ZASADNICZE WZORY METODY COWELLA

Podstawowy w mechanice niebios problem ruchu ciał' niebieskich opisuje układ równari różniczkowych zwyczajnych drugiego rzędu, nie zawierających pierwszych po­ chodnych:

x . = f . ( t , x i =1

,

2

, . . . ,

n.

Wprowadzając oznaczenia wektorów x = || x, [| o r a z / = [| f. ||, układ ten można zapi-

f. 1 4

sac:

x = / (i, x ) • (1)

Przy danych wartościach początkowych:

* ( ( ) = * , x (t ) = x _{o o ’ o ' o}

i przyjęciu następujących oznaczeń:

t t o + kh A = ±l , ±2, . . . x ^ = x (t J

fk 3 h*f (tk - xk)

^ 'xk = xk + l ~ 2x k + x k-1

formula metody Cowella całkowania numerycznego z krokiem h układu (1) z uwzględnie­ niem różnic rzędu 2r (r > IJ ma postać:

^ 1%k = fk + ^ _{m= 1} ^ + 9 fc’ ^

gdzie s ta łe /?2m ) ■tzWi współczynniki metody Cowella, określa wzór:

2 l m — 1

|3, =--- - i (1 — z) TT {z* — m ' 2 )d z )» = 1 , 2 , . . . 2m (2m) ! ( ( 1 - z ) TT

) m'=0|

Łatwo z niego znaleźć, że:

<3, =

_L

o _______

L

a 31 „ 289 M 12 ' P* _{12 ' 240 •} 240 ’ P* *ru an • P» ~ ~_{60480 ’ - ~ 3628800 ” ’}

R eszta metody Cowella, czyli q^ w formule (2) przy założeniu istnienia pochodnych rzędu 2r+ 2 funkcji f (t, x (t)) = / (t), wyraża się:

106

Z pracowni i obserwatoriów

§ 3. WYPROWADZENIE RÓWNANIA BŁĘDÓW

Niech X mf , , X o , . . . , X f , . . . , X k , . . . oznaczają wyniki numeryczne­

go całkowania układu równaii (1) metodą Cowella i niech:

Fk = h > f ( t k . X k ) .

W oparciu o (2) można wtedy napisać:

f r x k = Fk+ k B 2m\ 2mFk + ę k ,

(4)

mm 1

gdzie f ^ o z n a c z a błąd okrąglenia i iteracji, który, jak dowiódł M j a c z i n [4], w pierw­ szym przybliżeniu jest równy błędowi pk , powstającemu przy obliczaniu Fk , gdy X k przyjmiemy jako wielkość dokładną.

Je ś li sumaryczny błąd całkowania numerycznego metodą Cowella oznaczymy A k — Xk — xk k = 1,2, . . . , wtedy na podstawie twierdzenia Lagrange’a o wartości śred­ niej mamy zależność:

{ (tk , X k) - / (tk , xk) = Q k A k ,

gdzie: 1

Q k = I 1 (t k , x + u A j) du

0

a / (t, x) oznacza macierz Jakobie.go układu równafi (1):

1

(t ,

x )=

|| ’

X).\\

d xj

Korzystając z tej zależności, przy odjęciu stronami od wyrażenia (4) wzoru (2), dostajemy tzw. równanie błędów:

A 1 A ł

' p . - q .

(5)

h 1 ' k k m-1 2m * *

§ 4. ROZWIĄZANIE RÓWNANIA BŁĘDÓW

Aby ułatw ić rozwiązanie równania (5), M j a c z i n wprowadza dwa upraszczające założenia, możliwe do przyjęcia ze względu na m ałą wartość wielkości A^:

A 1 (Qk A fc) = 0

Qk * 1 ( t „ xk)

U w z g lę d n ia jąc je , rów nanie błędów napiszem y:

Z pracowni i obserwatoriow 107

A JA

<6 > lub upraszczając jeszcze bardziej w postaci ogólnej:

i ^ - S M y + rM. (?)

dtJ

gdzie S (t) oznacza macierz rządu n funkcji ciągłych argumentu i w przedziale [a, i>],

y — wektor szukanych funkcji i T (t) — dowolny wektor lub macierz, której rząd jest równy

rządowi macierzy S (t).

Jak wiadomo [2], układ równań jednorodnych:

d2y

--- = S (t) y

dt1

ma w przedziale [a, b] i i liniowo niezależnych rozwiązań — wektorów, z których dla dowolnego t Q B [a, ft] można zestawić dwie macierze n-tego rzędu U (tg , t) i V

(tQ

, t), spełniające zależności: d*U dt1 d*V U0, t) dt1

= s ( t ) u

(t0 , t) , y u „ , « „ ) = / , i / ( * 0 , t 0 ) = o = S (t) K (t , t) , F (t . t ) = 0 . v (t , t ) = /,

gdzie / i 0 oznaczają odpowiednio macierze jednostkową i zerową. Macierze II Uo, t) i y (tQ, t) nazywamy odpowiednio pierwszym i drugim fundamentalnym rozwiązaniem danego równania jednorodnego.

Znajomość rozwiązań fundamentalnych równania jednorodnego umożliwia znalezienie rozwiązań równania niejednorodnego (7) przy zadanych warunkach początkowych y UQ) = = yo i y (tQ) — y Q . Ma ono postać:

t

y (t) = U (tQ , t) ye + V (tQ , t) yo + j V ( t ' t) r ( t ' ) d t ' . (8)

W zastosowaniu do uproszczonego równania błędów (6) wzór (8) daje jego przybliżone rozwiązanie: A

={/ (!„,«*>

A

+ K (tc,

łfc)A

+ I K (t. , **>—1

-* O o y_o h k ~ 1 ( 9 )

-

2 F (t.,tt )_- L = A 4 0

+

At 4

=

1

,

2

, . .

; = 0 A

108

Z pracowni i obserwatoriów

Formuła (9) nosi nazw ą zlinearyzowanej oceny błędu metody Cowella. Dwa pierwsze składniki jej prawej strony przedstawiają błędy danych początkowych:

A _o = A’ - _o x _o i A _o = X — x ,_{o o}

które ogólnie oznaczamy A^ q. Trzeci składnik oznaczony A^ ^ nazywamy błędem okrąglenia i wreszcie ostatni — Aj. q zwany błędem kwadratur pochodzi z odrzucenia we wzorze (2) reszty qk .

§ 5. OSZACOWANIA WIELKOŚCI POSZCZEGÓLNYCH BŁĘDÓW

Używając dla oznaczenia odpowiedniego elementu wektora lub macierzy nawiasów klamrowych, oszacowanie błędu danych początkowych A^ q można przedstawić nastę­ pująco:

11 I, I < i » “ • V 1*1' \>,l * * 11 >■ «„. \»U M 1 •/1

/= 1 /=1

i = 1,2, . . . , n k = 1,2, . . . (10)

Równie prosto z uwagi na formułą (3) ocenić można błąd kwadratur:

M

\ q

i f l < I I 0 2 r ł 2 * 2 r + 2 f

V

< * ' • V / ( 2 r + 2 ) « ' > * 1 , 1 ⁽¹¹⁾

l - ł y 2 y • • • f n k — l f 2 y • • •

Natomiast błędy okrąglenia rozpatrywać będziemy jako niezależne wielkości losowe o następującym rozkładzie prawdopodobieństwa [4]:

U) = 0 przy x < - p

x p

*f (X) = ---- przy — * i p

2

? (x) = 1 przy x > p gdzie p jest zadaną liczb ą, tak ą że:

I I Pk >i I < P

Aby podać wzór dla oszacowania tak zdefiniowanego błędu okrąglenia, skorzystamy z następującego twierdzenia teorii prawdopodobieństwa [3]:

Niech zmienne losowe e * ...l , których funkcja rozkładu prawdopodobieństwa ma c ią g łą pochodnąp (x) m ają określone: n adzieją matematyczna^

+00

Z pracowni i obserwatoriom 109

dyspersję:

D ( £ ) = £ ( ( £ - a ) J ) s b i trzeci centralny moment:

E ( £ - a |J ) = c ,

wówczas rozkład prawdopodobieństwa wielkości:

F _{= m = 1____________ »}

k

gdzie Bk = 2 bm dąży do rozkładu normalnego G (z) przy k -> « , je ś li spełniony jest

771=1 k

2 C7n (II m ~ ^

następujący warunek Ljapunowa: d i / j PTZy B k

Twierdzenie to oznacza, że:

przy czym:

<t>U) = G (z ) - G (-z)

Dla wielkofeci losowej błędu okrąglenia mamy:

£ ( { p ł . ) = 0 D ( { p i ) = — m i m i 3 -|lP* 4-1 71 i p * b ł . ■— - 2 2 i V U , < , ) ! > . . « ---- N k i , h t»=0 /=1 m * A3 ’ gdzie położono: ^ /V = f* 2 1 K (<’ , ł , ) iJ. . d** i = 1,2, . . . , 7i *,» I * i.J l H o

Korzystając ze sformułowanego wyżej twierdzenia możemy teraz napisać: ^ < M A *.p •

ponieważ warunek Ljapunowa jest w rozpatrywanym wypadku zawsze spełniony. Z ostat­ niego wzoru otrzymujemy ocenę błędu okrąglenia:

110 Z pracowni i obserwatoriów

\\\X

. 118

która je st spełniona z prawdopodobieństwem 0.9973 (z - 3)

Tak więc ostatecznie zlinearyzowaną ocenę błędów numerycznego całkowania równaj różniczkowych metodą Cowella przedstawić można w postaci:

I A * f ol + I A A#?| + |Ał>p| = yk k - (13) gdzie wielkości błędów z prawej strony nierówności określają odpowiednio formuły

(

10

), (

11

), (

12

).

§ 6. ZASTOSOWANIE DO ROWNAN MECHANIKI NIEBIOS

Zastosujemy teraz oceną (13) do równań zagadnienia dwóch ciał, które mają oczy­ wiście post ad (1). Przy dostatecznie dużej ilości k wykonanych kroków odpowied­ nie oszacowanie całkowitego błędu dla każdej współrzędnej ma postać [5]:

k l i “ ai P k ' 2 »= 1,2,3, • (14) gdzie ai Są stałymi zależnymi od elementów orbity ciała, którego ruch się rozpatruje, różnymi dla poszczególnych typów ruchu. Dla ruchu eliptycznego:

ai = 3 | (Pi sin E - y/ 1 - e2 Qi cos £)| i = 1, 2, 3,

dla ruchu parabolicznego:

, 27 6 48 , 6 X

i wreszcie dla ruchu hiperbolicznego:

/ \ - p ) ~ Q. x

ai = \P i + Q l + ---+ --- i = 1,2,3.

\ «4 I

W powyższych wzorach P ; i Qi s ą funkcjami elementów orbity, które określają jej położenie w przestrzeni, natomiast e jest mimośrodem orbity i E — anomalią

ekscentryczną.

§ 7. WNIOSKI

Łatwo zauważyć, że wzór (14) stanowi uogólnienie na przypadki ruchu parabolicz­ nego i hiperbolicznego oceny błędu Brouwera, która poprzednio znana była jedynie dla ruchu eliptycznego. Co więcej, w wypadku ruchu eliptycznego, zależność współ­

czynników a. od sin E i cos E świadczy o oscylacyjnym charakterze zmian błędu

Z pracowni i obserwatoriów 111

że zlinearyzowana ocena błędu Mjaczina numerycznego całkowania metodą Cowella może przewyższać? rzeczywisty błąd najwyżej o czynnik 10, co obok prostoty jej sto­ sowania (porównaj wzór (14)) jest ważnym argumentem przemawiającym za jej użytecz­ nością.

Warto także zwrócić uwagę na fakt, że omówiona ocena błędu może stanowić punkt wyjścia łatwego sposobu wyboru odpowiedniego kroku całkowania h [ó]. Oszacowanie [13] można schematycznie zapisać w postaci:

b

,y k = a h m + ---- (15)

g d z ie a i b o zn a c za ją pewne stałe praktycznie niezależne od wielkości kroku h. Za­ równo przy A -»0, jak też i przy dostatecznie dużych wartościach kroku, y^ -»oo. Należy więc znaleźć takie A, przy którym wyrażenie (15) osiąga minimum. Powyższe kryterium wyboru kroku całkowania, w przeciwieństwie do innych, obok uwzględniania jedynie błędu kwadratur (ahm) bierze pod uwagę również wpływ błędu okrąglenia| --- J .

V/j /

Na zakończenie wreszcie należy podkreślić, że podana przez M j a c z i n a formuła (14) oceny całkowitego błędu przy całkowaniu równań ruchu metodą Cowella pozostaje słuszna również dla ruchów zakłóconych działaniem grawitacyjnym innych ciał, pod warunkiem, ze wpływ ten można w równaniach przedstawić dostatecznie małym wy­ razem perturbacyjnym [5]. Zaś przy odpowiedniej zmianie współczynników rozważa­ ne oszacowanie błędu nie zmienia postaci także w ogólnym wypadku ruchu trzech ci ał.

L I T E R A T U R A

[1] D. B r o u w e r , A .J. 66, 1072, 1937.

[2] E. K a m k e , Differentialgleichungen Losungsmethoden und Losungen, L eipzig 1959. [ 3] M. L o e v e , Probability Theory, D. van Nostrand Company Inc., 1960.

[4] W. F. Mj a c z i n , Biull. I.T .A . 7, 4 (87), 1959. [5] W. F. Mj a c z i n , Biull. I.T .A . 8, 8 (101), 1962.

[6] W. F. M j ac z i n , Problemy d w iie n ija iskusstviennych niebiesnych tieł, Moskwa 1963. [7] S. N e w c o m b , A.N., 148, 3548, 1898.

[8] A. S. S o c z i l i n a , B iu ll. I.T .A . 7, 4 (87), 1959. [9] K. Z i o ł k o w s k i , Computatio, 1964 — w druku.

.

■ ' ■ yt> ■

-STRESZCZENIA REFERATÓW WYGŁOSZONYCH NA XI Z JE Z D Z IE POLSKIEGO TOWARZYSTWA ASTRONOMICZNEGO

TORUŃ, WRZESIEŃ 1963*

NEUENTWICKLUNGEN VON ZEISS-ASTRO-GROSSGERATEN A. J E N S C H

Die 2m-Spiegelteleskope fiir die UdSSR und die CSSR, ein l,5m-Projekt und ein lm-Projekt werden hinsichtiich ihrer Konzeption und konstruktiven Gestaltung vor- gestellt. Die neuen !łn-Teleskope zeichnen sich durch eine weitgehende Automati- sierung der Bedienung und durch vielseitiges Zubehor aus.

UBERBLICK U BER BAS GERATEPROGRAMM DER WARENGRUPPE ASTRO BES VEB CARL ZEISS JENA

A. JE N SCH

Ausgehend von den Infoimationen des Kataloges Astro 60 werden Mitteilungen iiber inzwischen fertiggestelite oder in Konstruktion befindliche neue Astrogerate gemacht. Des weiteren werden mógliche N euentwicklungen diskutiert.

ERGEBNlSSE BER OPTIKPRUFUNG VON ASTROGROSSGERATEN

L.

M El E R

Bei den heutigen hohen Anforderungen an die Astro-Optik ist bei der Fertigung eine ausfiihrliche, exakte Priifung unerlasslich. Die im VEB Carl Zeiss Jena gefer- tigten grossen Astro-Spiegel und Linsen-Optiken werden neben anderen nach einer empfindlichen, quantitativen Methode gepriift. Welche Aussagen damit iiber die Abbli- dunsgute der Zeiss-Astro-Optik'ea gemacht werden konnen und in welcher Weise diese den Forderungen der Astronomen gerecht werden, wird an einigen Beisspielen demon- striert.

W dokumencie Postępy Astronomii nr 2/1964 (Stron 41-50)