129]). Własność te można łatwo wydedukować także z wniosku 4.2.2._,

Na koniec przypomnijmy, że jeśli A jest operatorem samosprzeżonym_, w H, to supp E_A = σ(A), gdzie σ(A) oznacza widmo operatora A. W szczególności operator samosprzeżony A jest dodatni wtedy i tylko wtedy,_, gdy supp E_A⊂ [0, ∞) (por. [2, 24]).

4.3. Nierówności całkowe na R^κ

Zajmiemy sie teraz nierównościami całkowymi na R_, ^κ. Sformułujemy i udowodnimy twierdzenie 4.3.2, które bedzie zwieńczeniem rozważań_, prowadzonych w podrozdziałach 2.2 i 2.3.

Do dowodu wspomnianego przed chwila twierdzenia b_, edziemy potrze-_, bowali poniższego lematu

Lemat 4.3.1. Niech µ bedzie skończon_, a miar_, a borelowsk_, a na R_, ^κ. Wówczas dla dowolnego zbioru ćwiartkowego Ω ∈ B(R^κ) zachodzi rów-ność

µ(Ω) = sup{µ(D) : D ⊂ Ω, D = D = D^¬}.

Dowód. Ustalmy zbiór ćwiartkowy Ω ∈ B(R^κ). Stosujac twierdze-_, nie 4.2.1 oraz obserwacje 4.1.3 otrzymujemy, że_,

µ(Ω)^4.2.1= sup{µ(K) : K ⊂ Ω, K − zwarty } 6 sup{µ(K^¬) : K ⊂ Ω, K − zwarty }

4.1.3

6 sup{µ(D) : D ⊂ Ω, D = D = D^¬} 6 µ(Ω).

W szczególności µ(Ω) = sup{µ(D) : D ⊂ Ω, D = D = D^¬}.  Po zakończeniu przygotowań możemy przejść do sformułowania i udo-wodnienia twierdzenia o nierównościach na R^κ, gdzie κ jest dowolna_, liczba całkowit_, a dodatni_, a. Twierdzenie to jest uogólnieniem twierdzeń_, 2.2.1 i 2.3.1.

Twierdzenie 4.3.2. Niech µ1 i µ2 bed_, a skończonymi nieujemnymi_, miarami borelowskimi na R^κ. Rozważmy nastepuj_, ace pi_, eć warunków :_,

(i) µ₂(Ω) 6 µ1(Ω) dla każdego zbioru ćwiartkowego Ω ∈ B(R^κ), (ii) R

R^κf dµ₁ 6 R

R^κf dµ₂ dla każdej funkcji borelowskiej oddzielnie ro-snacej f : R_, ^κ → [0, ∞),

(iii) R

R^κf dµ₁ 6 R

R^κf dµ₂ dla każdej funkcji borelowskiej oddzielnie ro-snacej f : R_, ^κ → R takiej, że R

R^κ|f |dµ₂ < ∞ (całka R

R^κf dµ₁ może być równa −∞),

(iv) R

R^κf dµ1 6 R

R^κf dµ2 dla każdej ograniczonej oddzielnie rosnacej_, funkcji ciagłej f : R_, ^κ → R,

(v) R

R^κf dµ₁ 6 R

R^κf dµ₂ dla każdej ograniczonej oddzielnie rosnacej_, funkcji ciagłej f : R_, ^κ → [0, ∞).

Wówczas warunek (i) (odpowiednio : (ii), (iii)) implikuje, że µ₂(R^κ) 6 µ₁(R^κ) (odpowiednio: µ₁(R^κ) 6 µ2(R^κ), µ₁(R^κ) = µ₂(R^κ)). Z nierów-ności µ₁(R^κ) 6 µ2(R^κ) oraz (i) wynika, że µ₁(R^κ) = µ₂(R^κ). Jeśli µ₁(R^κ) = µ₂(R^κ), to wszystkie warunki (i)-(v) sa równoważne._,

Dowód. Załóżmy, że µ1(R^κ) = µ₂(R^κ) (pozostałe fragmenty tezy sa_, oczywiste).

(i)⇒(iii) Niech f : R^κ → R bedzie funkcj_, a borelowsk_, a oddzielnie_, rosnac_, a tak_, a, że_, R

R^κ|f |dµ₂ < ∞. Połóżmy ν_j(σ) := µ_j(f⁻¹(σ)) dla każdego σ ∈ B(R) i j = 1, 2. Oczywiście ν1 i ν₂ sa skończonymi nie-_, ujemnymi miarami borelowskimi na R. Ze stwierdzenia 4.1.7 wynika, że zbiór f⁻¹((−∞, x])) jest zbiorem ćwiartkowym. Stad i z założenia_, otrzymujemy, że

ν₂((−∞, x]) = µ₂(f⁻¹(−∞, x])) 6 µ1(f⁻¹(−∞, x])) = ν₁((−∞, x]) dla każdego x ∈ R. Równocześnie

ν₁(R) = µ1(R^κ) = µ₂(R^κ) = ν₂(R).

Z twierdzenia o transporcie miary wynika, że

Ostatecznie korzystajac z twierdzenia o transporcie miary i twierdzenia_, 2.3.1 dostaniemy, że

(ii)⇒(i) Niech Ω ∈ B(R^κ) bedzie zbiorem ćwiartkowym. Wówczas_, funkcja f = χ_R^κ\Ω jest oddzielnie rosnącą funkcja borelowską. Stąd i z_, założenia wynika, że

µ₁(R^κ) − µ₁(Ω) = µ₁(R^κ\Ω)⁽ⁱⁱ⁾6 µ2(R^κ\Ω) = µ₂(R^κ) − µ₂(Ω), co wraz z równością µ₁(R^κ) = µ₂(R^κ) oznacza, że µ₂(Ω) 6 µ1(Ω).

Implikacje (iii)⇒(iv) i (iv)⇒(v) sa oczywiste._,

(v)⇒(i) Na mocy lematu 4.3.1 dowód redukuje sie do wykazania, że_,

(4.3.1) µ₂(D) 6 µ1(D),

dla każdego domkniętego zbioru ćwiartkowego D ⊂ R^κ.

Przejdźmy do dowodu nierówności (4.3.1). Ustalmy domkniety zbiór_, ćwiartkowy D ⊂ R^κ. Dla każdego n ∈ N∗ zdefiniujmy funkcje f_{, n}: R^κ → R wzorem fn(x) := min{1, nd_D(x)}, gdzie x ∈ R^κ. Oczywiście 0 6 f_n(x) 6 1, fn(x) 6 fn+1(x) oraz lim_n→∞f_n(x) = χ_R^κ_\D(x) dla każdego x ∈ R^κ. Funkcje f_n sa ci_, agłe oraz oddzielnie rosn_, ace, bo d_{, D} jest funkcja_, ciagł_, a i oddzielnie rosn_, ac_, a (por. obserwacja 4.1.7). Korzystaj_, ac z zało-_, żenia oraz twierdzenia Lebesgue’a o monotonicznym przejściu do granicy pod znakiem całki wywnioskujemy, że Uwaga 4.3.3. Jeśli µ1 i µ₂ sa skończonymi nieujemnymi miarami_, borelowskimi na R^κ takimi, że µ₁(R^κ) = µ₂(R^κ), to warunek

(4.3.2) µ₂((−∞, x]) 6 µ1((−∞, x]), x ∈ R^κ,

nie musi implikować warunków (i)-(v) w twierdzeniu 4.3.2. Rzeczywiście zdefiniujmy dwie miary borelowskie µ₁ i µ₂ na R² w nastepuj_, acy sposób_,

µ₁ := δ_(0,0)+ δ_(1,1) i µ₂ := δ_(0,1)+ δ_(1,0),

gdzie δ_(0,0), δ_(0,1), δ_(1,0) i δ_(1,1) sa miarami Diraca określonymi na B(R_, ²).

Oczywiście µ₁(R²) = µ₂(R²) = 2 oraz µ₂((−∞, x]) 6 µ1((−∞, x]) dla do-wolnego x ∈ R². Z drugiej strony µ₁(S) < µ₂(S), gdzie S = {(x₁, x₂) ∈

R²: x₁ + x₂ 6 1}. Tym samym nie jest spełniony warunek (i) z twier-dzenia 4.3.2, co pociaga za sob_, a, że miary µ_{, 1} i µ₂ nie spełniaja żadnego_, z warunków (i)-(v).

4.4. Wielowymiarowy porzadek spektralny_,

W niniejszym podrozdziale zajmiemy sie problemem przeniesienia_, porzadku spektralnego z przypadku pojedynczych operatorów samosprz_, e-_, żonych na przypadek skończonych układów spektralnie przemiennych operatorów samosprzeżonych. Jednak zanim podamy odpowiedni_, a defi-_, nicje i zbadamy własności tego porz_, adku przypomnimy kilka podstawo-_, wych wiadomości na temat miar spektralnych na B(R^κ) i dystrybuant spektralnych na R^κ.

Mówimy, że układ A = (A₁, . . . , A_κ) operatorów samosprzeżonych_, w H jest spektralnie przemienny jeśli operatory A_i i A_j sa spektralnie_, przemienne dla dowolnych i, j ∈ {1, . . . , κ}.

Niech E bedzie borelowsk_, a miar_, a spektraln_, a na R_, ^κ o wartościach w B(H). Powiemy, że E jest wspólna miar_, a spektraln_, a spektralnie prze-_, miennego układu A = (A₁, . . . , A_κ) operatorów samosprzeżonych w H_, jeśli

(4.4.1) E_Aj(σ) = E(π_j⁻¹(σ)), σ ∈ B(R), j = 1, . . . , κ,

gdzie π_j: R^κ 3 (x₁, . . . , x_κ) → x_j ∈ R. Twierdzenie 5.2.6. w [2] gwaran-tuje, że dla każdego spektralnie przemiennego układu operatorów samo-sprzeżonych A istnieje dokładnie jedna miara spektralna spełniaj_, aca rów-_, nanie (4.4.1) . W dalszym ciagu wspóln_, a miar_, e spektraln_, a układu A_, bedziemy oznaczać przez E_{, A}. Poniższe twierdzenie przedstawia jedna z_, najważniejszych własności wspólnych miar spektralnych (por. [2, twier-dzenie 6.5.1.])

Twierdzenie 4.4.1. Niech A = (A1, . . . , A_κ) bedzie spektralnie prze-_, miennym układem operatorów samosprzeżonych w H oraz niech E b_, edzie_, miara spektraln_, a na B(R_, ^κ). Wówczas nastepuj_, ace warunki s_, a równo-_, ważne:

(i) A_j =R

R^κx_jE(dx) dla każdego j = 1, . . . , κ, (ii) zachodzi równość E = E_A.

Przypomnijmy w tym miejscu jeszcze jedna własność wspólnej miary_, spektralnej.

Obserwacja 4.4.2. Niech A = (A1, . . . , A_κ) bedzie układem spektral-_, nie przemiennych operatorów samosprzeżonych. Jeśli σ_{, 1}, . . . , σ_κ ∈ B(R), to

(4.4.2) E_A(σ₁× . . . × σ_κ) = E_A1(σ₁) . . . E_Aκ(σ_κ).

Dowód. Niech σ1, . . . , σ_κ ∈ B(R). Wówczas na mocy tego, że EA

jest rozwiazaniem równania (4.4.1) otrzymamy nast_, epuj_, ace równości_, E_A(σ₁× . . . × σ_κ) = E_A(

Poniższa obserwacja opisuje zwiazki pomi_, edzy nośnikiem wspólnej_, miary spektralnej układu operatorów a nośnikami miar spektralnych po-szczególnych operatorów tego układu (por. [2, strona 155]).

Obserwacja 4.4.3. Jeżeli A = (A1, . . . , A_κ) jest układem spektralnie przemiennych operatorów samosprzeżonych w H, to_,

(4.4.3) supp E_A ⊂ supp E_A1 × . . . × supp E_Aκ. nazywać wspólna dystrybuant_, a spektraln_, a układu A. Podobnie jak w_, przypadku jednowymiarowym dystrybuanty spektralne można wprowa-dzić bez odwoływania sie do poj_, ecia miar spektralnych. Dla pełności_, wywodu i wygody czytelnika przedstawiamy poniżej abstrakcyjna defi-_, nicje dystrybuanty spektralnej w przypadku wielowymiarowym oraz szkic_, konstrukcji miary spektralnej zadajacej dan_, a dystrybuant_, e spektraln_, a._, Wiecej na ten temat można znaleźć w [1] i [2]._,

Przez przedział prawostronnie domkniety w R_, ^κ rozumiemy zbiór po-staci (a, b] := {x ∈ R^κ: a < x 6 b}, gdzie a, b ∈ R^κ. Niech F₀(R^κ) oznacza algebre wszystkich skończonych sum parami rozł_, acznych prze-_, działów prawostronnie domknietych w R_, ^κ.

Dla c, d ∈ R i j ∈ {1, . . . , κ} definiujemy pomocniczo tzw. operator różnicowy 4^(j)_d,c. Jeśli F : R^κ → B(H), to

4^(j)_d,cF ((x₁, . . . , x_κ))

:= F (x₁, . . . , x_j−1, d, x_j+1, . . . , x_κ)−F (x₁, . . . , x_j−1, c, x_j+1, . . . , x_κ) dla wszystkich x1, . . . , xκ ∈ R. W szczególności dla a, b ∈ R^κ możemy zdefiniować przyrost funkcji F wzorem

F (a, b] := 4⁽¹⁾_b1,a1· · · 4^(κ)_bκ,aκF (x1, . . . , xκ), gdzie a = (a₁, . . . , a_κ) i b = (b₁, . . . , b_κ).

Postepuj_, ac podobnie jak w [1] wprowadzamy dystrybuanty spek-_, tralne na R^κ, czyli funkcje F : R^κ → P (H) spełniajace trzy warunki:_,

(i) F (a, b] ∈ P (H) dla dowolnych a, b ∈ R^κ takich, że a6 b,³ (ii) s − lim

n→∞F (x) = F (x₀) dla każdego x₀ ∈ R^κ i dowolnego ciagu_, {xn}^∞_n=1 ⊂ R^κ takiego, że xn& x0,⁴

(iii) s − lim

x&x0

F (x) = F (x0) dla każdego x0 ∈ R^κ (wzgledem porz_, adku_,

„6” w R^κ), (iv) s − lim

n→∞F (a_n, b_n] = I dla dowolnych ciagów {a_{, n}}^∞_n=1 ⊂ R^κ i {b_n}^∞_n=1⊂ R^κ takich, że a_n & −∞ i b_n% ∞.

Analogicznie jak w przypadku skalarnym dowodzi sie, że F (a_, ⁰, b⁰] 6 F (a, b] dla dowolnych a, a⁰, b, b⁰ ∈ R^κ spełniajacych nierówności a 6 a_, ⁰ 6 b⁰ 6 b.

Dla dowolnej miary spektralnej E na B(R^κ) funkcja F : R^κ → P (H) zadana wzorem F (x) = E((−∞, x]), gdzie x ∈ R^κ, jest dystrybuanta_, spektralna. Poniższe twierdzenie pokazuje, że każda dystrybuanta spek-_, tralna na R^κ pochodzi od dokładnie jednej miary spektralnej na B(R^κ).

Twierdzenie 4.4.4. Niech F bedzie dystrybuant_, a spektraln_, a na R_, ^κ. Wówczas istnieje dokładnie jedna miara spektralna na B(R^κ) taka, że (4.4.4) E((a, b]) = F (a, b], a, b ∈ R^κ, a 6 b.

Szkic dowodu. Jednoznaczność. Jednoznaczność jest konsekwen-cja nast_, epuj_, acego lematu._,

Lemat 4.4.5. Niech M bedzie σ-algebr_, a na zbiorze X a E_{, 1} i E₂ bed_, a_, miarami spektralnymi na M o wartościach w B(H). Jeśli N := {τ ∈ M : E1(τ ) = E2(τ )}, to N jest σ-algebra na zbiorze X._,

Istnienie. Na wstepie definiujemy funkcj_, e E_, ⁰: F₀(R^κ) → P (H) w kilku krokach:

3Funkcje F (a, b], która jest stała, utożsamiamy z F (a, b](0) ∈ B(H)._,

4Symbol an & a0 (odpowiednio an % a0) oznacza, że ciag {a_, n}^∞_n=1 ⊂ R^κ jest malejacy (odpowiednio rosn_, acy) wzgl_, edem porz_, adku „6” w R_, ^κoraz zbieżny do a0∈ R

κ.

Krok 1. Dla a, b ∈ R^κ takich, że a 6 b, definiujemy E⁰((a, b]) := F (a, b].

Krok 2. Jeśli a, b ∈ R^κ spełniaja nierówność a 6 b, to przyjmujemy_, E⁰((a, b]) := s − lim

n→∞F (an, bn], gdzie an, bn ∈ R^κ dla N^∗ oraz an & a i b_n % b. Istnienie tej granicy wynika z uwagi przed twierdzeniem.

Krok 3. Dla J =Sn

j=1J_j, gdzie J_j sa parami rozł_, acznymi przedziałami_, prawostronnie domknietymi w R_, ^κ, przyjmujemy E⁰(J ) :=Pn

j=1E⁰(J_j).

E⁰ jest dobrze zdefiniowana funkcj_, a_,⁵. Dodatkowo E⁰ jest addytywna i E⁰(R^κ) = I.

Do zakończenia dowodu wystarczy pokazać, że E⁰ jest σ-addytywna.

Wówczas E⁰ rozszerzy sie do miary spektralnej na B(R_, ^κ) spełniajacej_, równość (4.4.4) (zob. [2, twierdzenie 5.2.3.]). W tym celu ustalmy h ∈ H.

Niech µ⁰_h(J ) := hE⁰(J )h, hi dla J ∈ F0(R^κ) oraz Fh(x) := hF (x)h, hi dla x ∈ R^κ. Na mocy własności (i) i (ii) wynika, że Fh jest dystrybuanta na_, R^κ. Z drugiej strony µ⁰_h((a, b]) = F_h(a, b] dla dowolnych a, b ∈ R^κ, a 6 b.

Na mocy [1, twierdzenie 1.4.9.] istnieje µ_h miara borelowska taka, że µ_h((a, b]) = F_h(a, b] dla dowolnych a, b ∈ R^κ, a 6 b. W szczególności µ_h|F₀(R^κ)= µ⁰_h, co oznacza, że µ⁰_h jest σ-addytywna. Tym samym E⁰ jest

σ-addytywna. 

Niech A = (A₁, . . . , A_κ) bedzie układem operatorów spektralnie prze-_, miennych. Dla funkcji borelowskiej ϕ ∈ S(R^κ, E_A) definiujemy operator ϕ(A) wzorem⁶

ϕ(A) = Z

R^κ

ϕ(x)E_A(dx).

Operator ϕ(A) jest samosprzeżony. Dodatkowo, jeśli ϕ > 0, to ϕ(A) jest_, dodatni.

Wracamy teraz do głównego zagadnienia tego podrozdziału, czyli do wielowymiarowego porzadku spektralnego. Zaczniemy od zdefinio-_, wania relacji 4, która jest naturalnym uogólnieniem jednowymiarowego porzadku spektralnego._,

Definicja 4.4.6. Niech A = (A1, . . . , A_κ) i B = (B₁, . . . , B_κ) bed_, a_, spektralnie przemiennymi układami operatorów samosprzeżonych w H._, Wówczas A4 B, gdy FB(x) 6 FA(x) dla każdego x ∈ R^κ.

Oczywiście relacja4 jest relacja porz_, adku w zbiorze wszystkich spek-_, tralnie przemiennych układów κ operatorów samosprzeżonych w H. W_, dalszym ciagu relacj_, e 4 b_, edziemy nazywać wielowymiarowym porz_, ad-_, kiem spektralnym. Poniżej zbadamy jej podstawowe własności.

Obserwacja 4.4.7. Niech A = (A1, . . . , A_κ) i B = (B₁, . . . , B_κ) bed_, a spektralnie przemiennymi układami operatorów samosprz_, eżonych w_,

5Zauważmy, że jeśli (a, b] ∩ (c, d] = ∅, to F (a, b]F (c, d] = 0.

6W przypadku, gdy ϕ bedzie wyrażona konkretnym wzorem, b_, edziemy używać_, symbolu ϕ(X)(A), gdzie X = (X1, . . . , Xκ).

H. Wówczas A 4 B wtedy i tylko wtedy, gdy Aj 4 Bj dla każdego j = 1, . . . , κ.

Dowód. (⇒) Dla uproszczenia zapisu przyjmujemy, że j = 1. Ustal-my x ∈ R. Jeśli C = (C1, . . . , C_κ) jest spektralnie przemiennym układem operatorów samosprzeżonych, to_,

F_C1(x) = E_C((−∞, x] × R^κ−1)

= s − lim

n→∞E_C((−∞, (x, n, . . . , n)]) = s − lim

n→∞F_C((x, n, . . . , n)).

Stad oraz z tego, że F_, B(y) 6 F^A(y) dla każdego y ∈ R^κ wynika, że F_B1(x) 6 FA1(x).

(⇐) Z założenia wiemy, że FBj(x) 6 FAj(x) dla dowolnego x ∈ R oraz dla każdego j = 1, . . . , κ. Dzieki temu oraz równości (4.4.2) otrzymamy_,

F_B(x₁, . . . , x_κ)^(4.4.2)= F_B1(x₁) . . . F_Bκ(x_κ) 6 FA1(x₁) . . . F_Aκ(x_κ)^(4.4.2)= F_A(x₁, . . . , x_κ),

dla dowolnych x₁, . . . , x_κ ∈ R. 

Kolejna obserwacja oraz twierdzenie 4.4.10 wyznaczaja klas_, e funkcji_, borelowskich, które zachowuja wielowymiarowy porz_, adek spektralny._,

Obserwacja 4.4.8. Niech κ ∈ N^∗. Jeśli ϕ : R^κ → R jest funkcja_, borelowska spełniaj_, ac_, a warunek_,

(4.4.5) A 4 B =⇒ ϕ(A) 4 ϕ(B)

dla dowolnych A i B spektralnie przemiennych układów κ operatorów samosprzeżonych w przestrzeni H o wymiarze dim H > 1, to ϕ jest od-_, dzielnie rosnaca._,

Dowód. Ustalmy a = (a1, . . . , a_κ) ∈ R^κ i b = (b₁, . . . , b_κ) ∈ R^κ takie, że a 6 b. Zdefiniujmy Ai = a_iI oraz B_i = b_iI, gdzie i = 1, . . . , κ.

Nietrudno zauważyć, że jeśli c ∈ R, to EcI(σ) = δ_c(σ)I dla dowolnego σ ∈ B(R), gdzie δ^c jest miara Diraca zdefiniowan_, a na B(R). Dzi_, eki,

temu z nierówności ai 6 bⁱ wynika, że Ai 4 Bⁱ dla i = 1, . . . , κ. Stad_, na mocy obserwacji 4.4.7 otrzymujemy, że A 4 B. Dzieki własności_, (4.4.5) dostajemy, że ϕ(a)I = ϕ(A) 4 ϕ(B) = ϕ(b)I, co oznacza, że

ϕ(a) 6 ϕ(b), gdyż dim H > 1. 

Lemat 4.4.9. Niech M bedzie σ—algebr_, a na zbiorze X a E b_, edzie_, miara spektraln_, a na M. Jeśli {V_{, n}}^∞_n=1⊂ M, to

(4.4.6) E(

∞

[

n=1

V_n) =

∞

_

n=1

E(V_n).

Dowód. Niech V^∞ := S∞

n=1V_n oraz niech M_k := E(V_k)H, gdzie k ∈ N^∗ ∪ {∞}. Stad i z równości (3.1.1) wynika, że E(V_, ∞) = P_M∞ oraz W∞

n=1E(V_n) = W∞

n=1P_Mn = P^W∞

n=1Mn. Ponieważ E(V_n) 6 E(V^∞)

dla dowolnego n ∈ N^∗, to W∞

Twierdzenie 4.4.10. Niech A i B bed_, a spektralnie przemiennymi_, układami κ operatorów samosprzeżonych takimi, że A 4 B. Jeśli ϕ ∈_, S(R^κ, E_A) ∩ S(R^κ, E_B) jest funkcja oddzielnie rosn_, ac_, a, to ϕ(A) 4 ϕ(B)._, W szczególności nierówność ϕ(A) 4 ϕ(B) zachodzi dla każdej funkcji borelowskiej oddzielnie rosnacej ϕ : R_, ^κ → R.

Dowód. Wystarczy udowodnić, że

(4.4.7) E_B(Ω) 6 EA(Ω)

dla dowolnego ćwiartkowego zbioru Ω ∈ B(R^κ). Istotnie, załóżmy, że za-chodzi nierówność (4.4.7). Na mocy swierdzenia 4.1.7 zbiór ϕ⁻¹([−∞, x]) jest ćwiartkowy. Stad dzi_, eki nierówności (4.4.7), twierdzeniu o transpor-_, cie miary [2, twierdzenie 5.4.10.] oraz założeniu o funkcji ϕ dostaniemy, że

dla każdego x ∈ R^κ. Dowód nierówności (4.4.7) przeprowadzimy w kilku krokach.

Krok 1. Wykażemy, że jeśli Ω = S∞

n=1(−∞, xn], gdzie xn ∈ R^κ dla n ∈ N^∗, to nierówność (4.4.7) jest spełniona.

Na mocy lematu 4.4.9 i założenia otrzymujemy E_B(

Krok 2. Nierówność (4.4.7) zachodzi dla dowolnego domknietego_, zbioru ćwiartkowego Ω ⊂ R^κ. Bez straty ogólności możemy założyć, że Ω 6= ∅. Ustalmy norme_,⁷ k.k∞ na R^κ i rozważmy rodzine zbiorów_, {Q}_∈(0,∞), gdzie Q := Q^κ∩ Ω^() (por. (4.1.1)). Łatwo zauważyć, że Q

jest zbiorem przeliczalnym. Stad istnieje ci_, ag q_{, } taki, że Q = {q_,n: n ∈ N^∗}. Z obserwacji 4.1.3 (i) wynika, że Q^¬_ = S∞

n=1(−∞, q_,n]. Stad na_, mocy kroku 1. otrzymujemy, że

(4.4.8) E_B(Q^¬_) 6 EA(Q^¬_),  ∈ (0, ∞).

Pokażemy teraz, że

(4.4.9) Ω = \

∈(0,∞)

Q^¬_.

Ponieważ zbiór Ω jest domkniety, to Ω =_, T

∈(0,∞)Ω^(). Aby zakończyć dowód równości (4.4.9) wystarczy pokazać, że Ω ⊂ Q^¬_ ⊂ Ω^(). Niech x ∈ Ω. Z gestości Q_, ^κ istnieje q ∈ (x₁, x₁+)×. . .×(x_κ, x_κ+)∩Q^κ ⊂ Q_. Ponieważ x 6 q, to x ∈ Q^¬. Tym samym Ω ⊂ Q^¬_. Wykażemy teraz druga inkluzj_, e. Ponieważ Q_,  ⊂ Ω^(), to na mocy obserwacji 4.1.3 (ii) oraz stwierdzenia 4.1.8 otrzymamy Q^¬_ ⊂ (Ω^())^¬ = Ω^().

Zauważmy również, że rodzina zbiorów {Q^¬_}_∈(0,∞) jest rodzina ro-_, snac_, a tzn. Q_, ^¬_1 ⊂ Q^¬_2, gdy ₁ 6 2. Stad na mocy równości (4.4.9),_, własności miary spektralnej oraz nierówności (4.4.8) dostaniemy, że

E_B(Ω) = s − lim

→0⁺E_B(Q^¬_) 6 s − lim

→0⁺E_A(Q^¬_) = E_A(Ω).

Krok 3. Niech Ω ⊂ R^κ bedzie dowolnym ćwiartkowym zbiorem bore-_, lowskim. Pokażemy, że dla dowolnej miary spektralnej E na R^κ zachodzi zależność

(4.4.10) E(Ω) = E₁(Ω) :=_

{E(δ) : δ ⊂ Ω, δ = δ = δ^¬}.

Oczywiście E1(Ω) 6 E(Ω). Z drugiej strony dla dowolnego zbioru zwar-tego τ ⊂ Ω dzieki obserwacji 4.1.3 (iii) dostajemy_,

E(τ ) 6 E(τ^¬)

4.1.3(iii)

6 E₁(Ω).

Stad na mocy wniosku 4.2.2 otrzymujemy, że_, E(Ω)^4.2.2= _

{E(τ ) : τ ⊂ Ω, τ − zwarty} 6 E¹(Ω), co dowodzi równości (4.4.10).

Z kroku 2. wynika, że jeśli δ ⊂ R^κ jest zbiorem ćwiartkowym i do-mknietym, to E_{, B}(δ) 6 EA(δ). Stad na mocy równości (4.4.10) otrzymu-_,

jemy, że E_B(Ω) 6 EA(Ω). 

7Przypominamy, że kxk_∞= max{|x1|, . . . , |xκ|}, gdzie x = (x1, . . . , xκ) ∈ R^κ.

Na zakończenie podrozdziału wyprowadzimy pare wniosków z twier-_, dzenia 4.4.10. Poniżej podajemy charakteryzacje wielowymiarowego po-_, rzadku spektralnego za pomoc_, a zwykłej nierówności pomi_, edzy całkami_, spektralnymi ograniczonych oddzielnie rosnacych funkcji borelowskich._,

Wniosek 4.4.11. Niech A i B bed_, a spektralnie przemiennymi ukła-_, dami κ operatorów samosprzeżonych. Wtedy nast_, epuj_, ace warunki s_, a rów-_, noważne:

(i) A4 B,

(ii) ϕ(A)6 ϕ(B) dla dowolnej ograniczonej oddzielnie rosnacej funkcji,

ciagłej ϕ : R_, ^κ → R,

(iii) ϕ(A)6 ϕ(B) dla dowolnej ograniczonej oddzielnie rosnacej funkcji_, borelowskiej ϕ : R^κ → R.

Dowód. (i)⇒(iii) Zauważmy, że ϕ(A), ϕ(B) ∈ B(H) dla dowolnej ograniczonej funkcji borelowskiej ϕ : R^κ → R i zastosujmy twierdzenie 4.4.10 oraz propozycje 3.3.3._,

(iii)⇒(ii) Oczywiste.

(ii)⇒(i) Na mocy obserwacji 4.4.7 wystarczy wykazać, że A_j 4 Bj

dla j = 1, . . . , κ. Ustalmy j ∈ {1, . . . κ}. Niech f : R → R bedzie ci, agł_, a i_, ograniczona funkcj_, a rosn_, ac_, a. Zdefiniujmy ϕ : R_, ^κ → R wzorem

(4.4.11) ϕ(x₁, . . . , x_κ) := f (x_j).

Oczywiście ϕ jest ciagł_, a i ograniczon_, a funkcj_, a oddzielnie rosn_, ac_, a. Z [2,_, lemat 6.5.2.] otrzymujemy, że

f (A_j) = (f ◦ π_j)(A) = ϕ(A).

Analogicznie otrzymamy, że f (B_j) = ϕ(B). Stad i z założenia wynika, że_, f (A_j) 6 f (Bj) dla każdej ciagłej i ograniczonej funkcji rosn_, acej f : R →_, R. Zatem na mocy twierdzenia 3.3.6 Aj 4 Bj.  Uwaga 4.4.12. Dowód implikacji (ii)⇒(i) można przeprowadzić ana-logicznie tak jak dowód implikacji (ii)⇒(i) w twierdzeniu 3.3.6 stosujac_, twierdzenie 4.3.2 w miejsce twierdzenia 2.3.1.

Poniższy wniosek jest próba odpowiedzi na pytanie dotycz_, ace stopnia_,

„wektorowości” porzadku spektralnego._,

Wniosek 4.4.13. Niech (A1, A₂) i (B₁, B₂) bed_, a parami spektralnie_, przemiennych operatorów samosprzeżonych w przestrzeni Hilberta H. Za-_, łóżmy, że A₁ 4 B1 i A₂ 4 B2. Wówczas zachodzi poniższa nierówność⁸ (4.4.12) (X₁+ X₂)(A₁, A₂) 4 (X1+ X₂)(B₁, B₂).

Jeśli dodatkowo A₁ lub A₂ jest dodatni, to

(4.4.13) (X1X2)(A1, A2) 4 (X¹X2)(B1, B2).

8Przypominamy w tym miejscu, że jeśli operatory A1 i A2 nie sa ograniczone, to_, może sie zdarzyć, że A_, 1+ A2( (X1+ X2)(A1, A2).

Dowód. Z założenia i obserwacji 4.4.7 wynika, że A := (A1, A₂) 4 (B₁, B₂) =: B. Oczywiście funkcja ϕ : R² → R zdefiniowana wzorem ϕ(x₁, x₂) := x₁+ x₂ dla x₁, x₂ ∈ R jest oddzielnie rosnaca. St_, ad na mocy_, twierdzenia 4.4.10 otrzymujemy (4.4.12).

Przejdźmy teraz do dowodu nierówności (4.4.13). Załóżmy, że A₁ jest dodatni. Na mocy obserwacji 3.4.1 wynika, że 0 4 A1. Stad oraz_, z nierówności A₁ 4 B1 otrzymamy, że 0 4 B1. Tym samym B₁ jest dodatni. W szczególności supp E_A1 ⊂ [0, ∞) oraz supp E_B1 ⊂ [0, ∞).

Stosujac obserwacj_, e 4.4.3 dostaniemy, że supp E_, A ⊂ [0, ∞) × R oraz supp EB ⊂ [0, ∞)×R. Stad wynika, że (X, 1X2)(A1, A2) = ψ(A1, A2) oraz (X₁X₂)(B₁, B₂) = ψ(B₁, B₂), gdzie funkcja ψ : R² → R jest zdefiniowana wzorem ψ(x1, x₂) := χ_[0,∞)²(x)x₁ · x₂ dla x1, x₂ ∈ R. Aby zakończyć dowód wystarczy jeszcze zauważyć, że ψ jest funkcja oddzielnie rosn_, aca_,

oraz skorzystać z twierdzenia 4.4.10. 

Jeśli A = (A1, . . . , Aκ1) jest spektralnie przemiennym układem ope-ratorów samosprzeżonych w H i_, ⁹ ϕ ∈ S(R^κ1, E_A; R^κ2) dla j = 1, . . . , κ₁, to przez ϕ(A) oznaczamy układ operatorów (ϕ₁(A), . . . , ϕ_κ2(A)). Oczy-wiście ϕ(A) jest układem spektralnie przemiennych operatorów w H.

Wniosek 4.4.14. Niech κ1, κ₂ ∈ N^∗. Załóżmy, że A = (A₁, . . . , A_κ1) i B = (B₁, . . . , B_κ1) sa układami spektralnie przemiennych operatorów_, samosprzeżonych w H spełniaj_, acych relacj_, e A 4 B. Jeśli_,

ϕ ∈ S(R^κ1, E_A; R^κ2) ∩ S(R^κ1, E_B; R^κ2) jest oddzielnie rosnaca, to ϕ(A) 4 ϕ(B)._,

Dowód. Z założenia i obserwacji 4.1.6 funkcje ϕj sa oddzielnie ro-_, snace dla j = 1, . . . , κ_{, 2}, gdzie ϕ = (ϕ₁, . . . , ϕ_κ2). Stad oraz relacji A 4 B_, na mocy twierdzenia 4.4.10 wynika, że ϕ_j(A) 4 ϕj(B), dla j = 1, . . . , κ₂. Stad oraz z obserwacji 4.4.7 dostaniemy, że ϕ(A) 4 ϕ(B)._, 

4.5. Jednomiany a wielowymiarowy porzadek spektralny_, Niech A = (A₁, . . . , A_κ) i B = (B₁, . . . , B_κ) bed_, a spektralnie prze-_, miennymi układami operatorów samosprzeżonych w H spełniaj_, acymi wa-_, runek A4 B. W dalszym ciagu b, edziemy rozważać zależności pomi_, edzy_, dziedzinami operatorów postaci¹⁰X^α(A) i X^α(B), gdzie α ∈ N^κ. Jednak zanim przejdziemy do twierdzenia bed_, acego rozwi_, azaniem tego problemu_, wprowadzimy kilka użytecznych oznaczeń i przedstawimy kilka pomoc-niczych faktów.

9Przyjmujemy, że S(R^κ, E; R^ι) := {ϕ = (ϕ1, . . . , ϕι) : ϕj ∈ S(R^κ, E) dla j = 1, . . . , ι}, gdzie κ, ι ∈ N∗.

10Dla x = (x1, . . . , xκ) ∈ R^κ i α = (α1, . . . , ακ) ∈ N^κ definiujemy x^α :=

x^α₁¹. . . x^α_κ^κ (stosujemy konwencje, że 0_, ⁰= 1).

Niech A bedzie operatorem samosprz_, eżonym w H. Zdefiniujmy do-_, kowo operator A₊ jest dodatni. Prawdziwy jest nastepuj_, acy lemat._,

Lemat 4.5.1. Jeśli A i B sa operatorami samosprz_, eżonymi w H ta-_, kimi, że A4 B, to A+ 4 B+ i A− 4 B⁻.

Dowód. Na wstepie pokażemy, że jeśli C jest operatorem samo-_, sprzeżonym w H, to_,

Powyższa równość oznacza, że dla każdego h ∈ H zachodzi warunek h ∈D(f^±(C)) ⇔ h± ∈D(C).

Zauważmy, że funkcje f₊ i f− sa rosn_, ace. St_, ad na mocy równości_, (4.5.3) oraz propozycji 3.3.2 otrzymujemy, że A₊4 B+ i A−4 B⁻.  Niech  = (₁, . . . , _κ) ∈ {−, +}^κ. Zdefiniujmy funkcje f_{, } := f_1 × . . . × f_κ: R^κ → R, gdzie funkcje f^± sa zdefiniowane równościami (4.5.4)._, W szczególności mamy, że

(4.5.5) π_j◦ f_ = f_j ◦ π_j,  ∈ {−, +}^κ, j = 1, . . . , κ.

Zdefiniujmy w tym miejscu † = (†1, . . . , †_κ) ∈ {−, +}^κ wzorem †j = + dla j = 1, . . . , κ. Jeśli C = (C₁, . . . , C_κ) jest spektralnie przemiennym układem operatorów samosprzeżonych w H, to przez C_{, } bedziemy rozu-_, mieć układ operatorów zdefiniowany w nastepuj_, acy sposób_,

(4.5.6) C_ := (f_1(C₁), . . . , f_κ(C_κ))

(por. (4.5.1), (4.5.2)). Z równości (4.5.5) i [2, lemat 6.5.2.] wynika, że f_(C) = (π_j ◦ f_)(C)
κ

j=1 (4.5.5)

= ((f_j◦ π_j)(C))^κ_j=1 lemat 6.5.2.

= (f_j(C_j))^κ_j=1. Stad i z definicji C_{, } dostajemy, że

(4.5.7) f_(C) = C_.

Równocześnie

(4.5.8) E_C = E_C◦ f_⁻¹.

Istotnie z równości f_j(C_j) = (π_j ◦ f_)(C) i twierdzenia o transporcie miary otrzymujemy, że

f_j(C_j) = Z

R^κ

x_jE_C◦ f_⁻¹(dx), j = 1, . . . , κ.

Stad i z twierdzenia 4.4.1 wynika równość (4.5.8)._,

Po przygotowaniach możemy sformułować i udowodnić główny rezul-tat tego podrozdziału. Poniższe twierdzenie jest uogólnieniem drugiej cześci propozycji 3.3.3._,

Twierdzenie 4.5.2. Niech A = (A1, . . . , A_κ) i B = (B₁, . . . , B_κ) bed_, a spektralnie przemiennymi układami operatorów samosprz_, eżonych ta-_, kimi, że A4 B oraz niech α ∈ N^κ. Załóżmy dodatkowo, że

(4.5.9) X^α(A_) ∈ B(H),  ∈ {−, +}^κ\{†}.

Wówczas

(4.5.10) D(X^α(B)) ⊂D(X^α(A)).

Dowód. Niech R+ := [0, ∞) oraz R⁻ := (−∞, 0]. Przyjmijmy z definicji, że R^κ := R^1 × . . . × R^κ, gdzie  = (1, . . . , κ) ∈ {−, +}^κ. Na wstepie pokażemy, że dla dowolnego C = (C_, 1, . . . , Cκ) spektralnie przemiennego układu operatorów samosprzeżonych w H mamy równość_, (4.5.11) D(X^α(C)) = \

∈{−,+}^κ

D(X^α(C_)).

(⊂) Niech h ∈ D(X^α(C)). Wtedy dla dowolnego  ∈ {−, +}^κ na mocy

Jeśli h ∈ D(X^α(C)), to na mocy powyższej nierówności otrzymamy, że h ∈ D(X^α(C_)). (⊃) Załóżmy teraz, że h ∈ D(X^α(C_)) dla każdego to funkcja f jest oddzielnie rosnaca. St_, ad na mocy wniosku 4.4.14 i_, założenia otrzymujemy, że f(A) 4 f^(B). Zatem dzieki równości (4.5.7)_, dostaniemy, że A 4 B.

Przejdźmy teraz do dowodu inkluzji (4.5.10). Z założenia twierdzenia mamy, że

Ponieważ A₊ i B₊ sa operatorami dodatnimi, to na mocy (4.4.3) otrzy-_, mujemy, że supp E_A† ⊂ [0, ∞)^κ oraz supp E_B† ⊂ [0, ∞)^κ. W

równościom (4.5.11) i (4.5.12) wynika, że D(X^α(B))^(4.5.11)= \

∈{−,+}^κ

D(X^α(B)) ⊂D(X^α(B†))

⊂D(X^α(A†))^(4.5.12)= D(X^α(A)),

co kończy dowód. 

Uwaga 4.5.3. Przyjrzyjmy sie bliżej twierdzeniu 4.5.2 w przypadku_, κ = 1. Niech α = α₁ = 1. W tym wypadku założenie (4.5.9) redukuje sie do ż_, adania, aby A_, − ∈ B(H). Warunek ten z kolei jest równoważny temu, że operator A jest ograniczony od dołu.

W przykładzie, który podamy za chwile, pokażemy, że osłabiona wer-_, sja założenia (4.5.9) nie musi zapewniać inkluzji (4.5.10). Sytuacja ta może mieć miejsce nawet wówczas, gdy warunek (4.5.9) nie jest speł-niony tylko dla jednego  ∈ {−, +}^κ\{†}.

Jeśli ϕ : R^κ → R jest funkcja borelowsk_, a, to przez M_{, ϕ} oznaczamy operator w L²(R^κ) zdefiniowany nastepuj_, aco_,

Jeśli ϕ : R^κ → R jest funkcja borelowsk_, a, to przez M_{, ϕ} oznaczamy operator w L²(R^κ) zdefiniowany nastepuj_, aco_,

W dokumencie Porządek spektralny dla układów operatorów (Stron 37-58)