Wyniki Bombellego
Zauważmy, że powyższe równanie x3 = 15x + 4, ma jednak pierwiastki rzeczywiste: 4, −2 +√
3, −2 −√
3, czego nie można powiedzieć np. o równaniu x2+ 1 = 0.
Pozostało nadać znaczenie rozwiązaniom x = 3
−121, otrzymanym przez Cardana.
Rafael Bombelli (1526-73) miał „dziką myśl” (ang. „wild thought”), żeby składniki w powyższej sumie przedstawić jako kolejne sumy dwóch wyrażeń, tylko różniących się znakiem przy drugim członie,
q3 Mówi się tu o narodzinach liczb zespolonych.
Wyniki Bombellego
Wyniki Bombellego
Zauważmy, że powyższe równanie x3 = 15x + 4, ma jednak pierwiastki rzeczywiste: 4, −2 +√
3, −2 −√
3, czego nie można powiedzieć np. o równaniu x2+ 1 = 0.
Pozostało nadać znaczenie rozwiązaniom x = 3
−121, otrzymanym przez Cardana.
Rafael Bombelli (1526-73) miał „dziką myśl” (ang. „wild thought”), żeby składniki w powyższej sumie przedstawić jako kolejne sumy dwóch wyrażeń, tylko różniących się znakiem przy drugim członie,
q3 Mówi się tu o narodzinach liczb zespolonych.
Wyniki Bombellego
Wyniki Bombellego
Zauważmy, że powyższe równanie x3 = 15x + 4, ma jednak pierwiastki rzeczywiste: 4, −2 +√
3, −2 −√
3, czego nie można powiedzieć np. o równaniu x2+ 1 = 0.
Pozostało nadać znaczenie rozwiązaniom x = 3
−121, otrzymanym przez Cardana.
Rafael Bombelli (1526-73) miał „dziką myśl” (ang. „wild thought”), żeby składniki w powyższej sumie przedstawić jako kolejne sumy dwóch wyrażeń, tylko różniących się znakiem przy drugim członie,
q3 Mówi się tu o narodzinach liczb zespolonych.
Wyniki Bombellego
Wyniki Bombellego
Zauważmy, że powyższe równanie x3 = 15x + 4, ma jednak pierwiastki rzeczywiste: 4, −2 +√
3, −2 −√
3, czego nie można powiedzieć np. o równaniu x2+ 1 = 0.
Pozostało nadać znaczenie rozwiązaniom x = 3
−121, otrzymanym przez Cardana.
Rafael Bombelli (1526-73) miał „dziką myśl” (ang. „wild thought”), żeby składniki w powyższej sumie przedstawić jako kolejne sumy dwóch wyrażeń, tylko różniących się znakiem przy drugim członie,
q3 Mówi się tu o narodzinach liczb zespolonych.
Wyniki Bombellego
Wyniki Bombellego
Zauważmy, że powyższe równanie x3 = 15x + 4, ma jednak pierwiastki rzeczywiste: 4, −2 +√
3, −2 −√
3, czego nie można powiedzieć np. o równaniu x2+ 1 = 0.
Pozostało nadać znaczenie rozwiązaniom x = 3
−121, otrzymanym przez Cardana.
Rafael Bombelli (1526-73) miał „dziką myśl” (ang. „wild thought”), żeby składniki w powyższej sumie przedstawić jako kolejne sumy dwóch wyrażeń, tylko różniących się znakiem przy drugim członie,
q3 Mówi się tu o narodzinach liczb zespolonych.
Wyniki Bombellego
Wyniki Bombellego
Zauważmy, że powyższe równanie x3 = 15x + 4, ma jednak pierwiastki rzeczywiste: 4, −2 +√
3, −2 −√
3, czego nie można powiedzieć np. o równaniu x2+ 1 = 0.
Pozostało nadać znaczenie rozwiązaniom x = 3
−121, otrzymanym przez Cardana.
Rafael Bombelli (1526-73) miał „dziką myśl” (ang. „wild thought”), żeby składniki w powyższej sumie przedstawić jako kolejne sumy dwóch wyrażeń, tylko różniących się znakiem przy drugim członie,
q3 Mówi się tu o narodzinach liczb zespolonych.
Wyniki Bombellego
Wyniki Bombellego
Zauważmy, że powyższe równanie x3 = 15x + 4, ma jednak pierwiastki rzeczywiste: 4, −2 +√
3, −2 −√
3, czego nie można powiedzieć np. o równaniu x2+ 1 = 0.
Pozostało nadać znaczenie rozwiązaniom x = 3
−121, otrzymanym przez Cardana.
Rafael Bombelli (1526-73) miał „dziką myśl” (ang. „wild thought”), żeby składniki w powyższej sumie przedstawić jako kolejne sumy dwóch wyrażeń, tylko różniących się znakiem przy drugim członie,
q3 Mówi się tu o narodzinach liczb zespolonych.
Wyniki Bombellego
Wyniki Bombellego
Zauważmy, że powyższe równanie x3 = 15x + 4, ma jednak pierwiastki rzeczywiste: 4, −2 +√
3, −2 −√
3, czego nie można powiedzieć np. o równaniu x2+ 1 = 0.
Pozostało nadać znaczenie rozwiązaniom x = 3
−121, otrzymanym przez Cardana.
Rafael Bombelli (1526-73) miał „dziką myśl” (ang. „wild thought”), żeby składniki w powyższej sumie przedstawić jako kolejne sumy dwóch wyrażeń, tylko różniących się znakiem przy drugim członie,
q3
Mówi się tu o narodzinach liczb zespolonych.
Wyniki Bombellego
Wyniki Bombellego
Zauważmy, że powyższe równanie x3 = 15x + 4, ma jednak pierwiastki rzeczywiste: 4, −2 +√
3, −2 −√
3, czego nie można powiedzieć np. o równaniu x2+ 1 = 0.
Pozostało nadać znaczenie rozwiązaniom x = 3
−121, otrzymanym przez Cardana.
Rafael Bombelli (1526-73) miał „dziką myśl” (ang. „wild thought”), żeby składniki w powyższej sumie przedstawić jako kolejne sumy dwóch wyrażeń, tylko różniących się znakiem przy drugim członie,
q3
Wyniki Bombellego
Bombelli rozwinął rachunek liczb zespolonych, który przy współczesnym oznaczeniu i2 = −1, wyglądał nastepująco:
(−i )(−i ) = −1, (±1)i = ±i , (−i )(+i ) = 1, (±1)(−i ) = ∓i , (+i )(−i ) = +1.
Bombelli dodawał i mnożył także inne liczby: 8i + (−5i ) = +3i , 3
q 4 +√
2i · 3 q
3 +√ 8i = 3
q
8 + 11√ 2i .
Wyniki Bombellego
Bombelli rozwinął rachunek liczb zespolonych, który przy współczesnym oznaczeniu i2 = −1, wyglądał nastepująco:
(−i )(−i ) = −1, (±1)i = ±i , (−i )(+i ) = 1, (±1)(−i ) = ∓i , (+i )(−i ) = +1.
Bombelli dodawał i mnożył także inne liczby: 8i + (−5i ) = +3i , 3
q 4 +√
2i · 3 q
3 +√ 8i = 3
q
8 + 11√ 2i .
Wyniki Bombellego
Bombelli rozwinął rachunek liczb zespolonych, który przy współczesnym oznaczeniu i2 = −1, wyglądał nastepująco:
(−i )(−i ) = −1,
(±1)i = ±i , (−i )(+i ) = 1, (±1)(−i ) = ∓i , (+i )(−i ) = +1.
Bombelli dodawał i mnożył także inne liczby: 8i + (−5i ) = +3i , 3
q 4 +√
2i · 3 q
3 +√ 8i = 3
q
8 + 11√ 2i .
Wyniki Bombellego
Bombelli rozwinął rachunek liczb zespolonych, który przy współczesnym oznaczeniu i2 = −1, wyglądał nastepująco:
(−i )(−i ) = −1, (±1)i = ±i ,
(−i )(+i ) = 1, (±1)(−i ) = ∓i , (+i )(−i ) = +1.
Bombelli dodawał i mnożył także inne liczby: 8i + (−5i ) = +3i , 3
q 4 +√
2i · 3 q
3 +√ 8i = 3
q
8 + 11√ 2i .
Wyniki Bombellego
Bombelli rozwinął rachunek liczb zespolonych, który przy współczesnym oznaczeniu i2 = −1, wyglądał nastepująco:
(−i )(−i ) = −1, (±1)i = ±i , (−i )(+i ) = 1,
(±1)(−i ) = ∓i , (+i )(−i ) = +1.
Bombelli dodawał i mnożył także inne liczby: 8i + (−5i ) = +3i , 3
q 4 +√
2i · 3 q
3 +√ 8i = 3
q
8 + 11√ 2i .
Wyniki Bombellego
Bombelli rozwinął rachunek liczb zespolonych, który przy współczesnym oznaczeniu i2 = −1, wyglądał nastepująco:
(−i )(−i ) = −1, (±1)i = ±i , (−i )(+i ) = 1, (±1)(−i ) = ∓i ,
(+i )(−i ) = +1.
Bombelli dodawał i mnożył także inne liczby: 8i + (−5i ) = +3i , 3
q 4 +√
2i · 3 q
3 +√ 8i = 3
q
8 + 11√ 2i .
Wyniki Bombellego
Bombelli rozwinął rachunek liczb zespolonych, który przy współczesnym oznaczeniu i2 = −1, wyglądał nastepująco:
(−i )(−i ) = −1, (±1)i = ±i , (−i )(+i ) = 1, (±1)(−i ) = ∓i , (+i )(−i ) = +1.
Bombelli dodawał i mnożył także inne liczby: 8i + (−5i ) = +3i , 3
q 4 +√
2i · 3 q
3 +√ 8i = 3
q
8 + 11√ 2i .
Wyniki Bombellego
Bombelli rozwinął rachunek liczb zespolonych, który przy współczesnym oznaczeniu i2 = −1, wyglądał nastepująco:
(−i )(−i ) = −1, (±1)i = ±i , (−i )(+i ) = 1, (±1)(−i ) = ∓i , (+i )(−i ) = +1.
Bombelli dodawał i mnożył także inne liczby:
8i + (−5i ) = +3i , 3 q
4 +√ 2i · 3
q 3 +√
8i = 3 q
8 + 11√ 2i .
Wyniki Bombellego
Bombelli rozwinął rachunek liczb zespolonych, który przy współczesnym oznaczeniu i2 = −1, wyglądał nastepująco:
(−i )(−i ) = −1, (±1)i = ±i , (−i )(+i ) = 1, (±1)(−i ) = ∓i , (+i )(−i ) = +1.
Bombelli dodawał i mnożył także inne liczby:
8i + (−5i ) = +3i ,
q3
4 +√ 2i · 3
q 3 +√
8i = 3 q
8 + 11√ 2i .
Wyniki Bombellego
Bombelli rozwinął rachunek liczb zespolonych, który przy współczesnym oznaczeniu i2 = −1, wyglądał nastepująco:
(−i )(−i ) = −1, (±1)i = ±i , (−i )(+i ) = 1, (±1)(−i ) = ∓i , (+i )(−i ) = +1.
Bombelli dodawał i mnożył także inne liczby:
8i + (−5i ) = +3i , 3 q
4 +√ 2i · 3
q 3 +√
8i = 3 q
8 + 11√ 2i .
Opinie
Opinie
Simon Stevin (1548-1620): „ jest wystarczająco dużo prawidłowych zagadnień, nawet nieskończenie wiele, aby ćwiczyć siebie bez marnowania czasu na niepewność”,
John Wallis (1616-1703): „ Te urojone (ang. imaginary) wielkości (...) mają reputację (...) niemożliwych.”
Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716): „Liczby urojone są sympatycznym i cudownym schronieniem Bożego Ducha ”,
Christian Huygens (1629-95): „To nie do uwierzenia kiedykolwiek, by q
1 +√
−3 + q
1 −√
−3 =√
6, jest w tym coś ukrytego i niezrozumiałego”.
Opinie
Opinie
Simon Stevin (1548-1620): „ jest wystarczająco dużo prawidłowych zagadnień, nawet nieskończenie wiele, aby ćwiczyć siebie bez marnowania czasu na niepewność”,
John Wallis (1616-1703): „ Te urojone (ang. imaginary) wielkości (...) mają reputację (...) niemożliwych.”
Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716): „Liczby urojone są sympatycznym i cudownym schronieniem Bożego Ducha ”,
Christian Huygens (1629-95): „To nie do uwierzenia kiedykolwiek, by q
1 +√
−3 + q
1 −√
−3 =√
6, jest w tym coś ukrytego i niezrozumiałego”.
Opinie
Opinie
Simon Stevin (1548-1620): „ jest wystarczająco dużo prawidłowych zagadnień, nawet nieskończenie wiele, aby ćwiczyć siebie bez marnowania czasu na niepewność”,
John Wallis (1616-1703): „ Te urojone (ang. imaginary) wielkości (...) mają reputację (...) niemożliwych.”
Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716): „Liczby urojone są sympatycznym i cudownym schronieniem Bożego Ducha ”,
Christian Huygens (1629-95): „To nie do uwierzenia kiedykolwiek, by q
1 +√
−3 + q
1 −√
−3 =√
6, jest w tym coś ukrytego i niezrozumiałego”.
Opinie
Opinie
Simon Stevin (1548-1620): „ jest wystarczająco dużo prawidłowych zagadnień, nawet nieskończenie wiele, aby ćwiczyć siebie bez marnowania czasu na niepewność”,
John Wallis (1616-1703): „ Te urojone (ang. imaginary) wielkości (...) mają reputację (...) niemożliwych.”
Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716): „Liczby urojone są sympatycznym i cudownym schronieniem Bożego Ducha ”,
Christian Huygens (1629-95): „To nie do uwierzenia kiedykolwiek, by q
1 +√
−3 + q
1 −√
−3 =√
6, jest w tym coś ukrytego i niezrozumiałego”.
Opinie
Opinie
Simon Stevin (1548-1620): „ jest wystarczająco dużo prawidłowych zagadnień, nawet nieskończenie wiele, aby ćwiczyć siebie bez marnowania czasu na niepewność”,
John Wallis (1616-1703): „ Te urojone (ang. imaginary) wielkości (...) mają reputację (...) niemożliwych.”
Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716): „Liczby urojone są sympatycznym i cudownym schronieniem Bożego Ducha ”,
Christian Huygens (1629-95): „To nie do uwierzenia kiedykolwiek, by q
1 +√
−3 + q
1 −√
−3 =√
6, jest w tym coś ukrytego i
Uwagi Eulera
Wątpliwości
Leonhard Euler (1707-83) dziwił się, że wyrażenia takie, jak√
−1,√
−2 nie są ani równe, ani mniejsze ani większe od liczby 0 (czyli są
nieporównywalne z zerem), co z konieczności – według niego – umieszcza je wśród wyobrażeniowych lub niemożliwych.
Był także zmieszany absurdem, który znalazł miejsce w tytule niniejszego referatu:
6 =√ 36 =
q
(−4) · (−9) =√
−4 ·√
−9 = (2i ) · (3i ) = 6 · i2= − 6.
Uwagi Eulera
Wątpliwości
Leonhard Euler (1707-83) dziwił się, że wyrażenia takie, jak√
−1,√
−2 nie są ani równe, ani mniejsze ani większe od liczby 0 (czyli są
nieporównywalne z zerem), co z konieczności – według niego – umieszcza je wśród wyobrażeniowych lub niemożliwych.
Był także zmieszany absurdem, który znalazł miejsce w tytule niniejszego referatu:
6 =√ 36 =
q
(−4) · (−9) =√
−4 ·√
−9 = (2i ) · (3i ) = 6 · i2= − 6.
Uwagi Eulera
Wątpliwości
Leonhard Euler (1707-83) dziwił się, że wyrażenia takie, jak√
−1,√
−2 nie są ani równe, ani mniejsze ani większe od liczby 0 (czyli są
nieporównywalne z zerem), co z konieczności – według niego – umieszcza je wśród wyobrażeniowych lub niemożliwych.
Był także zmieszany absurdem, który znalazł miejsce w tytule niniejszego referatu:
6 =√ 36 =
q
(−4) · (−9) =√
−4 ·√
−9 = (2i ) · (3i ) = 6 · i2= − 6.
Uwagi Eulera
Wątpliwości
Leonhard Euler (1707-83) dziwił się, że wyrażenia takie, jak√
−1,√
−2 nie są ani równe, ani mniejsze ani większe od liczby 0 (czyli są
nieporównywalne z zerem), co z konieczności – według niego – umieszcza je wśród wyobrażeniowych lub niemożliwych.
Był także zmieszany absurdem, który znalazł miejsce w tytule niniejszego referatu:
6 =√ 36 =
q
(−4) · (−9) =√
−4 ·√
−9 = (2i ) · (3i ) = 6 · i2= − 6.
Uwagi Eulera
Wątpliwości
Leonhard Euler (1707-83) dziwił się, że wyrażenia takie, jak√
−1,√
−2 nie są ani równe, ani mniejsze ani większe od liczby 0 (czyli są
nieporównywalne z zerem), co z konieczności – według niego – umieszcza je wśród wyobrażeniowych lub niemożliwych.
Był także zmieszany absurdem, który znalazł miejsce w tytule niniejszego referatu:
6 =√ 36 =
q
(−4) · (−9) =
√−4 ·√
−9 = (2i ) · (3i ) = 6 · i2= − 6.
Uwagi Eulera
Wątpliwości
Leonhard Euler (1707-83) dziwił się, że wyrażenia takie, jak√
−1,√
−2 nie są ani równe, ani mniejsze ani większe od liczby 0 (czyli są
nieporównywalne z zerem), co z konieczności – według niego – umieszcza je wśród wyobrażeniowych lub niemożliwych.
Był także zmieszany absurdem, który znalazł miejsce w tytule niniejszego referatu:
6 =√ 36 =
q
(−4) · (−9) =√
−4 ·√
−9 =
(2i ) · (3i ) = 6 · i2= − 6.
Uwagi Eulera
Wątpliwości
Leonhard Euler (1707-83) dziwił się, że wyrażenia takie, jak√
−1,√
−2 nie są ani równe, ani mniejsze ani większe od liczby 0 (czyli są
nieporównywalne z zerem), co z konieczności – według niego – umieszcza je wśród wyobrażeniowych lub niemożliwych.
Był także zmieszany absurdem, który znalazł miejsce w tytule niniejszego referatu:
6 =√ 36 =
q
(−4) · (−9) =√
−4 ·√
−9 = (2i ) · (3i ) =
6 · i2= − 6.
Uwagi Eulera
Wątpliwości
Leonhard Euler (1707-83) dziwił się, że wyrażenia takie, jak√
−1,√
−2 nie są ani równe, ani mniejsze ani większe od liczby 0 (czyli są
nieporównywalne z zerem), co z konieczności – według niego – umieszcza je wśród wyobrażeniowych lub niemożliwych.
Był także zmieszany absurdem, który znalazł miejsce w tytule niniejszego referatu:
6 =√ 36 =
q
(−4) · (−9) =√
−4 ·√
−9 = (2i ) · (3i ) = 6 · i2=
− 6.
Uwagi Eulera
Wątpliwości
Leonhard Euler (1707-83) dziwił się, że wyrażenia takie, jak√
−1,√
−2 nie są ani równe, ani mniejsze ani większe od liczby 0 (czyli są
nieporównywalne z zerem), co z konieczności – według niego – umieszcza je wśród wyobrażeniowych lub niemożliwych.
Był także zmieszany absurdem, który znalazł miejsce w tytule niniejszego referatu:
6 =√ 36 =
q
(−4) · (−9) =√
−4 ·√
−9 = (2i ) · (3i ) = 6 · i2= − 6.