W litaraturze przedmiotu wyróżnia się kilka krzyżujących się kryteriów klasyfikacyjnych modeli DEA. Najpopularniejszymi płaszczyznami podziału są rodzaj zorientowania modelu oraz rodzaj uwzględnienia efektów skali. Na wykresie 1.4 zobrazowano ogólną typologię modeli DEA.
Wykres 1.4. Ogólna klasyfikacja modeli DEA ze względu na orientację i korzyści skali
Źródło: [Ćwiąkała-Małys, Nowak 2009, s. 10].
Wśród modeli zorientowanych wyróżnia się zasadniczo modele zorientowane na nakłady oraz modele zorientowane na wyniki. W modelach zorientowanych na nakłady funkcją celu jest minimalizowanie nakładów przy zadanych efektach.
Graficzną prezentacje idei modelu zorientowanego na nakłady przedstawiono na wykresie 1.5.
Wykres 1.5. Model DEA zorientowany na nakłady (input oriented)
Źródło: [Augustyniak 2012, s. 97].
26
W przypadku modeli zorientowanych na efekty istotą optymalizacji jest uzyskanie najwyższych efektów przy zachowaniu wcześniej określonych nakładów. Na wykresie 1.6. przedstawiono ilustrację graficzną modelu zorientowanego na efekty.
Wykres 1.6. Model DEA zorientowany na efekty (output oriented)
Źródło: [Augustyniak 2012, s. 98].
Gdy dany punkt znajduje się na obwiedni danych jest on uznany za w pełni efektywny, a gdy znajduje się poza obwiednią jest on nieefektywny (w przypadku modeli zorientowanych na nakłady obiekty nieefektywne znajdują się powyżej funkcji produkcji, a w przypadku modeli zorientowanych na efekty poniżej obwiedni).
Modele niezorientowane stanowią swoistą hybrydę, polegającą na połączeniu zarówno orinetacji na nakłady, jak i na wyniki. Do tego typu modeli zalicza się szereg modeli addytywnych. Drugim kryterium podziału modeli DEA jest sposób podejścia do efektów skali. Zgodnie z tym kryterium wyróżnia się przede wszystkim:
modele ze stałymi efektami skali – CCR (od nazwisk autorów – Charnes, Cooper i Rhodes);
modele ze zmiennymi efektami skali – BCC (od nazwisk autorów – Banker, Charnes i Cooper);
modele z nierosnącymi efektami skali – NIRS (Non Increasing Return to Scale);
modele z niemalejącymi efektami skali – NDRS (Non Decreasing Return to Scale)[Ćwiąkała-Małys, Nowak 2009, s. 9-10].
W praktyce stosowania metody DEA wskazane podziały nakładają się na siebie, co skutkuje powstaniem szeregu modeli stanowiących hybrydę poszczególnych, opisanych wyżej cech. Ponadto, każdy z zaprezentowanych modeli może zostać
27
przedstawiony w dwóch postaciach – prymalnej oraz dualnej matematycznego programowania liniowego. Wśród najczęściej stosowanych modeli DEA wyróżnia się przede wszystkim:
model CCR – Charnes, Cooper, Rhodes (1978),
model BCC – Banker, Charnes, Cooper (1984),
model CEM (model efektywności krzyżowej) – Sexton, Silkman, Hogan (1986),
model SBM (model oparty na luzach) – Charnes, Cooper, Golony, Seiford, Stutz (1985),
model SE-DEA (model superefektywności) – Banker, Gilford (1988), Andersen, Petersen (1993),
model NR-DEA (model efektywności nieradialnej) – Thanassoulis, Dyson (1992), Zhu (1996),
model CEP (model sprofilowanej efektywności krzyżowej) – Doyle, Green (1994), Tofalis (1996),
model HRS (model z hybrydowymi korzyściami skali) – Podinovski (2004),
model ML-DEA (wielopoziomowa DEA) – Cook, Chai, Green, Doyle (1998), Nemoto, Gato (1999),
model T-DEA (z transformacją nakładów i rezultatów) – Post (2001) [Guzik 2009, s. 26].
Celem niniejszego opracowania nie jest encyklopedyczne przedstawienie znanych w literaturze modeli DEA, stąd przedstawiono wyłącznie te modele, które zostaną wykorzystane w rozdziale empirycznym – pozostałe zostaną zaledwie zasygnalizowane11. Pierwszym i zarazem najbardziej popularnym modelem DEA jest model CCR. Opiera się on na założeniu, iż zmiana efektywności, dla modelu zorientowanego na nakłady, wywołuje proporcjonalną zmianę nakładów. W przypadku natomiast modeli zorientowanych na efekty zmiana efektywności pociąga za sobą analogiczną zmianę efektów.
Istotą modelu CCR jest ustalenie, dla każdego z analizowanych obiektów, czy jego technologia przekształcania nakładów w efekty jest optymalna i zarazem zawiera się
11 Szerzej na ten temat w: Ćwiąkała-Małys A., Nowak W., Sposoby klasyfikacji modeli DEA, Badania Operacyjne i Decyzje, 03/2009.
28
w zbiorze rozwiązań dopuszczalnych12. Przez ustalenie efektywności obiektu o-tego według modelu CCR rozumie się rozwiązanie liniowego zadania decyzyjnego, w którym zmienne stanowią współczynniki λ technologii wspólnej zorientowanej na obiekt o-ty oraz współczynnik efektywności θo. Odnalezione zmienne wskazują krotności, z jakimi technologie empiryczne j = 1,…, n, uczestniczą w technologii wspólnej zorientowanej na o-ty obiekt. Gdy w zbiorze wszystkich możliwych rozwiązań wspólnych technologii, technologią, która spełnia postulaty efektywnościowe (tzn. minimalizacji nakładów przy określonych efektach, bądź maksymalizacji efektów przy określonych nakładach) jest technologia obiektu o-tego, uznaje się go za w pełni efektywny.
W modelu CCR zorientowanym na nakłady, minimalizację nakładów odzwierciedla minimalizacja mnożnika poziomu nakładów θo, utożsamianego z efektywnością podmiotu o-tego. Mnożnik ten obrazuje krotność, z którą nakłady obiektu o-tego musiałaby zostać przekształcone w efekty i zawierałyby się w zbiorze rozwiązań dopuszczalnych (przy jednoczesnym założeniu, że technologia obiektu o-tego również należy do zbioru możliwych wspólnych technologii).
Rozwiązanie zadania decyzyjnego, w modelu CCR zorientowanym na nakłady oznacza odszukanie nieujemnej wartości mnożnika nakładów obiektu o-tego θo oraz współczynników kombinacji technologii wspólnej λoj, które spełniają następujące warunki:
nakłady technologii wspólnej stanowiły możliwie najmniejszą część faktycznych nakładów obiektu o-tego;
efekty technologii wspólnej były nie mniejsze od efektów faktycznie uzyskanych przez obiekt o-ty;
technologia wspólna należała do zbioru technologii dopuszczalnych [Guzik 2009, s. 57].
Formalny zapis zadania dezycyjnego, w postaci dualnej, opisujący model CCR zorientowany na nakłady przedstawia się w następujący sposób [Guzik 2009, s. 58]:
1. Dane - wielkości nakładów i rezultatów dla poszczególnych obiektów:
x
iji y
rj(j = 1,…, n; r = 1,…, t; i = 1,…, m)
(1.8)
12 Interpretacja ta jest właściwa dla postaci dualnej zadania CCR – jest ona stosowana w praktyce istotnie częściej aniżeli postać prymalna.
29
2. Zmienne decyzyjne - wagi intensywności w technologii wspólnej zorientowanej na obiekt o-ty:
λ
o1,λ
o2,…,λ
oJ (1.9)Mnożnik nakładów obiektu o-tego:
θ
o (1.10)3. Funkcja celu - minimalizacja mnożnika poziomu nakładów:
θ
o→
min (1.11)4. Warunki ograniczające:
a. nakłady technologii wspólnej są nie większe od możliwie najmniejszej części nakładów poniesionych przez obiekt o-ty:
∑𝑛 𝑥𝑖𝑗𝜆𝑜𝑗 ≤ 𝜃𝑜𝑥𝑖𝑜
𝑗=1 (dla i = 1,…, m); (1.12)
b. rezultaty technologii wspólnej są nie mniejsze od rezultatów osiągniętych przez obiekt o-ty:
∑𝑛 𝑦𝑟𝑗𝜆𝑜𝑗≥ 𝑦𝑟𝑜
𝑗=1 (dla r = 1,…, t); (1.13)
c. nakłady technologii wspólnej nie przekraczają nakładów obiektu o-tego:
𝜃
𝑜≤ 1
(1.14)5. Warunki znakowe
λ
o1,λ
o2,…,λ
oJ ;θ
o≥ 0
(1.15)Formalny zapis zadania decyzyjnego opisującego model CCR zorientowany na efekty przedstawia się w analogiczny sposób [Guzik 2009, s. 58]:
1. Dane - wielkości nakładów oraz rezultatów dla poszczególnych obiektów:
x
iji y
rj(j = 1,…, n; r = 1,…, t; i = 1,…, m)
(1.16)2. Zmienne decyzyjne - wagi intensywności w technologii wspólnej zorientowanej na obiekt o-ty:
λ
o1,λ
o2,…,λ
oJ (1.17)Mnożnik efektów obiektu o-tego:
φ
o (1.18)3. Funkcja celu - maksymalizacja mnożnika efektów technologii wspólnej:
30
φ
o→
max (1.19)4. Warunki ograniczające:
∑𝑛 𝑥𝑖𝑗𝜆𝑜𝑗 ≤ 𝑥𝑖𝑜
𝑗=1 (dla i = 1,…, m); (1.20)
∑𝑛 𝑦𝑟𝑗𝜆𝑜𝑗≥
𝜑
𝑜𝑦𝑟𝑜𝑗=1 (dla r = 1,…, t); (1.21)
𝜑
𝑜≥ 1
(1.22)5. Warunki znakowe
λ
o1,λ
o2,…,λ
oJ ;φ
o≥ 0
(1.23)6. Wskaźnik efektywności obiektu o-tego 𝜃̂𝑜= 1
𝜑̂𝑜
(1.24) Jedna z pierwszych modyfikacji pierwotnego modelu DEA, sformułowana w 1984 r. przez R.D. Bankera, A. Charnesa oraz W.W. Coopera, polegała na dodaniu do standardowego modelu CCR założenia o sumie współczynników technologii wspólnej równej jedności. W ten sposób wyodrębniono zbiór modeli DEA o zmiennych efektach skali, określanych, od nazwisk autorów, modelem BCC [Banker, Charnes, Cooper 1984, s. 354-362].
Formalny zapis liniowego zadania decyzyjnego modelu o zmiennych efektach skali BCC przedstawia się następująco:
1. Model o zmiennych efektach skali BCC ukierunkowany na nakłady (vrs) [Kucharski 2011, s. 18].
𝜃∗ = 𝑚𝑖𝑛𝜃 (1.25)
∑ 𝑥𝑖𝑗𝜆𝑗
𝑛
𝑗=1
≤ 𝜃𝑥𝑖𝑜 𝑑𝑙𝑎 𝑖 = 1,2, … , 𝑚 (1.26)
∑𝐽 𝑦𝑟𝑗𝜆𝑜𝑗 ≥ 𝑦𝑟𝑜
𝑗=1 dla r = 1,…, t; (1.27)
31
∑ 𝜆𝑗
𝑛
𝑗=1
= 1 (1.28)
𝜆𝑗 ≥ 0 𝑑𝑙𝑎 𝑗 = 1,2, … , 𝑛 (1.29) 2. Model o zmiennych efektach skali BCC ukierunkowany na efekty (vrs)
[Kucharski 2011, s. 18]
𝜃∗= 𝑚𝑎𝑥𝜃 (1.30)
∑ 𝑥𝑖𝑗𝜆𝑗
𝑛
𝑗=1
≤ 𝑥𝑖𝑜 𝑑𝑙𝑎 𝑖 = 1,2, … , 𝑚 (1.31)
∑ 𝑦𝑟𝑗𝜆𝑗
𝑛
𝑗=1
≥ 𝜃𝑦𝑟𝑜 𝑑𝑙𝑎 𝑟 = 1,2, … , 𝑡 (1.32)
∑ 𝜆𝑗
𝑛
𝑗=1
= 1 (1.33)
𝜆𝑗 ≥ 0 𝑑𝑙𝑎 𝑗 = 1,2, … , 𝑛 (1.34) Rozszerzenie analizy efektywności podmiotów gospodarczych z wykorzystaniem modelu CCR o model ze zmiennymi efektami skali umożliwia dokonanie dekompozycji współczynnika całkowitej efektywności technicznej (TE) obiektu na współczynnik efektywności technicznej „czystej” (PTE) oraz współczynnika efektywności skali (SE).
Pierwszym etapem wskazanego rozróżnienia jest wyznaczenie całkowitej efektywności technicznej obiektu z wykorzystaniem standardowego modelu CCR. W drugim etapie, wykorzystując model BCC, wyznacza się natomiast „czystą” efektywność techniczną obiektu.
Dysponując oboma wskaźnikami efektywności (TE oraz PTE) określa się efektywność skali badanego obiektu poprzez podzielenie wskaźnika TE przez wskaźnik PTE. Rozszerzenie analizy efektywności obiektu z wykorzystaniem modelu CCR o model BCC, wskutek określenia współczynnika efektywności skali (SE) pozwala na diagnozę przyczyn jego nieefektywności, ze względu na:
czystą efektywność techniczną – która może być utożsamiana z marnotrawieniem nakładów,
efektywność skali działalności,
współwystępowanie obu przyczyn nieefektywności.
32
Na przełomie lat 80-tych i 90-tych, poprzez modyfikację jednego z warunków ograniczających standardowego modelu CCR sformułowano, tzw. model nadefektywności DEA [Guzik 2009d, s. 47-63]. Mimo pozornie niedaleko idącej modyfikacji uzyskano model, który eliminował jedną z najważniejszych wad metody DEA – redundancję obiektów uznawanych za w pełni efektywne.
Formalny zapis liniowych zadań decyzyjnych modeli nadefektywności (SE-CCR) przedstawia się następująco:
Model quasi CCR do wyznaczenia superefektywności – orientacja na nakłady [Kosmalski 2011, s. 87].
𝜌𝑜→ 𝑚𝑖𝑛 (1.45)
∑ 𝑦𝑟𝑗𝜆𝑜𝑗
𝑛
𝑗=1;𝑗≠𝑜
≥ 𝑦𝑟𝑜 𝑑𝑙𝑎 𝑟 = 1,2, … , 𝑡 (1.46)
∑ 𝑥𝑖𝑗𝜆𝑜𝑗
𝑛
𝑗=1;𝑗≠𝑜
≤ 𝑥𝑖𝑜𝜌𝑜 𝑑𝑙𝑎 𝑖 = 1,2, … , 𝑚 (1.47)
𝜆𝑗𝜌𝑜 ≥ 0 𝑑𝑙𝑎 𝑗 = 1,2, … , 𝑛
Oprócz 𝜆𝑜,𝑜 (1.48)
Model quasi CCR do wyznaczenia superefektywności – orientacja na efekty [Kosmalski 2011, s. 87].
𝜃∗ = 𝑚𝑎𝑥𝜃 (1.49)
∑ 𝑥𝑖𝑗𝜆𝑗
𝑛
𝑗=1;𝑗≠𝑜
≤ 𝑥𝑖𝑜 𝑑𝑙𝑎 𝑖 = 1,2, … , 𝑚 (1.50)
∑ 𝑦𝑟𝑗𝜆𝑗
𝑛
𝑗=1;𝑗≠𝑜
≥ 𝜃𝑦𝑟𝑜 𝑑𝑙𝑎 𝑟 = 1,2, … , 𝑡 (1.51)
𝜆𝑗 ≥ 0 𝑑𝑙𝑎 𝑗 = 1,2, … , 𝑛 (1.52) Model nadefektywności stanowi zatem uogólnienie standardowego modelu CCR - badany obiekt rozpatruje się na tle zbioru wszystkich pozostałych DMU [Guzik 2009 a, s. 154]. Rozwiązując zadanie dla obiektu o-tego, zakłada się dodatkowo, iż jego współczynnik lambda wynosi zero. Jednocześnie w zadaniu nie wprowadza się warunku ograniczającego, zgodnie z którym mnożnik poziomu nakładów powinien być mniejszy od jedności. Istotą zadania decyzyjnego nadefektywności jest minimalizacja
33
mnożnika nakładów lub maksymalizacja mnożnika efektów (w zależności od ukierunkowania modelu).