Wpływ średnicy porów

Średnica kanałów porowych w większości skał łupkowych zawiera się w zakresie od kilku do kilkuset nanometrów (1[nm] = 10⁻⁹[m]), a dominująca część jest mniejsza od 2 [nm]. Dla porównania, w skałach konwencjonalnych gaz przepływa porami o średnicy od 1 do 100 mikrometrów (1[µm] = 10³[nm]). Tak znaczna różnica w rozmiarach kanałów porowych musi powodować istotne różnice w mechanice przepływu gazu w tych diametralnie różnych ośrodkach. W przypadku złóż konwencjonalnych modelowanie przepływu opiera się na klasycznej mechanice płynów i założeniu, że prędkość płynu na ściance kana-łu porowego wynosi zero. Mówimy zatem o lepkim przepływie bez poślizgu, „napędzanym” różnicą ciśnień, do opisu którego standardowo stosowane jest równanie Darcy’ego.

Kiedy skala ośrodka w którym odbywa się przepływ zmniejsza się tak znacznie, jak w przypadku nano-porowatych złóż łupkowych, klasyczne po-dejście staje się nieadekwatne. Dzieje się tak ze względu na fakt, że średnica cząsteczek gazu (CH₄ − 0, 40[nm], C2H₆ − 0, 52[nm], CO2 − 0, 45[nm]) staje

się porównywalna do średnicy kanału porowego, którym odbywa się przepływ. W takich warunkach cząsteczki gazu, częściej niż z innymi cząsteczkami, zde-rzają się ze ściankami porów i ślizgają się na ich powierzchni - nie mają zatem zerowej prędkości. Teoretycznie, zjawiska te można modelować w oparciu o fizy-kę molekularną (z uwzględnieniem dynamiki pojedynczych molekuł), jednakże w rzeczywistości rozwiązanie takie jest zupełnie niepraktyczne ze względu na ogromną liczbę molekuł gazu jak i wzajemnie połączonych kanałów porowych w skali złoża. Dla zastosowań praktycznych (np. w symulacji numerycznej) ko-nieczne jest uproszczone uwzględnienie przepływu molekularnego w równaniu Darcy’ego, na którym opierają się przemysłowe symulatory złożowe. W prak-tyce realizowane jest to poprzez zastosowanie współczynnik korekcyjnego Klin-kenberga dla przepuszczalności.

3.3.3.1 Efekt Klinkenberga

Klinkenberg (1941) jako pierwszy zauważył, że w przypadku przepływu gazu w ośrodku porowatym pod niskim ciśnieniem uzyskiwane wydajności są wyższe od szacowanych w oparciu o równanie Darcy’ego. Powiązał on ten fakt z poślizgiem cząsteczek gazu na ściankach kanałów porowych i zaproponował równanie korygujące wartość przepuszczalności w postaci:

ka = k_∞ ( 1 + ^bK_¯ P ) , (3.11) gdzie:

k_a - przepuszczalność dla gazu, [mD],

k_∞ - przepuszczalność dla cieczy przy nieskończonym ciśnieniu, [mD],

P - ciśnienie średnie, [P a],

Zgodnie z powyższym równaniem przy wysokich ciśnieniach wartość prze-puszczalności dla gazu, k_a, zbliża się do przepuszczalności odniesienia, k_∞, a miarą wpływu poślizgu molekuł gazu na przepuszczalność jest współczyn-nik efektu Klinkenberga, b_k . Wartość współczynnika Klinkenberga zależy od średniej drogi swobodnej cząsteczki i promienia kanału porowego zgodnie z za-leżnością (Devegowda, 2014):

b_K = ^{4cλ ¯P}

r ^{, (3.12)}

gdzie:

λ - średnia droga swobodna molekuł gazu w określonych warunkach

ci-śnienia i temperatury,

r - promień kanału porowego,

c - stała (c≈ 1).

Dla złóż o wysokiej przepuszczalności (kanały porowe o względnie dużym promieniu) współczynnik efektu Klinkenberga jest bliski zera i rośnie wraz ze spadkiem przepuszczalności skały (pory o niewielkim przekroju). Należy jed-nak pamiętać, że metoda Klinkenberga, choć praktyczna, została opracowana dla przepływu rozrzedzonego gazu pod niskim ciśnieniem i nie jest wiarygodna we wszystkich warunkach przepływu jakie występują w złożach łupkowych.

3.3.3.2 Liczba Knudsena i klasyfikacja przepływów

Jak wspomniano wyżej, kanały porowe w formacjach łupkowych pod względem średnicy są porównywalne z wymiarami molekuł gazu. Przepływ nie jest ciągły, a wpływ poślizgu molekuł na ściankach porów a także ich zde-rzeń (cząsteczek gazu ze ścianami porów) nie może być pominięty. W rezultacie konwencjonalne równania Darcy’ego i Ficka nie opisują prawidłowo przepływu gazu w takich warunkach.

Do oceny wpływu średnicy kanału porowego na mechanikę przepływu, a co za tym idzie klasyfikacji przepływów, stosowana jest bezwymiarowa liczba

Knudsena, Kn, zdefiniowana przez stosunek średniej drogi swobodnej molekuł gazu, λ, i promienia kanału porowego, r (Civan et al., 2011):

Kn = ^λ

r^{. (3.13)}

Średnią drogę swobodną można oszacować w oparciu o równanie (Loeb, 1934; Civan et al., 2011): λ = ^µ P √ πR_uT 2M ^{, (3.14)} gdzie: µ - lepkość gazu, [P a· s], P - ciśnienie, [Pa], T - temperatura, [K],

M - masa molowa gazu, [kg/kmol],

R - uniwersalna stała gazowa, [J/kg/K].

Promień r wiąże przepuszczalność i porowatość ośrodka uogólniając sys-tem kapilar w jedną (charakterystyczną, ekwiwalentną), o stałym promieniu, zgodnie z równaniem (Devegowda et al., 2014):

r = √ 8k ϕ ^{= 2, 828} √ k ϕ^{. (3.15)}

Liczba Knudsena jest miarą odchylenia od modelu przepływu Naviera-Stokes’a gazów przepływających przez pory o niewielkiej średnicy (Javadpour et al., 2007; Civan, 2010). Kiedy średnia droga swobodna cząsteczki gazu jest mała w stosunku do średnicy porów, tj. dla Kn < 0, 001, kolizje cząsteczek ze ściankami porów są nieistotne z całościowego punktu widzenia, a dominującym mechanizmem jest przepływ lepki. Sytuacja taka występuje w złożach konwen-cjonalnych, a do modelowania przepływu w takich warunkach stosowane jest równanie Darcy’ego.

W miarę wzrostu wartości liczby Knudsena (wraz ze spadkiem średni-cy porów oraz obniżaniem ciśnienia) wpływ średniśredni-cy kanałów porowych staje się coraz bardziej wyraźny. W zakresie 0, 001 ¬ Kn < 0, 1 wartość średniej

drogi swobodnej molekuł staje się istotna w stosunku do średnicy kanałów porowych, a co za tym idzie rośnie znaczenie zderzeń cząsteczek gazu ze ścia-nami porów w porównaniu do oddziaływań międzycząsteczkowych. Warunek brzegowy o zerowej prędkości na powierzchni kanału porowego traci zasadność i konieczne jest uwzględnienie poślizgu molekuł gazu w równaniu opisującym przepływ (Beskok i Karniadakis, 2005).

Kiedy liczba Knudsena przyjmuje wartości z zakresu 0, 1 ¬ Kn < 10,

mówimy o warunkach przepływu przejściowego, który towarzyszy większości złóż gazu w łupkach. Jednakże zakres ten jest stosunkowo słabo opisany, a do najbardziej istotnych należy zaliczyć opracowania Beskok i Karniadakis (1999), Florence et al. (2007) oraz Civan (2010).

Największym wartościom liczby Knudsena - Kn­ 10 , odpowiada

swo-bodny przepływ molekularny, który może być modelowany w oparciu o dyfuzję Knudsena. Taki stan nie jest jednak typowy dla złóż łupkowych.

3.3.3.3 Korekta przepuszczalności w oparciu o liczbę Knudsena

Bazując na równaniu Hagena-Poiseuille’a dla przepływu lepkiego w prze-kroju kołowym, Beskok i Karniadakis (2005) przedstawili równanie uwzględ-niające poślizg i rozrzedzenie gazu przy niskim ciśnieniu. Zgodnie z nim stru-mień objętości wyraża się zależnością:

q = f (Kn)^πr

4

8µ

∂p

∂x^{, (3.16)}

gdzie funkcja korygująca f (Kn) określa rodzaj przepływu na podstawie war-tości liczby Knudsena, zgodnie z zależnością:

f (Kn) = (1 + α Kn) ( 1 + ^{4 Kn} 1− b Kn ) . (3.17)

Dzięki temu model ten jest ważny dla wszystkich wymienionych wyżej typów przepływu, od lepkiego, przez przepływ z poślizgiem i przejściowy, aż po swo-bodną dyfuzję molekularną. Empiryczny współczynnik rozrzedzenia gazu, α, odpowiada za korektę lepkości gazu w warunkach przepływu przejściowego. Przy niższych wartościach liczby Knudsena (przepływ z poślizgiem, przepływ lepki) jego wpływ na lepkość jest pomijalny. Z kolei współczynnik poślizgu, b, w przypadku przepływu z pełnym poślizgiem przyjmuje wartość -1. Wartość funkcji f (Kn) rośnie wraz ze wzrostem liczby Knudsena, a przy dużych war-tościach Kn (teoretycznie Kn → ∞) zbliża się do asymptotycznego limitu,

który odpowiada swobodnej dyfuzji molekularnej.

Łącząc równanie Darcy’ego z równaniem Beskoka-Karniadakisa i wpro-wadzając pojęcie przepuszczalności „zastępczej” (z ang. apparent

permeabi-lity), k_a, równanie przepływu dla pojedynczej kapilary przyjmie następującą postać: q =−^ka µ ∂P ∂x ^(3.18) gdzie k_a = k_∞f (K_n).

Na bazie uproszczonej w stosunku do oryginalnej korelacji Beskok-Karniadakis na współczynnik rozrzedzenia α, Civan (2010) zaproponował następującą for-mułę:

α = ^1.358

1 + 0.1780Kn^{−0.4348. (3.19)}

W oparciu o przedstawione równania wyznaczono wartości liczby Knud-sena, współczynnika efektu Klinkenberga oraz stosunku przepuszczalności za-stępczej do rzeczywistej (mnożnik przepuszczalności) dla metanu w temperatu-rze 95 [‰] i dla promienia r w zakresie od 10 - 1000 [˚A]. Wyniki przedstawiono graficznie w postaci wykresów na Rys. 3.5, Rys. 3.6 i Rys. 3.7.

Rys. 3.5: Wartości liczby Knudsena wyznaczone dla metanu w temperaturze 95 [‰] i dla różnych wartości promienia r w zakresie 10-1000 [˚A] w funkcji ciśnienia

Rys. 3.6: Współczynnik efektu Klinkenberga wyznaczony dla metanu w temperaturze 95 [‰] i dla różnych wartości promienia r w zakresie 10-1000 [˚A] w funkcji ciśnienia

Rys. 3.7: Stosunek przepuszczalności zastępczej do rzeczywistej wyznaczony dla metanu w temperaturze 95 [‰] i dla różnych wartości promienia r

w zakresie 10-1000 [˚A] w funkcji ciśnienia

W symulatorze GEM efekt przepływu nie-Darcy’owskiego (Forchheime-ra) oraz efekt Klinkenberga uwzględnione są w równaniu prędkości filtracji gazu w następującej postaci:

u_g =−^krgk µ_g  ^{1 +} bk p 1 + F_o  ∇Φg, (3.20) gdzie: F_o = ^ρgβkrgkug µg ^,

Φg - potencjał przepływu dla gazu.

Człon równania zawierający parametry b_k i F_o jest wskaźnikiem oporu, mody-fikującym przepływ Darcy’ego (CMG GEM, 2014).

3.4 Numeryczne rozwiązania równań przepływu w