12.5. rednia arytmetyczna i ednia waona.pdf

(1)

12. 5. ŚREDNIA ARYTMETYCZNA I ŚREDNIA WAśONA

Średnia arytmetyczna

Średnią arytmetyczną liczb x₁,x₂,x₃,...,x_n nazywamy liczbę

n x x x x x= 1+ 2 + 3 +...+ n

Przykład 12.5.1. Oblicz średnią arytmetyczną danych liczb a) 1,1,1,1,3,3,3,4,4,5 b) 2,4,6,8,....26 Rozwiązanie Komentarz a) 6 , 2 10 26 10 5 8 9 4 10 5 4 2 3 3 1 4 10 5 4 4 3 3 3 1 1 1 1 = = + + + = + ⋅ + ⋅ + ⋅ = = + + + + + + + + + = x

Ilość wszystkich liczb :n=10

b)

(

n

)

r a a_n = ₁+ −1 ⋅

(

)

13 2 : / 26 2 2 2 2 26 2 1 2 26 = = − + = ⋅ − + = n n n n

(

)

₁₃ ₁₈₂ 2 24 4 13 2 2 1 13 2 2 13 ⋅ = + = ⋅ ⋅ − + ⋅ = S

Liczby 2,4,6,8,....26 tworzą ciąg arytmetyczny , w którym a₁ =2;r=2. Sumę tych liczb policzymy ze wzoru na sumę częściową ciągu arytmetycznego:

(

n

)

r _n a S_n = + − ⋅ ⋅ 2 1 2 ₁ .

Zanim będziemy liczyć tą sumą , musimy najpierw obliczyć n – liczbę wyrazów ciągu. Będziemy korzystać ze wzoru ogólnego ciągu arytmetycznego:

(

n

)

r a a_n = ₁+ −1 ⋅ 14 13 182 13 26 ... 6 4 2 = = + + + + =

x Obliczamy średnią arytmetyczną liczb: _{2,4,6,8,...26.}

Przykład 12.5.2. Na diagramie przedstawiono zestawienie ocen z klasówki w

grupie drugiej. Oblicz średnią ocen klasy. Wynik podaj z dokładnością do jednego miejsca po przecinku. 0 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 ocena g ru p a I I

(2)

Rozwiązanie Komentarz 8 , 2 21 59 21 5 24 15 12 3 21 5 1 4 6 3 5 2 6 1 3 ≈ = + + + + = = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ = x

Z klasówki zastało wystawionych 21 ocen: trzy ndst, sześć dop, pięć dst, sześć db, jedna bdb.

Przykład 12.5.3. Rozpatrzmy osiem liczb. Średnia arytmetyczna tych ośmiu liczb jest równa16. Średnia arytmetyczna siedmiu pierwszych z powyŜszych liczb wynosi 17.Wyznacz ósmą liczbę.

Rozwiązanie Komentarz 8 / 16 8 8 7 6 5 4 3 2 1+x +x +x +x +x +x +x ₌ _⋅ x 7 / 17 7 7 6 5 4 3 2 1+x +x +x +x +x +x ₌ _⋅ x 128 8 7 6 5 4 3 2 1+x +x +x +x +x +x +x = x 119 7 6 5 4 3 2 1+x +x +x +x +x +x = x 9 119 128 128 119 8 8 8 = − = = + x x x

Odp.: Ósma liczba jest równa 9.

Analiza zadania. Do pierwszego równania za 7 6 5 4 3 2 1 x x x x x x x + + + + + + podstawiamy 119

Przykład 12.5.4. Średnie miesięczne wynagrodzenie w pewnej firmie zatrudniającej 20 pracowników wynosiło 3200 zł. Zatrudniono nowego pracownika. Ile zarabia nowo zatrudniony pracownik , jeśli obecnie średnie miesięczne wynagrodzenie w firmie jest o 2 % wyŜsze niŜ poprzednio ?

Rozwiązanie Komentarz Dane : Szukane : 20 = n x₂₁ =? 3200 = x 3264 64 3200 3200 02 , 0 3200 % 2 = + ⋅ = + = + =x x y Analiza zadania. 64000 ... 20 / 20 ... 3200 20 2 1 20 2 1 = + + + ⋅ + + + = x x x x x x 4544 68544 64000 21 / 21 64000 3264 21 ... 21 21 21 21 20 2 1 = = + ⋅ + = + + + + = x x x x x x x y Obliczamy 21x Za x₁+x₂ +...+x₂₀podstawiamy 64000.

(3)

Przykład 12.5.5. W tabeli przedstawiono wyniki ocen semestralnych trzech klas. Oblicz średnią ocen wszystkich trzech klas razem.

Klasa I a Klasa I b Klasa I c

Liczba uczniów 24 16 20

Średnia ocen w klasie 3,5 3,25 4,3

Rozwiązanie Komentarz 84 ... 24 / 5 , 3 24 ... 24 2 1 24 2 1 = + + + ⋅ = + + + x x x x x

x Obliczamy sumę ocen klasy

I a. 52 ... 16 / 25 , 3 16 ... 16 2 1 16 2 1 = + + + ⋅ = + + + y y y y y

y Obliczamy sumę ocen klasy

I b. 86 ... 20 / 3 , 4 20 ... 20 2 1 20 2 1 = + + + ⋅ = + + + z z z z z

z Obliczamy sumę ocen klasy

I c. 7 , 3 60 222 60 86 52 84 20 16 24 ... ... ... ₂₄ ₁ ₂ ₁₆ ₁ ₂ ₂₀ 2 1 = = + + = = + + + + + + + + + + + + = x x x y y y z z z

x Obliczamy średnią ocen trzech klas razem.

Średnia waŜona

Średnią waŜoną liczb x₁,x₂,x₃,...,x_k z odpowiadającymi im wagami n₁,n₂,n₃,...,n_k ∈R₊nazywamy liczę k k k w n n n n x n x n x n x n x + + + + ⋅ + + ⋅ + ⋅ + ⋅ = ... ... 3 2 1 3 3 2 2 1 1

Przykład 12.5.6 Oblicz średnią waŜoną liczb z danymi wagami.

Liczba 3 5 8 11 waga 0,8 0,1 0,4 0,3 Rozwiązanie Komentarz 875 , 5 6 , 1 4 , 9 6 , 1 3 , 3 2 , 3 5 , 0 4 , 2 3 , 0 4 , 0 1 , 0 8 , 0 11 3 , 0 8 4 , 0 5 1 , 0 3 8 , 0 = = + + + = + + + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ = w

(4)

ĆWICZENIA

Ćwiczenie 12.5.1. (1pkt.) Oblicz średnią arytmetyczną danych : 1, 1, 2, 4, 3, 3, 7.

schemat oceniania Numer odpowiedzi Odpowiedź Liczba punktów 1 Podanie odpowiedzi. 1

Ćwiczenie 12.5.2. (1pkt.) W pewnej firmie 30 % pracowników zarabia średnio miesięcznie 4000 zł. Średnia płaca pozostałych pracowników firmy wynosi 250 zł.

Jaka jest średnia zarobków w tej firmie ?

schemat oceniania Numer odpowiedzi Odpowiedź Liczba punktów 1 Podanie odpowiedzi. 1

Ćwiczenie 12.5.3. (2pkt.) Średnia ocen z testu w klasie dwudziestoosobowej wynosi 3,2. Jak zmieliłaby się średnia, gdyby dwie osoby, które otrzymały oceny

niedostateczne napisały na dopuszczającą?

schemat oceniania Numer

odpowiedzi

Odpowiedź

Liczba punktów 1 Podanie sumy wszystkich ocen z testu. 1

2 Podanie średniej ocen po zmianie ocen z ndst na dop. 1

Ćwiczenie 12.5.4. (1pkt.) Na diagramie przedstawiono zestawienie ocen z klasówki w grupie pierwszej. Oblicz średnią ocen tej grupy.

schemat oceniania Numer odpowiedzi Odpowiedź Liczba punktów 1 Podanie odpowiedzi. 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 ocena g ru p a I

(5)

Ćwiczenie 12.5.5. (1pkt.) Oblicz średnią waŜoną liczb z danymi wagami. Liczba 11 12 13 waga 0,1 0,3 0,6 schemat oceniania Numer odpowiedzi Odpowiedź Liczba punktów 1 Podanie odpowiedzi. 1