Symbole

Okre±lenia i deni je

1.1 ^Symbole

E

^{ warto±¢ napi ia¹ródªa napi ia staªego}

e(t)

^{ warto±¢ hwilowa napi ia}wej± iowego

u(t), i(t)

^{ warto± i hwilowe napi iai pr¡du}

U (AV) , I (AV)

^{ warto± i ±rednienapi ia ipr¡du (deni ja w}podrozdziale 1.2)

U (RMS) , I (RMS)

^{ warto± i skute zne napi ia ipr¡du (deni ja w}podrozdziale 1.2)

U (max) , I (max)

^{ warto± i maksymalnenapi ia ipr¡du (np.}

U L(max)

^{ warto±¢maksymalna}

napi iana dªawiku)

U (min) , I (min)

^{ warto± i minimalnenapi iai pr¡du(np.}

U L(min)

^{warto±¢ minimalna}

na-pi ia nadªawiku)

∆u, ∆i

^{ przyrost napi iai pr¡du (np.}

∆u L

^{ przyrost napi iana dªawiku)}

γ

^ wspóª zynnik wypeªnienia

γ gr

^{ grani zny} wspóª zynnik wypeªnienia

T

^{ okres przebiegów} periody zny h

υ

^ przekªadnia transformatora

1.2 ^Definicje

Warto±¢ ±rednia (z ang. average value) funk ji

f (x)

^{w przedziale} <a,b> równa jest aª e z tej funk ji podzielonej przez dªugo±¢ przedziaªu (b-a). Dla funk ji okresowy h, gdy przedziaª

u±rednianiajest równy okresowi

T

^{lub jego krotno± i,opisana jest} zale»no± i¡ (1.1)

F (x) _{(AV )} = 1 kT

Z a+kT a

f (x)dx dla k = 1, 2, 3 . . .

^(1.1)

Wprzypadku, gdy funk ja okresowa jest zdeniowana w przedziaªa h (np wtrze h):

f (x) =

warto±¢±redniastanowisum aªekposz zególny hfunk jiwprzedziaªa h,gdzies¡oneokre±lone:

F (x) _{(AV )} = 1

Warto±¢ skute zna (z ang. root mean square value) deniowana jest dla przebiegów

okre-sowy hwedªug zale»no± i(1.4). Nale»ynadmieni¢,»e wjzyku polskimu»ywa sirównie»nazwy

warto±¢±rednia kwadratowa.

F (x) (RM S) =

Natomiastdlafunk jizdeniowanejprzedziaªami,jak wdeni ji(1.2),warto±¢skute zna wynosi

F (x) _{(RM S)} =

Š¡ znikenergoelektroni zny(idealny)elementnieliniowy,mog¡ ypozostawa¢wdwó h

stana hwª¡ zenia oraz wyª¡ zenia. W stanie wª¡ zenia maonrezystan j równ¡ 0,natomiastw

staniewyª¡ zeniamarezystan jrówn¡niesko« zono± i.Przeª¡ zaniezestanuwyª¡ zeniado

wª¡- zeniaza hodzipodwpªywemzewntrznego sygnaªu steruj¡ egow zasieniesko« zenie krótkim.

Jest to ª¡ znik energoelektroni zny sterowany. Symbol i staty zn¡ harakterystyk

napi iowo-pr¡dow¡ ª¡ znika energoelektroni znegozamiesz zono narys. 1.1.

Dioda (idealna)  jest to ª¡ znik energoelektroni zny niesterowany (za pomo ¡ sygnaªu

zewntrznego).Przeª¡ zanieodstanuwyª¡ zeniadostanuwª¡ zaniaiodwrotnierealizowanejest

przez obwód, do którego wª¡ zona jest dioda. Symbol oraz harakterystyka napi iowo-pr¡dowa

diodyzamiesz zona jest narys. 1.2.

i _K u _K

γ

i _K

0

Stan wyłączenia (łącznik otwarty)

u _K

w ył ą cz an ie za ł ą cz an ie Stan włączenia

(łącznik zamknięty)

Rys. 1.1. Symbol ª¡ znika elektry znego

u _D i _D

i _D

0 u _D

Rys. 1.2. Symboloraz harakterystyka diody idealnej

Tranzystor (idealny)  jest to ª¡ znik energoelektroni zny sterowany za pomo ¡ sygnaªu

zewntrznego. Przeª¡ zanieod stanu wyª¡ zenia dostanuwª¡ zenia i odwrotnie realizowanejest

przez podanie odpowiedniego sygnaªu (o harakterze pr¡dowym lub napi iowym zale»nym od

typutranzystora) na elektrod steruj¡ ¡,tj. baz (B) dlatranzystorówbipolarny horaz bramk

(G)dlatranzystorówpolowy h oraz IGBT. Symboletranzystora zamiesz zono narys.1.3,

nato-miast harakterystyk napi iowo-pr¡dow¡ tranzystora idealnego narys 1.4.

B

i _T C

E

(a)bipolarny

G

i _T D

S

(b)MOSFET

i _T

u _T C

E

( )IGBT

Rys. 1.3. Symbolepodstawowy h typówtranzystorów wykorzystywany h w energoelektroni e

0 u _T

i _T

Rys. 1.4. Charakterystyka napi iowo-pr¡dowa ª¡ znikatranzystora (idealnego)

2

Beztransformatorowe przeksztaªtniki DC-DC

2.1 Układ impulsowy z odbiornikiem R

Najprostszymukªademobni»aj¡ ymnapi iejestukªadimpulsowego,gdzieistniejemo»liwo±¢

regula ji warto± i ±redniej napi ia wyj± iowego

u O

^przy niezmiennym napi iu wej± iowym

E

^,

przy zym dopusz zalnym ob i¡»eniem przyª¡ zonym do wyj± ia jest opornik. Zasad dziaªania

impulsowego przeksztaªtnika mo»na przeanalizowa¢ za pomo ¡ s hematu i przebiegu zasowego

z rys. 2.1. Napi ie jest doprowadzone okresowo do opornika

R O

^zapo±redni twem ª¡ znika K.

E u _O

K

γ

R _O

(a)

E

0 t ₁ T t

u _O

U _O(AV)

(b)

Rys. 2.1. Idealny przeksztaªtnik impulsowy: a)s hemat b) przebieg napi ianawyj± iu

Gdy ª¡ znik energoelektroni zny K jest zamknity (w zasie

t _on = t ₁

^{), spadek napi ia na}

rezystan ji

R O

^wynosi

E

^{.Natomiastpo zasie}

t on

^{,gdyª¡ znikjestotwarty,napi ienarezystorze}

R O

^{wynosi zero. Warto±¢ ±rednia napi ia}wyj± iowego

U o

^{(rys. 2.1a)wynosi:}

U O(AV) = 1 T

Z t 1

0

E dt + Z T

t 1

0dt



= 1

T · E · t ¹ = γ · E

^(2.1)

gdzie:

γ = t 1 /T

^okre±la wspóª zynnik wypeªnienia.

W przypadkuzasilaniaukªadu ze¹ródªa oinnymksztaª ienapi ia

e(t)

^,np. trójk¡tnego(rys.

2.2a), warto±¢ ±rednia napi iawyj± iowego

U O(AV)

^{zale»y od} wspóª zynnika wypeªnienia

γ

^oraz

ksztaªtu tego napi ia.W tym przypadku hwilowa warto±¢ napi ia wej± iowego okre±lona jest

zale»no± i¡:

u I (t) = E

k · T · t dla k = 1, 2, 3 . . .

^(2.2)

Warto±¢ ±rednianapi ia wyj± iowego pokazanego narys. 2.2b wynosi:

U O(AV) = 1 T

Z t 1

0

E

T · tdt = 1 T

E T · t ² ₁

2 = E 2

 t 1

T

 2

= E

2 · γ ²

^(2.3)

0 T 2T 3T t

E 1

(a)

0 t ₁ T 2T 3T t u _O

E

(b)

Rys. 2.2. Przebiegi: a)napi ia wej± iowego b) napi iawyj± iowego przy zasilaniuze ¹ródªa

napi ia trójk¡tnego

Wrama h¢wi ze«zale asiobli zy¢warto±¢±redni¡napi iaprzyzasilaniuze¹ródeªoinnym

ksztaª ienapi ia, np. trapezoidalnegolub piªoksztaªnego.

2.2 ^Buck

Podstawowy s hemat beztransformatorowego przeksztaªtnika obni»aj¡ ego napi ie staªe (z

ang. Bu k lub step down onverter) pokazano na rys. 2.3. Napi ie wyj± iowe

u _O

przedstawione na rys. 2.1b nie jest napi iem staªym. W elu zapewnienia staªej warto± i napi ia

u O

^nale»y

zastosowa¢ltr dolnoprzepustowy LC. Ponadto,nale»y tak»e doda¢ diod,która zapewni

za ho-wanie i¡gªo± i pr¡duw dªawiku.

E u _O

K

γ

D

L

R _O C

i _L

i _D i _K

u _L

i _O

Rys. 2.3. S hemat ukªadu obni»aj¡ ego napi iestaªe

Š¡ znik energoelektroni zny K mo»e znajdowa¢ si w dwó h stana h. W hwili, gdy jest on

zamknity(ª¡ znikznajdujesiwstanieprzewodzenia),pr¡dpªynieze¹ródªazasilania

E

^poprzez

ª¡ znik K, dªawik

L

^{do ob i¡»enia}

R O

^{(rys. 2.4). Mo»na zaªo»y¢, »e pr¡d pªyn¡ y przez dªawik}

narastaliniowo:

i L (t) = E − U ^O

L · t dla t ∈< 0, t ¹ >

^(2.4)

W hwili,gdy ª¡ znik K jestotwarty (tranzystor znajduje si w stanie blokowania), pr¡d nie

jest pobierany ze ¹ródªa

E

^{. Energia} zgromadzona w polu magnety znym dªawika oraz w polu

E D u _O L

R _O C

i _L i _K

u _L

i _O K

Rys. 2.4. S hematzastp zy ukªadu dla zasu od 0do

t 1

elektry znym kondensatora zostaje przekazana do ob i¡»enia

R O

^{poprzez diod}

D

^{tak, jak to}

pokazano narys. 2.5. Pr¡d pªyn¡ y przez dªawik opada liniowo:

i _L (t) = −U ^O

L · t dla t ∈< t 1 , T >

^(2.5)

E D u _O

L

R _O C

i _L

i _D

u _L

i _O K

Rys. 2.5. S hematzastp zy ukªadu dla zasu od

t ₁

^do

T

2.2.1 Tryb pra y i¡gªej

Wzale»no± iodtego, zypr¡dpªyn¡ y przezdªawikjest aªy zaswikszy odzeralub osi¡ga

warto±¢ zero dla zasu

t ∈ (t ¹ , T )

^{, mo»na okre±li¢, zy ukªad pra uje w trybie pra y i¡gªej}

zy przerywanej. Charakterysty zne przebiegi napi¢ i pr¡dów ukªadu dla trybu pra y i¡gªej

przedstawiono na rys.2.6.

Przyzaªo»eniu,»ekondensatorCjestidealny(bardzodu»apojemno±¢przybardzokrótkim zasie

reak ji)mo»naprzyj¡¢,»enapi iewyj± iowe

u O (t)

^{przyjmujewarto±¢staª¡w aªymokresiepra y}

(2.6):

u O (t) = U O(AV)

^(2.6)

gdzie

U _O(AV)

^{warto±¢ ±rednianapi ia}wyj± iowego.

Warto±¢±redniazaokresnapi ianadªawikuLpowinnaby¢ równazeru(pola

P 1

^oraz

P 2

^s¡sobie

równe) zyli:

1 T

Z T 0

u L (t)dt = 0

^(2.7)

Rys.2.6. Przebiegi: a)napi iana dªawiku b)pr¡du pªyn¡ egoprzez dªawik )pr¡du pªyn¡ ego

przez ª¡ znik K oraz d)pr¡du diody D wtrybie pra y i¡gªej

Dlaobwodu przedstawionego narys. 2.4drugie prawoKir hhoa przyjmuje posta¢ (2.8):

E = u L (t) + u O (t) ⇒ u ^L (t) = E − U ^O(AV)

^(2.8)

Natomiast,gdy klu z Kjest otwarty (dla

t ∈ (t ¹ , T i)

^{,mo»na zapisa¢,»e:}

0 = u L (t) + u O (t) ⇒ u ^L (t) = −U ^O(AV)

^(2.9)

Podstawiaj¡ równania (2.8) i(2.9)do zale»no± i (2.7), otrzymuje si:

1 T

Z T 0

u L (t)dt = 0 ⇔ 1 T

Z t 1

0 (E − U ^O(AV) )dt + 1 T

Z T t 1

(−U ^O(AV) )dt = 0

^(2.10)

1

T · (E − U ^O(AV) ) · t    

t 1

0

+ 1

T · (−U ^O(AV) ) · t    

T

t 1

= 0

^(2.11)

1

T · (E − U O(AV) ) · t 1 + 1

T · (−U O(AV) ) · (T − t 1 ) = 0

^(2.12)

t 1 · E − T · U ^O(AV) = 0 ⇔

^(2.13)

U O(AV)

E = t 1

T = γ

^(2.14)

gdzie wspóª zynnik wypeªnienia przyjmuje warto± i

γ ∈ h0, 1i

Napi iena dªawiku zale»y odzmian pr¡dudªawika

i _L

^:

u L = L di

dt = L ∆i L

∆t

^(2.15)

Ttnienia pr¡du

i L

^{mo»nawyzna zy¢} podstawiaj¡ dorównania(2.15)przyrostnapi iaw zasie

t ∈ h0, t ¹ i

^:

∆i L = i L(max) − i ^L(min) = E − U ^O(AV)

L · t

^(2.16)

lub w zasie

t ∈ ht ¹ , T i

^:

∆i L = i L(max) − i ^L(min) = U _O(AV)

L · (t − t ¹ ) = U _O(AV)

L (1 − γ) · T

^(2.17)

Pr¡d pªyn¡ y przez dªawik

L

^{jestsum¡ pr¡du pªyn¡ ego przez} rezystan je

R O

^oraz kondensator

C

^:

i _L (t) = i _O (t) + i _C (t)

^(2.18)

Warto±¢ ±redniapr¡du kondensatora

I _C(AV) = 0

^{, natomiastwarto±¢ ±redniapr¡du}

i L

^wynosi:

I _L(AV) = I _O(AV) = U O(AV)

R

^(2.19)

Znaj¡ warto±¢ ±redni¡pr¡du

i L

^{(2.19) oraz ttnie«}

∆i L

^{(2.17),mo»na wyzna zy¢ warto±¢}

mak-symaln¡oraz minimaln¡pr¡du pªyn¡ ego przez dªawik:

I _L(max) = I _L(AV) + 1

2 ∆i _L = U O(AV)

R + 1 2

U O(AV)

L (1 − γ) · T = U O(AV) ·  1

R + 1 − γ 2f L



(2.20)

I _L(min) = I _L(AV) − 1

2 ∆i L = U _O(AV) R − 1

2

U _O(AV)

L (1 − γ) · T = U O(AV) ·  1

R − 1 − γ 2f L



(2.21)

gdzie

f = 1/T

^ zstotliwo±¢ klu zowania ª¡ znika K. Pr¡d

I L(max)

^opisany zale»no± i¡ (2.20) jestjedno ze±nie warto± i¡maksymaln¡ pr¡du pªyn¡ egoprzez ª¡ znik Koraz diod D.

Znaj¡ warto±¢minimaln¡

i _L(min)

^{orazmaksymaln¡}

i _L(max)

^{pr¡dupªyn¡ egoprzezdªawik}

L

^mo»na

okre±li¢ warto±¢ hwilow¡ pr¡du

i L

^wprzedziale

t ∈ (0, t ¹ )

^:

i L (t) = i L(max) − i ^L(min)

t 1 · t + i ^L(min)

^(2.22)

oraz wprzedziale

t ∈ (t ¹ , T )

^:

i L (t) = i _L(max) − i L(min)

t ₁ − T · t + i _L(min) · t ¹ − i L(max) · T

t ₁ − T

^(2.23)

Wykorzystuj¡ (2.22) oraz (2.23),mo»na wyzna zy¢ warto±¢ skute zn¡ pr¡du

i L

^:

L(max) −i L(min)

t 1 · t + i L(min)

 dt + _T ¹ R T t 1

 _i

L(max) −i L(min)

t 1 −T · t + ^{i L(min) ·t} _t ¹ ₁ ⁻ⁱ _−T ^{L(max) ·T} 

Warto±¢ hwilowa pr¡du pªyn¡ ego przez ª¡ znik K (rys. 2.6 ) okre±lona jest zale»no± i¡ (2.22),

natomiastw pozostaªym zasie równa si zero. Znaj¡ warto±¢ skute zn¡ pr¡du

i L

^{(2.25),ªatwo}

mo»nawi wyli zy¢ warto±¢ skute zn¡ pr¡du

i K

^:

I K(RMS) = √ γ I L(RMS)

^(2.25)

i analogi zne dladiody

I D(RMS) = p1 − γ I ^L(RMS) .

^(2.26)

2.2.2 Tryb grani zny

W trybie pra y na grani y przewodzenia i¡gªego i przerywanego pr¡d dªawika i

L

^{opada do}

zera w hwila h zasu równy h

t = 0, T, 2T . . .

^{. (rys. 2.7). W hwili}

t = t ₁

^{osi¡ga on warto±¢}

maksymaln¡:

I _Ogr(max) = E − U O(AV)

L · t ¹

^(2.27)

Podstawiaj¡ do równania (2.27) warto± i wspóª zynnika wypeªnienia grani znego i

odpowiada-j¡ ej mu warto± i ±redniej napi ia wyj± iowego dla przypadku grani znego

t 1 = γ gr · T

^oraz

U O(AV) = γ gr · E

^{mo»nawyzna zy¢ warto±¢} grani znego wspóª zynnikawypeªnienia:

E − γ ^gr · E

2L · γ ^gr · T = γ gr · E

R ⇔ γ ^gr = 1 − 2L

T · R

^(2.28)

Mo»nazauwa»y¢,»ewarto±¢

γ gr

^{zale»yodparametrówukªadu(}

L

^oraz

T

^{),jakrównie»odwarto± i}

rezystan jiob i¡»enia

R O

^.

‘rednipr¡ddªawikajestrówny±redniemupr¡dowiob i¡»enia,

I Lgr

⁼

I OG

^,gdzieindeks

gr

ozna- za warto±¢ wtrybie pra y nagrani y przewodzenia i¡gªego i przerywanego:

I Lgr = I Ogr = 1

Podstawiaj¡ (2.27) do(2.29) otrzymujesi zale»no±¢ nawarto±¢ maksymaln¡ pr¡du

i L

^:

I Ogr(max) = 1

2 I Lgr(max) = E − U O

2L · t ^on = T γ(E − U O )

2L

^(2.30)

Rys.2.7. Przebiegi: a)napi iana dªawiku b)pr¡du pªyn¡ egoprzez dªawik )pr¡du pªyn¡ ego

przez ª¡ znik K oraz d)pr¡du diody D wtrybie pra y grani znej

Przyjmuj¡ ,»e

E

^{= onst,}

I Ogr = T E

2L · γ(1 − γ)

^(2.31)

Pr¡d

I _Ogr

^{osi¡gawów zas warto±¢ maksymaln¡dla}

γ

^{= 0.5(rys.2.8):}

I Ogr (γ = 0, 5) = T E

8L = I Ogr(max)

^(2.32)

St¡d pr¡d

I _Ogr

^:

I Ogr = 4I Ogr(max) · γ(1 − γ).

^(2.33)

Rys. 2.8. Zale»no±¢ pr¡du ob i¡»eniaw trybie pra y grani znej odwspóª zynnika wypeªnienia

γ

dla

E

^{= onst}

2.2.3 Tryb pra y przerywanej

Tryb pra y przerywanej dla

E

^{= onst}

Maksymalnawarto±¢ pr¡dupªyn¡ ego przezdªawik

I Lp(max)

^{(rys. 2.9) opisanajest} zale»no± i¡:

I _Lp(max) = E − U O

L · t on =

U O (γ + ∆ 1 )

γ − U ^O

L · γT = ∆ ₁ · T · U O

L .

^(2.34)

Warto±¢ ±redniapr¡du

i L

^{w trybie pra y z} przerywanym pr¡dem

I L

^dla

E

^{= onst wynosi:}

I Lp(AV) = 1 T

Z T 0

i L dt = 1 T

 1

2 I Lp(max) · (γT + ∆ ¹ T )



= I Lp(max) · γ + ∆ 1

2

(*)

(2.35)

Ostate zniepodstawiaj¡ (2.32)oraz (2.34) do (2.35)

I Lp(AV) = ∆ 1 · T · U ^O

L · γ + ∆ 1

2 = ∆ 1 · T

L · γ · E

γ + ∆ 1 · γ + ∆ 1

2 = E · ∆ ¹ · γ · T

2L = 4I Ogr(max) · γ · ∆ ¹ .

(2.36)

Wyzna zaj¡ zrównania(2.36)

∆ 1

^{mo»naokre±li¢ warto±¢przekªadni} napi iowejwtrybie pra y zprzerywanym pr¡dem dªawikaL:

U _O

E = γ

γ + ∆ 1

= γ

γ + I Lp(AV)

4I Ogr(max) · γ

= γ ²

γ ² + I Lp(AV)

4I Ogr(max)

= 1

1 + 2 · LI ^Lp(AV) γ ² T E

.

^(2.37)

(*)

W eluusprawnieniaobli ze« mo»na wykorzysta¢fakt, i» aªkaozna zonafunk ji stanowipole powierz hni

pod krzyw¡ w rozpatrywanym przedziale  w tym przypadku jest równa polu trójk¡ta o wierz hoªka h

(0, 0), (t 1 , I _Lp(max) ), (t 2 , 0)

Rys.2.9. Przebiegi: a)napi iana dªawiku b)pr¡du pªyn¡ egoprzez dªawik )pr¡du pªyn¡ ego

przez ª¡ znik Koraz d) pr¡du diodyD wtrybie pra y przerywanej

Na rys. 2.10 przedstawiono harakterystyk przeksztaªtnika DC-DC Bu k z uwzgldnieniem

pra y i¡gªejorazprzerwanejprzy za howaniu warunku

E

^{= onst.Warto± igrani zne(ozna zone}

lini¡przerywan¡) opisanes¡ zale»no± i¡ (2.38) wyzna zon¡ napodstawie (2.33).

U O

E = I Lgr

4I Ogr(max) · (1 − γ) .

^(2.38)

Tryb pra y przerywanej dla

U O

^{= onst}

Analizukªadu mo»natak»e przeprowadzi¢ zza howaniemwarunku

U O

^{= onst.}Zakªadaj¡ ,

»ewarto±¢napi ia

E

^{niejeststaªa (np.wprzypadku}zastosowania¹ródeª napi iaoregulowanej warto± ilubuktua jinapi ia

E

^{),warto±¢napi ia}wyj± iowego

U _O

^jestutrzymywananastaªym poziomiepoprzezregula jwspóª zynnikawypeªnienia

γ

^{.Warto±¢±redniapr¡dupªyn¡ egoprzez}

dªawik

i L

^{dla warunków} grani zny h wyra»onajest wów zas zale»no± i¡:

I Lgr(AV) = 1

2 I Lgr(max) = T · U O (1 − γ)

2L .

^(2.39)

Rys. 2.10. Charakterystyka wyj± iowa przeksztaªtnika DC-DCBu k E= onst

Pr¡d

i _L

^{osi¡gawarto±¢ maksymaln¡ dla}wspóª zynnika wypeªnienia

γ = 0

^:

I _Lgr (γ = 0) = T · U ^O

2L = I _Ogr(max)

^(2.40)

Warto±¢ okre±lona zale»no± i¡ (2.40) ma harakter teorety zny (utrzymanie staªej warto± i

na-pi ia

U O

^dla

γ = 0

^wymagaªoby zastosowania ¹ródªa napi ia

E

^oniesko« zenie du»ej warto± i).

Zale»no±¢pomidzypr¡demgrani znymajegowarto± i¡ maksymaln¡mo»nawyzna zy¢

podsta-wiaj¡ (2.40)do (2.39):

I Lgr = I Ogr(max) (1 − γ)

^(2.41)

Warto±¢±redniapr¡du

i L

^{wtrybiepra y przerwanejdla}

U O

^{= onst okre±la}rozwini iezale»no± i (2.39):

I Lp = T · U ^O

2L · ∆ ¹ · (γ + ∆ ¹ ) = I Ogr(max) · ∆ ¹ · (γ + ∆ ¹ ) =

= I Ogr(max) · γ · (E − U ^O )

U O ·



γ + γ · (E − U ^O ) U O



= I Ogr(max) ·

γ ² (1 − U O

E )

 U O

E

 2 .

^(2.42)

Przeksztaª aj¡ równanie(2.42)otrzymujesiwyra»enie opisuj¡ ewarto±¢wspóª zynnika

wypeª-nienia

γ

^{dlatrybu pra y przerwanej dla}

U O

^{= onst (rys.2.11):}

γ = U E ·

v u u u t

I Lp

I _Ogr(max) ·



1 − U O

E

 .

^(2.43)

Na rys. 2.11. przedstawiono harakterystyki przeksztaªtnika DC-DC Bu k pra uj¡ ego w trybie

pra y z i¡gªym i przerywanym pr¡dem dªawika dla

U _O

^{= onst. Grani a midzy obszarami}

odpowiadaj¡ ymistanowipra y zpr¡dem i¡gªymorazprzerywanym (liniaprzerywana) opisana

Rys.2.11. Charakterystyka sterowania

U O

^{= onst}

Ttnienia napi ia wyj± iowego

Wpoprzedni hzaªo»enia hprzyjto, »e napi iewyj± iowe jest staªe (2.6)naskutek

zastoso-waniakondensatoraobardzodu»ej pojemno± iC. W prakty e jednak»e wystpuj¡pewne

ttnie-nianapi iapowstaªepodwpªywem ykli znegoªadowania irozªadowywania tego kondensatora.

Warto±¢ ty httnie« mo»naosza owa¢badaj¡ zmiany ªadunku kondensatora:

∆u O = 1 C

Z

i c dt = ∆Q C = 1

C 1 2

∆i L

2 T

2 .

^(2.44)

Podstawiaj¡ zale»no±¢ na

∆i L

^{(2.17)do (2.44)otrzymuje si:}

∆u O = T ² 8C

U O(AV)

L (1 − γ).

^(2.45)

Warto±¢ bezwzgldna ttnie«wynosi:

∆u O

U O(AV)

= 1 8

T ² (1 − γ)

LC = 1

2 π ² (1 − γ)  f LC

f

 2

,

^(2.46)

gdzie:

f = 1/T

^,a

f LC = 1 2π √

LC .

^(2.47)

Przy pra y ukªadu z za howaniem warunku

U O = const

^{ttnienia osi¡gaj¡ warto±¢ maksymaln¡}

dla

γ = 0.5

^{, natomiastdlatrybu}

E = const

^dla

γ = 0

^{. Warto±¢ ttnie« nie zale»y od ob i¡»enia}

wtrybie pra y i¡gªejimo»na j¡ograni zy¢ poprzezdobórelementówltra dolnoprzepustowego

LC,przy zym

f LC ≪ f

^.Wprakty zny hzastosowania hwarto±¢bezwzgldna(2.46)niepowinna przekra za¢

1%

^.

Rys. 2.12. Charakterysty zne przebiegi dlaprzeksztaªtnika DC-DC Bu k a)pr¡d pªyn¡ y

przez L b)ttnienianapi ia

∆u O

^)pr¡d kondensatora

2.2.4 Zadania

Zadanie2.1

Obli z warto±¢ skute zn¡ pr¡du diody

I D(RMS)

^{dla ukªadu} obni»aj¡ ego napi ie o parametra h

E

^=48V,

U O

^=12V,

f

^=100kHz,

R O = 0.5 Ω

^,

L

⁼¹⁰⁰

µH

^.

Wykorzystuj¡ równanie 2.28, mo»nastwierdzi¢, »e ukªad dziaªa w trybie pra y i¡gªej je»eli:

L > T · R ^O 2 .

Dlarozpatrywanego przypadku:

100µ > 0.5

2 ∗ 100k = 2.5µ

^{, wi ukªad pra uje wtrybie pra y i¡gªej.}

Wspóª zynnik wypeªnienia wynosi (2.14)

γ = ¹² ₄₈ = 0.25

^,

natomiast zas przewodzenia tranzystora

t ₁ = ^γ _f = 2.5µs

Warto±¢ maksymalna (2.20) oraz minimalna(2.21) wynosz¡

i L(max) = 24.45A, i L(min) = 23.55A

^.

Warto±¢skute zn¡pr¡dudiodymo»naobli zy¢,podstawiaj¡ dorównania(2.26)zale»no±¢(2.25):

I D(RMS) = s

i ² _L(max) + i L(max) · i ^L(min) + i ² _L(min)

3 · p1 − γ = 20.79A

Zadanie2.2

Wykre±li¢na harakterysty e

R _O = f (γ)

^{warto± i}rezystan jiob i¡»enia

R _O

^{,dlaktórejukªad}

ob-ni»aj¡ ynapi iebdziepra owaªnagrani y przewodzenia i¡gªegoiprzerywanego dlawarunku

E

^{= onst.}

‘redniawarto±¢pr¡duob i¡»enianagrani yprzewodzenia i¡gªegoiprzerywanegorówna±redniej

warto± ipr¡du dªawikaL okre±lona jest zale»no± i¡ (2.31).Podstawiaj¡ dorównania wyra»enie

narezystan job i¡»eniaR

Ogr

^{,dlaktórejukªad pra ujenagrani y}przewodzenia i¡gªegoi prze-rywanego:

R Ogr = U _O(AV) I _O(AV)gr ,

azatem warto±¢ tej rezystan ji wynosi:

R Ogr = 2LU O(AV)

T E γ (1 − γ) = 2L E γ

T E γ (1 − γ) = 2L T (1 − γ) .

Napodstawie powy»szej zale»no± i mo»nawywnioskowa¢, i»warto±¢ rezystan jiob i¡»enia,przy

którejukªadbdzieznajdowaªsiwtrybiepra ynagrani yprzewodzenia i¡gªegoiprzerywanego

zale»najest od okresu pra y przeksztaªtnika T, wspóª zynnika wypeªnienia

γ

^oraz induk yjno± i L,nie zale»y natomiastod warto± inapi ia zasilaj¡ ego

E

^{oraz pojemno± i} kondensatora C.

Rys. 2.13. Zale»no±¢

R Ogr = f (γ)

Dladowolnegowspóª zynnikawypeªnienia

γ

^{, (przystaªy h}pozostaªy hparametra hukªadu) zastosowaniejakoob i¡»eniarezystan ji

R O

^{wwarto± imniejszejod}

R Ogr

^{spowodujepra ukªadu}

wtrybie i¡gªym.Analogi znie,dla

R O > R Ogr

^{ukªadbdziepra owaªwtrybiepra y}impulsowej.

2.3 ^Boost

Ukªad podwy»szaj¡ y (z ang. boost lub step-up), którego s hemat ideowy zostaª

przedsta-wiony na rysunku 2.14, jest wykorzystywany do konwersji napi ia staªego na napi ie staªe

opodwy»szonejwarto± iitejsamejpolaryza jiwodniesieniu donapi iawej± iowegoE.Š¡ znik

energoelektroni zny K (naj z± iej stosuje si w tej roli tranzystory typu MOSFET lub IGBT)

jest ykli znie wª¡ zany (w hwili

t ₀ = k · T

^{) i wyª¡ zany (w hwili}

t ₁ = k · T + t ON

^).

Zale»-no±¢ pomidzy zasem przewodzenia

t ON

^{a okresem}

T

^{opisana jest  podobnie jak dla ukªadu}

obni»aj¡ ego napi ie (*)

za pomo ¡wspóª zynnika wypeªnienia

γ = t ON /T

^.

Rys. 2.14.S hemat ukªadu przeksztaªtnika DC-DC Boost

W zasie, gdy ª¡ znik K jest wstanie przewodzenia (

t _ON ∈ (0, t 1 )

^{),pr¡d pªynie ze ¹ródªa}

E

po-przezdªawikLorazª¡ znik K(rys.2.15).Wtym zasieenergiajestprzekazywanazkondensatora

doob i¡»enia, owymagaw ze±niejszegojejzgromadzeniawpoluelektry znymkondensatoraC.

Gdyª¡ znik energoelektroni zny Kprzejdzie w stan blokowania (

t _{OF F} ∈ (t 1 , T )

^{),pr¡d ze ¹ródªa}

E pªynie przezdªawik L,diod D doob i¡»enia(rys.2.16). Energiadostar zanadoob i¡»enia R

orazkondensatora Cpo hodzize ¹ródªa

E

^{oraz dªawika L}(zgromadzonej wpolumagnety znym w zasie

t _ON )

^{. Pr¡d diody}

i _D

^{ma harakter nie i¡gªy, a} kondensator C jest ykli znie ªadowany (w zasie

t OF F

⁾ⁱ rozªadowywany (w zasie

t ON

^{).Pr¡d wej± iowy mo»emie¢ harakter i¡gªylub}

te» przerywany, odeterminuje trybpra y ukªadu.

E u _O

L D

R _O C

i _L

i _K u _L

i _O i _C

K

Rys. 2.15. S hemat zastp zy ukªadu dla zasu od 0 do

t 1

(*)

E u _O

Rys. 2.16. S hemat zastp zy ukªadu dla zasu od

t 1

^do

T

2.3.1 Tryb pra y i¡gªej

W zasiejednego yklupra y trwaj¡ ego okres T, ª¡ znikenergoelektroni zny jestzamknity

w zasie

t ON

^(rys.2.15). Zakªadaj¡ , »e elementy ukªadu s¡ idealne, napi iena dªawiku

u L

^jest

równe napi iuzasilaniaE:

E = u L (t) ⇒ U ^L(AV) = E

^(2.48)

Równanienapi iowe(IIprawoKir hoa)dlaukªadu,gdyª¡ znikKjestwstanienieprzewodzenia

(rys. 2.16) okre±lone jestzale»no± i¡:

E(t) = u L (t) + u O (t) ⇒ U ^L(AV) = E − U ^O(AV)

^(2.49)

Warto±¢±rednianapi ianadªawiku

U L(AV)

^{w zasiepeªnegookresu (lubjegokrotno± i)powinna}

wynosi¢0:

rozwi¡zuj¡ (2.50)otrzymuje si:

1

Zale»no±¢ pomidzy napi iem wej± iowym E a napi iem na ob i¡»eniu

U O(AV)

^{okre±lona jest}

równaniem:

U O(AV)

E = 1

1 − γ .

^(2.52)

Warto±¢ ±rednia pr¡du

i L

^{jest równa warto± i ±redniej pr¡du} pobieranego ze ¹ródªa

I L(AV) = I _E(AV)

^{.Mo zynna pobieranaze ¹ródªa jest równa mo yoddawanej do}ob i¡»enia:

P I = P O ⇔ E · I ^E(AV) = U O(AV) · I ^O(AV)

^(2.53)

Przeksztaª aj¡ (2.53) mo»naotrzyma¢ zale»no±¢ nawarto±¢ ±redni¡ pr¡du

i L

^:

I L(AV) = U _O(AV) · I O(AV)

0

u _L

E - U _O E P1

P2

i _L

0 I _L(max)

I _L(min)

I _L(AV)
i L

0

0

i _K

i _D

I _L(min) I _L(min) I _L(max)

I _L(max)

t ₁ T 2T

t

t

t _ON t _OFF T

t

t

I D =
I O

Rys. 2.17. Przebieginapi iana dªawikuL, pr¡du pªyn¡ egoprzez dªawik,pr¡du pªyn¡ ego

przez ª¡ znik Koraz pr¡du diody wprzeksztaªtniku Boost w trybie pra y i¡gªej

Na podstawie przebiegu z rysunku 2.17 okre±lono warto±¢ minimaln¡pr¡du

i L

^:

I L(min) = I L(AV) − 1

2 · ∆i ^L

^(2.55)

gdzie

∆i L

^{wyzna za siz II równania Kir hhoa w zasie}

t ON

^:

L· di L (t)

dt = E ⇔ di L (t) dt = E

L ⇔ ∆i L (t)

∆t = E

L ⇔ ∆i ^L (t) = E

L ·t ¹ = U O(AV) · (1 − γ)

L ·γ ·T.

^(2.56)

Zatem

I L(min)

^:

I L(min) = U _O(AV) R ₀ · (1 − γ) − 1

2 · U _O(AV) · (1 − γ)

L ·γ·T = U ^O(AV) ·

 1

R ₀ · (1 − γ) − (1 − γ) · γ · T 2L



.

^(2.57)

Analogi znie okre±la si

I _L(max)

^:

I L(max) = U O(AV) ·

 1

R 0 · (1 − γ) + (1 − γ) · γ · T 2L



.

^(2.58)

Napostawie przebiegupr¡du

i L

^{mo»nawyzna zy¢ zale»no±¢ pomidzy}

I L(AV)

^{awarto± i¡}

Przebiegi pr¡dów pªyn¡ y h przez ª¡ znik energoelektroni zny K (2.60) oraz diod

przedsta-wiononarysunku 2.17. Znajomo±¢ ty hprzebiegówpozwalanaobli zenie warto± i ±redni horaz

skute zny h pr¡dów, które mog¡ by¢ wykorzystane przy doborze elementów w trak ie

projekto-wania ukªadu. Dla pr¡duª¡ znikaK

i K (t) = I _L(max) − I L(min)

Dla pr¡du diody D

i D (t) = I _L(max) − I L(min)

2.3.2 Tryb grani zny

Pr¡dob i¡»enia(pªyn¡ y przez diod) wprzeksztaªtnikuDC-DC Boost mazawsze harakter

impulsowy, natomiast pr¡d pªyn¡ y przez dªawik L mo»e by¢ i¡gªy lub impulsowy. Przy pra y

grani znej,tj.gdy pr¡d

i L

^{(rys.2.18)opadadozeratylko w hwila h}

t = k · T

^{(dlak =0,1,2,...),}

warto±¢ ±redniapr¡du

i L

^wynosi:

I Lgr(AV) = _T ¹ R T

gdzie warto±¢ maksymalna pr¡du

i _L

^{wtrybie pra y grani znejokre±lona jest} zale»no± i¡:

I Lgr(max) = u L (t 1 )

L · t ^ON = E

L · t ^ON .

^(2.67)

Podstawiaj¡ (2.68)do(2.68)otrzymuje siwarto±¢ ±redni¡pr¡du

i L

^{wzale»no± iod}

wspóª zyn-nikawypeªnienia

γ

^:

I _Lgr(AV) = 1

2 I _Lgr(max) = E

2L · t ^ON = T · U O(AV)

2L · γ(1 − γ).

^(2.68)

Warto zauwa»y¢, »e pr¡d pªyn¡ y przez dªawik L jest jedno ze±nie pr¡dem wej± iowym. Dla

ukªadu wyidealizowanego, gdy mo wej± iowa jest bezstratnie przekazywana doob i¡»enia

P d = P O

^zyli

E · I ^L(AV) = U O(AV) · I ^O(AV)

^{zale»no±¢ pomidzy pr¡dami i napi iami w trybie pra y}

Przeksztaª aj¡ (2.69),mo»na okre±li¢ warto±¢ ±redni¡pr¡du grani znego wyj± iowego:

I Ogr(AV) = T · U ^O(AV)

2L · γ(1 − γ) ² .

^(2.70)

Na rysunku 2.19 przedstawiono zale»no±¢ warto± i ±redniej pr¡du dªawika

I _Lgr(AV)

^{(2.68) oraz}

warto± i ±redniej pr¡du wyj± iowego

I Ogr(AV)

^{(2.70). Mo»na zauwa»y¢, »e pr¡d}

I Lgr(AV)

^osi¡ga

warto±¢maksymaln¡dla

γ = 1/2

^,natomiast

I Ogr(AV)

^dla

γ = 1/

^{.Warto± imaksymalnedlaty h}

pr¡dóws¡ okre±lone zale»no± iami(2.71) i (2.71).

I Ogr(AV)

Zale»no± i pomidzy warto± i¡ ±redni¡ pr¡du wej± iowego oraz induk yjno± i dªawika w funk ji

wspóª zynnika wypeªnienia

γ

^orazwarto± iamimaksymalnymiwyra»one s¡wposta i(2.73)oraz (2.74)

I Ogr(AV) = 27

4 · I Ogr(AV)(max) · γ (1 − γ) ² .

^(2.73)

0

u _L

E - U _O E P1

P2

i _L

0 I _Lgr(max) I _Lgr(AV)

0

0

i _K

i _D

I _Lgr(max)

I _Lgr(max)

t ₁ T 2T

t

t

t _ON t _OFF T

t

t

∆i ^L

Rys. 2.18. Przebieginapi iana dªawikuL, pr¡du pªyn¡ egoprzez dªawik,pr¡du pªyn¡ ego

przez ª¡ znik Koraz pr¡du diody wprzeksztaªtniku Boost w trybie pra y grani znej

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

0,0

I _Ogr(AV) I _Lgr(AV)

γ

I Lgr(AV)(max)

I Ogr(AV)(max)

U _O = const

Rys. 2.19. Charakterystyka

I Lgr(AV)

^oraz

I Ogr(AV)

^{wzale»no± i od}wspóª zynnika wypeªnienia

γ

I Lgr(AV) = I Lgr(AV)(max) · γ (1 − γ)

^(2.74)

Trybpra y ukªadu zale»y odjego parametróworaz od ob i¡»enia.Wwielu przypadka hwarto±¢

mo y pobieranej przez ob i¡»enie nie jest staªa, dlatego korzystnie jest wyzna zy¢ warto±¢

re-zystan ji grani znej

R _Ogr

^{, dla której przy staªy h} parametra h ukªadu ukªad pra uje nagrani y trybu pra y i¡gªejiimpulsowej.Je»eli rezystan jaob i¡»enia

R O > R Ogr

^{ukªadbdziepra owaª}

wtrybie pra y impulsowej.

R _Ogr = U O(AV)

I O

= U _Ogr(AV) ²

E · I ^Lgr(AV)

^(2.75)

Podstawiaj¡ zale»no±¢ (2.68) do(2.75), mo»na wyzna zy¢ warto±¢ rezystan ji grani znej:

R _Ogr = U _Ogr(AV) ² · 2L

E ² · t ^ON = 2L

T · γ(1 − γ) ² = X _L

π · γ(1 − γ) ²

^(2.76)

gdzie:

X L = 2 · πf

^,

f = 1/T

^.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0

γ R Ogr

Rys. 2.20.

R Ogr

^{w funk ji} wspóª zynnika wypeªnienia

γ

Analogi znie mo»na wyzna zy¢ warto±¢ grani zn¡ induk yjno± i dªawika

L gr

^{, dla której  przy}

za howaniu pozostaªy hniezmienny hpozostaªy hparametrówukªadbdziepra owaªwtrybie

grani znym:

L gr = (1 − γ) ² γR

2f

^(2.77)

2.3.3 Tryb przerywany

Wtrybiepra yimpulsowejpr¡d

i L

^{osi¡gawarto±¢zero.Mo»etaksista¢,gdywarto±¢±rednia}

pr¡duob i¡»enia

i O

ⁱwej± iowego

i L

^{malej¡,natomiastttnieniapr¡du}wej± iowego

∆i L

^pozostaj¡

bezzmian.Je»eliwarto±¢rezystan ji

R O

^{wzro±nienatyle,»epr¡d}

i L

^{spadniedozeraprzedko« em}

okresu T w hwili

t = t 1 + ∆ 1 T

^{, jak pokazano na rysunku 2.21, ukªad bdzie pra owaª w trybie}

pra y impulsowej.

Warto±¢ ±rednia napi ia na dªawiku w i¡gu peªnego okresu powinna wynosi¢ zero.

Korzy-staj¡ zty h warunków, mo»naokre±li¢zale»no±¢ pomidzynapi iem zasilaniaEoraz warto± i¡

±redni¡napi iawyj± iowego dlatrybu pra y impulsowej:

U O(AV)

E = ∆ 1 + γ

∆ 1

(2.78)

0

Rys. 2.21. Przebieginapi iana dªawikuL, pr¡du pªyn¡ egoprzez dªawik,pr¡du pªyn¡ ego

przezª¡ znik Koraz pr¡du diody wprzeksztaªtniku Boost w trybie pra y przerywanej

przezª¡ znik Koraz pr¡du diody wprzeksztaªtniku Boost w trybie pra y przerywanej

W dokumencie Przekształtniki energoelektroniczne DC - DC (Stron 9-0)