Index of /rozprawy2/10495

Pełen tekst

(1)AKADEMIA GÓRNICZO – HUTNICZA IM. STANISŁAWA STASZICA W KRAKOWIE WYDZIAŁ INŻYNIERII METALI I INFORMATYKI PRZEMYSŁOWEJ KATEDRA METALOZNAWSTWA I METALURGII PROSZKÓW. ROZPRAWA DOKTORSKA Mariusz Majewski. Wysokorozdzielcza spektroskopia mechaniczna – nowe metody obliczeniowe i pomiarowe w badaniach stopów metali. Tom I. Promotor: dr hab. inż. Leszek Magalas, prof. AGH. Praca finansowana przez Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa Wyższego w ramach grantu promotorskiego nr N N507 446639. Kraków, 2011.

(2) Podziękowania Chciałbym w szczególności podziękować mojemu Promotorowi dr hab. inż. Leszkowi Magalas, prof. AGH za opiekę naukową, cenne rady, czas poświęcony na wielogodzinne dyskusje merytoryczne, cierpliwość, życzliwość oraz wsparcie podczas wykonywania badań i interpretacji wyników zamieszczonych w niniejszej pracy. Ponadto chciałbym złożyć podziękowania mojej Mamie i mojemu Tacie za wiarę, wsparcie oraz nieustanne zainteresowanie postępami robionymi podczas realizacji niniejszej pracy. Mariusz Majewski.

(3) Spis treści TOM 1 1. Lista symboli …………………………………………………………….……….…… 1. 2. Wstęp …………………………………………………………………….……….……. 9. CZĘŚĆ TEORETYCZNA. 3. Metody obliczeń logarytmicznego dekrementu tłumienia δ ….......................17. 3.1 Metody klasyczne ………………………………………………..…….……….. 20 3.1.1 Metoda pomiaru δ z liczby oscylacji – NO …….…………….……… 22 3.1.2 Metoda regresji amplitud – RA ……………………….…..…. ………. 23 3.1.3 Metoda regresji pól powierzchni – RS ……………….….…………… 25 3.1.4 Metoda uśrednionego dekrementu tłumienia – RAAv ……….….…… 26 3.1.5 Metoda Spline – S …………………………………………..….………. 26 3.2 Metody optymalizacji w dziedzinie czasu ………………………………...…. 29 3.2.1 Metoda NLST …..…………………………………...………….………. 31 3.2.2 Metoda OMI …..…………………………………….…………….……. 31 3.3 Metody z grupy interpolowanej dyskretnej transformaty Fouriera (IpDFT) ……………………………………………………………….. 35 3.3.1. Metoda Yoshidy − Y …….…………………………………………….. 35. 3.3.2. Metody własne − YM, YMC, YL ….………………………...…………. 40. 3.4 Metody z grupy transformaty Hilberta …………………………………..…….. 45 3.4.1 Praktyczne problemy związane ze stosowaniem transformaty Hilberta ……………………………………….…………… 46 3.4.2 Metoda bliźniakowania sygnału odkształceń sprężystych. Hilberttwin − nowa metoda obliczeń obwiedni tłumionych sygnałów odkształceń sprężystych …………………….…………………..…….. 49. i.

(4) 3.4.3 Nowe metody obliczeń logarytmicznego dekrementu tłumienia z wykorzystaniem metody Hilbert-twin ……………………………… 53 4. Metody obliczeń częstotliwości rezonansowej f 0 i modułu Younga E .….. 55. 4.1 Metoda Zero-Crossing ……………………………………………….…….….. 55 4.2 Metoda GZC …………………………………………………….……………… 55 4.3 Metody z grupy interpolowanej dyskretnej transformaty Fouriera: YM, YMC, YL, A, Y i z grupy popularnych metod DFT: DFT2n, DFTL, DFTLC, DFT2n H, DFTL H, DFTLC H …………………..….... 57 4.4 Metody z grupy transformaty Hilberta: H-t 1, H-t 2, H-t 3 PC oraz H-t 4 GZC ………………..……….....................................................…. 61 5. Efekt Zero-Point Drift ZPD …..…………………………………………………….. 67. 5.1 Zniekształcenia eksponencjalnie tłumionych sygnałów harmonicznych odkształcenia sprężystego obserwowane w spektrometrach mechanicznych ………………………………….………………………….…… 70 5.2 Metody oceny wielkości efektu ZPD …..……………………………………… 73 5.3 Zniekształcenia typu mikro-ZPD i makro-ZPD ………………...……………. 76. CZĘŚĆ EKSPERYMENTALNA 6. Metodyka badań ………………………………………………………………..……. 79 6.1 Parametry sygnałów odkształcenia sprężystego metali i stopów …...……… 82. 6.2 Metodyka obliczeń logarytmicznego dekrementu tłumienia. δ. i częstotliwości rezonansowej f 0 ………..……………………..…………….... 84 7. Wyniki badań …...………………………………………………………………….…. 89. 7.1 Wyniki obliczeń. δ. i f 0 uzyskane metodami klasycznymi i metodą OMI …. 89. 7.1.1 Wyniki obliczeń. δ , dyskusja i wnioski ……...……………………...…. 90. ii.

(5) 7.1.2 Wyniki obliczeń f 0 uzyskane metodą klasyczną ZC i metodą OMI, dyskusja i wnioski ……….…………….……………...…………… 93 7.2 Obliczenia. δ. i f 0 uzyskane metodami z grupy dyskretnej. transformaty Fouriera i metodą OMI ……………………………...…………… 95 7.2.1 Wyniki obliczeń. δ,. dyskusja i wnioski ………………………....……. 98. 7.2.2 Wyniki obliczeń f 0 , dyskusja i wnioski …………………………...… 102 7.2.2.1 Obliczenia f 0 metodami IpDFT i metodą OMI ……….… 102 7.2.2.2 Obliczenia f 0 popularnymi metodami DFT i metodą OMI …………………………………………………………… 104 7.3 Obliczenia. δ. i f 0 uzyskane metodami Hilbert-twin i metodą OMI ………. 105. 7.3.1 Wyniki obliczeń. δ , dyskusja i wnioski …………………………..….. 106. 7.3.2 Wyniki obliczeń f 0 , dyskusja i wnioski ….………………….…….… 108. 8. Wpływ efektu ZPD na wyniki obliczeń. δ ……………………………………….. 111. 8.1 Wpływ efektu ZPD na wyniki obliczeń. δ. dla pojedynczego punktu. eksperymentalnego ……..………………………………………..…………… 112 8.2 Wpływ efektu ZPD na kształt krzywych. δ = f(T) ………………………...…. 115. 8.2.1 Wpływ efektu ZPD na symetrię i kształt pików. δ = f(T) …...………. 115. 8.2.2 Piki „duchy” − Ghost Peaks ……………………………………..……. 116 8.2.3 Techniki usuwania wpływu efektu ZPD …………………………….… 117 8.2.3.1 Zastosowanie metody OMI …………………………….…… 117 8.2.3.2 Zastosownaie metod IpDFT ………………………..………. 118 8.2.3.3 Metody filtracji sygnałów ……………………………………. 119 9 Walidacja nowych metod obliczeniowych w ramach testu Round Robin Test ……………………………………………………………………………………..….. 121 9.1 Wyniki Round Robin Test przeprowadzone na sygnałach syntetycznych opracowanych w Niemczech ………………………………………………..…..… 122 9.1.1 Wyniki obliczeń. δ ………………………………………………………..…..123. 9.1.2 Wyniki obliczeń f 0 ................................................................................. 125 9.2 Wyniki Round Robin Test przeprowadzone na sygnałach eksperymentalnych uzyskanych na stopach aluminium………………………... 127. iii.

(6) 9.3 Wyniki badań porównawczych …………………………...………………...……. 129 10 Podsumowanie ……………………………………………………………………….… 131. 10.1 Porównanie metod klasycznych z metodą OMI ……………..……...…….….. 131 10.2 Porównanie metod z grupy interpolowanej dyskretnej transformaty Fouriera IpDFT z metodą referencyjną OMI ………………………………....…133 10.3 Porównanie metod z grupy Hilbert-twin z metodą referencyjną OMI …....…. 134 10.4 Wpływ efektu ZPD na wyniki obliczeń …………………………………….…… 134 10.5 Weryfikacja opracowanych w pracy metod obliczeń. δ. i f 0 ….………….…. 135. 10.6 Wysokorozdzielczy układ triangulacji laserowej do pomiaru odkształceń sprężystych materiałów .…………………………………………………...….… 136 10.7 Przykłady zastosowań nowych metod obliczeń. δ. i f 0 …...……………….... 138. 11 Wnioski ……………………………………………………………………………..……. 141. 12 Bibliografia …………………………………………………………………….………... 143. ANEKSY. [+] A 1 Metody obliczeń amplitud Amax …………………………………...………………… 153 i. A1.1. Wstęp ….……………………………………………...………………………… 153. A1.2. Pierwsza metoda wyznaczania wycinków sygnału W i i obliczeń [+] amplitud Amax ….………………………………………..……………………. 156 i. A1.3 Druga metoda wyznaczania wycinków sygnału W i i obliczeń [ +] amplitud Amax ….………………………………………………………….…… 163 i. A 2 Obliczenia punktu styczności obwiedni do sygnału drgań swobodnie tłumionych PS [+ ] . Analiza położenia punktów styczności PS [+ ] i. i. [+] i amplitudy oscylacji Amax z punktu widzenia obliczeń logarytmicznego i. dekrementu tłumienia ….…………………………..………………………………….. 171 A2.1 Wstęp ……………………………………..…………………………………….. 171 [+] A2.2 Zmiana położeń amplitud Amax i punktów styczności PS [+ ] i i. w funkcji logarytmicznego dekrementu tłumienia ………………..………… 176. iv.

(7) [+] A2.3 Zmiana położeń amplitud Amax i punktów styczności PS [+ ] i i. w funkcji częstotliwości rezonansowej …………………………….………… 177 [+] A2.4 Wpływ zmian położeń amplitud Amax i punktów styczności PS [+ ] i i. na wynik obliczeń logarytmicznego dekrementu tłumienia ……………..… 179 A3. Transformata Hilberta ………………………………………………………….……… 181 A3.1 Wstęp ………………………………………………………………….………. 181 A3.2 Transformata Hilberta sygnału drgań odkształceń sprężystych ….……... 182. TOM 2. Album wyników. v.

(8) 1. Lista symboli. a (t ). obwiednia sygnału drgań swobodnie tłumionych A(t ). aT (t ). obwiednia teoretyczna sygnału eksponencjalnie tłumionych drgań harmonicznych obliczona z równania aT (t ) = A0 ⋅ exp ( − δ ⋅ f 0 ⋅ t ). aH (t ). obwiednia sygnału drgań swobodnie tłumionych obliczona z transformaty Hilberta. aS (t j ). obwiednia sygnału drgań swobodnie tłumionych obliczona metodą S (Spline). a[+ ]. górna obwiednia sygnału drgań swobodnie tłumionych. a[− ]. dolna obwiednia sygnału drgań swobodnie tłumionych. A(t ). drgania swobodnie tłumione (sygnał eksponencjalnie tłumionych drgań harmonicznych ≡ sygnał odkształceń sprężystych). Aj. j-ty punkt dyskretnego sygnału drgań swobodnie tłumionych. Aˆ (t ). wynik transformaty Hilberta sygnału A(t ). Amax 0. maksymalna amplituda drgań. Amax 1. amplituda pierwszej oscylacji. Amax n + 1. amplituda ostatniej oscylacji. A0. maksymalna początkowa amplituda drgań. A0 p. maksymalna amplituda drgań – parametr startowy w algorytmie NLST i OMI. Amax n. n-ta amplituda. A1. pierwsza amplituda. An. ostatnia amplituda. [+] Amax i. i-ta amplituda dodatnia. [−] Amax i. i-ta amplituda ujemna. AT (t ). oscylacje teoretyczne eksponencjalnie tłumionych drgań harmonicznych obliczone z równania AT (t ) = A0 ⋅ exp ( − δ ⋅ f 0 ⋅ t ) ⋅ cos ( 2 ⋅ π ⋅ f 0 ⋅ t + ϕ ) + C. 1.

(9) At (t ). zbliźniakowany sygnał A(t ). β. β = −δ ⋅ f 0. βp. parametr startowy w algorytmie NLST i OMI ; β p = 0,05. Cp. stała, parametr startowy w algorytmie NLST i OMI. Di. średnia głębokość i-tego wycinka sygnału Wi wyrażona w procentach (średnia procentowa głębokość wycinka sygnału Wi). ε max. maksymalne odkształcenie sprężyste próbki. δ. logarytmiczny dekrement tłumienia. f inst (t ). częstotliwość chwilowa sygnału w transformacie Hilberta. f0. częstotliwość rezonansowa drgań harmonicznych i eksponencjalnie tłumionych drgań harmonicznych próbki. f 0 H-t 1. częstotliwość rezonansowa obliczona z transformaty Hilberta metodą H-t 1. f 0 H -t 2. częstotliwość rezonansowa obliczona z transformaty Hilberta metodą H-t 2. f 0 H - t 3 PC. częstotliwość rezonansowa obliczona z transformaty Hilberta metodą H-t 3 PC. f 0 H - t 4 GZC. częstotliwość rezonansowa obliczona z transformaty Hilberta metodą H-t 4 GZC. f0 p. częstotliwość rezonansowa drgań – parametr startowy w algorytmie NLST i OMI. fs. częstotliwość próbkowania sygnału A(t ). ϕp. faza początkowa drgań – parametr startowy w algorytmie NLST i OMI. φ (t ). faza chwilowa analitycznej postaci sygnału z(t). i. i-ty półokres sygnału A(t ) (dotyczy dodatnich lub ujemnych półokresów); oznaczenie części urojonej zespolonego sygnału z (t ). j. j-ta dana eksperymentalna sygnału A(t ). L. długość sygnału A(t ). Losc. liczba oscylacji. n. liczba oscylacji; liczba amplitud 2.

(10) N. liczba próbek (ti , Ai ) dla i = 1, … N zawarta w sygnale A(t ). Pi. średnia głębokość i-tego wycinka sygnału Wi. Q −1. tarcie wewnętrzne. Si[+ ]. pole pod i-tym dodatnim półokresem sygnału A(t ). S i[− ]. pole pod i-tym ujemnym półokresem sygnału A(t ). S/N. współczynnik sygnału do szumu (signal-to-noise ratio). (ti , Ai ). i-ty punkt (próbka) sygnału A(t ). Wi. i-ty wycinek sygnału A(t ) w najbliższym otoczeniu maksimum i-tej. oscylacji z (t ). sygnał analityczny. zH i. miejsce zerowe fazy chwilowej φ (t ). zi. i-te miejsce zerowe sygnału A(t ). Lista symboli użytych do analizy efektu ZPD RZT. środek eksponencjalnie tłumionych drgań harmonicznych, który dla sygnału idealnego wynosi zero. RZ E. środek eksponencjalnie tłumionych drgań harmonicznych zniekształconych efektem ZPD; zniekształcone drgania oscylują wokół linii trendu. ∆ RZ. różnica pomiędzy RZT i RZE. ZPD. Zero-Point Drift. ZPD1. udział procentowy parametru ∆ RZ w stosunku do wysokości amplitudy początkowej A0 drgań swobodnie tłumionych. ZPD2. błąd względny obliczeń wartości amplitudy ostatniej oscylacji sygnałów drgań swobodnie tłumionych A(t ) zniekształconych efektem ZPD w stosunku do wartości amplitudy ostatniej oscylacji obliczonej dla sygnału idealnego; ZPD 2 =. AT max n. (A. T max n. − AE max n. AT max n. ) ⋅100%. amplituda ostatniej oscylacji sygnału idealnego (bez efektu ZPD i bez. 3.

(11) offsetu). AE max n. amplituda ostatniej oscylacji sygnału A(t ) zniekształconego efektem ZPD. Aw. szum sygnału drgań swobodnie tłumionych wyrażony parametrem S/N, który został zarejestrowany w spektrometrze mechanicznym lub został nałożony na sygnał idealny. AZPD (t ). funkcja matematyczna, którą opisano linię trendu. ADC. offset; stała lub wolnozmienna wartość (w stosunku do częstotliwości drgań harmonicznych f 0 ) o jaką przesuwa się środek drgań swobodnie tłumionych. Lista algorytmów opracowanych do obliczeń logarytmicznego dekrementu tłumienia zgodnie z metodami klasycznymi NO[ + ]. algorytm korzystający z liczby oscylacji pomiędzy pierwszą amplitudą [ +] [+] i ostatnią amplitudą dodatnią Amax dodatnią Amax 1 n+1. NO[ − ]. algorytm korzystający z liczby oscylacji pomiędzy pierwszą amplitudą [ −] [−] i ostatnią amplitudą ujemną Amax ujemną Amax 1 n+1. RA [ + ]. [+] algorytm regresji amplitud dodatnich Amax i. RA [ − ]. [ −] algorytm regresji amplitud ujemnych Amax i. RA[ + , − ]. [+] algorytm regresji wszystkich amplitud dodatnich i ujemnych: Amax i [ −] i Amax i. RAAv. algorytm uśrednionego dekrementu tłumienia. RS[ + ]. algorytm regresji pól powierzchni Si[+ ] ; pola powierzchni obliczono pod dodatnimi półokresami. RS[ − ]. algorytm regresji pól powierzchni S i[− ] ; pola powierzchni obliczono pod ujemnymi półokresami. RS[ + , − ]. algorytm regresji pól powierzchni Si[+ ] i S i[− ] ; pola powierzchni obliczono zarówno pod dodatnimi, jak i ujemnymi półokresami. 4.

(12) S[ + ]. algorytm spline dla górnej obwiedni a[+ ] ; interpolacja do amplitud [+] dodatnich Amax i. S[ − ]. algorytm spline dla dolnej obwiedni a[− ] ; interpolacja do amplitud [ −] ujemnych Amax i. S[ + , − ]. algorytm spline dla obwiedni a[+ ] i | a[− ] |; interpolacja do amplitud [+] [ −] Amax i Amax i i. Lista algorytmów do obliczeń logarytmicznego dekrementu tłumienia i częstotliwości rezonansowej oparte na metodzie optymalizacyjnej NLST. algorytm NLST. OMI. algorytm OMI. Lista algorytmów z grupy interpolowanej dyskretnej transformaty Fouriera IpDFT do obliczeń logarytmicznego dekrementu tłumienia YM. –. algorytm opracowany w pracy. YMC –. algorytm opracowany w pracy. YL. –. algorytm opracowany w pracy. Y. –. algorytm Yoshidy. A. –. algorytm Agreža. Lista algorytmów z grupy transformaty Hilberta do obliczeń logarytmicznego dekrementu tłumienia H-t 1 –. metoda i algorytm Hilbert-twin z wykorzystaniem częstotliwości rezonansowej f 0 H - t 1. H-t 2 –. metoda i algorytm Hilbert-twin z wykorzystaniem częstotliwości rezonansowej f 0 H - t 2. H-t 3 –. metoda i algorytm Hilbert-twin z wykorzystaniem częstotliwości. 5.

(13) rezonansowej f 0 H - t 3 PC H-t 4 –. metoda i algorytm Hilbert-twin z wykorzystaniem częstotliwości rezonansowej f 0 H - t 4 GZC. Lista algorytmów klasycznych do obliczeń częstotliwości rezonansowej ZC. –. metoda i algorytm „Zero-Crossing”. GZC –. metoda i algorytm „Generalized Zero-Crossing”. Lista algorytmów z grupy interpolowanej dyskretnej transformaty Fouriera IpDFT do obliczeń częstotliwości rezonansowej YM. –. algorytm opracowany w pracy. YMC –. algorytm opracowany w pracy. YL. –. algorytm opracowany w pracy. Y. –. algorytm Yoshidy. A. –. algorytm Agreža. Lista algorytmów z grupy popularnych metod DFT do obliczeń częstotliwości rezonansowej DFTL. –. dyskretna transformata Fouriera. DFTLC. –. dyskretna transformata Fouriera przycięta do pełnej liczby oscylacji. DFTL H –. dyskretna transformata Fouriera z oknem Hanninga. DFTLC H –. dyskretna transformata Fouriera z oknem Hanninga przycięta do pełnej liczby oscylacji. DFT2n. –. DFT2n H –. dyskretna szybka transformata Fouriera dyskretna szybka transformata Fouriera z oknem Hanninga. 6.

(14) Lista algorytmów z grupy transformaty Hilberta oparta na metodzie Hilbert-twin do obliczeń częstotliwości rezonansowej H-t 1. –. nowa metoda opracowana w pracy z wykorzystaniem algorytmu Hilbert-twin. H-t 2. –. w metodzie H-t 2 wykorzystano równanie z literatury [111] i algorytm Hilbert-twin. H-t 3 PC –. nowa metoda opracowana w pracy z wykorzystaniem algorytmu Hilbert-twin. H-t 4 GZC – nowa metoda opracowana w pracy z wykorzystaniem algorytmu Hilbert-twin. Lista akronimów DFT. –. dyskretna transformata Fouriera. FFT. –. szybka transformata Fouriera. H-t. –. własna metoda Hilbert-twin do obliczeń obwiedni sygnału drgań swobodnie tłumionych z wykorzystaniem metody bliźniakowania sygnału odkształceń sprężystych. HRMS –. High-Resolution Mechanical Spectroscopy - wysokorozdzielcza spektroskopia mechaniczna. IpDFT –. interpolowana dyskretna transformata Fouriera. MS. –. spektroskopia mechaniczna (Mechanical Spectroscopy). ZPD. –. Zero-Point Drift. SYNONIMY •. drgania swobodnie tłumione ≡ eksponencjalnie tłumione drgania harmoniczne. •. drgania swobodnie tłumione ≡ tłumiony sygnał odkształcenia sprężystego materiału. •. maksymalne odkształcenie sprężyste próbki ≡ maksymalna amplituda drgań swobodnie tłumionych. 7.

(15) 8.

(16) 2. Wstęp Spektroskopia mechaniczna jest jedną z technik spektroskopowych powszechnie. stosowanych do badań własności materiałów [1-10]. Spektroskopia mechaniczna polega na badaniu odpowiedzi materiału w postaci zmiennego w czasie odkształcenia sprężystego materiału na przyłożone do materiału zewnętrzne pole mechaniczne. Charakter przyłożonego pola determinuje rodzaj techniki badawczej, jak np. metoda rezonansowa, subrezonansowa, impulsowa lub metoda propagacji fal mechanicznych w badanym materiale [2, 7, 8, 10]. Metoda rezonansowa polega na badaniu eksponencjalnie tłumionych drgań harmonicznych próbki, z których można obliczyć częstotliwość rezonansową drgań f 0 (moduł sprężystości materiału (E, G) jest wprost proporcjonalny do kwadratu częstotliwości rezonansowej f 0 ) i wielkość rozproszonej przez próbkę energii mechanicznej, którą określa logarytmiczny dekrement tłumienia δ [1-3, 7-10, 72, 73]. Pomiar tych wielkości w funkcji temperatury umożliwia badanie własności materiałów poprzez analizę występujących w materiale procesów relaksacyjnych [1-13, 20-62] i/lub subtelnych zmian w wartości modułu Younga E [2-8, 10-68].. Do. klasycznych. przykładów. rozpraszania. energii. mechanicznej. w metalach i stopach należą m.in. procesy relaksacyjne spowodowane przez defekty punktowe [1-13, 25-47], wzajemne oddziaływanie ze sobą defektów punktowych [2-13, 33-43], ruch dyslokacji [1-4, 10, 48-50], oddziaływanie dyslokacji z defektami punktowymi [2-4, 9, 10, 49, 51-62], relaksacje od granic ziaren [1-4, 10, 50], procesy rozpraszania energii mechanicznej przez przemiany fazowe [2-4, 10, 14-19, 63-69], itp. W każdym z tych przypadków prowadzone są pomiary logarytmicznego dekrementu tłumienia δ i częstotliwości rezonansowej f 0 drgań swobodnie tłumionych badanej próbki. Dotychczas dostępne w spektroskopii mechanicznej metody obliczeń δ i f 0 ograniczały się do stosowania tzw. metod klasycznych [2-3, 72, 73]. Metody te nie dają praktycznie żadnej możliwości kontrolowania dyspersji punktów eksperymentalnych i gęstości punktów pomiarowych (dla danej częstotliwości rezonansowej próbki), co ma kluczowe znaczenie w badaniach przemian fazowych (bardzo ostry kształt pików. δ = f(T) i zmian E = f(T)). [2-4, 8, 10, 14-18, 63-68]. 9. występujących. w. różnych.

(17) materiałach. Należy również podkreślić, że metody klasyczne są bardzo wrażliwe na zniekształcenia sygnałów drgań swobodnie tłumionych badanych próbek, które polegają na przemieszczaniu się środka tłumionych oscylacji wzdłuż linii trendu (tzw. efekt ZPD). Innymi słowy, drgania swobodnie tłumione nie oscylują dokładnie wokół wartości zera lecz oscylują wokół linii trendu [75, 87, 88]. Zjawisko to obserwowane jest powszechnie, ale silny efekt ZPD występuje najczęściej w trakcie badań przemian fazowych oraz po odkształceniu plastycznym i napromieniowaniu próbek stopów metali. Problem ten był postrzegany dotychczas jako nieunikniona uciążliwość eksperymentalna i nie podjęto próby jego rozwiązania zarówno od strony teoretycznej, jak i eksperymentalnej. Z tego właśnie względu celem pracy jest opracowanie takich metod pomiaru i obliczeń δ oraz f 0 , które będą niewrażliwe na efekt ZPD. Należy również podkreślić, że w literaturze światowej nie uwzględniano dotychczas obecności szumu w sygnałach odkształceń sprężystych (eksponencjalnie tłumionych drganiach harmonicznych badanych próbek) [2, 3, 7, 10]. W tej sytuacji celem pracy było zweryfikowanie metod klasycznych z punktu widzenia szumu występującego. w. sygnałach. odkształceń. sprężystych. różnych. materiałów.. Występowanie efektu ZPD i szumu w sygnałach drgań swobodnie tłumionych, w nieunikniony sposób, wpływało na dotychczasowe wyniki badań eksperymentalnych i interpretacje teoretyczne. Problem ten ma charakter uniwersalny ponieważ dotyczy on wszystkich materiałów badanych metodą spektroskopii mechanicznej. W przypadku badań stopów metali wpływ szumu i destrukcyjny wpływ efektu ZPD ujawniał się, i istotnie wpływał na wyniki badań materiałowych w różnych obszarach, jak np.: I. Badania defektów punktowych i ich współczynników dyfuzji:. •. atomów międzywęzłowych – relaksacja Snoeka, np. [1-5, 7, 10, 12, 25-34, 3739, 42],. •. atomów substytucyjnych – relaksacja Zenera, np. [2-4, 10, 47],. •. wodoru – np. [2-5, 10, 41-46],. •. atomów międzywęzłowych w atmosferach Cottrella – relaksacja SnoekaKöstera, np. [2-3, 9-11, 51-57, 61, 62],. •. atomów międzywęzłowych w atmosferach Snoeka – relaksacja DESE, np. [52, 53, 57-60]);. II. Badania dyslokacji i ich dynamiki (piki Bordoniego), np. [2-4, 48, 49, 97];. 10.

(18) III. Badania przemian fazowych, np. [2-4, 6, 8, 10, 14-18, 61-67]. Wyżej wymienione problemy, tzn. wpływ szumu i efektu ZPD w sygnałach odkształceń sprężystych nie były dotychczas poruszane w literaturze światowej z wyjątkiem paru publikacji opracowanych na AGH w Krakowie [72-75]. Celem pracy jest zatem zbadanie wpływu szumu i efektu ZPD na wyniki pomiarów δ i f 0 oraz na kształt krzywych δ = f(T) zarówno w sposób jakościowy, jak i ilościowy. Podjęta próba uwzględnienia szumu, który zawsze występuje w eksperymentalnych sygnałach drgań swobodnie tłumionych z których obliczane są wartości modułów sprężystości i δ , dotyczy nie tylko stopów metali, ale de facto wszystkich materiałów badanych metodą spektroskopii mechanicznej (metale i stopy metali, materiały ceramiczne, biologiczne, magnetyczne i elektroniczne, polimery, szkła, kompozyty, cienkie warstwy, nanomateriały, materiały produkowane metodą metalurgii proszków, pianki, grafen [115], meteoryty [98], itp. [10]). Jednym z trudniejszych zagadnień w badaniach materiałów jest dokładny pomiar odkształceń sprężystych (w zależności od rodzaju materiału εmax zmienia się w zakresie od 1×10-7 do 1×10-5). Zbudowany na AGH uniwersalny spektrometr mechaniczny [7779] umożliwił przetestowanie na różnych stopach metali nowych rozwiązań mających na celu opracowanie precyzyjnego układu do badań odkształceń sprężystych. Kolejnym celem pracy było zatem uzyskanie wysokorozdzielczego poziomu detekcji odkształceń sprężystych, który zrealizowano uzyskując rozdzielczość ± 150 nm w pomiarze przemieszczeń na detektorze optycznym. Tak dobry wynik uzyskano dzięki wyeliminowaniu zjawiska fluktuacji termicznej detektora optycznego i zastosowaniu filtra optycznego przepuszczającego falę światła laserowego o długości 672 nm z dokładnością ± 2 nm. Automatyczna korekta efektu makro-ZPD [77] umożliwia badania materiałów w których występuje silny i bardzo silny efekt ZPD [7, 15-18, 64]. Nowe rozwiązania aparaturowe w powiązaniu z opracowanymi w pracy całkowicie nowymi. metodami. obliczeń. δ. i. f0. tworzą nowe. możliwości badawcze. niskoczęstotliwościowych spektrometrów mechanicznych umożliwiając uzyskanie poziomu wysokorozdzielczej spektroskopii mechanicznej HRMS (High-Resolution. Mechanical Spectroscopy). Poziom wysokorozdzielczy cechuje się znacznie wyższą dokładnością pomiaru i obliczeń modułu Younga E oraz logarytmicznego dekrementu tłumienia δ. przy równoczesnym drastycznym zmniejszeniu dyspersji punktów. 11.

(19) eksperymentalnych.. Wyniki. badań. potwierdzające. uzyskanie. poziomu. wysokorozdzielczej spektroskopii mechanicznej przedstawiono na konferencji ICIFMS16 w Szwajcarii w lipcu 2011 roku [90, 91]. Nowe możliwości badawcze wysokorozdzielczej spektroskopii mechanicznej HRMS powinny umożliwić znalezienie odpowiedzi na szereg pytań, jak np.: jakie są zmiany w szybkości dyfuzji atomów węgla w skondensowanych atmosferach Cottrella (asymetria piku Snoeka-Köstera i weryfikacja modelu coupling [51-57]), co to są zjawiska przejściowe (transient effects), itp. Otwierają się również nowe możliwości badawcze przemian fazowych, ponieważ dotychczas uzyskiwane wyniki badań były „zafałszowane” wpływem efektu ZPD [14-18], co udowodniono w niniejszej pracy. Problem ten został rozwiązany w pracy poprzez opracowanie nowych metod obliczeń. δ i f 0 , które są niewrażliwe na efekt ZPD i obecność szumu w sygnałach odkształceń sprężystych badanych materiałów. Poniżej przedstawiono strukturę pracy i wyjaśniono tok rozumowania prowadzący od rozważań teoretycznych na temat metod obliczeń δ i f 0 po dotychczas nie poruszane w literaturze problemy, jak obecność szumu i zniekształceń sygnałów odkształceń sprężystych materiałów. Opracowane w pracy nowe rozwiązania i metody pojawiają się już w części teoretycznej pracy wraz z krytyczną analizą literatury i opisem dotychczas stosowanych metod pomiaru oraz obliczeń δ i f 0 . W dalszej części pracy omówiono metodykę i wyniki badań uzyskane na podstawie rozwiązań przedstawionych w części teoretycznej pracy. Informacje na temat najbardziej czasochłonnej i żmudnej części pracy polegającej na zidentyfikowaniu szumu obecnego w sygnałach odkształceń sprężystych różnych próbek pojawiają się w różnych miejscach tekstu, ale w żaden sposób nie odzwierciedlają one nakładu pracy włożonego w pozyskanie wyników eksperymentalnych na podstawie których testowano opracowane w pracy nowe metody obliczeń i rozwiązania. W rozdziale trzecim omówiono metody obliczeń δ . Przedstawiono tutaj powszechnie używane metody klasyczne (§ 3.1) dla których opracowano stosowne programy komputerowe. W rozdziale tym przedstawiono również opracowaną w pracy nową metodę obliczeń, którą nazwano metodą S. Kolejną. metodą. obliczeń. jest. metoda. optymalizacyjna. OMI,. której. cechą. charakterystyczną jest faworyzowanie tych części sygnału drgań swobodnie. 12.

(20) tłumionych, które mają największy stosunek parametru S/N (§ 3.2). W odróżnieniu od metod klasycznych metoda OMI umożliwia równoczesne obliczanie δ i f 0 . W rozdziale 3.3 omówiono metody obliczeń oparte na transformacie Fouriera, które umożliwiają równoczesne obliczanie δ i f 0 dzięki przedstawionemu w pracy nowemu równaniu (3.28), które umożliwia obliczanie częstotliwości rezonansowej f 0 (tzn. modułu Younga). W rozdziale 3.3.1 opisano metodę Yoshidy, którą zilustrowano kompletnym wyprowadzeniem wzorów na logarytmiczny dekrement tłumienia i częstotliwość rezonansową. W rozdziale 3.3.2 przedstawiono cztery własne metody obliczeń δ i f 0 , z których dwie metody YM i YMC okazały się najlepsze i znacznie dokładniejsze aniżeli metoda Yoshidy. Szczegóły dotyczące nowych metod obliczeń zestawiono w tablicy 3.1. Rozdział 3.4 poświęcono opracowanym w pracy nowym metodom obliczeń δ w oparciu o transformatę Hilberta. Zwrócono uwagę na fakt, że transformata Hilberta była dotychczas niezmiernie rzadko stosowana w technikach spektroskopowych. Przyczyny tej sytuacji wyjaśniono w rozdziale 3.4.1, w którym udowodniono, że transformata Hilberta drgań swobodnie tłumionych generuje oscylacje obwiedni, co skutecznie uniemożliwiało zastosowania praktyczne tej transformaty. Pomimo, iż problem oscylacji obwiedni jest zagadnieniem matematycznym i numerycznym podjęto się w pracy jego rozwiązania mając nadzieję, że dokładność obliczeń δ i f 0 będzie wystarczająco wysoka, aby znalazła ważne zastosowania w inżynierii materiałowej. W rozdziale 3.4.2 zaproponowano tzw. metodę bliźniakowania sygnału odkształceń sprężystych, która całkowicie wyeliminowała oscylacje obwiedni dzięki czemu obwiednia sygnałów eksperymentalnych jest niemal identyczna jak obwiednia teoretyczna niezależnie od poziomu szumu. W ten sposób metoda bliźniakowania po raz pierwszy umożliwiła obliczanie δ i f 0 z niespodziewanie wysoką dokładnością i została nazwana metodą Hilbert-twin. W rozdziale czwartym omówiono różne metody obliczeń f 0 . Po krótkim zaprezentowaniu metod klasycznych omówiono szereg nowych metod w oparciu o transformatę Fouriera (§ 4.3). Metody obliczeń f 0 zestawiono w tablicy 3.1 i 4.1. Na szczególną uwagę zasługują metody z grupy transformaty Hilberta, które omówiono w rozdziale 4.4 ponieważ umożliwiają one równoczesne obliczanie δ i f 0 z wysoką dokładnością (w chwili obecnej, wiadomo już, że opracowane w pracy metody Hilbert13.

(21) twin będą wkrótce testowane w badaniach grafenu, do pomiaru bardzo małych wielkości δ rzędu 10-6 – 10-7). Reasumując, w rozdziałach 3 i 4, mających charakter wstępu teoretycznego, przedstawiono również nowe metody obliczeń. δ i f 0 z uwzględnieniem szumu. w sygnałach odkształceń sprężystych jako rezultat badań własnych. Kolejnym zagadnieniem rozważanym w niniejszej pracy była analiza wpływu zniekształceń sygnału drgań swobodnie tłumionych (efekt ZPD) na wyniki obliczeń logarytmicznego dekrementu tłumienia i kształt pików δ = f(T) (§ 5). Efekt ZPD został zdefiniowany w pracy jako „przemieszczanie się” środka drgań swobodnie tłumionych wzdłuż tzw. linii trendu. W rozdziale piątym przedstawiono obszerne wprowadzenie do tematyki efektu ZPD z uwzględnieniem zniekształceń typu mikro-ZPD i makro-ZPD (§ 5.3). W rozdziale piątym nie wskazano jeszcze konkretnego rozwiązania problemu ZPD ponieważ metody obliczeń logarytmicznego dekrementu tłumienia omówione w rozdziałach 3 i 4 były testowane w następującej kolejności: (1) najpierw badano wpływ szumu, a następnie (2) wpływ ZPD z równoczesną obecnością szumu. Z tego też względu wyniki badań poświęcone wpływowi efektu ZPD przedstawiono w dalszej części pracy, w rozdziale ósmym. W rozdziale szóstym przedstawiono metodykę badań odkształceń sprężystych materiałów. Omówiono opracowany na AGH nowy wysokorozdzielczy układ triangulacji laserowej do pomiaru odkształceń sprężystych1. Przedstawiono tutaj w dużym skrócie metodykę żmudnych badań szumu w sygnałach odkształceń sprężystych dla różnych rodzajów próbek i ich geometrii oraz różnych poziomów tłumień. Taka metodyka badań umożliwiła w dalszej kolejności kompleksowe testowanie różnych metod obliczeń δ i f 0 w warunkach szumu. W rozdziale 6.2 zidentyfikowano i wyjaśniono wpływ wielu parametrów na wyniki obliczeń δ i f 0 . W tym miejscu wyjaśniono koncepcję i wymagania stawiane wysokorozdzielczej. spektroskopii. mechanicznej. HRMS.. Równoczesny. wpływ. kilkunastu zmiennych parametrów związanych z techniką akwizycji sygnałów drgań swobodnie tłumionych, parametrów eksperymentalnych i badaną próbką wyjaśnia dlaczego wcześniej nie rozpoczęto tak skomplikowanych badań.. 1. Wysokorozdzielczy układ triangulacji laserowej do pomiaru odkształceń sprężystych materiałów zostanie zamontowany w komorze nowego spektrometru mechanicznego w połowie 2012 roku.. 14.

(22) W rozdziale siódmym przedstawiono wyniki badań w takiej samej kolejności jak przedstawiano różne metody obliczeń δ i f 0 w rozdziale trzecim i czwartym. Rozdział ósmy poświecono analizie wpływu efektu ZPD na wyniki obliczeń. δ dla pojedynczego punktu eksperymentalnego (§ 8.1) oraz na kształt i symetrię pików δ = f(T) (§ 8.2). W pracy wykazano jednoznacznie, że efekt ZPD może być źródłem powstawania „pików duchów” i przedstawiono typowe przykłady ilustrujące różne sytuacje eksperymentalne. W rozdziale dziewiątym przedstawiono wyniki badań porównawczych przeprowadzonych na AGH we współpracy z zagranicznymi ośrodkami badawczymi. Przedstawiono wyniki badań przeprowadzone w ramach niezależnego testu Round Robin Test na stopach aluminium (§ 9.1 i § 9.2) oraz wyniki analizy porównawczej przeprowadzonej na niklu (§ 9.3). W ten sposób zweryfikowano opracowane w pracy nowe metody pomiaru oraz obliczeń δ i f 0 oraz potwierdzono znacznie wyższą dokładność i niezawodność metod opracowanych na AGH. W rozdziale dziesiątym podsumowano najważniejsze wyniki badań, a końcowe wnioski przedstawiono w rozdziale jedenastym.. 15.

(23) 16.

(24) 3. Metody obliczeń logarytmicznego dekrementu tłumienia δ Typową procedurę eksperymentalną powszechnie stosowaną w rezonansowych. spektrometrach mechanicznych można podzielić na trzy zakresy, które zilustrowano na rys. 3.1: - 1-szy zakres: wzbudzenie próbki do drgań o zadanej maksymalnej amplitudzie Amax 0 ( Amax 0 odpowiada maksymalnemu odkształceniu sprężystemu próbki ε max ); - 2-gi zakres: sterowana on-line stabilizacja drgań próbki na zadanym poziomie. Amax 0 (czas trwania 2-go zakresu i w pełni zautomatyzowana metoda stabilizacji drgań zależy m. in. od wielkości logarytmicznego dekrementu tłumienia δ i częstotliwości rezonansowej drgań próbki. f 0 ). W momencie wyłączenia. elektronicznego układu wymuszającego precyzyjne utrzymywanie amplitudy drgań na stałym poziomie Amax 0 – co następuje dokładnie na końcu 2-giego zakresu – próbka przechodzi w kolejny 3-ci zakres procedury eksperymentalnej; - 3-ci zakres: zakres ten zawiera sygnał eksponencjalnie tłumionych drgań (oscylacji) harmonicznych A(t ) (tzw. drgania swobodnie tłumione), który jest nośnikiem informacji fizycznej o badanej próbce. Z cyfrowego sygnału A(t ) obliczany jest logarytmiczny dekrement tłumienia δ i częstotliwość rezonansowa f 0 (której kwadrat jest proporcjonalny do modułu sprężystości badanej próbki (E lub G)). Zakres 3-ci jest przedmiotem szczegółowych badań przeprowadzonych w ramach niniejszej pracy. Przedstawione na rys. 3.1 drgania swobodnie tłumione A(t ) charakteryzują następujące parametry:. L. – długość (czas trwania) sygnału drgań swobodnie tłumionych o maksymalnej amplitudzie odkształceń sprężystych próbki ε max ,. Amax 1. – amplituda pierwszej oscylacji,. Amax n + 1 – amplituda ostatniej oscylacji oraz a (t ). – obwiednia sygnału drgań swobodnie tłumionych.. 17.

(25) 1. 3. 2 A max. amplituda drgań, A. Amax. 1. Obwiednia a(t) = Amax exp (-δ f0 t). 0. 0. A maxn+1. 0. L. czas, t. Rys. 3.1 Schemat typowej procedury eksperymentalnej w pomiarach logarytmicznego dekrementu tłumienia δ i dynamicznego modułu Younga E dla pojedynczego cyklu pomiarowego występującego w rezonansowych spektrometrach mechanicznych [77]: 1 – zakres wzbudzania drgań do poziomu maksymalnej amplitudy drgań Amax 0 , 2 – zakres utrzymywania stałego poziomu maksymalnej amplitudy drgań Amax 0 , 3 – zakres eksponencjalnie tłumionych drgań harmonicznych A(t ) .. Wielkość rozproszonej przez próbkę energii mechanicznej określa logarytmiczny dekrement tłumienia δ , który zdefiniowany jest jako względna zmiana amplitud z liczby n oscylacji eksponencjalnie tłumionego sygnału A(t ) pomiędzy pierwszą mierzoną wartością amplitudy Amax 1 i ostatnią mierzoną wartością amplitudy Amaxn +1 (rys. 3.1) [7, 72, 73]. 1 δ =− n. n +1. ∫ 1. d Amax 1 Amax 1 = ln . Amax n Amax n+1. (3.1a). Najczęściej spotykana w literaturze i wygodna forma równania (3.1a) ma następującą postać [2]:. 18.

(26) δ=. 1 A ln 1 , n − 1 An. (3.1b). gdzie A1 jest amplitudą pierwszej oscylacji zaś An oznacza amplitudę ostatniej oscylacji (dla n = 2, 3, …). Dokładność obliczeń δ na podstawie równania (3.1b), które wykorzystuje w obliczeniach tylko jeden parametr jakim jest liczba oscylacji n (dla zadanych wartości amplitudy początkowej i końcowej) jest niska. Jak będzie udowodnione w dalszej części niniejszej pracy metoda ta generuje wyniki obliczeń δ obarczone bardzo dużym błędem, w szczególności w zakresie niskich częstotliwości drgań f 0 ≈ 1 5 Hz i wysokiego poziomu tłumień. W przypadku występowania w trakcie pomiarów. δ = f(T) „zniekształceń” obserwowanych. w. drgań. trakcie. swobodnie. badań. tłumionych. procesów. A(t ). relaksacyjnych. −. tak. często. spowodowanych. oddziaływaniem dyslokacji z defektami punktowymi, relaksacji dyslokacji o różnej orientacji oraz procesów rozpraszania energii mechanicznej na skutek występowania w badanych materiałach przemian fazowych [2, 4, 8, 9, 10, 14-19, 30, 52, 53, 55-57, 60, 67, 68] − wyniki obliczeń δ uzyskane na podstawie równania (2.1b) są obarczone błędem rzędu co najmniej kilkudziesięciu procent [88]. W tej sytuacji celem niniejszej pracy jest krytyczna analiza dotychczas stosowanych metod obliczeń logarytmicznego dekrementu tłumienia w dwóch skrajnie różnych sytuacjach eksperymentalnych, które zdeterminowane są własnościami badanej próbki: 1. w przypadku idealnych eksponencjalnie tłumionych drgań harmonicznych A(t ) oraz 2. w przypadku zniekształconych eksponencjalnie tłumionych drgań harmonicznych; zniekształcenie sygnałów jest skutkiem zachodzących w próbce zjawisk fizycznych, jak np.: ruch dyslokacji, blokowanie dyslokacji przez defekty punktowe (tworzenie się atmosfer Cottrella), przemiany fazowe, ewolucja mikrostruktury próbki i wielu innych zjawisk manifestujących się w postaci przemieszczania się środka drgań swobodnie tłumionych wzdłuż linii trendu − efekt Zero-Point Drift (ZPD) [9, 10, 75, 88]). W części teoretycznej pracy przedstawiony jest przegląd dotychczas stosowanych metod obliczeń δ oraz opisane są szczegółowo nowe, opracowane w ramach niniejszej pracy metody obliczeń i algorytmy. 19.

(27) Metody obliczeń δ można podzielić na cztery grupy: I.. metody klasyczne [72, 73],. II.. metody optymalizacyjne w dziedzinie czasu [73, 74],. III.. metody oparte na transformacie Fouriera [70],. IV.. metody oparte na transformacie Hilberta [52, 84].. Dokładność obliczeń δ dla wyżej wymienionych metod będzie analizowana w funkcji kilkunastu zmiennych parametrów, które omówiono szczegółowo w rozdziale 6 i 7. Zalety i ograniczenia ww metod będą dyskutowane z punktu widzenia zastosowań praktycznych w inżynierii materiałowej. Celem pracy jest zatem opracowanie nowych metod obliczeniowych, które umożliwią uzyskanie znacząco wyższej dokładności obliczeń δ. – w różnych. warunkach eksperymentalnych – aniżeli było to dotychczas możliwe. Poniżej przedstawione będą zarówno dotychczas stosowane, jak i własne, nowe metody obliczeń logarytmicznego dekrementu tłumienia δ (metody obliczeń częstotliwości rezonansowej f 0 przedstawiono w rozdziale 4).. 3.1. Metody klasyczne Logarytmiczny dekrement tłumienia δ można obliczyć kilkoma metodami,. które zaliczane są w literaturze do tzw. „metod klasycznych” [2, 3, 72, 73]. Metody te, które szczegółowo opisano w pracach [72, 73] będą tutaj omówione w niezbędnym skrócie. Należy jednak podkreślić, że dla metod tych opracowano w pracy zoptymalizowane algorytmy, które po raz pierwszy umożliwiają dokładne porównanie wyników obliczeń δ uzyskanych różnymi metodami klasycznymi i nowymi metodami obliczeń. Do grupy klasycznych metod obliczeń logarytmicznego dekrementu tłumienia δ zaliczamy: (1) metodę obliczeń δ z liczby oscylacji − NO, (2) metodę regresji amplitud − RA, (3) metodę regresji pól powierzchni − RS, (4) metodę uśrednionego dekrementu tłumienia − RAAv ,. 20.

(28) (5) nową metodę obliczeń δ , którą nazwaną w pracy metodą S (Spline)* . Na rysunku 3.2 przedstawiono sygnał drgań swobodnie tłumionych A (t ) na którym zaznaczono schematycznie używane w pracy oznaczenia: [+] [ −] Amax , Amax − dodatnia i ujemna amplituda i-tej oscylacji, i i. Si[ + ] ,. Si[ − ] − pola powierzchni liczone pod dodatnim i ujemnym półokresem i-tej oscylacji,. a[ + ] , a [ − ]. − górna i dolna obwiednia sygnału A (t ) .. 5. A. sygnał drgań swobodnie tłumionych, A(t). 4. [+]. max i. S [+] i. 3. a [+]. 2 1 0 -1 -2 -3. A. max. -4 -5. 0. 2. S[. [ ]. 4. a[. ]. ]. i. i 6. 8. 10. czas, t [s]. Rys. 3.2 Sygnał eksponencjalnie tłumionych drgań harmonicznych A (t ) na którym [+] [ −] zaznaczono: dodatnią Amax i ujemną Amax amplitudę i-tej oscylacji, pola powierzchni i i. Si pod dodatnim Si[ + ] i ujemnym Si[ − ] półokresem i-tej oscylacji oraz górną a[ + ] i dolną. a[ − ] obwiednię sygnału A (t ) .. *. Opracowana w ramach niniejszej pracy nowa metoda obliczeń S została zaliczona do metod klasycznych ponieważ wykorzystuje ona wartości kolejnych i-tych amplitud sygnału A(t ) .. 21.

(29) 3.1.1 Metoda pomiaru δ z liczby oscylacji – NO Najprostszą i najstarszą metodą obliczeń logarytmicznego dekrementu tłumienia. δ jest metoda polegająca na zliczaniu liczby n oscylacji zgodnie ze wzorem (3.1b) w zakresie - wybranej przez eksperymentatora - pierwszej i ostatniej wartości amplitud sygnału drgań swobodnie tłumionych A (t ) .. Pierwszy wariant tej metody polega na wybraniu a priori wartości pierwszej (tzw. początkowej) amplitudy A1 i amplitudy ostatniej (tzw. amplitudy końcowej) An (poprzez ustawienie aparaturowe tzw. „bramek” na wybranym poziomie amplitud A1 i An), a następnie pomiarze liczby tłumionych oscylacji n w tak zdefiniowanym zakresie amplitud. Metoda ta jest nadal często stosowana w spektrometrach mechanicznych pracujących w zakresie częstotliwości od kilku do kilkudziesięciu Hz oraz w zakresach kHz oraz MHz. W niskoczęstotliwościowych spektrometrach mechanicznych metoda ta jest stosowana w starszych modelach urządzeń (wahadła skrętne typu Kê [2, 76]). Jest powszechnie wiadomym, że metoda ta jest mało dokładna, ale jej zaletą jest prostota i łatwość w implementacji w spektrometrach mechanicznych działających w technice analogowej i w prostych rozwiązaniach cyfrowych. W chwili obecnej, nie jest celowym porównywanie rozwiązań stosowanych w technice analogowej z opracowanymi w pracy zaawansowanymi metodami obliczeniowymi zastosowanymi przez nas w spektrometrze mechanicznym działającym w technice cyfrowej [77-79] z wykorzystaniem cyfrowych technik przetwarzania sygnałów. Co więcej, arbitralnie przyjmowane wcześniej poziomy „bramek” uniemożliwiają teraz przeprowadzenie bezpośredniej analizy porównawczej. Pomimo, iż metoda ta nie będzie dalej rozważana w pracy należy podkreślić, że stosowanie tej metody było źródłem silnej dyspersji punktów eksperymentalnych, co można łatwo zauważyć na. większości krzywych eksperymentalnych δ = f(T) dla dużych i niskich poziomów tłumień [10]. Drugi wariant metody obliczeń δ z liczby oscylacji polega na pomiarze wartości n w sygnale drgań swobodnie tłumionych A (t ) o zadanej długości L (przy zapewnieniu w trakcie pomiarów stałej wartości maksymalnej amplitudy odkształceń. Amax 0 ). Metoda ta polega na pomiarze: (1) wartości pierwszej amplitudy A1 , (2) wartości ostatniej amplitudy An oraz (3) liczby oscylacji n w sygnale A (t ) o zadanej 22.

(30) długości (wzór (3.1b)). Ten wariant metody obliczeń δ z liczby oscylacji oznaczono w pracy akronimem NO. W ten oto sposób pojawia się tutaj – po raz pierwszy – problem zależności dokładności obliczeń δ w funkcji czasu trwania sygnału A (t ) . Metoda NO jest najprawdopodobniej nadal najczęściej stosowaną techniką obliczeniową w rezonansowych spektrometrach mechanicznych. Warto zauważyć, że metoda NO jest nadal stosowana w wielu obecnie produkowanych spektrometrach mechanicznych [82].. 3.1.2 Metoda regresji amplitud – RA Wartość. logarytmicznego. dekrementu. tłumienia. δ. można. obliczyć. wykorzystując n kolejnych wartości amplitud Amax i drgań swobodnie tłumionych A (t ) . Z równania regresji liniowej logarytmów naturalnych amplitud Amax i w funkcji liczby amplitud ni ln ( Amax i ) = f ( ni ),. (3.2a). gdzie ni jest numerem kolejnej i-tej amplitudy Amax i , otrzymujemy wzór na logarytmiczny dekrement tłumienia [72, 73]: n. n. n. n∑ Bi ni − ∑ Bi ∑ ni. δ = −α ⋅. i =1. i =1. i =1 2.   n∑ ni2 −  ∑ ni  i =1  i =1  n. n. ,. (3.2b). gdzie Bi = ln Amax i , n jest całkowitą liczbą amplitud, α jest współczynnikiem. [+] Wstawiając do wzoru (3.2b) dodatnie wartości amplitud Amax należy przyjąć, że i. współczynnik α = 1. Ten przypadek jest najczęściej stosowany w praktyce eksperymentalnej; metoda ta jest oznaczona w pracy akronimem RA[ + ] . Wstawiając do [ −] wzoru (3.2b) ujemne wartości amplitud Amax uzyskujemy drugi wariant tej metody i. oznaczony akronimem RA[ − ] ( α = 1). Wstawiając do wzoru (3.2b) zarówno dodatnie [+] wartości amplitud Amax , jak i wartości bezwzględne ujemnych amplitud i. 23. [− ] Amax i.

(31) uzyskujemy trzeci wariant tej metody oznaczony akronimem RA[ +, − ] . W tym przypadku α = 2. Warto zauważyć, że w pracach [72, 73] pominięto wartość współczynnika α . W metodzie RA[ +, − ] ( α = 2) uzyskujemy dokładniejsze dopasowanie do prostej wyrażonej równaniem (3.1a) ze względu na wykorzystanie dwukrotnie większej liczby amplitud aniżeli w metodach RA[ + ] i RA[ − ] ( α = 1). Metoda RA[ +, − ] zmniejsza wpływ błędów obliczeń kolejnych wartości amplitud na końcowy wynik obliczeń δ . W pracy [87] wykazano, że metoda RA jest lepszym estymatorem δ aniżeli metoda NO. Błąd względny obliczeń δ wg metody RA można uzyskać z następującego wzoru:. γδ =. n n  n 2 n  1 n n ∑ ni − δ ∑ Bi ni −  ∑ ni − δ ∑ Bi ∑ ni  n  i =1 i =1 i =1  i =1   i =1 . 2  n 2  n   (n − 2 ) n∑ Bi −  ∑ Bi    i =1    i =1. (3.2c). Powyższy tok rozumowania jest wystarczający dla sygnałów teoretycznych, sygnałów analogowych oraz dyskretnych sygnałów eksperymentalnych próbkowanych z niską częstotliwością próbkowania fs. Dotychczas – z wyjątkiem paru publikacji opracowanych. na. AGH. [72-75, 87-93]. –. nie. rozważano. wpływu. szumu. eksperymentalnego ani wpływu częstotliwości próbkowania fs na dokładność obliczeń logarytmicznego dekrementu tłumienia δ . Rozwiązanie tego problemu jest kolejnym celem niniejszej pracy.. W Aneksie 1 przedstawiono różne metody obliczeń amplitud dla sygnałów. zawierających. szum. eksperymentalny. A (t ) ,. który. Amax i. dokładnie. odzwierciedla rzeczywiste warunki pracy niskoczęstotliwościowego rezonansowego spektrometru mechanicznego AGH. Badane w pracy sygnały eksperymentalne dla próbek wykonanych ze stopów metali (Fe, Al, Cu) wymagały przetestowania różnych funkcji aproksymujących kształt półokresów eksponencjalnie tłumionych drgań 24.

(32) harmonicznych oraz sprawdzenie różnych metod i wariantów wycinania tzw. „wycinków” sygnału A (t ) (Aneks 1) zlokalizowanych w najbliższym otoczeniu maksimum każdej kolejnej i-tej oscylacji. Przedstawione w Aneksie 1 wyniki obliczeń umożliwiły opracowanie najlepszej metody i optymalnego algorytmu do wyznaczania wartości amplitud. Amax i . Tak wybrany algorytm zastosowano we wszystkich. klasycznych metodach obliczeń logarytmicznego dekrementu tłumienia δ (z wyjątkiem metody RS). Na podstawie przeprowadzonych testów można bezpiecznie stwierdzić, że przedstawiony w Aneksie 1 optymalny algorytm wyznaczania amplitud Amax i cechuje się wysoką niezawodnością i dokładnością obliczeń. Stwierdzono również, że algorytm ten jest lepszy od dotychczas stosowanych rozwiązań [72, 73]. [+] W Aneksie 2 wykazano, że maksima kolejnych i-tych oscylacji Amax nie i. pokrywają się z punktami styczności obwiedni a (t ) do sygnału A (t ) . Udowodniono [+] również, że istnienie różnic w położeniu amplitud Amax i punktów styczności obwiedni i. a (t ) do sygnału A (t ) nie wpływa istotnie na wynik obliczeń δ w całym zakresie mierzonych eksperymentalnie wartości δ i f 0 . Przedstawione w Aneksie 1 i 2 wyniki badań uzasadniają stosowanie w równaniach (3.2) wartości amplitud Amax i dla sygnałów drgań swobodnie tłumionych zawierających szum eksperymentalny. Należy jednak pamiętać o istnieniu takich sytuacji eksperymentalnych w których stosowanie metod klasycznych (NO, RA, RAAv, S) nie jest uzasadnione z matematycznego punktu widzenia. Problem ten jest przedmiotem rozważań przedstawionych w rozdziale 8.. 3.1.3 Metoda regresji pól powierzchni − RS We wzorach (3.2) w miejsce amplitud Amax i można wstawić wartości pól powierzchni Si , które są obliczane pod krzywymi każdego półokresu drgań swobodnie tłumionych (rys. 3.2). Podobnie jak w przypadku metody RA można opracować trzy warianty metody RS: metodę. RS[ + ] i RS[ − ] jeśli do obliczeń zostaną wzięte pola. powierzchni pod dodatnimi Si[+ ] lub ujemnymi Si[− ] półokresami drgań oraz metodę. 25.

(33) RS[ + , − ] jeśli do obliczeń zostaną wzięte pola powierzchni pod dodatnimi półokresami drgań Si[+ ] i ujemnymi półokresami drgań Si[− ] . Pola powierzchni Si pod półokresami drgań swobodnie tłumionych A (t ) są obliczane w pracy metodą całkowania przy pomocy funkcji „trapz()” [103-106].. 3.1.4 Metoda uśrednionego dekrementu tłumienia – RAAv Pomiar dużych tłumień (dużych wartości δ przy niewielkiej liczbie oscylacji n ) jest zadaniem trudnym dla wszystkich metod opartych na pomiarze amplitud Amax i . Stosowanie w takich przypadkach metody NO lub RA powoduje silną dyspersję punktów eksperymentalnych, którą można nieco ograniczyć - ale bez wyraźnej poprawy dokładności estymacji δ - poprzez zastosowanie metody „uśrednionego dekrementu tłumienia” RAAv [72, 73]. Metoda ta była często stosowana w latach 1970-1990. W tym okresie czasu nie było jeszcze możliwym stosowanie on-line metody regresji pól powierzchni RS i z tego względu metoda „uśrednionego dekrementu tłumienia” RAAv korzystała z wartości amplitud Amax i . W metodzie RAAv logarytmiczny dekrement tłumienia δ obliczamy z następującego wzoru [72, 73]:. δ=. n2   ln Ai  . ⋅ 2 ∑  n   i =1 Ai +(n 2 )    2 1. (3.3). 3.1.5 Metoda Spline ─ S Metoda S (Spline) jest nową metodą, która została opracowana w ramach niniejszej pracy. Metoda S polega na obliczaniu logarytmicznego dekrementu tłumienia. δ z obwiedni sygnału A (t ) zgodnie z równaniem a (t ) = A0 exp(−δ f 0 t ) .. (3.4a). Obwiednię eksponencjalnie tłumionych drgań harmonicznych można uzyskać [+] [ −] z interpolacji wielomianem 6-stopnia węzłów amplitud Amax lub Amax metodą Spline i i. 26.

(34) B [103, 105, 106]. Wyznaczoną w metodzie S obwiednię sygnału oznaczono tutaj [+] [ −] symbolem aS . Węzły amplitud Amax i Amax są wyznaczane w analogiczny sposób jak i i. w metodzie RA (patrz Aneks 1 i 2). Dyskretne wartości obwiedni aS (t j ) i węzłów [+] amplitud Amax przedstawiono na rys. 3.3 ( j oznacza tutaj j -ty punkt eksperymentalny; i. liczba punktów j zależy od częstotliwości próbkowania sygnału i długości sygnału A (t ) ).. Rys. 3.3 Ilustracja metody S do obliczeń logarytmicznego dekrementu tłumienia δ [+] z obwiedni sygnału aS (t j ) . Przedstawione na rys. a, b, c przykładowe węzły Amax i. uzyskano z optymalnego (Aneks 1) dopasowania dodatnich półokresów drgań parabolami.. δ = 0,02, f 0 = 1Hz, S/N= 38 dB, f S = 2 kHz.. Obwiednię aS (t j ) uzyskaną metodą Spline można zapisać następująco:. aS (t j ) = Amax 0 exp(−δ f 0 t j ) . Po zlogarytmowaniu równania (3.4b) otrzymujemy. 27. (3.4b).

(35) ln[aS (t j )] = −δ f 0 t j + ln Amax 0 ,. (3.4c). gdzie współczynnik kierunkowy β jest równy − δ ⋅ f 0 , a ln Amax0 jest stałą. Z regresji liniowej logarytmów naturalnych wartości interpolowanej obwiedni w funkcji. czasu. można. wyznaczyć. współczynnik. kierunkowy. ln[a S (t j )] prostej. β. i logarytmiczny dekrement tłumienia δ , który wynosi. δ=−. β f0. .. (3.5). Podobnie jak w przypadku metody RA i RS metodę S można zastosować zarówno dla górnej, jak i dla dolnej obwiedni. W tej sytuacji można uzyskać trzy warianty tej metody: [+] 1. metoda S[ + ] , która umożliwia obliczenie δ z interpolacji w węzłach Amax , i [ −] 2. metoda S[ − ] , która stosuje interpolację w węzłach Amax oraz i [+] [ −] 3. metoda S[ + , − ] , która polega na interpolacji w węzłach Amax i | Amax |. i i. Pomimo, że metoda S jest nową, nie opublikowaną jeszcze metodą obliczeń δ zostaje ona tutaj zaliczona do rodziny metod klasycznych ponieważ jej algorytm opiera się na poszukiwaniu wartości amplitud Amax i i interpolacji do tak wyznaczonych amplitud wielomianu 6-go stopnia. Dokładność metody S – podobnie jak metody RA – zależy od liczby amplitud Amax i wziętych do obliczeń δ . Jak wykazano wcześniej w pracach [72, 73] dokładność obliczeń δ wg metod RA, RS i RAAv zależy od „jakości” zarejestrowanych techniką cyfrową eksponencjalnie tłumionych drgań harmonicznych. A(t ) , wielkości szumu (S/N), częstotliwości. rezonansowej f 0 , długości sygnału L oraz częstotliwości próbkowania f S (patrz § 6 i 7). Analogiczne wnioski dotyczą metody S.. 28.

(36) 3.2. Metody optymalizacji w dziedzinie czasu Z analizy literatury z zakresu tarcia wewnętrznego i spektroskopii mechanicznej. [10] wynika, że nie stosowano dotychczas metod optymalizacyjnych do obliczeń δ z cyfrowych sygnałów eksponencjalnie tłumionych drgań harmonicznych. A(t ). rejestrowanych przez przetworniki A/D. Jeszcze do niedawna, powszechnym był pogląd, że metody klasyczne i metoda Yoshidy [70] (stosowana tylko w paru laboratoriach od lat 90-tych XX-go wieku [80]) dają satysfakcjonujące wyniki obliczeń. δ . Należy również podkreślić, że trudniejsze sytuacje eksperymentalne w których było oczywistym, że metody klasyczne zawodzą (jak np. wysoki poziom tłumień, występowanie efektu ZPD lub procesy nieliniowe i zależne od amplitudy drgań) były pomijane lub ignorowane. W tej sytuacji należy wyraźnie zaznaczyć, że jednym z ważniejszych celów niniejszej pracy było opracowanie takich metod obliczeń δ , które rozwiążą ww problemy, tak często obserwowane w trakcie badań różnych materiałów metodą spektroskopii mechanicznej. Metoda. optymalizacyjna. została. po. raz. pierwszy. zaproponowana. w 2006 roku [73, 74]. Metoda ta okazała się skutecznym narzędziem do obliczeń dużych i bardzo dużych wartości δ występujących w materiałach silnie tłumiących drgania HDM (High Damping Materials) [14, 74]. Metoda ta została zastosowana przez nas do zminimalizowania destrukcyjnego wpływu efektu ZPD na wyniki obliczeń δ [88]. W pracy [88] wykazano, że możliwym jest występowanie tzw. „pików duchów” (Ghost Peaks), które pojawiają się jeśli do obliczeń δ , w materiałach w których zachodzą przemiany fazowe lub występują piki relaksacyjne związane z ruchem dyslokacji, są stosowane metody klasyczne (patrz rozdział 8.2.2). Poniżej przedstawiono koncepcję metody optymalizacyjnej opracowanej do obliczeń logarytmicznego dekrementu tłumienia δ i częstotliwości rezonansowej f 0 . Równanie teoretyczne opisujące eksponencjalnie tłumione drgania harmoniczne A(t ) można zapisać w postaci [2]:. AT (t ) = Amax 0 ⋅ exp ( − δ ⋅ f 0 ⋅ t ) ⋅ cos ( 2 ⋅ π ⋅ f 0 ⋅ t + ϕ ) + C , (3.7a) 29.

(37) gdzie f 0 oznacza częstotliwość drgań, β = −δ ⋅ f 0 , t oznacza czas, ϕ jest fazą sygnału, Amax0 oznacza amplitudę początkową drgań, a C jest stałą. Uwzględniając fakt, że eksperymentalny sygnał drgań swobodnie tłumionych zawiera w sobie szum, równanie (3.7a) należy zapisać w następującej postaci: Ai (t ) = Amax 0 ⋅ exp ( β ⋅ t ) ⋅ cos ( 2 ⋅ π ⋅ f 0 ⋅ t + ϕ ) + Aw (t ) + C ,. (3.7b). gdzie Aw (t ) oznacza szum o rozkładzie normalnym zdefiniowany współczynnikiem S/N (signal to noise ratio). Z dopasowania funkcji teoretycznej wyrażonej równaniem (3.7b) do zbioru danych eksperymentalnych. {(ti , Ai ) : i = 1 ... N }. (gdzie. N. oznacza. liczbę. punktów. eksperymentalnych zaś ti oraz Ai oznacza czas i wartość i-tej próbki cyfrowego sygnału drgań swobodnie tłumionych) można obliczyć równocześnie logarytmiczny dekrement tłumienia δ i częstotliwość rezonansową drgań f 0 . Metoda optymalizacyjna polega na znalezieniu minimum globalnego funkcji celu FC zdefiniowanej w następujący sposób: N. FC ( Amax 0 , δ , f 0 , ϕ , C ) = ∑ [ Ai − AT (ti ). ]2 .. (3.8). i =1. Do minimalizacji funkcji celu FC zastosowano algorytm Levenberga-Marqardta [108]. Wartości początkowe optymalizowanych parametrów Amax 0 p , β p , f 0 p , ϕ p , C p ustala się w taki sposób, aby uwzględniały one - możliwie jak najdokładniej - warunki pracy konkretnego spektrometru mechanicznego i geometrię próbki. Na podstawie badań eksperymentalnych przeprowadzonych w ramach niniejszej pracy dla próbek wykonanych ze stopów metali (Fe, Cu, Al) o różnej geometrii i dla zakresu częstotliwości drgań spektrometru AGH od 0,1 Hz do 97 Hz uzyskano następujące niezawodne wartości początkowe: a). C p przyjmuje się jako średnią arytmetyczną ze wszystkich wartości Ai : Cp =. b). 1 N ∑ Ai ; N i =1. A0 p = max { Ai } ; i =1... N. 30.

(38) c). ϕ p = 0,00 ;. d) częstotliwość drgań f 0 p oblicza się metodą ZC (patrz rozdział 4.1); e). β p = 0,05 .. Po przeprowadzeniu minimalizacji funkcji celu FC uzyskujemy optymalne wartości parametrów Amax 0 , β , f 0 , ϕ , C .. Z. tak. obliczonych. wartości. parametrów. β. i częstotliwości rezonansowej f 0 można obliczyć logarytmiczny dekrement tłumienia:. δ =−. β f0. .. 3.2.1 Metoda NLST Metoda NLST (Non-linear Least Squares in the Time-domain) polega na przeprowadzeniu nieliniowej optymalizacji funkcji celu FC dla całej długości sygnału eksperymentalnego A(t ) . Metoda ta została oznaczona w pracy akronimem NLST . Schemat blokowy algorytmu NLST przedstawiono na rys. 3.4.. 3.2.2 Metoda OMI Metoda OMI (Optimization in Multiple Intervals) polega na przeprowadzeniu nieliniowej optymalizacji funkcji celu FC , dla tak zdefiniowanych długości sygnału A(t ) , które uwzględnią w sposób kompleksowy cechy charakterystyczne sygnałów odkształceń sprężystych (drgań swobodnie tłumionych) badanych w spektrometrach mechanicznych [72-75, 77-79, 85, 86]. Metoda OMI została opracowana dla dużych i bardzo dużych wartości logarytmicznego dekrementu tłumienia δ [73, 74] występujących w materiałach HDM [14]. Wysoki poziom tłumienia powoduje, że sygnały drgań swobodnie tłumionych są krótkie, a liczba oscylacji n jest mała (np. dla. δ = 0,5 i f 0 = 0,5 Hz możliwym jest zmierzenie co najwyżej dwóch oscylacji). Jest oczywistym, że stosowanie w takich sytuacjach klasycznych metod obliczeń δ generuje duży błąd obliczeń δ. (co najmniej od kilku do kilkunastu procent). i jest źródłem silnej dyspersji punktów eksperymentalnych łatwo widocznych na wykresach δ = f(T). Duży stopień trudności obliczeń δ i f 0 dla krótkich i bardzo. 31.

(39) krótkich sygnałów jest powszechnie znany. W pracy przedstawiono dwie metody umożliwiające rozwiązanie tego problemu: omawiana tutaj metoda OMI oraz przedstawiona w dalszej części pracy metoda YM i YMC (patrz § 3.3.2). Metoda OMI, której schemat blokowy przedstawiono na rys. 3.4, jest zaawansowaną wersją metody NLST. W metodzie NLST optymalizacja funkcji celu jest przeprowadzona jednokrotnie dla wszystkich dyskretnych punktów sygnału drgań swobodnie tłumionych A(t ) = (ti , Ai ) . W metodzie OMI proces optymalizacji jest powtarzany wielokrotnie dla sukcesywnie wydłużających się przedziałów (Intervals) zawierających coraz większą liczbę próbek analizowanego sygnału A(t ) . Algorytm OMI zwiększa zatem liczbę próbek cyfrowych sygnału A(t ) posiadających wysoki stosunek S/N poprzez ich wielokrotne uwzględnianie w procesie optymalizacji funkcji celu. Ważnym parametrem w metodzie OMI jest długość sygnału L branego do procesu optymalizacji ze zbioru danych {(ti , Ai ) : i = 1 ... N } . Długość sygnału L i liczba wydłużających się przedziałów (intervals) odgrywa decydującą rolę w obliczeniach δ dla sygnałów zniekształconych efektem ZPD. Akronim metody OMI odzwierciedla koncepcję opracowanego algorytmu: OMI - Optimization in Multiple Intervals [73]. Pierwszy etap minimalizacji funkcji celu prowadzony jest z reguły dla pierwszego okresu drgań swobodnie tłumionych (w przypadku bardzo silnie tłumionego sygnału A(t ) wykorzystywana jest tylko część pierwszego okresu). Uzyskane w ten sposób wartości optymalizowanych parametrów wykorzystane są jako wartości startowe w drugim cyklu procesu optymalizacji. Kolejne cykle minimalizacji funkcji celu prowadzone są dla sukcesywnie zwiększającej się liczby punktów eksperymentalnych (ti , Ai ) . Wyniki minimalizacji funkcji celu uzyskane w k-tym cyklu procesu minimalizacji stają się parametrami startowymi A, β , f 0 , ϕ , C w kolejnym k+1 cyklu, itp. Wartości końcowe optymalizowanych parametrów uzyskujemy w ostatnim cyklu minimalizacji funkcji celu, który przeprowadzany jest dla optymalnej długości L sygnału A(t ) . Wysoką dokładność metody OMI uzyskuje się dzięki iteracyjnemu znajdowaniu kolejnych, coraz to lepszych przybliżeń optymalizowanych parametrów obliczanych w sukcesywnie wydłużających się przedziałach czasu (intervals) zawierających zwiększającą się liczbę próbek sygnału drgań swobodnie tłumionych A(t ) . Fakt ten ma. 32.

(40) kluczowe znaczenie dla sygnałów A(t ) z szumem, które są zniekształcone efektem ZPD. W przypadku sygnałów A(t ) wolnych od efektu ZPD wyniki obliczeń δ w metodzie NLST i OMI są prawie identyczne (dla poprawnie przyjętych wartości początkowych optymalizowanych parametrów A0 p , β p , f 0 p , ϕ p , C p ).. 33.