Wyjaśnienie problemu Eulera
Przypomnijmy: 6 =√
36 =q(−4) · (−9) =√
−4 ·√
−9 = (2i ) · (3i ) = 6 · i2= − 6.
Tymczasem, zarówno 62 = 36, jak i (−6)2 = 36.
Inaczej: do jednej liczby 36 prowadzą dwie drogi przez podnoszenie do kwadratu, od liczby 6 i od liczby −6, czyli
6 −→ 36 ←− (−6). Zamiast przyjmować, że√
36 = 6, moglibyśmy określić√
36 = −6.
Wyjaśnienie problemu Eulera
Wyjaśnienie problemu Eulera
Przypomnijmy:
6 =√
36 =q(−4) · (−9) =√
−4 ·√
−9 = (2i ) · (3i ) = 6 · i2= − 6.
Tymczasem, zarówno 62 = 36, jak i (−6)2 = 36.
Inaczej: do jednej liczby 36 prowadzą dwie drogi przez podnoszenie do kwadratu, od liczby 6 i od liczby −6, czyli
6 −→ 36 ←− (−6). Zamiast przyjmować, że√
36 = 6, moglibyśmy określić√
36 = −6.
Wyjaśnienie problemu Eulera
Wyjaśnienie problemu Eulera
Przypomnijmy:
6 =
√ 36 =
q
(−4) · (−9) =√
−4 ·√
−9 = (2i ) · (3i ) = 6 · i2= − 6.
Tymczasem, zarówno 62 = 36, jak i (−6)2 = 36.
Inaczej: do jednej liczby 36 prowadzą dwie drogi przez podnoszenie do kwadratu, od liczby 6 i od liczby −6, czyli
6 −→ 36 ←− (−6). Zamiast przyjmować, że√
36 = 6, moglibyśmy określić√
36 = −6.
Wyjaśnienie problemu Eulera
Wyjaśnienie problemu Eulera
Przypomnijmy:
6 =
√ 36 =
q
(−4) · (−9) =
√−4 ·√
−9 = (2i ) · (3i ) = 6 · i2= − 6.
Tymczasem, zarówno 62 = 36, jak i (−6)2 = 36.
Inaczej: do jednej liczby 36 prowadzą dwie drogi przez podnoszenie do kwadratu, od liczby 6 i od liczby −6, czyli
6 −→ 36 ←− (−6). Zamiast przyjmować, że√
36 = 6, moglibyśmy określić√
36 = −6.
Wyjaśnienie problemu Eulera
Wyjaśnienie problemu Eulera
Przypomnijmy:
6 =
√ 36 =
q
(−4) · (−9) =√
−4 ·√
−9 =
(2i ) · (3i ) = 6 · i2= − 6.
Tymczasem, zarówno 62 = 36, jak i (−6)2 = 36.
Inaczej: do jednej liczby 36 prowadzą dwie drogi przez podnoszenie do kwadratu, od liczby 6 i od liczby −6, czyli
6 −→ 36 ←− (−6). Zamiast przyjmować, że√
36 = 6, moglibyśmy określić√
36 = −6.
Wyjaśnienie problemu Eulera
Wyjaśnienie problemu Eulera
Przypomnijmy:
6 =
√ 36 =
q
(−4) · (−9) =√
−4 ·√
−9 = (2i ) · (3i ) =
6 · i2= − 6.
Tymczasem, zarówno 62 = 36, jak i (−6)2 = 36.
Inaczej: do jednej liczby 36 prowadzą dwie drogi przez podnoszenie do kwadratu, od liczby 6 i od liczby −6, czyli
6 −→ 36 ←− (−6). Zamiast przyjmować, że√
36 = 6, moglibyśmy określić√
36 = −6.
Wyjaśnienie problemu Eulera
Wyjaśnienie problemu Eulera
Przypomnijmy:
6 =
√ 36 =
q
(−4) · (−9) =√
−4 ·√
−9 = (2i ) · (3i ) = 6 · i2=
− 6.
Tymczasem, zarówno 62 = 36, jak i (−6)2 = 36.
Inaczej: do jednej liczby 36 prowadzą dwie drogi przez podnoszenie do kwadratu, od liczby 6 i od liczby −6, czyli
6 −→ 36 ←− (−6). Zamiast przyjmować, że√
36 = 6, moglibyśmy określić√
36 = −6.
Wyjaśnienie problemu Eulera
Wyjaśnienie problemu Eulera
Przypomnijmy:
6 =
√ 36 =
q
(−4) · (−9) =√
−4 ·√
−9 = (2i ) · (3i ) = 6 · i2= − 6.
Tymczasem, zarówno 62 = 36, jak i (−6)2 = 36.
Inaczej: do jednej liczby 36 prowadzą dwie drogi przez podnoszenie do kwadratu, od liczby 6 i od liczby −6, czyli
6 −→ 36 ←− (−6). Zamiast przyjmować, że√
36 = 6, moglibyśmy określić√
36 = −6.
Wyjaśnienie problemu Eulera
Wyjaśnienie problemu Eulera
Przypomnijmy:
6 =
√ 36 =
q
(−4) · (−9) =√
−4 ·√
−9 = (2i ) · (3i ) = 6 · i2= − 6.
Tymczasem, zarówno 62 = 36,
jak i (−6)2 = 36.
Inaczej: do jednej liczby 36 prowadzą dwie drogi przez podnoszenie do kwadratu, od liczby 6 i od liczby −6, czyli
6 −→ 36 ←− (−6). Zamiast przyjmować, że√
36 = 6, moglibyśmy określić√
36 = −6.
Wyjaśnienie problemu Eulera
Wyjaśnienie problemu Eulera
Przypomnijmy:
6 =
√ 36 =
q
(−4) · (−9) =√
−4 ·√
−9 = (2i ) · (3i ) = 6 · i2= − 6.
Tymczasem, zarówno 62 = 36, jak i (−6)2 = 36.
Inaczej: do jednej liczby 36 prowadzą dwie drogi przez podnoszenie do kwadratu, od liczby 6 i od liczby −6, czyli
6 −→ 36 ←− (−6). Zamiast przyjmować, że√
36 = 6, moglibyśmy określić√
36 = −6.
Wyjaśnienie problemu Eulera
Wyjaśnienie problemu Eulera
Przypomnijmy:
6 =
√ 36 =
q
(−4) · (−9) =√
−4 ·√
−9 = (2i ) · (3i ) = 6 · i2= − 6.
Tymczasem, zarówno 62 = 36, jak i (−6)2 = 36.
Inaczej: do jednej liczby 36 prowadzą dwie drogi przez podnoszenie do kwadratu,
od liczby 6 i od liczby −6, czyli 6 −→ 36 ←− (−6). Zamiast przyjmować, że√
36 = 6, moglibyśmy określić√
36 = −6.
Wyjaśnienie problemu Eulera
Wyjaśnienie problemu Eulera
Przypomnijmy:
6 =
√ 36 =
q
(−4) · (−9) =√
−4 ·√
−9 = (2i ) · (3i ) = 6 · i2= − 6.
Tymczasem, zarówno 62 = 36, jak i (−6)2 = 36.
Inaczej: do jednej liczby 36 prowadzą dwie drogi przez podnoszenie do kwadratu, od liczby 6 i od liczby −6, czyli
6 −→ 36 ←− (−6). Zamiast przyjmować, że√
36 = 6, moglibyśmy określić√
36 = −6.
Wyjaśnienie problemu Eulera
Wyjaśnienie problemu Eulera
Przypomnijmy:
6 =
√ 36 =
q
(−4) · (−9) =√
−4 ·√
−9 = (2i ) · (3i ) = 6 · i2= − 6.
Tymczasem, zarówno 62 = 36, jak i (−6)2 = 36.
Inaczej: do jednej liczby 36 prowadzą dwie drogi przez podnoszenie do kwadratu, od liczby 6 i od liczby −6, czyli
6 −→ 36
←− (−6). Zamiast przyjmować, że√
36 = 6, moglibyśmy określić√
36 = −6.
Wyjaśnienie problemu Eulera
Wyjaśnienie problemu Eulera
Przypomnijmy:
6 =
√ 36 =
q
(−4) · (−9) =√
−4 ·√
−9 = (2i ) · (3i ) = 6 · i2= − 6.
Tymczasem, zarówno 62 = 36, jak i (−6)2 = 36.
Inaczej: do jednej liczby 36 prowadzą dwie drogi przez podnoszenie do kwadratu, od liczby 6 i od liczby −6, czyli
6 −→ 36←− (−6).
Zamiast przyjmować, że√
36 = 6, moglibyśmy określić√
36 = −6.
Wyjaśnienie problemu Eulera
Wyjaśnienie problemu Eulera
Przypomnijmy:
6 =
√ 36 =
q
(−4) · (−9) =√
−4 ·√
−9 = (2i ) · (3i ) = 6 · i2= − 6.
Tymczasem, zarówno 62 = 36, jak i (−6)2 = 36.
Inaczej: do jednej liczby 36 prowadzą dwie drogi przez podnoszenie do kwadratu, od liczby 6 i od liczby −6, czyli
6 −→ 36←− (−6).
Wyjaśnienie problemu Eulera
Niestety, stały wybór niedodatnich pierwiastków kwadratowych prowadzi do sprzeczności nawet bez użycia liczb zespolonych:
−6 =√ 36 =
√ 4 · 9 =
√ 4 ·
√
9 = (−2) · (−3) = 6.
Pozostaje przyjąć, że funkcja pierwiastkowania kwadratowego nie jest określona jednoznacznie, albo inaczej: jest dwuwartościowa dla
argumentów niezerowych, np. √
36 = {6, −6}. Wtedy
{6, −6} =√ 36 =
q
(−4) · (−9) =√
−4 ·√
−9 = {2i , −2i } · {3i , −3i } = {(2i ) · (3i ), (2i ) · (−3i ), (−2i ) · (3i ), (−2i ) · (−3i )} = {−6, 6, 6, −6} = {−6, 6}.
Wyjaśnienie problemu Eulera
Niestety, stały wybór niedodatnich pierwiastków kwadratowych prowadzi do sprzeczności nawet bez użycia liczb zespolonych:
−6 =√ 36 =
√ 4 · 9 =
√ 4 ·
√
9 = (−2) · (−3) = 6.
Pozostaje przyjąć, że funkcja pierwiastkowania kwadratowego nie jest określona jednoznacznie, albo inaczej: jest dwuwartościowa dla
argumentów niezerowych, np. √
36 = {6, −6}. Wtedy
{6, −6} =√ 36 =
q
(−4) · (−9) =√
−4 ·√
−9 = {2i , −2i } · {3i , −3i } = {(2i ) · (3i ), (2i ) · (−3i ), (−2i ) · (3i ), (−2i ) · (−3i )} = {−6, 6, 6, −6} = {−6, 6}.
Wyjaśnienie problemu Eulera
Niestety, stały wybór niedodatnich pierwiastków kwadratowych prowadzi do sprzeczności nawet bez użycia liczb zespolonych:
−6 =√ 36 =
√ 4 · 9 =
√ 4 ·
√
9 = (−2) · (−3) = 6.
Pozostaje przyjąć, że funkcja pierwiastkowania kwadratowego nie jest określona jednoznacznie, albo inaczej: jest dwuwartościowa dla
argumentów niezerowych, np. √
36 = {6, −6}. Wtedy
{6, −6} =√ 36 =
q
(−4) · (−9) =√
−4 ·√
−9 = {2i , −2i } · {3i , −3i } = {(2i ) · (3i ), (2i ) · (−3i ), (−2i ) · (3i ), (−2i ) · (−3i )} = {−6, 6, 6, −6} = {−6, 6}.
Wyjaśnienie problemu Eulera
Niestety, stały wybór niedodatnich pierwiastków kwadratowych prowadzi do sprzeczności nawet bez użycia liczb zespolonych:
−6 =√ 36 =
√ 4 · 9 =
√ 4 ·
√
9 = (−2) · (−3) = 6.
Pozostaje przyjąć, że funkcja pierwiastkowania kwadratowego nie jest określona jednoznacznie, albo inaczej: jest dwuwartościowa dla
argumentów niezerowych, np. √
36 = {6, −6}. Wtedy
{6, −6} =√ 36 =
q
(−4) · (−9) =√
−4 ·√
−9 = {2i , −2i } · {3i , −3i } = {(2i ) · (3i ), (2i ) · (−3i ), (−2i ) · (3i ), (−2i ) · (−3i )} = {−6, 6, 6, −6} = {−6, 6}.
Wyjaśnienie problemu Eulera
Niestety, stały wybór niedodatnich pierwiastków kwadratowych prowadzi do sprzeczności nawet bez użycia liczb zespolonych:
−6 =√ 36 =
√ 4 · 9 =
√ 4 ·
√ 9 =
(−2) · (−3) = 6.
Pozostaje przyjąć, że funkcja pierwiastkowania kwadratowego nie jest określona jednoznacznie, albo inaczej: jest dwuwartościowa dla
argumentów niezerowych, np. √
36 = {6, −6}. Wtedy
{6, −6} =√ 36 =
q
(−4) · (−9) =√
−4 ·√
−9 = {2i , −2i } · {3i , −3i } = {(2i ) · (3i ), (2i ) · (−3i ), (−2i ) · (3i ), (−2i ) · (−3i )} = {−6, 6, 6, −6} = {−6, 6}.
Wyjaśnienie problemu Eulera
Niestety, stały wybór niedodatnich pierwiastków kwadratowych prowadzi do sprzeczności nawet bez użycia liczb zespolonych:
−6 =√ 36 =
√ 4 · 9 =
√ 4 ·
√
9 = (−2) · (−3) =
6.
Pozostaje przyjąć, że funkcja pierwiastkowania kwadratowego nie jest określona jednoznacznie, albo inaczej: jest dwuwartościowa dla
argumentów niezerowych, np. √
36 = {6, −6}. Wtedy
{6, −6} =√ 36 =
q
(−4) · (−9) =√
−4 ·√
−9 = {2i , −2i } · {3i , −3i } = {(2i ) · (3i ), (2i ) · (−3i ), (−2i ) · (3i ), (−2i ) · (−3i )} = {−6, 6, 6, −6} = {−6, 6}.
Wyjaśnienie problemu Eulera
Niestety, stały wybór niedodatnich pierwiastków kwadratowych prowadzi do sprzeczności nawet bez użycia liczb zespolonych:
−6 =√ 36 =
√ 4 · 9 =
√ 4 ·
√
9 = (−2) · (−3) = 6.
Pozostaje przyjąć, że funkcja pierwiastkowania kwadratowego nie jest określona jednoznacznie, albo inaczej: jest dwuwartościowa dla
argumentów niezerowych, np. √
36 = {6, −6}. Wtedy
{6, −6} =√ 36 =
q
(−4) · (−9) =√
−4 ·√
−9 = {2i , −2i } · {3i , −3i } = {(2i ) · (3i ), (2i ) · (−3i ), (−2i ) · (3i ), (−2i ) · (−3i )} = {−6, 6, 6, −6} = {−6, 6}.
Wyjaśnienie problemu Eulera
Niestety, stały wybór niedodatnich pierwiastków kwadratowych prowadzi do sprzeczności nawet bez użycia liczb zespolonych:
−6 =√ 36 =
√ 4 · 9 =
√ 4 ·
√
9 = (−2) · (−3) = 6.
Pozostaje przyjąć, że funkcja pierwiastkowania kwadratowego nie jest określona jednoznacznie,
albo inaczej: jest dwuwartościowa dla argumentów niezerowych, np. √
36 = {6, −6}. Wtedy
{6, −6} =√ 36 =
q
(−4) · (−9) =√
−4 ·√
−9 = {2i , −2i } · {3i , −3i } = {(2i ) · (3i ), (2i ) · (−3i ), (−2i ) · (3i ), (−2i ) · (−3i )} = {−6, 6, 6, −6} = {−6, 6}.
Wyjaśnienie problemu Eulera
Niestety, stały wybór niedodatnich pierwiastków kwadratowych prowadzi do sprzeczności nawet bez użycia liczb zespolonych:
−6 =√ 36 =
√ 4 · 9 =
√ 4 ·
√
9 = (−2) · (−3) = 6.
Pozostaje przyjąć, że funkcja pierwiastkowania kwadratowego nie jest określona jednoznacznie, albo inaczej: jest dwuwartościowa dla
argumentów niezerowych, np. √
36 = {6, −6}.
Wtedy {6, −6} =√
36 = q
(−4) · (−9) =√
−4 ·√
−9 = {2i , −2i } · {3i , −3i } = {(2i ) · (3i ), (2i ) · (−3i ), (−2i ) · (3i ), (−2i ) · (−3i )} = {−6, 6, 6, −6} = {−6, 6}.
Wyjaśnienie problemu Eulera
Niestety, stały wybór niedodatnich pierwiastków kwadratowych prowadzi do sprzeczności nawet bez użycia liczb zespolonych:
−6 =√ 36 =
√ 4 · 9 =
√ 4 ·
√
9 = (−2) · (−3) = 6.
Pozostaje przyjąć, że funkcja pierwiastkowania kwadratowego nie jest określona jednoznacznie, albo inaczej: jest dwuwartościowa dla
argumentów niezerowych, np. √
36 = {6, −6}.
Wtedy {6, −6} =√
36 =
q
(−4) · (−9) =√
−4 ·√
−9 = {2i , −2i } · {3i , −3i } = {(2i ) · (3i ), (2i ) · (−3i ), (−2i ) · (3i ), (−2i ) · (−3i )} = {−6, 6, 6, −6} = {−6, 6}.
Wyjaśnienie problemu Eulera
Niestety, stały wybór niedodatnich pierwiastków kwadratowych prowadzi do sprzeczności nawet bez użycia liczb zespolonych:
−6 =√ 36 =
√ 4 · 9 =
√ 4 ·
√
9 = (−2) · (−3) = 6.
Pozostaje przyjąć, że funkcja pierwiastkowania kwadratowego nie jest określona jednoznacznie, albo inaczej: jest dwuwartościowa dla
argumentów niezerowych, np. √
36 = {6, −6}.
Wtedy {6, −6} =√
36 = q
(−4) · (−9) =
√−4 ·√
−9 = {2i , −2i } · {3i , −3i } = {(2i ) · (3i ), (2i ) · (−3i ), (−2i ) · (3i ), (−2i ) · (−3i )} = {−6, 6, 6, −6} = {−6, 6}.
Wyjaśnienie problemu Eulera
Niestety, stały wybór niedodatnich pierwiastków kwadratowych prowadzi do sprzeczności nawet bez użycia liczb zespolonych:
−6 =√ 36 =
√ 4 · 9 =
√ 4 ·
√
9 = (−2) · (−3) = 6.
Pozostaje przyjąć, że funkcja pierwiastkowania kwadratowego nie jest określona jednoznacznie, albo inaczej: jest dwuwartościowa dla
argumentów niezerowych, np. √
36 = {6, −6}.
Wtedy {6, −6} =√
36 = q
(−4) · (−9) =√
−4 ·√
−9 =
{2i , −2i } · {3i , −3i } = {(2i ) · (3i ), (2i ) · (−3i ), (−2i ) · (3i ), (−2i ) · (−3i )} = {−6, 6, 6, −6} = {−6, 6}.
Wyjaśnienie problemu Eulera
Niestety, stały wybór niedodatnich pierwiastków kwadratowych prowadzi do sprzeczności nawet bez użycia liczb zespolonych:
−6 =√ 36 =
√ 4 · 9 =
√ 4 ·
√
9 = (−2) · (−3) = 6.
Pozostaje przyjąć, że funkcja pierwiastkowania kwadratowego nie jest określona jednoznacznie, albo inaczej: jest dwuwartościowa dla
argumentów niezerowych, np. √
36 = {6, −6}.
Wtedy {6, −6} =√
36 = q
(−4) · (−9) =√
−4 ·√
−9 = {2i , −2i } · {3i , −3i } =
{(2i ) · (3i ), (2i ) · (−3i ), (−2i ) · (3i ), (−2i ) · (−3i )} = {−6, 6, 6, −6} = {−6, 6}.
Wyjaśnienie problemu Eulera
Niestety, stały wybór niedodatnich pierwiastków kwadratowych prowadzi do sprzeczności nawet bez użycia liczb zespolonych:
−6 =√ 36 =
√ 4 · 9 =
√ 4 ·
√
9 = (−2) · (−3) = 6.
Pozostaje przyjąć, że funkcja pierwiastkowania kwadratowego nie jest określona jednoznacznie, albo inaczej: jest dwuwartościowa dla
argumentów niezerowych, np. √
36 = {6, −6}.
Wtedy {6, −6} =√
36 = q
(−4) · (−9) =√
−4 ·√
−9 = {2i , −2i } · {3i , −3i } = {(2i ) · (3i ), (2i ) · (−3i ), (−2i ) · (3i ), (−2i ) · (−3i )} =
{−6, 6, 6, −6} = {−6, 6}.
Wyjaśnienie problemu Eulera
Niestety, stały wybór niedodatnich pierwiastków kwadratowych prowadzi do sprzeczności nawet bez użycia liczb zespolonych:
−6 =√ 36 =
√ 4 · 9 =
√ 4 ·
√
9 = (−2) · (−3) = 6.
Pozostaje przyjąć, że funkcja pierwiastkowania kwadratowego nie jest określona jednoznacznie, albo inaczej: jest dwuwartościowa dla
argumentów niezerowych, np. √
36 = {6, −6}.
Wtedy {6, −6} =√
36 = q
(−4) · (−9) =√
−4 ·√
−9 = {2i , −2i } · {3i , −3i } = {(2i ) · (3i ), (2i ) · (−3i ), (−2i ) · (3i ), (−2i ) · (−3i )} = {−6, 6, 6, −6} =
{−6, 6}.
Wyjaśnienie problemu Eulera
Niestety, stały wybór niedodatnich pierwiastków kwadratowych prowadzi do sprzeczności nawet bez użycia liczb zespolonych:
−6 =√ 36 =
√ 4 · 9 =
√ 4 ·
√
9 = (−2) · (−3) = 6.
Pozostaje przyjąć, że funkcja pierwiastkowania kwadratowego nie jest określona jednoznacznie, albo inaczej: jest dwuwartościowa dla
argumentów niezerowych, np. √
36 = {6, −6}.
Wtedy {6, −6} =√
36 = q
(−4) · (−9) =√
−4 ·√
−9 = {2i , −2i } · {3i , −3i } = {(2i ) · (3i ), (2i ) · (−3i ), (−2i ) · (3i ), (−2i ) · (−3i )} = {−6, 6, 6, −6} =
Literatura
Literatura
Główne źródło:
R. P. Agarwal, K. Perera, S. Pinelas, An Introduction to Complex Analysis, New York 2010.
Tekst, który został wyświetlony w czasie tego referatu, znajduje się na stronie
http://prac.im.pwr.wroc.pl/˜mburn/dfn16.pdf Koniec wykładu!
Literatura
Literatura
Główne źródło:
R. P. Agarwal, K. Perera, S. Pinelas, An Introduction to Complex Analysis, New York 2010.
Tekst, który został wyświetlony w czasie tego referatu, znajduje się na stronie
http://prac.im.pwr.wroc.pl/˜mburn/dfn16.pdf Koniec wykładu!
Literatura
Literatura
Główne źródło:
R. P. Agarwal, K. Perera, S. Pinelas, An Introduction to Complex Analysis, New York 2010.
Tekst, który został wyświetlony w czasie tego referatu, znajduje się na stronie
http://prac.im.pwr.wroc.pl/˜mburn/dfn16.pdf
Koniec wykładu!
Literatura
Literatura
Główne źródło:
R. P. Agarwal, K. Perera, S. Pinelas, An Introduction to Complex Analysis, New York 2010.
Tekst, który został wyświetlony w czasie tego referatu, znajduje się na stronie
http://prac.im.pwr.wroc.pl/˜mburn/dfn16.pdf Koniec wykładu!