De analyse van de zig-zag proef volgens Nomoto

RAPPORT No 109

OCTOBER 1963

LABO RÄTORI'UM VO OR

SCH EEPS BOUWKUÑDE

TECHNISCHE HOGESCHOOL. DELFT

DE ANALYSE VAN DE ZIGZAGPROEF

VOLGENS. NOM:OTO

door

s

DE ANALYSE VAN DE ZIG-ZAGP1OEF VOLGENS NOMOTOS

Door W. Beukelman.

Rapport No.

109.

Laboratorium vocr Scheepebouwkunde.

DE ANALYSE VAN DE ZIG-ZAGPIIOEF VOLGENS NOMOTO.

Door W. Beukelmar&.

INLEIDING.

Op de tiende Tnternational Towing Tank Conference (ITTC)

ge-houden de Londen in september 1963, is door Kensaku Nornoto een voor-ate]. gedaan orn met de normale zig-zagproef van Kampf gegevene te

verkrijgen die de stuureigenaobappen van een 8chip bepalen. De

zig-zagproef (ook we]. genoemd de tandaard manoeuvreerproef van Kampf) wordt als bekend op de volgende wijze dtgevoerd:

i). er wordt een bepaalde roeruitelag (ca. i°) gegoven naar

atuu.r-boord,

ala bet echip eon constante deviatie-verandering beeft bereikt

wordt een roez'uitslag gegeven (ongevoer dezelfde grootte) naar de andere kant,

indien bet achip ook naar bakboord dezelfde

deviatie-verande-ring heeft

bereikt, wordt weer roer gegeven naar atuurboorderm. Met daze proef worden o.a. de volgende

gegevens

verkregen:

De doorzwaaihoek gerneten van de deviatie op bet tijdßtip

waar-op de roeruitsiag begint van atuurboord naar bakboord (of omge-keerd) tot aan de daarop volgendo maximum deviatie. Zia fig. 1. De stuttild, dat is de tijd vanaf bet tijdstip waarop de

roer-uitolag begint van stuurboord naar bakboord. (of omgekeerd) tot

het tijdstip van de daarop volgende maximum deviatie (hoeksnel-heid/deviatie verandering gelijk aan nul).

De tijd nodig orn aen bepaalde van te voran vastgeatelde devia.

tie verandering te bereiken. Da laatat genoemde tijd wordt aan-gehouden ale een maat voor de wendbaarhejd VAfl sen echip.

De doorzwaaihoek wordt in bet algemeen gebruikt als eon mast

vooi' de koereatabiliteit: een grote doorzwaaihoek duidt op sen

kleine koersatabiliteit. Voor de maximale doorzwaaihoek zijn verachillende criteria gegeven (o.a. Gertler).

-2

De gebruikelijke doftnitie vn da doozwaaiboek heeft bet be

zwaar, dat doze hoek be3:nvloed wordt door de sneihaid van de

stuur-machine, waarmee de roez'uitalag veranderd wordt. Op deze wijz

wordt niet zuiver eon karakteristiek van hot achip gegeven: hoe

langzainer do etuurmaohino is, dea te groter is de doorzwaaiboek.

0m dit bezwaar to ondervangen atelt Nomoto voor orn de

doorzwaai-book (overowinging angla)

te metan vanaf de deviatie waarop

bet roer de nulatand passeert tot aan de daarop

volgendo

mazimum

deviatte. Poor ';xttegrA.e ván de vergelijking T + 1 S,. blijkt

dat de doorzwaaihoek

i

bij benaderiüg

evenredig

ía met K T L

Qpgeberkt moot worden dot de dòorzwuaiboek w08 ale enig gegeven

niet 'voldoende ie

In de volgende twee govallen kan de grootte

er-vari gelijk zijn:

i). goede draaicirkeleigenschappen (grote K)

en snelle responsie

op roergeven. (kleine T),

2) eleghte draaioirkeleigenscbappen (kleine K) an langzaine

ree-ponsie op roorgeven

(grete T).

Als tweade gegeven

ate].t Nornoto nu voor bet invooren eon soort

etuttijd

(course changing lag) TLS Ook daze tijd wordt gemeten

vanat bet tijdetipwaarop hetroez' de ntiletand paaseert tot hat

tijdttp van de daaropvolgende maximum deviatie. Doze tijd TL

blijkt nu bîj benadering evenredig te zijn met T. Zie fig. 1.

Gebr uikeli jke

definitie

door-zwaaihoek.

tr.It

i

1

course changing lag.

Door Nomoto

voorgeetel-de doorzwaaihoek.

Op deze wijzo levert de zig..zagproef direct

die de stuureigensohappen van oen aohi _bepalen. gende zal na integratie en verdere uitwerking, de berekend worden met betrekking tot KTS, evenals

betrukking tot T.

Hot gebied

O<t<t4.

De r.oeruitalag je evenredig met t tot het tijdatip t1 en blijît daaz-na oon8tant op de waarcle

6,, due:

s=

-ti

Vitgegan wordt van de vereenvoudigde vorgeljjkjng:

T K Stel

'(t)

at +

b_-(t)

a, due2

K t

_ti 81 1.

TK+b=O

ti

'SI

KT---.

bi

De particu).tere oploseing luidt

dus:

Ta + at + b =

8

-b X t

-

SI

ti De gereduceerde oplosaing: = o, ,.-t/T

en

de algamene oplossing is dan:

t/T si

= C1 e + K t - KT

de waarden K en T,

In

het bierna voi...

doorzwaajhoek (4)

Voor t O is (t) O. Due: 'SI 01

I

en de vergeijjjng wordt due:

Door integratie _{vinden we:}

t) KS1T - t + _{+ A).} Voop t _{= O}

_iB

"(t)

O, en: -T + A O, A T of:

KT&

(t) = (--t/T e

KT6 (

çi

1T(i

-

et'T)

+ t( - 1) _{Voor O<t <t1.} Est gebied

_t1<t<t2.

De _{roeruitsiag is nu} constant _{en de verge1jjing} is due: T + _{K S1,}

met ale algerien.

OPlOe8ing:

K 6 + A1

rooz t _{t1 voigt uit}

list gebied O<t <t1:

-5-KT$i, e-t/T

_x

+ 2.

-

KT-2

I ti t of:

K&T

'4' 1

(,t/T

(t)

_{Voor O<t(t1}

KT&

_{i (0t1/T}

t

-

1'

Wegene

ont&nuteit nloet dit ge].ijk zijn aen de waarde voor

ten tijde t1 in

bet

gebied t1<t(t2. Du

KT61

_(u.tl/

i +

+ A =

t1

.

Bieruit la A1 op te loseen:

KTS1

A1

t1/T

i

et1'T)

_{- IC}

81et1'T

(1.me

+ ICT31 qø

et1'T)

ti

We vinden nu:

-

ei") e_tT

+

of;

Door integratie wordt gavonden:

IC =

t 1/T

+ T

+ e

voor t1( t<t2

+ A)

Voor tt1 inbat gebiea O<t<t1 en in bet gebied t,t<t2:

KT81

(

t

)

KT&

-

etu1/T)+tj(

₁₎₌

t1

1(..jTet1/'T

+

ti/P

t2

+y+A2) a

-

pett/T+

_{- t1}

t2

A2 = -

- t1.

_Te_t1f'T

_{+ T}

+

t

+ A2

Dus:

of

KT1.(Teát/T

+ +

Het gebied t2<t<t3,

De roeruitsiag wordt nu gewijzigd van

naar

82 en de

geli jking voor het roer lu.dt nu:

Ste].

at+ b

due:

Ta + at+ b

3,

a = Kr

K61

(t)

a

ì.TKK-rt+b=IC&1

rt+Krt2

b

K 81 + K

t2 + KT

De algemene opioseng is dan te achrijven alu:

I

4-K -rt +0K

r t2+KTr

K 8,

6

voor t1<t.<1.

-7-.

Stei:

81+82

₈

s

Opnieuw kan gesohreven worden:

T

oft:

-7

B1 io weer op te loosen coor

'41(t) voor t= t2 in hot gebied

t1<t<t2 gelijk te stellen aan

"(t) voor t = t2 in hot gebied

ta t t3S

KT&1

t , t1/T t1 (e- 2 0t2/T y)

-+ Ki

310t'T

KTS

t1/T B1

t1

(0tilTe

et2/'TK8et/TKT.

0t211T

KT&

KT&1

etl/T+K 6,etV'T_K

8 0t2/T

_-KTr

= t' - t KT61 (i tllT) KTÖ' 0t2'T = ti t'

K,t+ Krt + KT.r +

0t2,'T Ku is: KTil (t) 1(1 0t1/T) -8t2/T

_{et/T +K}

i

-K

t + + K

f

_{t2 + KTr}

KTS1 (._t/T tilT t1

xr

at2'T t t2

- etl'T

+y)-

t' et"T

+

-voor t2(t<t3, eli door integratie:

KT

5, _t/T T.1'' t1t KT8'

Tet2lT_

(t* t1Te

p t/T t' 0t1'T + e t2 t2t

+ 2T - -r +

B2 is op te loosen door C.p(t) voor t t2 in hot gebied t1(t<t2 gelijk te stellen r' c(t) voor t = t2 in hot gebied t2(t<t3.

-8-&

-8-KT&1

'4'(t)

_t/

____

t1)

t2 + T)

(

Set gebte& t>t

Vo0r liet roer geldti

6

XngevIlld

de vexgeiiikil

De atgefliene oplooeiflg ja:

-t/T

icr8ij.

_{_t/T(6t}

Te

J

=

_{2 +}

'oor t

t3

.n bet gebie

t2<

<t3t

'(t3)

_et)'T

-

+

(t/T

tt ti

i')

KT8'

fr-e

i t

-o

t

t2

voor t2<<3

tiI!_

+ +

-

tr

-;i1

+

y) B2

Tet1T

tita

_KT&

a'T

t

t2

ti.

a

t2

)

KT61,

2

.2

K'S

t1

_{¿I t}

2'T

t1)---

+ ta + T)

K T T

I

Voor t =

-9

) e3I

+ K

s2

et3',

IIKI

0tl'T)

_{_P.(et21'T_ etY'T)}

_+K

_&1et3'T

_i.

_K62et3..

-ICT&' t'

_ye

t

Hierutt vo1gt

)et31"T K

-1

-t/T

et14'T

_{KTS' etilT}

ety'T

(e

- eT'' t' t/R

4

Integratie levert:

KTS1 T

-t/T

Tet1") IT6'.

0t2/'T

_Te31"T)

(t)

t1

-

e

_'eth'T

- e'

₊

_et'T

82t+ F2.

in bet

gebied

en

bet gied t) t3 geldt:

K TS,

'V(t3)

_{Te_t3u'T(et1tr_i

tlt

t2

i

T

_tif{T(1_

(T_t3/T

+

t

T.th/T

IÇT&'

Tet2'T

Tet3/T

&

t'

t3/T

_et3/

K

2

+ F2,

voo t>t3

lo

-en voor het gebied t> t3:

(t3) =

- K Sa +

s

Ge1iflcete1ling levert F1 Op

KT1

en due je:

KT

tt3

t2

F2=

_t1

T

wasruit voigt:

t

Io

-KT&

_

-

et

_{+ i)}

_Ç.KS(t

.

t3)

Voor t>t.

Berelcentng van de maximale Mi(

bet gebied t

Indien

_'

maximum ta, za geldt

(4)

(t)

O (tiJd tm)

:sI

etW(1

tilT)

KT

4

etmïT{1

_(i

-etn/T

e_tW'T

T

(i

etl/T)

.(e

K

_'

_(et21'T

at3/'T) {.

₌

K62

-

etlM) _(et2u.

0t,/T)11

etY)}

Voór (i

etl'T)

kafl gesohz'even wrden

2 3

et1'T

_{= 1 (1 +}

_+-i-+

_{+ .}

_.

_.

_.

_enz.

o

t

t

De vexthouding

odat de termen

en hogar verwaarloosd

kun-ne worden4 Due: 2T

i +

ei"r

et verechil

(t2/T

t3/'T) wordt ook vereenuoudigd. Stel hat tijd..

stip halverwege t2 en t3 la tp01 dan te dus t3 = t0

+ f t'

en

ta

= tr0 -

-3t',zodatr

t0ft'

tr0+ft'

t

_{- -}

t, etilT t

IT

-

T T t fr/T _{2T 2T} e -e )

e3

e

-e

tp./T _t' = -e O

_2ainh

et2/T - et3?'T

6t,0/!r

t' øtm/T

Ingevuld in e geven deze benaderingen:

82

t _{- t%c} T e = -e

t'

De verhouding <1, kunnen worden. Due:

t - tL.. m o T 01 e 2

tC/T2It,

t' 3 i t' 5 i t' 7

i

31'

31'

t' 3

odat de termen () en hoger verwaarlooad

e

=

fi

i

_8'

T1r X

_-

X -

eto/"T } = -cS1

_{+ ¿ etidT}

of: etm'T

r

-+

6' et9l0'T

sa

Vermenigvuldiging van beide leden met etpic/T g&eft:

t

_o

_I

-Indien

tr0_-C,

dan

etPo'T

---> O. Bet tijdstip t.10 hangt at

van de keuze van

ILet tijdatìp

t2. Deze keuze kan

zodanig zijn dat

t2 en oak t, vele malen grater zijn dan T. In elk geval zal voor de volgende nuistanden van het roer het tijdstip t0 eteeds groter worden t.a.v. T, zodat dan:

t

-t

m

r0

T e t

-t

_s = ln(1

_-)

i +

tm_t=TlnC

Ìndien

Si

₌ wordt: t - t1A = T in 2

tm -t1

=o,693T

t3

+ t2

Het tijdstip

0=

zal niet precies sainenvallen

niet het

tijdetip waarop het roer door de nuletand gaat. Dit io wel het

ge-val ais zodat:

T =t

-t=o,693T

L m

12

-T =t _tpi0=-Tln(1+L)

_L

-6 =

82

Indien mite hot verechil tussen 6 en

62

niet groot

is, toch met radelijke nauwkeurigheid kunnen worden aangehouden:

De fout die gemaakl wordt b].ijkt uit tig. 2

en

de daarop volgende

berekening.

-/ en t

(t,.

- t2)

(t3

t,) 5, = S2(t,.

t2)

t381 - t.0 S

'o

s2

- t2

&

t(&1

₊ = 3

+ t2 8

3

S1 +

2 tjA = 0

51+82

-

t3 + t2

₂

t36

+ t262

61+52

=

2(6I

₊

2(&

_{+ 62)}

2 t282

_{t3&T+t352+t2Sl+t252}

2tS1 -2tS

-t81+t S2+t2S1-t262

21+ 62)

2('si

+ 2

-2(61+62)

(62

Uit de

bovengenoeznde verhouding van de roerhoeken.

2S

biijkt

dat (te.!

- t

)

te verwaariozen is t.o.v. T.

o o Berekening doorzwaaihoek

- 13

- t,.) =

S 0 2

q'

₀₈

_t

Uit het gebied t)t3 voigt:

KTS (

tt

=

T._tm/T(.th/T+)+

+T

-____

i 3,

ni

K T'

(

_{e_tni/T(et3/T0t2/T)+}

_t

_-

_{_i)+t2(+i)J}

t'

32T

-

K 62(tm - t3).

-

14

-Uit bet gebie _{t2< t<t3 voigt:}

KT

1 t1t t1 -P P10 t2

KT6'{Te_tr/T(t./Tt2/

)+t0(---.

1)+t2( +

DUO i8

en: KP&1 q, 'v

-08

tm t1

T(et1T_

_{i )(e'm"'} -KT&'(T &tm"T(et3 t, ' _{2 2}

et2/T1.3

táo - 2P -(t3-Nu 18: t3 = t.i

+ f t

t2 tjsO - It' t3

tipi0 = It'

2 2 .t3 -

ttIo

2T (t3 - t0)( + 1)

kan ala voigt bewerkt worden:

2 2 t3 -

t.I0

2T - (t3-t, )(-.+ i) 2T Xt3 + t,,0 - 2t2 - 2T) 2T

f

t'(tp

+ f

t'+ t. ..2t + t' ;;L(3_,.0 )} ,t2/T) P o/T(etso/T -2T - LIT).

Indien tm en t, - _ c'i dan zal

etm/T

en

et9o'T

zodat de doorzwaajhoek nu wordt;

KT&1 tt

_KT5'

_t'

-

$3t'

_1T)_K4T1fl(1+r)+t'

tKTS1 j-xs

++

KT81_KT824»1+KT62_KtS1nÇ1+g) +

+ KT2

=

KT61(_++)..KPS2[1W._+

+].n(1 +

Voor het geval,

dat 61

.y

_oe

=KT6 1n2

_o

15

-of:

'vos =

o693KTS0

Het blijkt mogelijk orn de zgn. "kwaliteits-..lndicea" K en T te

bepaien uit de zig-zagproef Ook in diniensieloze vorm blijft gelden:

= 0,693K' T'

8o

K'

()K en

()TL= () 0,693 T.

Door de bepaling van K

en T

op deze eenvoudige wijze wordt anti

1er een inziciLt verkregen in de nianoeuvreereigenechappefl van een sohip.

xKT81(*4)-KTS2 4

4. -

S wordt: