Niezależny test opracowanych w pracy nowych metod obliczeniowych oraz metodyki obliczeń logarytmicznego dekrementu tłumienia i częstotliwości rezonansowej przeprowadzono na prośbę laboratorium z Clausthal University w Niemczech. Test spełniał wymagania stawiane międzynarodowym testom typu RoundRobin Test:
(1) Wyniki pomiarów eksperymentalnych, które uzyskano w Niemczech przesłano na AGH bez podawania żadnych informacji dotyczących badanej próbki, jak np.: wymiarów geometrycznych próbek, parametrów akwizycji sygnałów odkształceń sprężystych, wartości bezwzględnej modułu Younga E badanych materiałów, częstotliwości rezonansowej, poziomu tłumienia, długości sygnałów drgań swobodnie tłumionych, maksymalnej amplitudy odkształceń sprężystych, poziomu szumu, itp. (2) Wyniki eksperymentalne otrzymano w postaci plików o różnych nazwach.
(3) Jedyna dostępna informacja dotyczyła nazwy producenta głowicy pomiarowej do pomiaru odkształceń sprężystych (firma MICRO-EPSILON), przy pomocy której wykonano badania.
Walidację nowych metod obliczeniowych w ramach projektu Round Robin Test przeprowadzono dla dwóch różnych sytuacji:
• zestawu danych dotyczących sygnałów syntetycznych opracowanych w Niemczech,
• wyników eksperymentalnych uzyskanych w Niemczech.
Drugim niezależnym testem weryfikującym opracowane w pracy nowe metody obliczeniowe oraz metodykę obliczeń logarytmicznego dekrementu tłumienia i częstotliwości rezonansowej było porównanie wyników obliczeń uzyskanych metodą Hilbert-twin i OMI z rozwiązaniem stosowanym na Uniwersytecie w Bolonii we Włoszech [83, 84]. Rozwiązanie włoskie [84] polega na zastosowaniu transformaty Hilberta dostępnej w komercyjnym środowisku obliczeniowym LabView [101, 102].
9.1 Wyniki Round Robin Test przeprowadzone na sygnałach
syntetycznych opracowanych w Niemczech
Sygnały drgań swobodnie tłumionych zostały przygotowane w laboratorium spektroskopii mechanicznej w Niemczech i przesłane na AGH drogą elektroniczną w plikach arkusza kalkulacyjnego Excel o nazwach a0 i a1. Sygnał a0 przedstawiono na rys. 9.1.
Rys. 9.1 Syntetyczny sygnał drgań swobodnie tłumionych AT(t) opracowany w laboratorium inżynierii materiałówej na Uniwersytecie w Clausthal w Niemczech.
Dla sygnałów syntetycznych podano następujące informacje: • Plik a0: brak efektu ZPD, δ = 0,02, f0= 76 Hz, • Plik a1: offset = 0,0007, δ = 0,02, f0= 76 Hz.
Laboratorium niemieckie uzyskało następujące wyniki obliczeń δ i f0 (bez ujawniania nam zastosowanej metody obliczeń oraz informacji czy sygnały zawierają szum):
• Plik a0: δ = 0,019999973, f0= 76,0000 Hz, • Plik a1: δ = 0,019985298, f0= 75,9967 Hz.
9.1.1 Wyniki obliczeń δδδδ
Z danych zawartych w plikach a0 i a1 obliczono na AGH wartości δ pięcioma metodami, a uzyskane wyniki przedstawiono na rys. 9.2.
Plik a0
Wyniki obliczeń δ dla sygnału a0 uzyskano następującymi metodami: (1) najlepszą metodą z grupy metod IpDFT – YM,
(2) metodą Hilbert-twin – H-t 1, (3) metodą referencyjną – OMI, (4) metodą spline – S[ −+, ]
,
(5) najdokładniejszą metodą klasyczną – RS[+,−]
.
Metody YM, H-t 1, OMI, a nawet metoda klasyczna S[ −+, ]
okazały się dokładniejsze od metody niemieckiej (rys. 9.2a).
Metoda klasyczna RS[+,−]
dała gorszy wynik od metody niemieckiej.
Z analizy wszystkich otrzymanych z Niemiec sygnałów drgań swobodnie tłumionych wynika, że były one próbkowane z częstotliwością próbkowania fs= 10 kHz. Laboratorium z Niemiec zastosowało zatem zbyt niską częstotliwość próbkowania dla sygnałów o częstotliwości rezonansowej f0 ≈ 76 Hz, co tłumaczy najgorszy wynik obliczeń δ uzyskany metodą RS[+,−]
. W tym konkretnym przypadku liczba próbek analizowanego sygnału była zbyt niska dla metody RS[+,−]
, która polega na obliczaniu pól powierzchni pod półokresami drgań swobodnie tłumionych.
Plik a1
Wyniki obliczeń δ uzyskane dla sygnału a1 pięcioma metodami własnymi YM, H-t 1 OMI, S i RS[+,−]
są lepsze aniżeli wynik uzyskany przez laboratorium z Niemiec (rys. 9.2b). Wynik ten świadczy o dużej wrażliwości metody niemieckiej na zakłócenia (sygnał syntetyczny zawierał niewielką wartość offsetu wynoszącą 0,0007).
Z przeprowadzonych obliczeń wynika również, że sygnały a0 i a1 nie zawierały szumu [85, 86], i z tego względu różnice w wynikach obliczeń δ uzyskane różnymi metodami nie są duże. W tej sytuacji jest oczywistym, że skoro metoda niemiecka jest wrażliwa na offset to będzie ona bardzo wrażliwa na efekt ZPD. Warto zauważyć, że pomimo iż
metoda Spline S[ −+, ]
jest wrażliwa na offset, to okazała się ona - w tym konkretnym przypadku - nieco lepsza od metody niemieckiej.
a)
δ
0,01999996 0,01999998 0,02000000 0,02000002 0,02000004 0,02000006 0,02000008 YM H-t 1 OMI S Niemcy RS [ +,- ] δ teoretyczna b)δ
0,019980 0,019985 0,019990 0,019995 0,020000 0,020005 YM H-t 1 OMI S Niemcy RS [ +,- ] δ teoretycznaRys. 9.2 Porównanie wyników obliczeń δ uzyskanych pięcioma metodami opracowanymi w pracy: (1) YM, (2) H-t 1, (3) OMI, (4) S[ −+, ]
, (5) RS[+,−]
z metodą używaną w laboratorium testującym z Niemiec.
9.1.2 Wyniki obliczeń f0
Obliczenia częstotliwości rezonansowej f0 przeprowadzono trzema nowymi metodami: (1) YM, (2) H-t 1, (3) OMI oraz (4) metodą klasyczną ZC.
Plik a0
Dla sygnału a0 zawierającego dane cyfrowe drgań swobodnie tłumionych o częstotliwości rezonansowej f0 = 76,0000 Hz wszystkie testowane metody oraz metoda niemiecka poprawnie obliczają wartość f0, zgodnie z zadaną wartością teoretyczną (rys. 9.3a). Wynik ten nie powinien dziwić ponieważ laboratorium z Niemiec przekazało do badań testowych dane spełniające – niespotykany w praktyce eksperymentalnej – najprostszy przypadek sygnału teoretycznego, który nie zawierał szumu i spełniał dodatkowo warunek koherentnego próbkowania. Tak prosty przypadek nie powinien być używany do testowania różnych metod obliczeń δ i f0.
Plik a1
Dla sygnału a1 wyniki obliczeń f0 uzyskane nowymi metodami YM, H-t 1 i OMI są dokładniejsze od wyniku uzyskanego przez laboratorium z Niemiec (rys. 9.3b).
Najbardziej wrażliwymi metodami na offset są: (1) metoda ZC, (2) metoda niemiecka oraz (3) metoda Hilbert-twin.
a)
f 0
[
H
z]
75,0 75,5 76,0 76,5 77,0 YM H-t 1 O M I ZC Niem cy f 0teoretyczna b)f
0[
H
z]
7 5 ,9 9 5 7 6 ,0 0 0 7 6 ,0 0 5 7 6 ,0 1 0 7 6 ,0 1 5 7 6 ,0 2 0 Y M H -t 1 O M I Z C N ie m c y f 0 te o re ty c z n aRys. 9.3 Porównanie wyników obliczeń f0 uzyskanych czteroma metodami opracowanymi w pracy z metodą używaną w laboratorium testującym z Niemiec. (a) Plik a0. (b) Plik a1.
9.2 Wyniki Round Robin Test przeprowadzone na sygnałach
eksperymentalnych uzyskanych na stopach aluminium
Wyniki badań eksperymentalnych przeprowadzonych w laboratorium w Niemczech otrzymano w postaci pliku o nazwie a3 (rys. 9.4). Oprócz nazwy pliku nie podano żadnych innych informacji dotyczących badanej próbki (patrz rozdział 6). Z badań sygnału a3, które przeprowadzono na AGH wynika, że w czasie eksperymentu przeprowadzonego w Niemczech pojawiła się w badanej próbce modulacja amplitudowo-częstotliwościowa drgań swobodnie tłumionych, co zilustrowano w odpowiedniej skali w górnym prawym rogu rysunku 9.4. W tej sytuacji stwierdzono, że zarejestrowany w Niemczech sygnał a3 nie był eksponencjalnie tłumionym sygnałem drgań harmonicznych, co oznacza, że można spodziewać się różnych wartości δ i f0 dla różnych długości sygnału a3. Obliczenia δ i f0 przeprowadzono metodą OMI dla 5-ciu przedziałów czasowych badanego sygnału. Wyniki obliczeń przeprowadzonych na AGH wysłano pocztą elektroniczną do laboratorium niemieckiego.
Rys. 9.4 Wyniki badań przeprowadzonych w laboratorium w Niemczech, które przesłano na AGH pocztą elektroniczną; sygnał a3.
Zamiast oczekiwanego prostego porównania wyników obliczeń δ i f0 uzyskanych na AGH i w Niemczech otrzymano z laboratorium testującego wykres przedstawiony na rys. 9.5. Na osi rzędnych przedstawiono obliczone wartości δ , a na osi odciętych zamieszczono obliczone wartości f0. Z rys. 9.5 wynika, że uzyskane metodą niemiecką wyniki obliczeń δ zawierały się w przedziale od ok. 0,005 do ok. 0,022, a wartości f0 znajdowały się w przedziale od 76,2 Hz do 76,8 Hz. Ponieważ rys. 9.5 został wykonany w Niemczech wyniki obliczeń uzyskane metodą niemiecką oznaczono jako „my data” ( ), zaś wyniki uzyskane na AGH metodą OMI oznaczono jako „OMI data” (•). (Zwraca się uwagę na fakt, że zgodnie z procedurą Round Robin Test nie przekazano nam wcześniej żadnej informacji na temat postaci lub formy oczekiwanych wyników obliczeń).
Round Robin Test zakończył się zgodnym stwierdzeniem, że otrzymane na AGH wyniki obliczeń δ i f0 okazały się optymalnym rozwiązaniem znajdującym się dokładnie pośrodku licznej serii wyników obliczeń δ i f0 uzyskanych w Niemczech (patrz rys. 9.5). W ten sposób potwierdzono wysoką skuteczność i dokładność metody OMI opracowanej do precyzyjnego obliczania logarytmicznego dekrementu tłumienia i częstotliwości rezonansowej.
Rys. 9.5 Wyniki obliczeń δ i f0 uzyskane w ramach projektu Round Robin Testu. ( ) – wyniki uzyskane w Niemczech, (•) – wyniki uzyskane na AGH metodą OMI.
9.3 Wyniki badań porównawczych
Drugim testem weryfikującym skuteczność opracowanych w pracy metod obliczeń logarytmicznego dekrementu tłumienia i częstotliwości rezonansowej było porównanie metod z grupy Hilbert-twin H-t 1 i H-t 2 oraz metody OMI z rozwiązaniem stosowanym na Uniwersytecie w Bolonii we Włoszech [84].
Na rys. 9.6 przedstawiono wynik pomiaru tarcia wewnętrznego niklu przeprowadzonego we Włoszech [84]. Cechą charakterystyczną piku przy ok. 470 K jest silna dyspersja punktów eksperymentalnych (rozrzut wartości Q-1max zmienia się w zakresie od 2 × 10-3 do 16 × 10-3), której towarzyszy dyspersja punktów na krzywej znormalizowanego modułu w zakresie temperatur od 420 K do 550 K. W rozwiązaniu włoskim [84] zastosowano schemat obliczeń przedstawiony na rys. 3.6. Jak wykazano w Aneksie 3 i w rozdziale 3.4 zastosowanie transformaty Hilberta do obliczeń δ i f0 skutkuje pojawieniem się oscylacji obwiedni drgań swobodnie tłumionych, co jest źródłem dużych błędów obliczeń δ i f0, a w konsekwencji silnej dyspersji punktów eksperymentalnych, co można łatwo zauważyć rys. 9.6 ilustrującym typowe wyniki eksperymentalne otrzymywane metodą włoską.
Rys. 9.6 Zmiany tarcie wewnętrznego ( o - Internal Friction, IF) i znormalizowanego modułu Younga (• - Normalized Modulus, NM) w funkcji temperatury dla polikrystalicznego niklu po wyżarzaniu próbki w spektrometrze mechanicznym przy temperaturze 1300 K przez jedną godzinę [84].
Za wartość teoretyczną tarcia wewnętrznego Q-1teor(Q-1 =δ /π) przyjęto średnią arytmetyczną obliczoną z dyspersji punktów eksperymentalnych w maksimum piku przy ok. 460 K (rys. 9.6). W przeprowadzonych badaniach porównawczych analizowano wyniki obliczeń Q-1 uzyskane metodami OMI, H-t 1, H-t 2 i metodą włoską (rys. 9.7). Obie metody Hilbert-twin i metoda OMI okazały się bardzo dokładne w przeciwieństwie do metody włoskiej, która charakteryzuje się silną dyspersją punktów eksperymentalnych (rys. 9.7a). Należy wyraźnie podkreślić, że błędy względne
γ
Q−1 w metodzie włoskiej wynoszą ok. 16,7 %, a błędyγ
Q−1 uzyskane w metodach H-t 1, H-t 2 i OMI są niższe od 0,11 % (rys. 9.7b). Tak drastyczny wzrost dokładności obliczeń Q-1 uzyskano dzięki zastosowaniu w metodzie Hilbert-twin procedury bliźniakowania sygnału drgań swobodnie tłumionych, która skutecznie usuwa oscylacje obwiedni sygnału drgań swobodnie tłumionych i wyjątkowo precyzyjnie oblicza logarytmiczny dekrement tłumienia.a)
b)
Rys. 9.7 Porównanie wyników obliczeń tarcia wewnętrznego (Q-1=δ /π) uzyskanych metodami opracowanymi na AGH: OMI (•), H-t 1 (◄), H-t 2 (►) oraz metodą włoską