SSL 136
KONINKLIJK INSTITUUT VAN INGENIEURS
'Constructiedag' van de Sectie voor Scheepstechniek van het K.I.v.I.
op 8 maart 1968 te Deift
Korte beschouwing over
sterkteberekeningen van loodrecht op hun viak
belaste, orthogonaal verstijfde plaatvelden
door
ir. P.A. VAN KATWIJK
Korte beschouwing over sterkteberekeningen van Ioodrecht
op hun viak beIaste, orthogonaal verstijfde
plaatvelden')
door ir. P. A. van Katwijk, Wetenschappelijk Hoofdmedewerker TH Deift
Summary: Stress-analysis methods for laterally loaded orthogonally stiffened plates.
In an introductory manner some methods of stress analysis concerning laterally loaded, orthogonally stiffened plates are discussed from the
point of view of the naval architect. The first method is a 'classic',
namely, the one based on the orthotropic plate theory, the other two,
a matrix method and a liniteelement one are more modern and the
most promising and practically useful.
As an example df a matrix method a schematic solution based on the displacement method is presented for a small grillage and the
formation of this structure'sstiffness matrix is discussed.
A finite element method is considered generally, a number of standard edge-stress distributions are given for a rectangular thin plate element and the manner of obtaining the stress-values is
pre-sented.
Finally sorne remarks are made about thepresent state of knowledge
concerning the actual forces or loads to which the stiffened plate
structures in ships are subjected.
Inleiding
De sterkteberekeningen die besproken zullen worden, zijn op
één na methoden die afgesternd zijn op-programmering voor en verwerking door elektronischerekenautomaten. Deze methoden
zijn bekend als matrix- en 'finite-element'-methoden, bena-mingen die door elkaar gebruikt worden, waardoor soms
ver-warring gewekt wordt.
Matrix-methoden zijn in feite al die methoden waarbij de berekeningen opgesteld en uitgevoerd wördén met behuip van
de matrix-algebra, hetgeen in deze gevallenneerkomt op rekenen
met hele stelsels van vergelijkingen met onbekende krachten of vervormingen. Het zijn zeer systematische werkwijzen, die
op te bouwen zijn uit eenvoudige elementen en die zich daarom
zo goed lenen voor berekeningen aan complexe constructies en voor verwerking in programma's voor rekenautomaten. Dit
houdt dus méér in dan alleen maar het oplossen van
verge-lijkingen met behuip van matrices.
Evenzo zijn finite-element-methoden allemaal methoden
waarbij de constructie onderverdeeld wordt in eindige elementen,
I) Voordracht gehouden op de Constructiedag van de Sectie voor
Scheepstechniek vanhet K.I.v.E. op 8 maart 1968 te Delft.
WERKTUIG- EN SCHEEPSBOUW 11 / 14 JUNI 1968
Werktuig- en Scheepsbouw
II
die in belaste toestand aan elkaar moeten blijven passen en die
zich gezamenlijk net zo zouden moeten gedragen als de con-structie. Uit de continulteits- en de evenwichtsvoorwaarden volgen de vergelijkingen waaruit onbekende krachten of ver-vormingen kunnen worden opgelost. Bij grote aantallen ele-menten moet systematisch gewerkt worden, er zouden grote stelsels vergelijkingen ontstaan en dit leidt tot het gebruik van
matrix-algebra en de gemakkelijk hanteerbare matrix-notaties.
Een finite-element-methode kan dus ook een matrix-methode
zijn en zo genoemd wrden. (Zieter toelichting fig. I.) De noodzakelijke kennis van de matrix-algebra zal voornamelijk de regels voor optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen
betreffen.
Wat nu de sterkteberekening aangaat, in het algemeen kan
gesteld worden dat zij dient orn een ontworpen constructie
doelmatig en veilig te dimensioneren. Dat houdt in dat de
constructie niet te zwaar mag worden en dat zij onde8 de werk-belasting (in de regel de ontwerpwerk-belasting) niet mag bezwijken
of blijvend vervormen. Daarvoor is het noôdzakelijkdat in-formatie verkregen wordt over de grootte ed de verefiúgiañ.
ZAKKING:, 1=
VERPLAATSING VAN STAAFEINDE
IN VLAN VAN'TEKENING MET BEHULP VAN: VEROEET- ML) - NIETJES' ûi MI2 3EJ 2EJ 0/2 MI HOEKVERORAAIING cv = + I
IN MATRIX VORM; 3EJ
ç"
F is DE FLEXI8ILITEITSMATRIX, EN VAN DE BASISELEMENTEN VAN CElI MATRIX-METHODE
Fig. 1. Voorbeeld van een matrix en een matrix-notatie
W 113 ¡2 2EJ EJ
SSL 136
629.12:539.3 :624.075 INOTATIE 6-F.P1 D1j
I,EJft1
Bij cf f. ptaotbreedteis 1, worden
teer fictieve zoagsneden aangebrocht hatverwege de -prafeten.
Fig. 2.Verstjfd plaatveld enmodellen.
Fig. 3. Verstijfd plaatveld en modellen.
ORTH000NAAL VERSTJFI) PLAATVELD.
ORTHOGONAAL VERSTUFO PLAAT VELO
ROOSTERÑODEL (GRILLAGE).
atte neutrote assen worden n één vtok gebracht
ROOSTERMODEL (GRILLAGE).
atte neutrale assen worden
in één vtck gebracht.
Oòk et genoernd
momenten, krachten en spanningen, die als gevolg van de
belasting zullen ontstaan.
De te volgen berekeningsmethode moet betrouwbaar zijn en zo eenvoudig mogelijk op te stellen, het is verder van belang
dat het toepassingsgebied zo groot rnogelijk is en dat de methode
gemakkelijk geprogramméerd kan worden, terwijl het aantal toe te voeren numerieke gegevens orn praktische redenen tot een minimum beperkt moet blljven. Het is niet mogelijk orn aan al deje verlangens tegelijk te voldoen, zodat er een com-promis zal ontstaan. Een sterkteberekening wordt uitgevoerd
aan een geschematiseerde en geïdealiseerde voorstelling van de constructie en van de belastingen, dus aan een model. De keuze hiervan en van de equivalente belastingen, alsmede de zuiverheid
Waarmee de gerealiseerde constructie vervaardigd is, zijn be-palend voor de betrouwbaarheid van de numerieke uitkomsten
van de berekening.
De navolgende beschouwing is van algemene aard; er wordt aangenomen dat de belastingen bekend zijn; dat de optredende nominale spanningen elastisch zijn en dat de vervormingen
klein blijven, bijv. I ,5% van de ongesteunde balklengte.
Berekeningsmetlioden
De basis van dé sterkteproblematiek inde scheepsbouw wordt ngetwijfeld gevormd door de loodrecht op hun vlak belaste,
orthogonaal verstijfde plaatvelden. Onder verstijvingen worden
hier verstaan: aangelaste, gewaiste of opgebouwde profielen en in de plant geperste vouwen of plooien. De functie van de
verstijvingen ligt al in hun naam besloten: zij beperken de
doorbuigmgen ten gevolge van belastingen loodrecht op of in -het vlak van de plaat. Doordat zij a.h.w. dccl uitmaken van de
plaat en een gedeelte van de belasting opnemen kan de plaatdikte
beperkt blijven zodat er een relatief stijve en lichte constructie ontstaat. Het verstijvingspatroon komt in twee uitvoeringen voor (fig. 2 en 3).
Vele lichte verstijvingen op relatief kleine onderlinge af-standen in de ene richting en loodrecht daarop een beperkt aantal zware, die ver uiteen liggen (schotten, huid, dekken
bijv.).
Vele lichte verstijvingen in twee onderling loodrechte
rich-tingen met, eventueel, daar tussenin op regelmatige afstanden een zwaarder profiel (oorlogsschepen, autodekken bijv.). Het onder a. genoemde patroon zal voornarnelijk het onderwerp van bespreking zijn omdat het algemeen bij koopvaardijschepen voorkomt.
Bij de uitvoering van een sterkteberekening zijn drie stadia te onderscheiden. In het eerste wordt bepaald welk model de
constructie het beste za! benaderen met betrekking tot de reactie op de opgelegde belasting. Vaak moet de belasting zelfaangepast worden aan het model en dan dieneñ belasting en model samen een representatieve weergave te zijn van de belaste constructie.
In het tweede stadium wordt een keuze gemaakt omtrent de
meest geschikte berekeningsmethode, die dan in algemene vorm wordt opgeste!d. Tenslotte volgen de numerieke
be-werkingen die voor het gestelde probleem de yerlangde
groot-heden ôpleveren;.
In de loop der tijden zijn verschillende modellen ontwikkeld
met de erbij behorende berekeningsmethoden, die over het
algerneen goed voldoen, a! hebben ze hun voor- en njdelen. Eén nadeel hebben deze methoden gemeen çn dat is, dat an de emden van de constructie, dus aan de randen, de berekende
waarden meestal cnn grote fout vertonen ten opzichte van
experi-menteel bepaalde waarden. Dè moeilijkheid bij elke
sterkte-WERKTUIG- EN SCHEEPSBOUW 11 / 14 JUNI 1968
berekening is dan ook het defmiëren van de juiste randvoor-waarden, doordat het maar zelden voorkomt dat er sprake is
van werkelijke oplegging of inklemming.
Het herleiden van een verstijfd plaatveld tot een model voor een sterkteberekening brengt problemen met zich mee, doordat
de constructie feite!ijk noch plaat, noch profiel is. Het
reken-model van ee,z enkeleplaas wordt verkregen door een halverwege
de plaatdikte liggend, zuiver plat vlak te beschouwen, dat alle
elastische eigenschappen van de plaat heeft. Aldus is cnn mathe-matisch model verkregen waarvan de doorbuigingen, buigende
momenten en krachten kunnen worden berekend mits
vol-doende nevengegevens beschikbaar zijn in de vorm van rand-voorwaarden.
Van een enkele profielligger ontstaat het model op analoge
wijze en bestaat uit cnn lijn door de zwaartepunten van de
dwarsdoorsneden, dat is dus de neutrale lijn.
In het geval van een verstijfd plaatveld moeten deze twee
basismodellen op de één of'andere wijze gecombineerd Worden tot één nieuw mathematisch iuiodel. Het is bijna vanzelfsprèkend dat van het begin af ann twee oplossingen voòr het
combinatie-model ontstonden, namelijk één waarbij de stijlen iñ de plaat opgenomen werden eW één .waarbij de plant geconcentreerd
werd op de stijien. In het eerste geval ositstaat een fictieve plaat, die net zo moet reageren op de opgelegde belasting als de reêle. Het voornaamste kenmerk van dit nieuwe produkt of ori hotrope
jlaai is, dat de buigstijfheid EI, in twee onderling lóodrechte richtingen in het vlak van de plaat een andere waarde heeft.
Concentratie van het plaatmateriaal in de vorm van effectieve
flenzen bovenop de stijlen levert ecu open rooster van liggers, waarvan het overeenkomstige model een raster van lijnen in
één plat viak is (fig. 2 en 3). De eerste berekeningsmethode die nu besproken zal worden is die van de orthotrope plaat.
De orthotrope plaat
Dit is, zoals gezegd, een plant waarvan de buigstijflieden per breedte-eenheid in twee onderling loodrechte richtingen ecu
verschillende waarde hebben; vooreen verstijfdplaatveld vallen die richtingen langs die van de verstijvingen (fig. 4). De onderste
uiguur toont zo'n plaatveld waarvan alleen het dccl van de
beplating, dat als effectieve flens voor de verstijvingen werkt,
getekend is. Eigenlijk is dit dus aleen model, namelijk een rooster,
en deze stap wordt vrijwel altijd automatisch en stilzwijgend gedaan orn het effectieve traagheidsmoment te bepalen. Het orthotrope plaatmodel ontstaat nu door de buigstijiheden van de roosterbalken te middelen over de balkafstanden en deze waarden toe te kennen nan een plaat met dezelfde lengte en
breedte als van de oorspronkelijke constructie.
De differentiaalvergeijking in de figuur is uitgangspunt voor de berekenmgen en zij geeft het evenwicht van een plaatelementje.
met de afmetingen dx en dy in de vorm van een relatie tussen de doorbuiging w van de plaat en de belasting q op de plant. In de
vergelij king zijn D en D5 dus de buigstijflieden per eenheid
van breedte in respectieveijk de x en de y-richting en H is
een torsie-coëfficiënt.
De numerieke bepaling van H geeft nog wel cens
moeilijk-heden, maar voor de in de scheepsbouw gebruikelijke construc-ties heeft Schade [I] een benaderingsforinule gegeven die. goed
voldoet, zoals onlangs nog cens experimented is aangetoond door Ando [2].
In fig. 4 is de uitdrukking voor de torsie-coëfficiënt r zoals
Schade die gebruikt heeft voor ontwerpdiagrammen gegeven. Hierin is I het traagheidsmoment van de effectieve flens ten W 115
opzichte van de neutrale as van stijl+effectieve tiens, dus
waarin t=plaatdikte. Verder zijn bij fig.. 4 twëe uitdrukkingen voor H gegeven die verkregen zijn door
orn-werken van ,. Wanneer beide flenzen vóor 100% effectief
zijn, moet de invloed van de dwarscontractie in rekening worden gebracht.
Öpiossmgen van de differentiaalvergelijking in de vorm van
goniometrische reeksen en afliankelijk van de belasting en de
randvoorwaarden zijn te vinden in de handboeken en m diverse
.publikaties, zoals het bock van .Tiinoshenko en
Woinowsky-Krieger [3] en de rapporten van Ando [2]. Wat is nu de praktische bruikbaarheid van deze methode?
Ando noemt de volgendegunstige eigenschappen [21:
I.. De berekeningen zijn nauwkeuriger dan bijv. roósterbe-rekenmgen doordat de continuiteit en de torsiestijíheid van de construtie beter in rekening worden gebracht..
ROOSTER MODEL (voor bepaling
ini-en f-ricbting)
'i
'
J 3 2 EI(
bel'z\2 SCHADE '[1](_ y) }
:CO}
=v- s
1 0k) bes BU beS Fig. 4. Orthotropè plaatgrootheden..Waarden behorende bij gegeven randconditiesof belastingen Worden gemakke!ijk verkregen uit de formules of uit. vooraf
bepaalde diagrammen.
De verkregen formules zijn handig voor het bestuderen van de invloed op spanningen en doorbuigingen ten gévolge van variaties in pròfiêlafmetingen en -afstanden.
Het iaatste punt duidt op de mogehjkheid orn tot
ontwerp-diagrammen voor verstijfde plaatvelden te komen, zoals dat
door Schade [I] gedaan is. Bij de genoemde punten kunnen
vraagtekens gepiaatst worden. Ten aanzien van punt 1. moet opgemerkt worden dat de continuïteitseis niet zó zwaar wegt
en dat er bij sommige roosterberekeningen we! degehjk rekenmg
gehouden wordt met torsieinvloeden.
Voor punt 2. ge!dt: dat, afgezien nog van de móeilijkheden
bij het definieren van de randvòorwaarden, er enorm, veci
rekenwerk verzet moet worden voordat er diagrammen
kregen zijn of de formules numeriek uitgewerkt zijn. Een
reken-programma brengt hier weinig soelaas doordat het zeer veci machinetijd zal vragen.
Tenslotte is het bij punt 3. zó dat met name de spannungen en
krachten (inclusief momenten) verkregen worden per breedte-eenheid (bijv. per centimeter). Deze grootheden hebben dus hoogstens een vergelijkende waarde.
De nadelen zijn gedeeitelijk al genoemd, nl. het vele rekenwerk,
minder geschikt voor verwerking door een rekenautomaat
en het niet direct beschikbaar zijn van de werkelijk optredende krachten enz. Hierbij komt nog dat deze analytische methode de practici weinig aanspreekt door het wiskundige karakter en het niet duidelijk voorkornen van de fysisehe grootheden; dit laatste blijkt we! uit fig. 5.
De conclusie !uidt dan ook dat de orthotrope plaatmethode
wel geschikt is voor theoretisch werk, waaronder het produceren
van ontwerpdiagrammen, maar verder voor praktisch gebruik weinig aantrekke!ijk is, al heeft Schade [4] er dubbele bodem-berekeningen mee uitgevoerd.
Het baikenrooster
In de Engelse publikaties over deze modellen komen de termen
'grillage' en 'grid' voor. Een wezenlijk onderscheid is er niet, al lijkt het crop dat 'grid' meer gebruikt wordt voor een rooster met geheel of bijna vierkante openingen en dat 'gri!lage' dient
a!s verzamelnaam.
Het balkenrooster is a!, als overgangsmodel, ter sprake ge-komen b de vorming van het orthotrope plaatmodel, maar het kan dus ook als zelfstandig rekenmödel dienen.
In het algemeen kan de berekenmg volgens één van de twee meest gangbare Systemen worden uitgevoerd en afhankeijk van de volgorde waarm voldaan wordt aan voorwaarden van evenwicht en continuïteit, wordt gesproken van evenwichts- of verplaatsingsmethoden dan wel van continuiteits- of kracht-methoden. ('Equilibrium - or displacement methods' en 'com-patibility or force methods'.)
De evenwichtsmethode, waarbij de knooppuntverplaatsingen als onbekenden fungeren, zal nu schematisch worden besproken.
De werkwijze is als voigt (fig. 6): de belastingen op de
staaf-emden (knooppuntsreacties) worden uitgedrukt in de
ver-plaatsingen van die cien. Deze vergelijkingen worden dus per staafelement gevormd, met betrekking tot de eigen
coördinaat-DIT:
M1
k= - a M,
ZEOT MEER DAN:
In
Es, [a2w - 2w\ 102w
i
[(
_22
m= BUIGEND MOMENT PER EENHEID VAN BREEDTE
Fig. 5. Spanning als funche van het buigend moment bij een balk en
een orthotrope plaat.
WERKTUIG- EN SCHEEPSBOUW 11 / 14 JUNI 1968
SMAFELENENI MET EINOOVERPLAATSING
Y P,,i Y Plz 'z.' - ei2 p241.61+s22LÇ SCHRIJVEN ALS I TI )1°SmP EN =1 U (aSARIN TIonE-wRIxl OEEFTp=TS1,T16'OFp,.6' CONTINUTTEffKNQcPPtJNT/:
=d_---GET
P,1»---2eSTAP-EVENWICHTKNOOPPUNT/: (flj,=4,I+4', GEEFT:(,%)1=(sld; ', 3e5.4p
VOOR CONSTRUCTIEI ZJJN GAHEEL J
HIERNEE: 6(S11 .p 4°STAP
EN TENSLOTTE MET QE VERGrLIJKINÇ, VAN DE 2°STAP; ENACHTEN: p'
Fig. 6. Schema 'Displacement method'.
PAt1
.?!
o odl
I2EJ6E7O--7171
6EJ gj/O,
41 I.;i2Fig. 7. Voorbeeld van een rooster en een element.
richtingen van het element. Voor zover dat nodig is, worden deze vergelijkingen dan getransformeerd naar de
coördmaat-richtingen van het rooster (le stap). De continuïteitsvoorwaarden geven de substituties van staafeindverplaatsingen door die van
het knooppunt waaraan het betreffende staafeinde verbonden
is (2e stap). Hierdoor worden de staafeindbelastingen uitgedrukt
will
-Ic 2h 9 21 b KNOOPPUNT: i II G.7w O O pl = m11 P,,, ;s11= m71 O 12E.) 6E.) O 6E.) 4E.) ¡2 (PII (s'21)2 O INVLOED II CPI INVLOED I OP]I OPI INVLOEO OPI (1)5
in de knoóppùntverplaatsingen en deze uitdrukkingen kunnen
dan weer gesubstitueerd worden in de evenwichtsvoorwaarden van de knooppunten. Er is nu een stelsel vergelijkingen ontstaan
waarin de (bekende) uitwendige knooppuntbelastingen
uitge-drukt zijn in de (onbekende)knooppuntverplaatsingen (3e stap). DezeIaatste kunnen nù opgelost worden (4e stap); De berekening
isnuvrijwelvoltooid,want de krachtènopde staafeinden kunnen berekend worden met de continuïteitsvergelijkingen waarmee
de 2e stap afgesloten is De gebruikte matrices in de le en 2e stap
zijn standaard matrices, die in verschillende handboeken te
vinden zijn [5], [6]. De stijfhéidsmatrix voor de hele constructie
die in de 3e stap voorkomt, is volgens een vast systeem opge-bouwd uit de staafmatrices.
Als voorbeeld eenklein lateraal belast rooster waarvan tevens éen staafelement metcoördinaatrichtingen en krachten gegeven
is in fig. 7, Waarinook een aantal van de karakteristieke staaf-matrices zijn opgenomen. Uit de figuur kan geconcludeerd
worden dat de vervormingen in het X-Y-vlak gelijk nul worden
verondersteld, maar dat tôrsie orn de lengte-as van de staaf in
rekening wordt gebracht. Deze torsie-effecten hebben
be-trekking op een open rooster; de beperkende invloed van de continue plaat op de wringing is hier dus verwaarloosd. Het
rooster zelf is ook te zien in fig. 8, waarin tevens de nummeringen
aangegeven zijn. In dezelfde figuur is de stijfheidsmatrix voor
de hele constructie gegeven en de systematische opbouw blijkt
er wel duidelijk uit. Op de hoofddiagonaal staan gesommeerd
de staafmatrices behorend bij de staafeinden die in het knoop-punt i samenkomen, terwiji vèrder op eenzelfde nj de
invloeds-matrices staan van de andere emden van de staven die hei
knooppunt 'i verbinden met andere knooppunten.
Uit het voorbeeld worden nog twee dingen duidelijk en we):
Een roosterberekening levert alleen d randvoorwaarden
voor de staafelementen waaruit dat rooster bestaat. Bovendien. zullen, lokale plaatspanningen op een andere wijze en apart moeten worden berekénd.
Onjuist aangenornen randvoorwärden voor het rooster als
geheel voeren tot onjuiste randvoorwaarden voor de
staaf-INVLOED
Fig. 8. Voorbeeld van een samengestelde stj fheidsmattix voor het rooster.
(Zie ook fig. 7.)
elementen die niet ver van de roostereinden verwijderd zijn.
-Het ee ste feit kan men nauwelijks een bezwaar noemen omdat
verdere spanningsberekeningen in het, programma kunnen
- worden opgenornen, eveneens met behulp van
matrix-formu-leringen.
Het tweede feit is wèleen.bezwaar, maär het kan ondervangen worden door de aangrenzende ran'dconstructies in de berekening te betrekken voor zover dat nodig is. Het model wordt dan drie-dimensionaal.maar dat is op zichzelf zeker niet.onoverkomelijk. Algerneen kan gezegd worden dat de praktische bruikbaarheid
awel van de hier geschetste, als van andere matrix-methoden zeer groot, is, vooral doordat er grote en complexe constructies
mee aangepakt kunnen worden. Door de systematische opbouw kunnende berekeningsschema's relatief eenvoudig opgesteld èn geprogrammeerd worden..Er moet nogmaals op gewezen worden
dat elk rekencentriun in zijn programmabibliotheek standaard sub-programnia's heeft waarmee bewerkingen met matrices kunnen worden uitgevoerd. Wanneer de te berekenen roosters klein zijn en symmetrisch van constructie, kan het zinvol zijn 'orn een, wat eenvoudiger, rekenmethode toe te passen. Twee
voorbeelden hiervan zijn door de auteur besproken [7].
P3
Fig. 9. Dccl van een.plaat met verdeling in elementen.
De fmite-element-methode
Zoals de naam al aangeeft, wordt bij deze methode het model van de constructie gevormd door een verzameling eindige ele-menten die .op bepaalde punten, de knoopunten, aan elkaar verbonden zijn gedacht. In fig. 9 is een gedeelte van een plaat te zien met een elementenpatroon en een belasting in het viak van de plaat. Deze belasting wordt geacht aan te grijpen op de knooppunten, evenals dat bij een rooster het geval is. De
elas-- tische eigenschappen van n plaatelement worden zó gekozen
dat ze die van de constructie zo goed mogelijk benadèren en
toch deberekening niet gecompliceerdmaken. Bovendien wordt dan vermeden dat de flexibiliteit van het model oñaanvaardbaar verschilt van die van de oorspronkelijke constructie. De grootte
van de elementen kan aangepast worden aan de te verwachten
.
intensiteit van de spanningsgradient. Zo zal bijv. in de buurt van een geconcentreerde belasting het netwerk fijner moeten
ziin, dan voor een gebied met constante ofgelijkmatig verlopende
buiging. .
Uit de hierboven gegëveñ beschrijving blijkt al dat de zojuist
besproken roosterberekening evèngoed finiteelement-methode
zou kunnen heten. De basiselementen die gebruikt worden,
zijn behalve de reeds genoemde plaatelementen ook nog staaf-elementen. De eerste zijn meestal drie- of vierhoekig, maar ze kunnen ook een samengestelde vorm hebben; de laatste dus de staafelementen, zijn dezelfde als bij de roosterberekeningen. De finite-element-methode wordt, ondànks de mogelijkheden die zij biedt nog weinig in de scheepsbouw toegepast. Eén van
de eersten die de methode gebruikt hebben, zijn Yúille en
Wilson [8] geweest, dicer een sectie van een fregat mee
doorge-rekend hebben. Doordat ze niet de beschikking hadden over
een grote rekenaùtomaat moesten ze hun netwerk vrij grof
houden. Een gelukkige omstandigheid was echter dat het
langs-en dwarsverband elangs-en -gelijkmatige grid'-strüctuur had,
waar-door dit 'grove' ñetwerk tochbevredigende resultatén opleverde.
Dit laatste bleek toen ze hun rekenuitkomsten konden toetsen
aan experimentele resultaten.
Omstreeks dezelfde tijd als Yuille en Wilson voerde Paulling
[9] met een door hem opgestelde finite-element-berekening
calculaties uit voor een -model van een scheepsmoot (7
lading-ruimten) dat zeer realistisch belast kon worden en diende voor modeiproeven die onder leiding van .Schade [10] werden
uit-gevoerd. De resultaten van de berekeningen warenbetrouwbaar.
Yuille en Wilson lieten in hun plaatelementen alleen
schuif-spanningen toe, .Paulling stelde-dat -zijn elementen in huñ vlak
belastingen konden opnemen Ditzelfde doct Clough [l'i] die de finite-element-methode voor wat betreft de plaatelementen
duidelijk behandeld heeft; aan zijn publikatie is de hier gegeven
figuur 10 ontleend. Hij beschouWt, zoal bij dunne pJaten
ge-bruikelijk is, een -vlaksanningstoestand en neemt daarvoor vijf standaard spanningsverdelingen langs de elementranden aan, waarbij overeenkomstige vervormingen gedelinìeerd worden.
Door deze keuze wordt voorkomen dat b de knooppunten spanningsconcentraties optreden ten gevolge van de daar
aan-grijpende reactiekrachten. en tevens wordt, zoals eerder gezcgd,
bereikt dat de oorspronkeijke flexibiliteit voldoende -nauw-keurig benaderd wordt De enige die zich, voor zover bekend, met loodrecht op hun vlák belaste plaatelementen heeft
bezig-gehouden, is Hessel [12], die uitgaat van de door Langefors[l3] opgestelde methode, maar over toepàssingen op het gebied van deScheepsbouw is geen informatie beschikbaar2)
-2)Blijkens later verkregen iñlichtingen hebben meerdere onderzoekers-zich met bulging van plaatelementen beziggehouden.
WERKTUIG- EN SCHEEPSBOUW 11 / 14 JUNI 1968
R2,
STANDAARD - PLAATELEMENT
STANDAARQ- 0 VERDELING Pi
A
STANDAARD - T-VERDELING: m
STANIJAARD - o -VERDEt!IN& m7 - STANDAARD - VERVORMING
I--- A
y
¡- 'ì_c_ iV-i
rl,Fig. IO. (Overgenomen uit [il]).
Evenals bij de roosterberekeningen het geval is, gaat het bij de finite-element-methode hoofdzakelijk orn de bepaling van de stijfheidsmatrix van het plaatelement. Deze matrix kan niet zoals voor een staafelement, rechtstreeks opgesteld worden,
maar hij wordt bepaald met behulp van het principe van virtuele arbeid. Over deze wijze.vañ bepalen van de stijfheidsmatrix en over matrix-methoden in het algemeen - heeft Argyris [14] een
boeiende serie publikaties geschreven die samen welhaast als standaardwerk kunnen dienen.
Een behandeling van de methode met de crin voorkomende matrix-bewerkingen kan binnen het kader van deze korte
be-schouwing over sterkteberekeningen van orthogonaal verstijfde plaatvelden slechts schematisch zijn. (Zie fig. 11.)
Verlangd wordt een uitdrukking waarrnee de randspanningen W 119 o&l z, ii
aiiiiII
-
4_
z,, rn' °Lx o",MO&ELIJK TOTAAL SPANNINOSBEELD
t."
STAN DAARD - r -VERDELING:
(. 2 (Ii-v); V CONTRACTIE-COÈFFICItNT)
-I-SÏANDAARD- VERVORMING
STAN DAARD -VER VORMING
-1
OE3
STANIYAARD - VER VORMING STANDAARD - - VERDELING STANOtiARD -VERVORMINb
d=a6 dp.a FP
of E1PU
I j
=8Eao0_BMaFP
fSCHEMA SEPALING VANUITDRUKKING IHOR ELEMENTRANDSPAÑ -NINOENEN EVENTUELE INWENDIGE SmNNINGEN IN ELEMENTEN
J-,..M VO' GEVORMO UIT 1=
Pp O' VO1 dp VOORBEELD: V-MATRIX VAN. ELEMENT i ZIEOOK FIG. IO)
£ e IfE EXIBIUTEffSMATRIX: INVERSE VAN DE STIJFHEIDS-.
= jMATRIX VOOR DE CONSTRUCTIE
6 VERPLÄATSIÑG VAN DE KNOOPPUNTEN IN DE - A ÇVERVORMINGEN VAN DE ELEMENTEN lp.,. DE
KNOOP-P1P!JNTEN
IRELATIE TUSSEN dp EN 6ONTS1AAN DOOR KNOOPPUNTEN
3 S1UK VOOR STUN N VER4UIRMING I TE LATEN
LO NDER G AA N
.ÍSTANDAARD-TYPEN VAN .SPANNINGSVERDELINOEN LANOS Pp íOE ELEMENT- RANGEN (VERZAMELVECTOR)
2 (l+u) y CONTRACTIE-COEFFICIENT)
Fig. 11.Schema ter bepaling van de relatie tussen uitwendige krachten en spanningen.in de elementen.
van dé elementen berekend kunnen wordem Zo'n uitdrukking
heeft. in het algemeen de vorm:
= XP
waarin:= verzamelvector van de randspanningen. X = een onbekende matrix .
= verzamelvector van de uitwendige knooppuntbelastingen;
In fig. Il is het schema gegeven vän de manier waar9p het
be-oogde doe! bereikt wordt.. .
Het bçpalen van de gang van zaken levert bij deze methode niet al teveel moeilijkheden open het opstellen van de verschillende relatiematricesevenmin. De relatiematrices zijn in de literatuur
te vinden en ze künnen indien nodig eenvoudig aangepast
worden aan eigen behoeften. Het meeste werk vraagt het maken
van een efficient programma, maar ook dit is niet
onoverko-melijk. De praktische bruikbaarheid van de
finiteeIement-methoden is zeer groot, ook voor descheepsbouw.. De grote tañkers bijv. bestàan uit een 'geraamte' van diepe plaatdragers
en -ringen waaromheen een verstijfde huid is-aangebracht. Dit
geraamte is sòms moeilijk te vervangen door.een staafmodel,
bijv. wanneer profielhoogte en ongesteunde lengte van dezelfde grootte-orde zijn. In deze gevallen zal de-finite-element-methode de aangewezen methode zijn.
Tenslotte is het noodzake!ijk orn nog enige algernene
op-merkingen te maken over de optredende be!astingen.
De belastingen .
-Inhet algemeen worden de sterkteberekeningen uitgevoerd voor
de eigen statische be!asting op het p1aatved. Dit za! meestal voor een lading gewicht zijn, waaraan bijv.. voor een dek dan nog zou kunnen worden toegevoegd de belasting ten gevolge van het langsscheeps buigend moment in v!ak water of in een standaardgolf (statisch). Deze belastingen . vormen maar een dee! van het totaa! waaraan de constructie onderworpen kan
zijn en dit totaal is als voigt samengesteld:
De eigen statische belasting, loodrecht op het vlak van het
platveld.
Statische en dyùamische belastingen doordat het veld dee!
uitmaakt van een, eveneens statisch en dynamisch belaste,
smengesteide kokerba!k.
Dynamische be!astingen veroorzaakt door massakrachten
van de lading (en zware uitrustiìigsstukken) en door wisselende waterdrukken, alles ten gevo!ge van scheepsbewegingen.
Belastingsstoten als gevoig van slamming.
De onder I. genoemde component is gegeven; over de daarop volgende worden gegevens verzameld voor zover het de !angs-scheepse buigende mmenten betreft. Wat schotten en raam-. spanten hetreft: hun aandeel in de belästingsopneming zal door spanningsmetingen moeten worden bepaald.
Over de grootte van d onder punt 3. genoemde krachten zijn
geen gegevens bekend. Voor een tanktop bijv. zél extra be!asting
door traagheidskrachten groot kunnen zijn en de invloed ervan za! zich voortzetten in de ruimschotten en in de huid, waarbij vooral de tanktopverbindingen te lijden zullen hebben.
Slarnmingsinvloeden op spanningsverdelingen zijn eveneens
nog grotendeels onbekend maar aan het ierzame!en van in-formatie hierover wordt steeds meer aandacht geschonken,
onder meer door het laboratorium voor- scheepseonstructies. Het is duideijk dat er voor wat be.treft de belastingen nog zeer vecI werk gedaan moet worden en dit is vooral nu nodig dindat de berekeningsrnethoden.zovee! meer mogelijkheden
bieden. Dit zal uiteindelijk leiden tot de moge!ijkheid orn
con-structie-uitvoeringen te verdedigen tegenver opdrachtgevers, verzekeraars, veiligheidsinstanties'enz. Gezien de huidige ont-wikkelingen zal het binnen afzienbare tijd zo zijn dathet succes
van cen constructiebedrijf (of groep van bedrijven) in zeer grote
mate bepaa!d wordt door de capaciteiten van het team dat de constnicties ontwerpt en dimensioneert en dat daarbij gebruik
za! maken van dé modernste middelenen mogeijkheden.
Beraadslaging
Prof. ir. J. J. Koch: Brengt u, bij de berekening van de dubbele bodem, de afschuifelasticiteit van de vrangen in rekening?
Aniwoord: Bij de berekeniñg van dubbele bodems mçt de orthotrope plaatmethode zoals Schade [4] dat gedaan heeft,
wordt de invloed van de afschuiving op -de doorbuiging niel in
rekening gebracht. Wanneer deze verwaarlozing ontoe!aatbaar is, verdient cen berekening met een finite-element-methode de voorkeur. Hierbij kan de invloed van afschuiving, die groot is
ßij korte diepe dragers zoals vrangen en zaathouten in machine-EN VAN u3 0 MATRIX
a-a-va.
. b2j, p'. ni' -ab. b -b b2 P, OF dp)rOPp;/ u4 y4 avaibA
-vb b b m, S', -ai,;-' -i
.... . -
-p; lr2j I -1 i -I. i I ni, P; m OF:Ejrk.Pp;j rl, . . . . I SA,-i
I
IT. PLAAT- ELEMENT WRANO -ELEMENT
A
iii
r
FLENS OPPERVLAI( EL EM E N T BODEMPLAAT-ELEMENTkamers, in rekening wordengebracht door gebruik te maken van
de finite-element-methoden die in de vliegtuigbouw voor vleugelberekeningen zijn ontwikkeld De analogie blijkt uit
fig. 12 die zowel op een stuk dubbelebodemvan toepassing kan
zijn als op een stuk vleugel met contant prófiel. De zaathout-en vrangelemzaathout-entzaathout-en wordzaathout-en geacht dwarskrachtzaathout-en op te nemzaathout-en en wel zódat de schuifspanningsverdeling constant is over-de hoogtevanhet element.
Ir. W. Spuyman: Het opstellen van het rekenmodel geschiedt in de regel aan de hand van de constructietekeningen. Primair
is dan de inspanning gericht op een rekenmodeldat de getekendë constructie zo goed mogelijk representeert. Bij de vervaardiging
van hei betreffende constructiewerk worden echíer door de praktijk. een -aantàl factoren geïntroduceerd, waarmède in eerste instantie geen rekening is gehouden, t.w.
plaatdikte-toleranties, maatafwijkingen, plaat-onvlakheden, miñder goed
- gestrekte profielen. Deze factoren kunneneen bealissende
in-vloed hebben op de belastingscapaciteit.
Hoe is hiermede rekeniñg te houden- in het rekenmodel en kunnen deze factoren aanleiding geven tot- het opstellenvan
- criteria voor praktijkafwijkingen -van de getekendé constructie
' met name voor hoogbelaste constructies? -
-WERKTUIG- EN SCHEEPSBOUW 11 / 14 JUNI !968
M,Z:H.- ELEMENT
-ZZH-ELEMEÑT
Fig. 12. Mogelijke verdeling van een samenge-stelde doosconstructie in elementen.
-Aniwoord: Initiéle vervormingen worden bij de rekenmodellen
verwaarloosd. De vervormingen zijn trouwens pas bkend
nádat de constructie- uitgevoerd is en de sterkteberekeninggaat
aan die uitvoering vooraf. Praktische bezwaren maken het in rekening brengen van geschatte initiële vervormingen onuit-
-voerbaar, ok al is het in principe wel mogelijk. -
-- -Het opstellen van criteria voor initiéle vervormingen is -een
zeer gecompliceerde kWestie en de vraag naar de noodzaak van
-- deze criteria is niet met ja of neën te beantwoorden. Er isnog
tè weinig bekend over de grootte van de invloed van initiële
-vervoriningen op berekende spanningen, doordat er over de grootte van de vervormingen nog zo weinig bekend is. Bé-schouwingen over deze problematiek zijn verschenen in de
rappOrten van de- Commissie 3d (Orthogonaal verstijfde
plaat-velden)- van het LS.S.C. 1964 en 1967. Eñkele experirnentete cij fers en theoretische beschouwingen zijn opgenomen in een rapport over experimenteel spanningsonderzoek aan twee
ge-vouwen schotten en één-vlak schot onderworpen aan waterdruk,
-dat eerlang onder auspicien van het Scheepsstudiecentrum
TNO zal verschijnen. -
-Ir. G de- Wilde: In een zeer kort tijdsbestek heeft ir. van Katwijk getracht ons het een en ander bij te brengen over de-berekeningen,.
met een. computer, van verstijfde plaatvelden. Hij wijst erop dat er drie basisvormen zijn waartoe een verstijfd plaatveld
teruggebracht kan worden ; de orthotrope plaat, het open rooster bestaande uit staafelementjes en het onderverdelen van de
con-structie in een groot aantal plaatelementen, die al dan niet
buigstijflieid loodrecht op hun vlak kunnen hebben. In een groot aantal gevallen is idealisering in de twee eerstgenoernde vormen
mogelijk en realistisch, doch in tankers bijvoorbeeld, waár de
interne verstijvingen op zichzelf grote plaatvelden zijñ, voorzien van verstijvingen en spaargaten, is het duidelijk dat een ideali-sering in balkèlementjes slechts een ruwe benadering kan geven
van het werkelijke gedrag van de constructie. Dit type analyse wordt echter toch. algemeen gebruikt omdat grote computer-programma's voor de uitvoering ervan algemeen beschikbaar
ziin.
De juiste wijze orn dit soort constructies te benaderen is echter
met de finite-elernent-methode. Routinetoepassingen op grote
schaal van deze methode zijn echter momenteel, mijns inziens, voor de scheepsbouw niet mogeijk vanwege de boge kosten en
het grote aantal man-uren dat een dergelijk onderzoek vergt. Bij Lloyds Register zijn momenteel computerprogramma's in gebruik, gebaseerd op zowel de balkelement- als de plaat-element-methode en een combinatie van deze twee vormen. Voor routine-onderzoek wordt de balkelement-methode ge-bruikt waarna dan, indien nodig, bepaaldedelen naderbekeken worden met de plaatelement-methode. 1k geloof dat ik erop
moet wijzen dat het succes waarmee, vooral met de
balk-element-methode, het gedrag van constructies kan worden
voor-speld, voor een zeer belangrijk deel athangt van de juistheid van het grote aantal aannamen dat er .gemaakt moet worden. Er is bijv. nog zeer weinig bekend over de effectieve
plaat-breedte in orthogonaal verstijfde plaatvelden en vooral in
dubbeiwandige constructies heeft de juistheid van deze
aan-name een zeer grote invloed op het resultaat.
De afschuifstijfheid van de elementen moet in rekeningworden gebracht en wanneer er gaten in lijfplaten voorkomen is ook hier het gedrag niet àltijd bekend. Bij de opzet van de programma's
wordt van een Saint-Venantse spanningsverdeling uitgegaan en de invloed die een verstoring van deze spanningsverdeling door knieën e.d. heeft op het gedrag van de constructie is ook ñiet geheel bekend.
In een poging om althans enige klaarheid te brengen in deze en andere vraagpunten, worden door Lloyds Register
uitge-breide spanningsmetingen verricht aan een aantal schepen onder
nauwkeurig bepaalde belastingen. Krachten, momenten en
doorbuigingen worden dan vergeleken met de resultaten van
computerberekeningen.
- Tot slot zou ik gaame van ir. van Katwijk willen horen welke
faciliteiten.voor de berekening van scheepsconstructies momeñ-teel op de Technische Hogeschool aanwezig en operationeel zijn.
Aniwoord: De juistheid van de veronderstelde plaatefficiency speelt een rol bij belasting op knik of door geconcentreerde lasten en deze gevallen zijn in verband met de beperkte tijd
bewust buiten beschouwing gelaten, evenals de samengestelde doosconstructies.
Aangaande het in rekening brengen van
dwarskrachtiñ-vloeden moge verwezen worden naar het antwoord aan prof.
Koch.
Met betrekking tot de slotvraag van ir. de Wilde moet gesteld
worden dat de Technische Hogeschool geen rekenfaciliteiten biedt, omdat de rekenautomaat van de Wiskundige Dienst al overbelast is door werk dat verband houdt met het onderwijs 'en wetenscháppelijk onderzoek. Dit dan nog afgezien van het feit dat de Hogeschool geen dienstverlenend rekencentrum is.
Literatuur
[Il SCHADS, H. A. : Design Curves for Cross-Stiffened Plating under
Uniform Bending Load'. Trans. S.N.A.M.E. 1941, pp. 154-173.
[2] ANDO, N. : 'On the Strength of the Orthogonally Stiffened PJate'.
Report nr. 43. Transportation Technical Research Institute. March 1962. Report nr. 53. Transportation Technical Research Institute. Nov. 1962. Uitgaven: Unyu-Gijutsu Kenkyujo Mejiro, Toshima-Ku, Tokyo, Japan.
-[31 TIMosHENKO, S. P. en WonqowsKy- KRIEGER, S.: 'Theory of Plates
and Shells'. Second Edition 1959, pp. 364-376 en verwijzingen.
SCHADE, H.- A.: 'Bending Theory of Ship Bottom Structure'. Trans. S.N.A.M.E. Vol.46(1938) pp. 176-205.
-LIVESLEY, R. K,.: Matrix Methods of Structural Analysis'. The
Commonwealth and International Library of Science, Technology,
Engineering and Liberal Studies. Uitgave Pergamon Press of the
Macmillan Company.
PESTEL, E. C. en LECKIE, F. A.: 'Matrix Methods in
Elasto-Me-chanics'. McGraw-Hill Book Company 1963. -
-VAN KATWIJK, P. A.: 'Modern Rekenen en Enige Toepassingen ervan in de Scheepsbouw'. - Schip & Werf 1968 (in voorbereiding).
Yuiva, I. M. en WILSON, L. B.: 'Transverse Strength of Single Hulled Ships'. Trans. RINA. 1960, pp. 579-61!.
19] PAULLING. J. R.: 'The Analysis of Complex Ship Structures by the
Finite Element Technique'. Journal of Ship Research. December
1964, pp. 1-14.
[10] SCHADE, H. A.: 'Thin-Walled Box Girder - Theory and Experi-ment'. Schiff und -Hafen, Heft 1/1965, pp. 2-9.
[ti] CLOUGH, R. W.: 'The Finite Element Method in Plane Stress Analysis'. Proc. 2nd Conf. on Electronic Computation, September
1960, pp. 345-378. American Soc. of Civ. Engrs.
HESSEL, A.: 'Analysis of Plates and Shells by Matrix Methods'. TN 48. Saab Technical Notes (1961).
LANGEFORS, B.: 'Analysis of Elastic Structures by Matrix
Trans-formation with Special Regard to Semi-Monocoque Structures'.
Journal of Aeronautical Science, nr. 7, pp. 451 e.v., 1952.
114] ARG'.'RIs, J. H.: 'Energy Théorems and Structural Analysis'.
Part I; Aircraft Engineering: Oct., Nov., Dec., 1954; Febr., March,
Apr., May 1955.
-Enkele meer recente publikaties:
CWUGH, R. W.: 'Finite Element Stiffness Matrices for Analysis
of Plate Bending'. Proc. Conf. Matrix Methods in Structural
Mechanics. AFFDL-TR-66-80. (USAF). -
-BESSELING, J. F.: 'Handleiding voor bet numeriek spannings- en trillingsonderzoek'. Lab. y. Techn. Mechanica. Afdeling
Werktuig-bouwkunde, T.H Delft.
-VISSER, W.: 'The Finite Element Method in Deformation and Heat Conduction Problems'. Proefschrift 1968.
