Czy 6=-6? U podstaw liczb zespolonych

Czy 6=-6?

U podstaw liczb zespolonych

Maciej Burnecki

Wydział Matematyki Politechniki Wrocławskiej

Dolnośląski Festiwal Nauki 2016

Zbiory liczbowe

Zbiory liczbowe

N+= {1, 2, 3, . . . } – zbiór liczb naturalnych dodatnich, N = {0, 1, 2, . . . } – zbiór liczb naturalnych,

Z = {0, 1, −1, 2, −2, . . . } – zbiór liczb całkowitych, Q =

n

m : n ∈ Z ∧ m ∈ N+



– zbiór liczb wymiernych (ułamków), R – zbiór liczb rzeczywistych.

Uwagi

N+⊂ N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R, x² ­ 0 dla x ∈ R.

Zbiory liczbowe

Zbiory liczbowe

N+= {1, 2, 3, . . . } – zbiór liczb naturalnych dodatnich,

N = {0, 1, 2, . . . } – zbiór liczb naturalnych,

Z = {0, 1, −1, 2, −2, . . . } – zbiór liczb całkowitych, Q =

n

m : n ∈ Z ∧ m ∈ N+



– zbiór liczb wymiernych (ułamków), R – zbiór liczb rzeczywistych.

Uwagi

N+⊂ N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R, x² ­ 0 dla x ∈ R.

Zbiory liczbowe

Zbiory liczbowe

N+= {1, 2, 3, . . . } – zbiór liczb naturalnych dodatnich, N = {0, 1, 2, . . . } – zbiór liczb naturalnych,

Z = {0, 1, −1, 2, −2, . . . } – zbiór liczb całkowitych, Q =

n

m : n ∈ Z ∧ m ∈ N+



– zbiór liczb wymiernych (ułamków), R – zbiór liczb rzeczywistych.

Uwagi

N+⊂ N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R, x² ­ 0 dla x ∈ R.

Zbiory liczbowe

Zbiory liczbowe

N+= {1, 2, 3, . . . } – zbiór liczb naturalnych dodatnich, N = {0, 1, 2, . . . } – zbiór liczb naturalnych,

Z = {0, 1, −1, 2, −2, . . . } – zbiór liczb całkowitych,

Q =

n

m : n ∈ Z ∧ m ∈ N+



– zbiór liczb wymiernych (ułamków), R – zbiór liczb rzeczywistych.

Uwagi

N+⊂ N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R, x² ­ 0 dla x ∈ R.

Zbiory liczbowe

Zbiory liczbowe

N+= {1, 2, 3, . . . } – zbiór liczb naturalnych dodatnich, N = {0, 1, 2, . . . } – zbiór liczb naturalnych,

Z = {0, 1, −1, 2, −2, . . . } – zbiór liczb całkowitych, Q =

n

m : n ∈ Z ∧ m ∈ N+



– zbiór liczb wymiernych (ułamków),

R – zbiór liczb rzeczywistych. Uwagi

N+⊂ N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R, x² ­ 0 dla x ∈ R.

Zbiory liczbowe

Zbiory liczbowe

N+= {1, 2, 3, . . . } – zbiór liczb naturalnych dodatnich, N = {0, 1, 2, . . . } – zbiór liczb naturalnych,

Z = {0, 1, −1, 2, −2, . . . } – zbiór liczb całkowitych, Q =

n

m : n ∈ Z ∧ m ∈ N+



– zbiór liczb wymiernych (ułamków), R – zbiór liczb rzeczywistych.

Uwagi

N+⊂ N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R, x² ­ 0 dla x ∈ R.

Zbiory liczbowe

Zbiory liczbowe

N+= {1, 2, 3, . . . } – zbiór liczb naturalnych dodatnich, N = {0, 1, 2, . . . } – zbiór liczb naturalnych,

Z = {0, 1, −1, 2, −2, . . . } – zbiór liczb całkowitych, Q =

n

m : n ∈ Z ∧ m ∈ N+



– zbiór liczb wymiernych (ułamków), R – zbiór liczb rzeczywistych.

Uwagi

N+⊂ N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R, x² ­ 0 dla x ∈ R.

Zbiory liczbowe

Zbiory liczbowe

N+= {1, 2, 3, . . . } – zbiór liczb naturalnych dodatnich, N = {0, 1, 2, . . . } – zbiór liczb naturalnych,

Z = {0, 1, −1, 2, −2, . . . } – zbiór liczb całkowitych, Q =

n

m : n ∈ Z ∧ m ∈ N+



– zbiór liczb wymiernych (ułamków), R – zbiór liczb rzeczywistych.

Uwagi

N+⊂ N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R,

x² ­ 0 dla x ∈ R.

Zbiory liczbowe

Zbiory liczbowe

N+= {1, 2, 3, . . . } – zbiór liczb naturalnych dodatnich, N = {0, 1, 2, . . . } – zbiór liczb naturalnych,

Z = {0, 1, −1, 2, −2, . . . } – zbiór liczb całkowitych, Q =

n

m : n ∈ Z ∧ m ∈ N+



– zbiór liczb wymiernych (ułamków), R – zbiór liczb rzeczywistych.

Uwagi

N+⊂ N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R,

Rys historyczny do Cardana

Rys historyczny do Cardana

Heron z Aleksandrii (ok. 75 r.) przy obliczeniach związanych z piramidami potrzebował wyznaczyć pierwiastek kwadratowy z liczby ujemnej 81 − 144,

Diofantus (Diophantus) - 3 wiek,

matematycy hinduscy Bhaskara Acharya (5 wiek), Machawira Acharya (ok. 850 r.).

Rys historyczny do Cardana

Rys historyczny do Cardana

Heron z Aleksandrii (ok. 75 r.) przy obliczeniach związanych z piramidami potrzebował wyznaczyć pierwiastek kwadratowy z liczby ujemnej 81 − 144,

Diofantus (Diophantus) - 3 wiek,

matematycy hinduscy Bhaskara Acharya (5 wiek), Machawira Acharya (ok. 850 r.).

Rys historyczny do Cardana

Rys historyczny do Cardana

Heron z Aleksandrii (ok. 75 r.) przy obliczeniach związanych z piramidami potrzebował wyznaczyć pierwiastek kwadratowy z liczby ujemnej 81 − 144,

Diofantus (Diophantus) - 3 wiek,

matematycy hinduscy Bhaskara Acharya (5 wiek), Machawira Acharya (ok. 850 r.).

Rys historyczny do Cardana

Rys historyczny do Cardana

Heron z Aleksandrii (ok. 75 r.) przy obliczeniach związanych z piramidami potrzebował wyznaczyć pierwiastek kwadratowy z liczby ujemnej 81 − 144,

Diofantus (Diophantus) - 3 wiek,

matematycy hinduscy Bhaskara Acharya (5 wiek), Machawira Acharya (ok. 850 r.).

Praca Cardana

Praca Cardana

Girolamo Cardano (włoski matematyk, fizyk, filozof i hazardzista – ang. gambler) opublikował w 1545 r. pracę Ars Magna o rozwiązywaniu równań kwadratowych x²+ bx + c = 0 i sześciennych x³+ ax²+ bx + c = 0

– pierwsze większe osiągnięcie w algebrze od 3000 lat, po

babilończykach, którzy pokazali, jak rozwiązywać równania kwadratowe. W pracy znajduje się pierwsze (według obecnej wiedzy) zapisanie pierwiastka z liczby ujemnej.

Praca Cardana

Praca Cardana

Girolamo Cardano (włoski matematyk, fizyk, filozof i hazardzista – ang.

gambler) opublikował w 1545 r. pracę Ars Magna o rozwiązywaniu równań kwadratowych x²+ bx + c = 0 i sześciennych x³+ ax²+ bx + c = 0

– pierwsze większe osiągnięcie w algebrze od 3000 lat, po

babilończykach, którzy pokazali, jak rozwiązywać równania kwadratowe. W pracy znajduje się pierwsze (według obecnej wiedzy) zapisanie pierwiastka z liczby ujemnej.

Praca Cardana

Praca Cardana

Girolamo Cardano (włoski matematyk, fizyk, filozof i hazardzista – ang.

gambler) opublikował w 1545 r. pracę Ars Magna o rozwiązywaniu równań kwadratowych x²+ bx + c = 0 i sześciennych x³+ ax²+ bx + c = 0

– pierwsze większe osiągnięcie w algebrze od 3000 lat, po

babilończykach, którzy pokazali, jak rozwiązywać równania kwadratowe.

W pracy znajduje się pierwsze (według obecnej wiedzy) zapisanie pierwiastka z liczby ujemnej.

Praca Cardana

Praca Cardana

Girolamo Cardano (włoski matematyk, fizyk, filozof i hazardzista – ang.

gambler) opublikował w 1545 r. pracę Ars Magna o rozwiązywaniu równań kwadratowych x²+ bx + c = 0 i sześciennych x³+ ax²+ bx + c = 0

– pierwsze większe osiągnięcie w algebrze od 3000 lat, po

babilończykach, którzy pokazali, jak rozwiązywać równania kwadratowe.

W pracy znajduje się pierwsze (według obecnej wiedzy) zapisanie pierwiastka z liczby ujemnej.

Praca Cardana

Problem

„oczywiście niemożliwy” Podziel 10 na dwie części, których iloczyn wynosi 40.

Obliczenia: x + y = 10, x · y = 40, zatem x (10 − x ) = 40, x²− 10x + 40 = 0,

co daje rozwiązania x₁ = 5 +√

−15, x₂= 5 −√

−15. Cardano formalnie mnożył x1· x₂= 5²−^√

−15^2 = 25 − (−15) = 40, (co jak pisał, powodowało jego psychiczne tortury).

Praca Cardana

Problem

„oczywiście niemożliwy” Podziel 10 na dwie części, których iloczyn wynosi 40.

Obliczenia: x + y = 10, x · y = 40, zatem x (10 − x ) = 40, x²− 10x + 40 = 0,

co daje rozwiązania x₁ = 5 +√

−15, x₂= 5 −√

−15. Cardano formalnie mnożył x1· x₂= 5²−^√

−15^2 = 25 − (−15) = 40, (co jak pisał, powodowało jego psychiczne tortury).

Praca Cardana

Problem

„oczywiście niemożliwy” Podziel 10 na dwie części, których iloczyn wynosi 40.

Obliczenia: x + y = 10, x · y = 40,

zatem x (10 − x ) = 40, x²− 10x + 40 = 0,

co daje rozwiązania x₁ = 5 +√

−15, x₂= 5 −√

−15. Cardano formalnie mnożył x1· x₂= 5²−^√

−15^2 = 25 − (−15) = 40, (co jak pisał, powodowało jego psychiczne tortury).

Praca Cardana

Problem

„oczywiście niemożliwy” Podziel 10 na dwie części, których iloczyn wynosi 40.

Obliczenia: x + y = 10, x · y = 40, zatem x (10 − x ) = 40,

x²− 10x + 40 = 0, co daje rozwiązania x₁ = 5 +√

−15, x₂= 5 −√

−15. Cardano formalnie mnożył x1· x₂= 5²−^√

−15^2 = 25 − (−15) = 40, (co jak pisał, powodowało jego psychiczne tortury).

Praca Cardana

Problem

„oczywiście niemożliwy” Podziel 10 na dwie części, których iloczyn wynosi 40.

Obliczenia: x + y = 10, x · y = 40, zatem x (10 − x ) = 40, x²− 10x + 40 = 0,

co daje rozwiązania x₁ = 5 +√

−15, x₂= 5 −√

−15. Cardano formalnie mnożył x1· x₂= 5²−^√

−15^2 = 25 − (−15) = 40, (co jak pisał, powodowało jego psychiczne tortury).

Praca Cardana

Problem

„oczywiście niemożliwy” Podziel 10 na dwie części, których iloczyn wynosi 40.

Obliczenia: x + y = 10, x · y = 40, zatem x (10 − x ) = 40, x²− 10x + 40 = 0,

co daje rozwiązania x₁ = 5 +√

−15, x₂= 5 −√

−15.

Cardano formalnie mnożył x1· x₂= 5²−^√

−15^2 = 25 − (−15) = 40, (co jak pisał, powodowało jego psychiczne tortury).

Praca Cardana

Problem

„oczywiście niemożliwy” Podziel 10 na dwie części, których iloczyn wynosi 40.

Obliczenia: x + y = 10, x · y = 40, zatem x (10 − x ) = 40, x²− 10x + 40 = 0,

co daje rozwiązania x₁ = 5 +√

−15, x₂= 5 −√

−15.

Cardano formalnie mnożył x1· x₂=

5²−^√

−15^2 = 25 − (−15) = 40, (co jak pisał, powodowało jego psychiczne tortury).

Praca Cardana

Problem

„oczywiście niemożliwy” Podziel 10 na dwie części, których iloczyn wynosi 40.

Obliczenia: x + y = 10, x · y = 40, zatem x (10 − x ) = 40, x²− 10x + 40 = 0,

co daje rozwiązania x₁ = 5 +√

−15, x₂= 5 −√

−15.

Cardano formalnie mnożył x1· x₂= 5²−^√

−15^2 =

25 − (−15) = 40, (co jak pisał, powodowało jego psychiczne tortury).

Praca Cardana

Problem

„oczywiście niemożliwy” Podziel 10 na dwie części, których iloczyn wynosi 40.

Obliczenia: x + y = 10, x · y = 40, zatem x (10 − x ) = 40, x²− 10x + 40 = 0,

co daje rozwiązania x₁ = 5 +√

−15, x₂= 5 −√

−15.

Cardano formalnie mnożył x1· x₂= 5²−^√

−15^2 = 25 − (−15) = 40,

(co jak pisał, powodowało jego psychiczne tortury).

Praca Cardana

Problem

„oczywiście niemożliwy” Podziel 10 na dwie części, których iloczyn wynosi 40.

Obliczenia: x + y = 10, x · y = 40, zatem x (10 − x ) = 40, x²− 10x + 40 = 0,

co daje rozwiązania x₁ = 5 +√

−15, x₂= 5 −√

−15.

Cardano formalnie mnożył x1· x₂= 5²−^√

−15^2 = 25 − (−15) = 40, (co jak pisał, powodowało jego psychiczne tortury).

Praca Cardana

Rozwiązywanie równań trzeciego stopnia

Zauważmy, że dowolne rzeczywiste równanie trzeciego stopnia, y³+ αy²+ βy + γ = 0, przez podstawienie y = x − 1

3α, daje się sprowadzić do równania postaci x³ = ax + b.

Praca Cardana

Rozwiązywanie równań trzeciego stopnia

Zauważmy, że dowolne rzeczywiste równanie trzeciego stopnia, y³+ αy²+ βy + γ = 0,

przez podstawienie y = x −1

3α, daje się sprowadzić do równania postaci x³ = ax + b.

Praca Cardana

Rozwiązywanie równań trzeciego stopnia

Zauważmy, że dowolne rzeczywiste równanie trzeciego stopnia, y³+ αy²+ βy + γ = 0, przez podstawienie y = x − 1

3α, daje się sprowadzić do równania postaci x³ = ax + b.

Praca Cardana

Obliczmy:

y³+ αy²+ βy + γ =

 x − 1

3α

3

+ α

 x −1

3α

2

+ β

 x − 1

3α

 + γ =

 x +



−1 3α

3

+ α

 x +



−1 3α

2

+ β

 x − 1

3α

 + γ =

3

X

k=0

3 k

!

−1 3α

3−k

x^k+ α

" ₂ X

k=0

2 k

!

−1 3α

2−k

x^k

# + β

 x − 1

3

 + γ = x³+ 3 ·



−1 3α



· x²+ 3 ·



−1 3α

2

· x +



−1 3α

3

+ αx²+ β1x + γ1 = x³+ β2x + γ2 = 0 ⇐⇒ x³= ax + b.

Praca Cardana

Obliczmy:

y³+ αy²+ βy + γ =

 x − 1

3α

3

+ α

 x −1

3α

2

+ β

 x − 1

3α

 + γ =

 x +



−1 3α

3

+ α

 x +



−1 3α

2

+ β

 x − 1

3α

 + γ =

3

X

k=0

3 k

!

−1 3α

3−k

x^k+ α

" ₂ X

k=0

2 k

!

−1 3α

2−k

x^k

# + β

 x − 1

3

 + γ = x³+ 3 ·



−1 3α



· x²+ 3 ·



−1 3α

2

· x +



−1 3α

3

+ αx²+ β1x + γ1 = x³+ β2x + γ2 = 0 ⇐⇒ x³= ax + b.

Praca Cardana

Obliczmy:

y³+ αy²+ βy + γ =

 x − 1

3α

3

+ α

 x − 1

3α

2

+ β

 x − 1

3α

 + γ =

 x +



−1 3α

3

+ α

 x +



−1 3α

2

+ β

 x − 1

3α

 + γ =

3

X

k=0

3 k

!

−1 3α

3−k

x^k+ α

" ₂ X

k=0

2 k

!

−1 3α

2−k

x^k

# + β

 x − 1

3

 + γ = x³+ 3 ·



−1 3α



· x²+ 3 ·



−1 3α

2

· x +



−1 3α

3

+ αx²+ β1x + γ1 = x³+ β2x + γ2 = 0 ⇐⇒ x³= ax + b.

Praca Cardana

Obliczmy:

y³+ αy²+ βy + γ =

 x − 1

3α

3

+ α

 x − 1

3α

2

+ β

 x − 1

3α

 + γ =

 x +



−1 3α

3

+ α

 x +



−1 3α

2

+ β

 x − 1

3α

 + γ =

3

X

k=0

3 k

!

−1 3α

3−k

x^k+ α

" ₂ X

k=0

2 k

!

−1 3α

2−k

x^k

# + β

 x − 1

3

 + γ = x³+ 3 ·



−1 3α



· x²+ 3 ·



−1 3α

2

· x +



−1 3α

3

+ αx²+ β1x + γ1 = x³+ β2x + γ2 = 0 ⇐⇒ x³= ax + b.

Praca Cardana

Obliczmy:

y³+ αy²+ βy + γ =

 x − 1

3α

3

+ α

 x − 1

3α

2

+ β

 x − 1

3α

 + γ =

 x +



−1 3α

3

+ α

 x +



−1 3α

2

+ β

 x − 1

3α

 + γ =

3

X

k=0

3 k

!

−1 3α

3−k

x^k+ α

" ₂ X

k=0

2 k

!

−1 3α

2−k

x^k

# + β

 x − 1

3

 + γ =

x³+ 3 ·



−1 3α



· x²+ 3 ·



−1 3α

2

· x +



−1 3α

3

+ αx²+ β1x + γ1 = x³+ β2x + γ2 = 0 ⇐⇒ x³= ax + b.

Praca Cardana

Obliczmy:

y³+ αy²+ βy + γ =

 x − 1

3α

3

+ α

 x − 1

3α

2

+ β

 x − 1

3α

 + γ =

 x +



−1 3α

3

+ α

 x +



−1 3α

2

+ β

 x − 1

3α

 + γ =

3

X

k=0

3 k

!

−1 3α

3−k

x^k+ α

" ₂ X

k=0

2 k

!

−1 3α

2−k

x^k

# + β

 x − 1

3

 + γ = x³+ 3 ·



−1 3α



· x²+ 3 ·



−1 3α

2

· x +



−1 3α

3

+ αx²+ β1x + γ1 =

x³+ β2x + γ2 = 0 ⇐⇒ x³= ax + b.

Praca Cardana

Obliczmy:

y³+ αy²+ βy + γ =

 x − 1

3α

3

+ α

 x − 1

3α

2

+ β

 x − 1

3α

 + γ =

 x +



−1 3α

3

+ α

 x +



−1 3α

2

+ β

 x − 1

3α

 + γ =

3

X

k=0

3 k

!

−1 3α

3−k

x^k+ α

" ₂ X

k=0

2 k

!

−1 3α

2−k

x^k

# + β

 x − 1

3

 + γ = x³+ 3 ·



−1 3α



· x²+ 3 ·



−1 3α

2

· x +



−1 3α

3

+ αx²+ β1x + γ1 = x³+ β2x + γ2

= 0 ⇐⇒ x³= ax + b.

Praca Cardana

Obliczmy:

y³+ αy²+ βy + γ =

 x − 1

3α

3

+ α

 x − 1

3α

2

+ β

 x − 1

3α

 + γ =

 x +



−1 3α

3

+ α

 x +



−1 3α

2

+ β

 x − 1

3α

 + γ =

3

X

k=0

3 k

!

−1 3α

3−k

x^k+ α

" ₂ X

k=0

2 k

!

−1 3α

2−k

x^k

# + β

 x − 1

3

 + γ = x³+ 3 ·



−1 3α



· x²+ 3 ·



−1 3α

2

· x +



−1 3α

3

+ αx²+ β1x + γ1 = x³+ β2x + γ2 = 0 ⇐⇒

x³= ax + b.

Praca Cardana

Obliczmy:

y³+ αy²+ βy + γ =

 x − 1

3α

3

+ α

 x − 1

3α

2

+ β

 x − 1

3α

 + γ =

 x +



−1 3α

3

+ α

 x +



−1 3α

2

+ β

 x − 1

3α

 + γ =

3

X

k=0

3 k

!

−1 3α

3−k

x^k+ α

" ₂ X

k=0

2 k

!

−1 3α

2−k

x^k

# + β

 x − 1

3

 + γ = x³+ 3 ·



−1 3α



· x²+ 3 ·



−1 3α

2

· x +



−1 3α

3

+ αx²+ β1x + γ1 = x³+ β2x + γ2 = 0 ⇐⇒ x³= ax + b.

Praca Cardana

Wzór Cardana

Rozwiązując równanie sześcienne x³ = ax + b, Cardano podał wyprowadzony przez Tartaglię i niezależnie Scipione del Ferro, wzór

x = ³ v u u tb

2 + s

b 2

2

−

a 3

3

+ ³ v u u tb

2 − s

b 2

2

−

a 3

3

.

Dla równania x³ = 15x + 4, wzór powyższy daje x = ³

q 2 +√

−121 + ³ q

2 −√

−121,

a sam Cardano, z powodu pierwiastków kwadratowych z liczby ujemnej, uważał ogólny wzór za nie do zastosowania w tym przypadku.

Praca Cardana

Wzór Cardana

Rozwiązując równanie sześcienne x³ = ax + b,

Cardano podał wyprowadzony przez Tartaglię i niezależnie Scipione del Ferro, wzór

x = ³ v u u tb

2 + s

b 2

2

−

a 3

3

+ ³ v u u tb

2 − s

b 2

2

−

a 3

3

.

Dla równania x³ = 15x + 4, wzór powyższy daje x = ³

q 2 +√

−121 + ³ q

2 −√

−121,

a sam Cardano, z powodu pierwiastków kwadratowych z liczby ujemnej, uważał ogólny wzór za nie do zastosowania w tym przypadku.

Praca Cardana

Wzór Cardana

Rozwiązując równanie sześcienne x³ = ax + b, Cardano podał wyprowadzony przez Tartaglię i niezależnie Scipione del Ferro, wzór

x = ³ v u u tb

2 + s

b 2

2

−

a 3

3

+ ³ v u u tb

2 − s

b 2

2

−

a 3

3

.

Dla równania x³ = 15x + 4, wzór powyższy daje x = ³

q 2 +√

−121 + ³ q

2 −√

−121,

a sam Cardano, z powodu pierwiastków kwadratowych z liczby ujemnej, uważał ogólny wzór za nie do zastosowania w tym przypadku.

Praca Cardana

Wzór Cardana

Rozwiązując równanie sześcienne x³ = ax + b, Cardano podał wyprowadzony przez Tartaglię i niezależnie Scipione del Ferro, wzór

x = ³ v u u tb

2 + s

b 2

2

−

a 3

3

+ ³ v u u tb

2 − s

b 2

2

−

a 3

3

.

Dla równania x³ = 15x + 4,

wzór powyższy daje x = ³ q

2 +√

−121 + ³ q

2 −√

−121,

a sam Cardano, z powodu pierwiastków kwadratowych z liczby ujemnej, uważał ogólny wzór za nie do zastosowania w tym przypadku.

Praca Cardana

Wzór Cardana

Rozwiązując równanie sześcienne x³ = ax + b, Cardano podał wyprowadzony przez Tartaglię i niezależnie Scipione del Ferro, wzór

x = ³ v u u tb

2 + s

b 2

2

−

a 3

3

+ ³ v u u tb

2 − s

b 2

2

−

a 3

3

.

Dla równania x³ = 15x + 4, wzór powyższy daje x = ³

q 2 +√

−121 + ³ q

2 −√

−121,

a sam Cardano, z powodu pierwiastków kwadratowych z liczby ujemnej, uważał ogólny wzór za nie do zastosowania w tym przypadku.

Praca Cardana

Wzór Cardana

Rozwiązując równanie sześcienne x³ = ax + b, Cardano podał wyprowadzony przez Tartaglię i niezależnie Scipione del Ferro, wzór

x = ³ v u u tb

2 + s

b 2

2

−

a 3

3

+ ³ v u u tb

2 − s

b 2

2

−

a 3

3

.

Dla równania x³ = 15x + 4, wzór powyższy daje x = ³

q 2 +√

−121 + ³ q

2 −√

−121,

Wyniki Bombellego

Wyniki Bombellego

Zauważmy, że powyższe równanie x³ = 15x + 4, ma jednak pierwiastki rzeczywiste: 4, −2 +√

3, −2 −√

3, czego nie można powiedzieć np. o równaniu x²+ 1 = 0.

Pozostało nadać znaczenie rozwiązaniom x = ³

q 2 +√

−121 + ³ q

2 −√

−121, otrzymanym przez Cardana.

Rafael Bombelli (1526-73) miał „dziką myśl” (ang. „wild thought”), żeby składniki w powyższej sumie przedstawić jako kolejne sumy dwóch wyrażeń, tylko różniących się znakiem przy drugim członie,

q3

2 +√

−121 = a +√

−b, ³ q

2 −√

−121 = a −√

−b; wydedukował, że a = 2, b = 1 i pokazał w ten sposób, że x = ³

q 2 +√

−121 + ³ q

2 −√

−121 = 2 +√

−1 + 2 −√

−1 = 4. Mówi się tu o narodzinach liczb zespolonych.

Wyniki Bombellego

Wyniki Bombellego

Zauważmy, że powyższe równanie x³ = 15x + 4, ma jednak pierwiastki rzeczywiste: 4, −2 +√

3, −2 −√

3, czego nie można powiedzieć np. o równaniu x²+ 1 = 0.

Pozostało nadać znaczenie rozwiązaniom x = ³

q 2 +√

−121 + ³ q

2 −√

−121, otrzymanym przez Cardana.

Rafael Bombelli (1526-73) miał „dziką myśl” (ang. „wild thought”), żeby składniki w powyższej sumie przedstawić jako kolejne sumy dwóch wyrażeń, tylko różniących się znakiem przy drugim członie,

q3

2 +√

−121 = a +√

−b, ³ q

2 −√

−121 = a −√

−b; wydedukował, że a = 2, b = 1 i pokazał w ten sposób, że x = ³

q 2 +√

−121 + ³ q

2 −√

−121 = 2 +√

−1 + 2 −√

−1 = 4. Mówi się tu o narodzinach liczb zespolonych.

Wyniki Bombellego

Wyniki Bombellego

Zauważmy, że powyższe równanie x³ = 15x + 4, ma jednak pierwiastki rzeczywiste: 4, −2 +√

3, −2 −√

3, czego nie można powiedzieć np. o równaniu x²+ 1 = 0.

Pozostało nadać znaczenie rozwiązaniom x = ³

q 2 +√

−121 + ³ q

2 −√

−121, otrzymanym przez Cardana.

Rafael Bombelli (1526-73) miał „dziką myśl” (ang. „wild thought”), żeby składniki w powyższej sumie przedstawić jako kolejne sumy dwóch wyrażeń, tylko różniących się znakiem przy drugim członie,

q3

2 +√

−121 = a +√

−b, ³ q

2 −√

−121 = a −√

−b; wydedukował, że a = 2, b = 1 i pokazał w ten sposób, że x = ³

q 2 +√

−121 + ³ q

2 −√

−121 = 2 +√

−1 + 2 −√

−1 = 4. Mówi się tu o narodzinach liczb zespolonych.

Wyniki Bombellego

Wyniki Bombellego

Zauważmy, że powyższe równanie x³ = 15x + 4, ma jednak pierwiastki rzeczywiste: 4, −2 +√

3, −2 −√

3, czego nie można powiedzieć np. o równaniu x²+ 1 = 0.

Pozostało nadać znaczenie rozwiązaniom x = ³

q 2 +√

−121 + ³ q

2 −√

−121, otrzymanym przez Cardana.

Rafael Bombelli (1526-73) miał „dziką myśl” (ang. „wild thought”), żeby składniki w powyższej sumie przedstawić jako kolejne sumy dwóch wyrażeń, tylko różniących się znakiem przy drugim członie,

q3

2 +√

−121 = a +√

−b, ³ q

2 −√

−121 = a −√

−b;

wydedukował, że a = 2, b = 1 i pokazał w ten sposób, że x = ³

q 2 +√

−121 + ³ q

2 −√

−121 = 2 +√

−1 + 2 −√

−1 = 4. Mówi się tu o narodzinach liczb zespolonych.

Wyniki Bombellego

Wyniki Bombellego

Zauważmy, że powyższe równanie x³ = 15x + 4, ma jednak pierwiastki rzeczywiste: 4, −2 +√

3, −2 −√

3, czego nie można powiedzieć np. o równaniu x²+ 1 = 0.

Pozostało nadać znaczenie rozwiązaniom x = ³

q 2 +√

−121 + ³ q

2 −√

−121, otrzymanym przez Cardana.

Rafael Bombelli (1526-73) miał „dziką myśl” (ang. „wild thought”), żeby składniki w powyższej sumie przedstawić jako kolejne sumy dwóch wyrażeń, tylko różniących się znakiem przy drugim członie,

q3

2 +√

−121 = a +√

−b, ³ q

2 −√

−121 = a −√

−b;

wydedukował, że a = 2, b = 1

i pokazał w ten sposób, że x = ³

q 2 +√

−121 + ³ q

2 −√

−121 = 2 +√

−1 + 2 −√

−1 = 4. Mówi się tu o narodzinach liczb zespolonych.

Wyniki Bombellego

Wyniki Bombellego

Zauważmy, że powyższe równanie x³ = 15x + 4, ma jednak pierwiastki rzeczywiste: 4, −2 +√

3, −2 −√

3, czego nie można powiedzieć np. o równaniu x²+ 1 = 0.

Pozostało nadać znaczenie rozwiązaniom x = ³

q 2 +√

−121 + ³ q

2 −√

−121, otrzymanym przez Cardana.

Rafael Bombelli (1526-73) miał „dziką myśl” (ang. „wild thought”), żeby składniki w powyższej sumie przedstawić jako kolejne sumy dwóch wyrażeń, tylko różniących się znakiem przy drugim członie,

q3

2 +√

−121 = a +√

−b, ³ q

2 −√

−121 = a −√

−b;

wydedukował, że a = 2, b = 1 i pokazał w ten sposób, że

2 +√

−1 + 2 −√

−1 = 4. Mówi się tu o narodzinach liczb zespolonych.

Wyniki Bombellego

Wyniki Bombellego

Zauważmy, że powyższe równanie x³ = 15x + 4, ma jednak pierwiastki rzeczywiste: 4, −2 +√

3, −2 −√

3, czego nie można powiedzieć np. o równaniu x²+ 1 = 0.

Pozostało nadać znaczenie rozwiązaniom x = ³

q 2 +√

−121 + ³ q

2 −√

−121, otrzymanym przez Cardana.

Rafael Bombelli (1526-73) miał „dziką myśl” (ang. „wild thought”), żeby składniki w powyższej sumie przedstawić jako kolejne sumy dwóch wyrażeń, tylko różniących się znakiem przy drugim członie,

q3

2 +√

−121 = a +√

−b, ³ q

2 −√

−121 = a −√

−b;

wydedukował, że a = 2, b = 1 i pokazał w ten sposób, że

4. Mówi się tu o narodzinach liczb zespolonych.

Wyniki Bombellego

Wyniki Bombellego

Zauważmy, że powyższe równanie x³ = 15x + 4, ma jednak pierwiastki rzeczywiste: 4, −2 +√

3, −2 −√

3, czego nie można powiedzieć np. o równaniu x²+ 1 = 0.

Pozostało nadać znaczenie rozwiązaniom x = ³

q 2 +√

−121 + ³ q

2 −√

−121, otrzymanym przez Cardana.

Rafael Bombelli (1526-73) miał „dziką myśl” (ang. „wild thought”), żeby składniki w powyższej sumie przedstawić jako kolejne sumy dwóch wyrażeń, tylko różniących się znakiem przy drugim członie,

q3

2 +√

−121 = a +√

−b, ³ q

2 −√

−121 = a −√

−b;

wydedukował, że a = 2, b = 1 i pokazał w ten sposób, że

Mówi się tu o narodzinach liczb zespolonych.

Wyniki Bombellego

Wyniki Bombellego

Zauważmy, że powyższe równanie x³ = 15x + 4, ma jednak pierwiastki rzeczywiste: 4, −2 +√

3, −2 −√

3, czego nie można powiedzieć np. o równaniu x²+ 1 = 0.

Pozostało nadać znaczenie rozwiązaniom x = ³

q 2 +√

−121 + ³ q

2 −√

−121, otrzymanym przez Cardana.

Rafael Bombelli (1526-73) miał „dziką myśl” (ang. „wild thought”), żeby składniki w powyższej sumie przedstawić jako kolejne sumy dwóch wyrażeń, tylko różniących się znakiem przy drugim członie,

q3

2 +√

−121 = a +√

−b, ³ q

2 −√

−121 = a −√

−b;

wydedukował, że a = 2, b = 1 i pokazał w ten sposób, że

Wyniki Bombellego

Bombelli rozwinął rachunek liczb zespolonych, który przy współczesnym oznaczeniu i² = −1, wyglądał nastepująco:

(−i )(−i ) = −1, (±1)i = ±i , (−i )(+i ) = 1, (±1)(−i ) = ∓i , (+i )(−i ) = +1.

Bombelli dodawał i mnożył także inne liczby: 8i + (−5i ) = +3i , ³

q 4 +√

2i · ³ q

3 +√ 8i = ³

q

8 + 11√ 2i .

Wyniki Bombellego

Bombelli rozwinął rachunek liczb zespolonych, który przy współczesnym oznaczeniu i² = −1, wyglądał nastepująco:

(−i )(−i ) = −1, (±1)i = ±i , (−i )(+i ) = 1, (±1)(−i ) = ∓i , (+i )(−i ) = +1.

Bombelli dodawał i mnożył także inne liczby: 8i + (−5i ) = +3i , ³

q 4 +√

2i · ³ q

3 +√ 8i = ³

q

8 + 11√ 2i .

Wyniki Bombellego

Bombelli rozwinął rachunek liczb zespolonych, który przy współczesnym oznaczeniu i² = −1, wyglądał nastepująco:

(−i )(−i ) = −1,

(±1)i = ±i , (−i )(+i ) = 1, (±1)(−i ) = ∓i , (+i )(−i ) = +1.

Bombelli dodawał i mnożył także inne liczby: 8i + (−5i ) = +3i , ³

q 4 +√

2i · ³ q

3 +√ 8i = ³

q

8 + 11√ 2i .

Wyniki Bombellego

Bombelli rozwinął rachunek liczb zespolonych, który przy współczesnym oznaczeniu i² = −1, wyglądał nastepująco:

(−i )(−i ) = −1, (±1)i = ±i ,

(−i )(+i ) = 1, (±1)(−i ) = ∓i , (+i )(−i ) = +1.

Bombelli dodawał i mnożył także inne liczby: 8i + (−5i ) = +3i , ³

q 4 +√

2i · ³ q

3 +√ 8i = ³

q

8 + 11√ 2i .

Wyniki Bombellego

Bombelli rozwinął rachunek liczb zespolonych, który przy współczesnym oznaczeniu i² = −1, wyglądał nastepująco:

(−i )(−i ) = −1, (±1)i = ±i , (−i )(+i ) = 1,

(±1)(−i ) = ∓i , (+i )(−i ) = +1.

Bombelli dodawał i mnożył także inne liczby: 8i + (−5i ) = +3i , ³

q 4 +√

2i · ³ q

3 +√ 8i = ³

q

8 + 11√ 2i .

Wyniki Bombellego

Bombelli rozwinął rachunek liczb zespolonych, który przy współczesnym oznaczeniu i² = −1, wyglądał nastepująco:

(−i )(−i ) = −1, (±1)i = ±i , (−i )(+i ) = 1, (±1)(−i ) = ∓i ,

(+i )(−i ) = +1.

Bombelli dodawał i mnożył także inne liczby: 8i + (−5i ) = +3i , ³

q 4 +√

2i · ³ q

3 +√ 8i = ³

q

8 + 11√ 2i .

Wyniki Bombellego

Bombelli rozwinął rachunek liczb zespolonych, który przy współczesnym oznaczeniu i² = −1, wyglądał nastepująco:

(−i )(−i ) = −1, (±1)i = ±i , (−i )(+i ) = 1, (±1)(−i ) = ∓i , (+i )(−i ) = +1.

Bombelli dodawał i mnożył także inne liczby: 8i + (−5i ) = +3i , ³

q 4 +√

2i · ³ q

3 +√ 8i = ³

q

8 + 11√ 2i .

Wyniki Bombellego

Bombelli rozwinął rachunek liczb zespolonych, który przy współczesnym oznaczeniu i² = −1, wyglądał nastepująco:

(−i )(−i ) = −1, (±1)i = ±i , (−i )(+i ) = 1, (±1)(−i ) = ∓i , (+i )(−i ) = +1.

Bombelli dodawał i mnożył także inne liczby:

8i + (−5i ) = +3i , ³ q

4 +√ 2i · ³

q 3 +√

8i = ³ q

8 + 11√ 2i .

Wyniki Bombellego

Bombelli rozwinął rachunek liczb zespolonych, który przy współczesnym oznaczeniu i² = −1, wyglądał nastepująco:

(−i )(−i ) = −1, (±1)i = ±i , (−i )(+i ) = 1, (±1)(−i ) = ∓i , (+i )(−i ) = +1.

Bombelli dodawał i mnożył także inne liczby:

8i + (−5i ) = +3i ,

q3

4 +√ 2i · ³

q 3 +√

8i = ³ q

8 + 11√ 2i .

Wyniki Bombellego

Bombelli rozwinął rachunek liczb zespolonych, który przy współczesnym oznaczeniu i² = −1, wyglądał nastepująco:

(−i )(−i ) = −1, (±1)i = ±i , (−i )(+i ) = 1, (±1)(−i ) = ∓i , (+i )(−i ) = +1.

Bombelli dodawał i mnożył także inne liczby:

8i + (−5i ) = +3i , ³ q

4 +√ 2i · ³

q 3 +√

8i = ³ q

8 + 11√ 2i .

Opinie

Opinie

Simon Stevin (1548-1620): „ jest wystarczająco dużo prawidłowych zagadnień, nawet nieskończenie wiele, aby ćwiczyć siebie bez marnowania czasu na niepewność”,

John Wallis (1616-1703): „ Te urojone (ang. imaginary) wielkości (...) mają reputację (...) niemożliwych.”

Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716): „Liczby urojone są sympatycznym i cudownym schronieniem Bożego Ducha ”,

Christian Huygens (1629-95): „To nie do uwierzenia kiedykolwiek, by q

1 +√

−3 + q

1 −√

−3 =√

6, jest w tym coś ukrytego i niezrozumiałego”.

Opinie

Opinie

Simon Stevin (1548-1620): „ jest wystarczająco dużo prawidłowych zagadnień, nawet nieskończenie wiele, aby ćwiczyć siebie bez marnowania czasu na niepewność”,

John Wallis (1616-1703): „ Te urojone (ang. imaginary) wielkości (...) mają reputację (...) niemożliwych.”

Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716): „Liczby urojone są sympatycznym i cudownym schronieniem Bożego Ducha ”,

Christian Huygens (1629-95): „To nie do uwierzenia kiedykolwiek, by q

1 +√

−3 + q

1 −√

−3 =√

6, jest w tym coś ukrytego i niezrozumiałego”.

Opinie

Opinie

Simon Stevin (1548-1620): „ jest wystarczająco dużo prawidłowych zagadnień, nawet nieskończenie wiele, aby ćwiczyć siebie bez marnowania czasu na niepewność”,

John Wallis (1616-1703): „ Te urojone (ang. imaginary) wielkości (...) mają reputację (...) niemożliwych.”

Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716): „Liczby urojone są sympatycznym i cudownym schronieniem Bożego Ducha ”,

Christian Huygens (1629-95): „To nie do uwierzenia kiedykolwiek, by q

1 +√

−3 + q

1 −√

−3 =√

6, jest w tym coś ukrytego i niezrozumiałego”.

Opinie

Opinie

Simon Stevin (1548-1620): „ jest wystarczająco dużo prawidłowych zagadnień, nawet nieskończenie wiele, aby ćwiczyć siebie bez marnowania czasu na niepewność”,

John Wallis (1616-1703): „ Te urojone (ang. imaginary) wielkości (...) mają reputację (...) niemożliwych.”

Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716): „Liczby urojone są sympatycznym i cudownym schronieniem Bożego Ducha ”,

Christian Huygens (1629-95): „To nie do uwierzenia kiedykolwiek, by q

1 +√

−3 + q

1 −√

−3 =√

6, jest w tym coś ukrytego i niezrozumiałego”.

Opinie

Opinie

Simon Stevin (1548-1620): „ jest wystarczająco dużo prawidłowych zagadnień, nawet nieskończenie wiele, aby ćwiczyć siebie bez marnowania czasu na niepewność”,

John Wallis (1616-1703): „ Te urojone (ang. imaginary) wielkości (...) mają reputację (...) niemożliwych.”

Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716): „Liczby urojone są sympatycznym i cudownym schronieniem Bożego Ducha ”,

Christian Huygens (1629-95): „To nie do uwierzenia kiedykolwiek, by q

1 +√

−3 + q

1 −√

−3 =√

6, jest w tym coś ukrytego i

Uwagi Eulera

Wątpliwości

Leonhard Euler (1707-83) dziwił się, że wyrażenia takie, jak√

−1,√

−2 nie są ani równe, ani mniejsze ani większe od liczby 0 (czyli są

nieporównywalne z zerem), co z konieczności – według niego – umieszcza je wśród wyobrażeniowych lub niemożliwych.

Był także zmieszany absurdem, który znalazł miejsce w tytule niniejszego referatu:

6 =√ 36 =

q

(−4) · (−9) =√

−4 ·√

−9 = (2i ) · (3i ) = 6 · i²= − 6.

Uwagi Eulera

Wątpliwości

Leonhard Euler (1707-83) dziwił się, że wyrażenia takie, jak√

−1,√

−2 nie są ani równe, ani mniejsze ani większe od liczby 0 (czyli są

nieporównywalne z zerem), co z konieczności – według niego – umieszcza je wśród wyobrażeniowych lub niemożliwych.

Był także zmieszany absurdem, który znalazł miejsce w tytule niniejszego referatu:

6 =√ 36 =

q

(−4) · (−9) =√

−4 ·√

−9 = (2i ) · (3i ) = 6 · i²= − 6.

Uwagi Eulera

Wątpliwości

Leonhard Euler (1707-83) dziwił się, że wyrażenia takie, jak√

−1,√

−2 nie są ani równe, ani mniejsze ani większe od liczby 0 (czyli są

nieporównywalne z zerem), co z konieczności – według niego – umieszcza je wśród wyobrażeniowych lub niemożliwych.

Był także zmieszany absurdem, który znalazł miejsce w tytule niniejszego referatu:

6 =√ 36 =

q

(−4) · (−9) =√

−4 ·√

−9 = (2i ) · (3i ) = 6 · i²= − 6.

Uwagi Eulera

Wątpliwości

Leonhard Euler (1707-83) dziwił się, że wyrażenia takie, jak√

−1,√

−2 nie są ani równe, ani mniejsze ani większe od liczby 0 (czyli są

nieporównywalne z zerem), co z konieczności – według niego – umieszcza je wśród wyobrażeniowych lub niemożliwych.

Był także zmieszany absurdem, który znalazł miejsce w tytule niniejszego referatu:

6 =√ 36 =

q

(−4) · (−9) =√

−4 ·√

−9 = (2i ) · (3i ) = 6 · i²= − 6.

Uwagi Eulera

Wątpliwości

Leonhard Euler (1707-83) dziwił się, że wyrażenia takie, jak√

−1,√

−2 nie są ani równe, ani mniejsze ani większe od liczby 0 (czyli są

nieporównywalne z zerem), co z konieczności – według niego – umieszcza je wśród wyobrażeniowych lub niemożliwych.

Był także zmieszany absurdem, który znalazł miejsce w tytule niniejszego referatu:

6 =√ 36 =

q

(−4) · (−9) =

√−4 ·√

−9 = (2i ) · (3i ) = 6 · i²= − 6.