W4. Metody energetyczne opisu ruchu punktu Plik

Metody energetyczne opisu zjawiska

ruchu punktu.

A) Energia kinetyczna.

a) Energia kinetyczna punktu materialnego.

z y x Rys. 4.1 0 m v x y z x Rys. 4.1

Wielkość określoną w następujący sposób:

E



1

mv

2

2 _(4.1) nazywamy energią kinetyczną układu zwaną inaczej energią ruchu. We wzorze tym wyróżniamy:

m - masa punktu materialnego,

Jeżeli opisujemy ruch punktu w układzie odniesienia xyz, to prędkość wyrazimy następująco:

     

2 2 2

2

_x

_y

_z

v













energia kinetyczna wyrazi się wówczas:

     



2 2 2



2

1

z

y

x

m

E













(4.2)

Energia kinetyczna jest wielkością skalarną, zawsze dodatnią. Jednostką energii kinetycznej jest:



N

m



s

m

kg

E

_















2 2

Zróżniczkujmy równanie (4.2) po czasie:



x

x

y

y

z

z



m

dt

dE































(4.3)

(4.3) równanie określające jak w czasie zmienia się energia kinetyczna punktu materialnego,

jeżeli

E



0

energia kinetyczna rośnie, jeżeli

E



0

energia kinetyczna maleje, jeżeli

E



0

energia kinetyczna jest stała.

B) Praca wykonana przez układ sił.

a) Praca elementarna i całkowita wykonana przez siłę i układ sił. Do punktu materialnego

poruszającego się po zmiennym torze (rys.4.8), przyłożono siłę o linii działania nachylonej pod kątem do osi .

P





Pracę siły wykonaną na elementarnym przesunięciu definiujemy jako iloczyn skalarny wektora siły i elementarnego przesunięcia :

P

P

dr

 





L



P



d

r



P



dr



cos

(4.12)

dr

- tzw. wektor elementarnego przesunięcia.

v

dr

P



tor

t

₀



0

t

S

tor Rys 4.9

Jeżeli położenie punktu materialnego opisane jest w układzie odniesienia xyz to wektor elementarnego przesunięcia wyrazić można:

k

dz

j

dy

i

dx

r

d













wektor siły rozkładamy na składowe równoległe do osi układu odniesienia xyz:

P

P



P i P j P k

_x

    

_{y z}

Wstawiając powyższe zależności do (4.12) otrzymamy:



L



P dx P dy P dz

_x





_y



 

_z (4.13) (4.13) jest to tzw. elementarna praca wykonana przez siłę

_P

.

Jest to wielkość skalarna, może być dodatnia, ujemna lub wynosić zero. Nie zależy w sposób jawny od czasu.

Prędkość jest to pochodna wektora promienia wodzącego względem czasu:

v

dr

dt



wektor elementarnego przesunięcia możemy wyrazić również w postaci:

dr

 

v dt

Prędkość punktu materialnego w układzie odniesienia wyrazimy w postaci:

k

z

j

y

i

x

v



















Wzór (4.12) możemy wyrazić jeszcze w postaci:



P

x

P

y

P

z



dt

dt

v

P

L









_x







_y







_z









(4.14)

Interesuje nas praca całkowita wykonana przez siłę po określonym torze S.

P

v

dr

P



tor

t

₀



0

t

S

tor Rys 4.9

(4.15) jest to praca całkowita wykonana przez siłę

_P

. Pracę całkowitą można również zapisać jako:

























s t z y x

x

P

y

P

z

dt

P

L

L

0









(4.16)

Jednostką pracy w SI jest

1 Nm

 

Uwaga!!!

Jeżeli w układzie występuje układ sił działających na punkt, czyli:

P

P

_i i n







1

to wówczas praca elementarna wykonana przez układ sił jest algebraiczną sumą prac elementarnych wykonanych przez poszczególne siły







n i i

L

L

1





(4.17)

analogicznie praca całkowita wykonana przez układ sił jest sumą algebraiczną prac całkowitych wykonanych przez poszczególne siły.

L

L

_i i n







1 (4.18)

d) Zasada równowartości energii kinetycznej i pracy. P m z y x Rys. 4.18 Rys.4.18

Niech na punkt materialny o masie działa siła (rys. 4.18). Równania ruchu punktu względem przyjętego układu odniesienia będą:

P























z y x

P

z

m

P

y

m

P

x

m













(4.26)

pomnóżmy (4.26) przez prędkości i dodajmy do siebie:



x

x

y

y

z

z



P

x

P

y

P

z

m

































_x







_y







_z





Wyrażenie po lewej stronie znaku równości jest pochodną energii kinetycznej po czasie,

czyli:



P

x

P

y

P

z



dt

dE



_x







_y







_z





gdzie:



P

x

P

y

P

z



dt

L



_x







_y







_z







Ostatecznie możemy zapisać:

dE





L

(4.27)

Z równania (4.27) wynika, że elementarna energia kinetyczna równa jest elementarnej pracy. Jeżeli równanie (4.27) obustronnie scałkujemy to dostaniemy:

dE

L









co po rozwiązaniu całki będzie:

E

_II



E

_I



L

_{I II} (4.28) (4.28) to tzw. zasada równowartości energii kinetycznej i pracy.

Określa ona, że przyrost energii kinetycznej układu jest równy pracy całkowitej wykonanej przez wszystkie siły w czasie, gdy przyrost ten następuje. Zasadę tą można stosować do opisu zjawiska ruchu zawsze!

Jeżeli:

L

_{I II}

 0

to:

E

_II



E

_I

 0

E

_II



E

_I



const

(4.29)

e) Moc układu.

Zmiana pracy siły w odniesieniu do jednostki czasu, nazywa się mocą siły.

N

L

dt





(4.30)

np. w ruchu punktu moc można określić:

  S z S y S x S p

_P

_v

_P

_x

_P

_y

_P

_z

N























(4.31)

Jednostką mocy w układzie SI jest

 

_W

s

m

N

1

1











f) Pole potencjalne sił.

Załóżmy, że istnieje obszar o tej własności, że na punkt materialny umieszczony w dowolnym punkcie obszaru działa siła zależna tylko od położenia tego punktu.

z y x Rys. 4.20 0

x

y

z

P r obszar obszar Rys.4.20

Przestrzeń o takiej własności, że na dowolnie umieszczony w niej punkt materialny działa ściśle określona

siła , zależna tylko od położenia

punktu

P

, nazywamy polem sił.

 

Jako przykład takiego pola można podać przestrzeń dokoła magnesu dla ciał ferromagnetycznych, pole grawitacyjne ziemskie, pole sprężyny itp.

W mechanice interesuje nas przypadek pola grawitacyjnego sił.

Określimy pracę wykonaną przez siłę pola

_P

przy przejściu z A do B.

z

y

x

0 A B x Rys.4.21    





L

_AB

L

P dx

P dy

P dz

P dx P dy P dz

AB x x x y y y z z z x y z AB A B A B A B











 



 



 



 



 

Praca całkowita wykonana przez siłę pola zależy od wielkości przebytej drogi.

Jeżeli okaże się, że praca całkowita nie zależy od przebytej drogi, to takie pole sił nazywamy potencjalnym.

Przez potencjał rozumiemy pewną skalarną funkcję położenia.





V

_A



V x y z

_A

,

_A

,

_A tzw. potencjał w punkcie A,





V

_B



V x y z

_B

,

_B

,

_B tzw. potencjał w punkcie B.

L

_AB



V

_A



V

_B (4.33)

Pracę całkowitą wykonaną przez siłę pola potencjalnego określamy jako

Jeżeli punkty A i B leżą na prostej równoległej do osi x układu odniesienia (rys.4.22), to praca przejścia wynosi:

z

y

x

Rys. 4.22

0





B x y z

_B

, ,





A x y z

_A

, ,

z Rys. 4.22

L

_AB

P dx

_x x x A B







(4.34)

z kolei zgodnie ze wzorem (4.33) mamy:



 



Porównując (4.34) oraz (4.35) dostaniemy:



 



V x y z

_A

V x y z

_B

P dx

_x x x A B

, ,



, ,







Powyższa zależność prowadzi do wyznaczenia sił pola potencjalnego:































z y x

P

z

V

P

y

V

P

x

V













(4.36)

Z równania (4.36) wynika, że pochodna cząstkowa potencjału względem odpowiedniej współrzędnej przedstawia rzut siły pola potencjalnego na odpowiednią oś ze znakiem przeciwnym, tzn.:

P



P i P j P k

_x

    

_{y z}

V

grad

k

z

V

j

y

V

i

x

V

P































(4.37)

W polu potencjalnym mówimy o tzw. powierzchniach stałego potencjału, rys.423. Powierzchnie ekwipotencjalne, to takie powierzchnie na których w każdym punkcie potencjał jest taki sam.

Uwzględniając równania (4.36) otrzymamy

  A B P VA  const  . .r p ekwip V_B  const  . .r p ekwip Rys. 4.23 Rys. 4.23

Siła pola potencjalnego jest zawsze na kierunku normalnej do

powierzchni ekwipotencjalnej, a zwrot siły jest zawsze w stronę powierzchni o niższym potencjale

a) Przykłady pól potencjalnych. - pole potencjalne ziemskie,

z y x Rys. 4.24 0 G h





A x y z_A, _A, _A





B x y_B, _B,0 Rys. 4.24

Przyjmujemy poziom porównawczy (płaszczyzna xy). Siły pola potencjalnego działające na punkt A będą wynosić:



















G

P

P

P

z y x

0

0

Ponieważ równania (4.38) są spełnione to z równań (4.36) szukamy potencjału:

G

P

z

V

z











całkując obustronnie powyższe wyrażenie po :



z







V



G





z

dostaniemy:

V

  

G z C

Zakładamy, że dla z=0 potencjał jest zerem, czyli C=0 i ostatecznie potencjał pola ziemskiego określony będzie jako:

Jeżeli to:

V

   

m g z const

z const





równanie powierzchni ekwipotencjalnej.

Płaszczyzna xy jest tzw. płaszczyzną porównawczą, zakładamy że potencjał na tej płaszczyźnie jest zerowy.

Praca sił pola potencjalnego przy przejściu z punktu A do B będzie wynosić:





- pole sprężyny,

Siła reakcji sprężyny zależy od zmiany jej długości.

Jeżeli założymy liniową zmianę siły reakcji sprężyny to jej wartość będzie:

 

S k x N

 

x S A B x_A y  l  dł. p. sprężyny S x Rys. 4.25 gdzie:

k

N

m











tzw.sprężystości, wyznaczanywspółczynnik na drodze doświadczalnej.

 

x m



zmiana długości sprężyny w porównaniu z długością początkową sprężyny.

Zgodnie z rys. 4.25 siły pola sprężyny wyznaczymy: x S A B x_A y  l  dł. p. sprężyny S x Rys. 4.25

P

_x

    

S

k x

P

_y

 0

P

_z

 0

Potencjał znajdziemy z zależności:





V

x

   

P

x

k x



V

k x x









 

czyli:

_V



1

_{k x}





_C

2

2

Ostatecznie potencjał pola sprężyny określimy jako:

V



1

k x



2

2 _(4.41) Jeżeli

V



1

k x





const

2

2 to

Praca sił pola potencjalnego sprężyny przy przejściu z punktu A do B będzie wynosić:





L

_AB



V

_A



V

_B



1

k x



_A



k x



_B



k x

_A



x

_B

 

k x



_B

 

k



2

1

2

1

2

1

2

1

2

2 2 2 2 2



2

Uwaga!!!

Potencjał tak określony nazywany jest również energią potencjalną lub energią położenia, jednostką potencjału w SI jest jednostka pracy.

Równowaga w polu potencjalnym

Jeżeli będziemy szukali położenia równowagi w polu potencjalnym, to będzie ono tam gdzie:

P

V

x

P

V

y

P

V

z

x y z

 



 



 

































0

0

0

(4.42)

Z równania (4.42) wynika że, położenie równowagi występuje tam gdzie potencjał będzie osiągał wartość ekstremalną, równowaga statyczna będzie tam, gdzie potencjał będzie minimalny. Zależność (4.42) jest kryterium szukania równowagi układu, jest to tzw. twierdzenie Dirichleta.

g) Zasada zachowania energii mechanicznej.

Zjawisko ruchu układu zawsze można opisać stosując zasadę zachowania energii kinetycznej i pracy:

E

_II



E

_I



L

_{I II}

Jeżeli pracę wykonują tylko siły pola potencjalnego:

L

_{I II}



V V

_I



_II

to

E

_II



E

_I



V

_I



V

_II

Wyrażenie to możemy przekształcić:

Wielkość nazywamy energią mechaniczną. Jeżeli zaistnieje sytuacja, że:

E V

 

H

H

_I



H

_II



const

(4.43)

zależność (4.43) nazywamy zasadą zachowania energii mechanicznej.

H

_I



energia mechaniczna pierwszego położenia,

H

_II



energia mechaniczna w położeniu drugim. Uwaga!!!

Potencjał układu jest sumą algebraiczną potencjałów pochodzących od poszczególnych pól potencjalnych.