Wymiarowanie pary sprzężonych rezonatorów z uwzględnieniem

Techniki wymiarowania opisane w poprzednich sekcjach dotyczyły odizolowanej nieciągłości lub pary sprzężonych rezonatorów. Niestety, metody te nie oddają w pełni docelowych warunków pracy syntezowanej pary. Głównie związane jest to z dodatkowymi sprzężeniami wchodzącymi (wychodzącymi) z rezonatorów. Na skutek pominięcia tych el-ementów w procesie syntezy odpowiedź wstępnie zaprojektowanego filtru może znacząco odbiegać od założonej. Przyczyną takiego stanu rzeczy są odstrojenia rezonatorów, spowodowane obciążającymi je dodatkowymi sprzężeniami, co w efekcie prowadzi do deformacji charakterystyki dopasowania oraz przenoszenia. W celu pełniejszego opisu macierzowego pary sprzężonych rezonatorów konieczna jest rozbudowa modelu z poprzed-niego podrozdziału. Rysunek 3.23 przedstawia ogólny model filtru zbudowanego w oparciu o sprzężone obwody rezonansowe, a odpowiadająca mu macierz impedancyjna (przy za-łożeniu L1=L2=· · · =L²=1) jest następująca (3.30)

Załóżmy, że celem jest zsyntezowanie pary sprzężonych rezonatorów 1 i 2 w taki sposób, aby uwzględnić fakt, że rezonator nr 2 obciążony jest przez rezonator nr 3, a rezonator nr 1 obciążany jest dodatkowo przez sprzężenie ze źródłem. W pierwszym kroku w macierzy (3.30) należy zastąpić czwarty element diagonalny przez −j (co odpowiada wstawieniu dopasowanego obciążenia w miejsce trzeciego rezonatora), a następnie usunąć wszystkie kolumny i wiersze, począwszy od piątego, kończąc na ostatnim. W rezultacie otrzymuje

R=1

MS1 jX¹ L¹ _M12 jX² L² _M23 jX_N L_{N MNL} R=1

M1N

M2N M13

Rysunek 3.23:Ogólny model pasmowo-przepustowego filtru w dziedzinie prototypu

się następującą podmacierz

Zanim możliwe będzie wykorzystanie tego opisu do syntezy wymiarowej, niezbędne jest skalowanie wybranych sprzężeń. Należy podkreślić, że podukład o identycznej macierzy impedancyjnej powstaje w przypadku zastosowania metody syntezy z poprzedniej części.

Jednakże, aby metoda ta była skuteczna należałoby odizolować parę, tzn. przypisać sprzężeniom m^S1₀ , m²³₀ sztucznie małe wartości, rzędu 0.02, natomiast sprzężenie m¹³₀ zostałoby usunięte. Obecnie w macierzy (3.31) trzeci rezonator został zastąpiony jed-nostkowym obciążeniem (R=1), a sprzężenie m²³₀ zmieniło charakter z wewnętrznego (międzyrezonatorowego) na zewnętrzne (sprzęgające do obciążenia). W celu praw-idłowego uwzględnienia tej transformacji w macierzy sprzężeń, konieczne jest odpowiednie skalowanie. Zanim wyprowadzona zostania generalna zależność, należy przywołać ogólne wyrażenia wiążące wartości z prototypowej macierzy sprzężeń z obwodami rzeczywistymi (rozdział 8 w [63]), gdzie, KS1, KN L, Ki,j oznaczają, odpowiednio, odnormalizowane wartości sprzężeń: ze źródła do pierwszego rezonatora, z n-tego rezonatora do obciążenia, pomiędzy rezona-torami. F BW jest procentowym pasmem pracy, natomiast ω2, ω1, ω0 oznaczają krańcowe częstotliwości pracy oraz częstotliwość środkową. Współczynnik kierunkowy i-tego rezona-tora oznaczony został jako αi. Jak łatwo zauważyć, skalowanie sprzężeń zewnętrznych różni sie w stosunku do sprzężeń wewnętrznych. W związku z powyższym, należy wyz-naczyć nową wartość sprzężenia m²³₀ tak, aby po denormalizacji otrzymać wartość odnor-malizowanego sprzężenia m²³₀ (wewnętrznego). W ogólnym przypadku procedurę tę określa następujący wzór

m^ij₀⁰ = √αiαjF BW

√αiF BW RL

m^ij₀, (3.37)

gdzie RL jest impedancja obciążenia. W rozważanym przypadku równanie (3.37) przyj-muje postać

m²³₀ ⁰ = √α₂α₃F BW

√α₂F BW RL

m²³₀ . (3.38)

Ponieważ macierz Z¹² uwzględnia dodatkowo sprzężenie pomiędzy pierwszym i trzecim rezonatorem, trzeba wykonać analogiczną operację dla tego elementu

m¹³₀ ⁰ = √α1α3F BW

√α1F BW RL

m¹³₀ . (3.39)

Finalna macierz impedancji, opisująca zachowanie dwóch sprzężonych rezonatorów 1 i 2 z uwzględnieniem dodatkowych sprzężeń, ma następującą postać

Z¹²⁰=j

Powyższa procedura dotyczyła rezonatorów ułożonych kaskadowo. W przypadku sprzężeń do rezonatorów nieprzylegających, budowanie podmacierzy opisującej obwód wymaga innego podejścia. Załóżmy, że interesuje nas zwymiarowanie sprzężonych rezona-torów 1 i 3. Podobnie jak poprzednio zaczynamy od usunięcia nadmiarowych wierszy i kolumn z macierzy (3.30). W tym przypadku należy usunąć wszystkie kolumny i wiersze począwszy od szóstego kończąc na ostatnim zastępując równocześnie czwarty rezonator obciążeniem jednostkowym. Otrzymany opis jest następujący

Z¹³=j

jak łatwo zauważyć, otrzymana macierz zawiera trzy elementy rezonujące (rezonatory 1,2,3). W przypadku wykorzystania techniki z poprzedniego podrozdziału drugi wiersz i druga kolumna z macierzy Z¹³zostałyby usunięte, a wartość sprzężeń m^S1₀ , m³⁴₀ ustawiona na 0.02. Jednakże, aby możliwie najlepiej oddać rzeczywiste warunki pracy rezonatorów 1 i 3, konieczne jest uwzględnienie sprzężeń pochodzących od drugiego rezonatora. Ni-estety, przy obecnej formie macierzy Z¹³ bezpośrednie jej wykorzystanie wymagałoby podniesienia rzędu obwodu z pary rezonatorów do tripletu. Aby tego uniknąć, w miejsce drugiego rezonatora należy wstawić jednostkowe obciążenie (węzeł nierezonujący) oraz przeskalować odpowiednie sprzężenia tak, jak poprzednio. W rezultacie prowadzi to do następującej macierzy:

Otrzymana macierz opisuje trójwrotnik, którego odpowiedź, rozumiana jako transmisja z wrót pierwszych do trzecich, uwzględnia obecność rezonatorów sąsiadujących, w tym w szczególności rezonatora nr 2. Synteza wymiarowa polegać będzie na dobraniu wymi-arów geometrycznych rezonatora 1 i 3 oraz nieciągłości pomiędzy rezonatorem 1 i 3,

aby odpowiedź elektromagnetyczna uzyskana w symulatorze pokrywała się z odpowiedzią układu opisanego macierzą impedancyjną (3.42). Najprościej to uzyskać metodą zero-biegunową przedstawianą w podrozdziale 3.1. Metoda zero-biegunowa wymaga ustalenia zer i biegunów odniesienia.

Ostatnim etapem przygotowania wyników referencyjnych do syntezy wymiarowej jest więc ekstrakcja zer i biegunów parametrów rozproszenia prototypowych podobwodów.

Do tego celu należy skorzystać z relacji (3.3) oraz (3.4) przy założeniu jednostkowym impedancji portów zasilających. Znajdując odpowiednie wartości własne powstałych pęków macierzowych, problem syntezy wymiarowej można zdefiniować jako problem op-tymalizacyjny z następującą funkcją celu (analogicznie jak w przypadku syntezy macierzy sprzężeń)

gdzie N oznacza liczbę wspólnych biegunów S11 i S21 oraz liczbą zer S11, natomiast M jest liczbą zer transmisyjnych. R⁰_i, Z_i⁰ oraz P_i⁰ są, odpowiednio, zerami odbiciowymi, trans-misyjnymi oraz biegunami otrzymanymi z interpolacji wymiernej S11 oraz S21 optymali-zowanego układu. Zi, Pi oraz Ri są referencyjnymi zerami biegunami wyekstrachowanymi z prototypowej podmacierzy (3.41). Do interpolacji wymiernej można wykorzystać algo-rytm dopasania wektorów (ang. vector fitting) [27] lub metodę Cauchy’ego [2].