Wyznaczanie fundamentalnego zbioru rozwiązań równań różniczkowych liniowych jednorodnych drugiego rzędu, gdy znamy jedno rozwiązanie

(1)

Wyznaczanie

fundamentalnego zbioru

rozwiązań równań

różniczkowych liniowych

jednorodnych ...

Autorzy:

Julian Janus

2019

(2)

(1)

(2)

(3)

Wyznaczanie fundamentalnego zbioru rozwiązań równań różniczkowych liniowych jednorodnych drugiego

rzędu, gdy znamy jedno rozwiązanie

Autor: Julian Janus

Wyznaczenie fundamentalnego zbioru rozwiązań równania

gdy współczyniki nie są stałymi, jest z reguły trudnym zadaniem. Jeżeli znamy jedno rozwiązanie równania ( 1 ) to kolejne, liniowo niezależne rozwiązanie szukamy w postaci gdzie jest nieznaną funkcją. Metoda ta prowadzi do wyznaczenia rozwiązania równania różniczkowego liniowego rzędu gdzie niewiadomą jest funkcja . W praktyce metoda ta jest użyteczna dla równań rzędu drugiego.

TWIERDZENIE

Twierdzenie 1:

Twierdzenie 1: Liouville'a

Liouville'a

ZAŁOŻENIA: ZAŁOŻENIA:

Zakładamy, że funkcja jest rozwiązaniem równania

gdzie są funkcjami ciągłymi określonymi w przedziale i dla .

TEZA: TEZA:

Wtedy funkcja

jest rozwiązaniem równania ( 2 ) i wówczas oba rozwiązania są liniowo niezależne .

DOWÓD: DOWÓD:

Szukamy rozwiązania równania ( 2 ) liniowo niezależnego z w postaci gdzie jest nieznaną funkcją. Liczymy , i podstawiamy do równania ( 2 ).

Uwzględniając, że otrzymujemy równanie

, w którym dokonując podstawienia dostajemy równanie różniczkowe rzędu pierwszego o zmiennych rozdzielonych:

Po rozdzieleniu zmiennych otrzymujemy równanie

które następnie całkujemy obustronnie. Wtedy

Uwzględniając, że można przedstawić w postaci i przenosząc logarytmy na prawą stronę równania otrzymujemy, że

Stąd wynika, że

gdzie stała może przyjmować wartości dodatnie jak i ujemne. Całkując powyższą równość otrzymujemy

(t) +

(t)

(t) + ⋯ + (t) (t) + (t)y(t) = 0, t ∈ I,

(t)

a

i

y

1

(t)

y(t) = u(t) (t),

y

1

u(t)

n − 1,

u(t)

(t)

y

1

(t) + (t) (t) + (t)y(t) = 0, t ∈ I,

y

′′

_a

₁

_y

′

_a

₀

(t),

(t)

a

0

a

1

I

y

1

(t) ≠ 0,

t ∈ I

(t) = (t) ∫

dt

y

2

y

1

e

− ∫ (t)dta1

(t)

y

2 1

(t), (t)

y

1

y

2

(t)

y

1

y(t) = u(t) (t),

y

1

u(t)

(t)

y

′

_y

′′

_(t)

+

+ y = u + 2

+

(t) (t) + (2 (t) + (t) (t)) (t) = 0

v(t) = (t)

u

′

(t) (t) + [2 (t) + (t) (t)]v(t) = 0.

ln |v(t)| = −2 ln | (t)| − ∫ (t)dt + c.

y

1

a

1

c

c = ln c

1

ln(

|v(t) (t)|

y

12

) = − ∫ (t)dt.

c

1

a

1

v(t) = c

1

e

− ∫ (t)dta1

(t)

y

2 1

c

1

u(t) = ∫ v(t)dt = ∫

1

dt + .

− ∫ (t)dt1 2

(3)

(4)

(5) Zatem

Przyjmując i dostajemy drugie rozwiązanie równania ( 2 ) postaci

Funkcje są liniowo niezależne ponieważ wrońskian

nie jest równy zero.

PRZYKŁAD

Przykład 1:

Wyznaczyć rozwiązanie problemu początkowego

jeżeli wiadomo, że jest rozwiązaniem równania jednorodnego.

Równanie jednorodne w ( 4 ) po podzieleniu stronami przez można zapisać w postaci

Najpierw wyznaczymy drugie liniowo niezależne rozwiązanie równania ( 4 ). Na podstawie twierdzenia Liouville'a szukane drugie rozwiązanie ma postać

Ponieważ wiadomo, że i są to rozwiązania liniowo niezależne, więc rozwiązanie ogólne równania ( 5 ) ma postać

Uwzględniając warunek początkowy otrzymujemy następujący układ równań

którego rozwiązaniem jest i .

Zatem rozwiązanie problemu początkowego ( 4 ) ma postać

u(t) = ∫ v(t)dt = ∫

c

1

e

dt + .

− ∫ (t)dta1

(t)

y

2 1

c

2

y(t) = u(t) (t) =

y

1

1

= 1

c

1

c

2

= 0,

(t) = (t) ∫

dt.

y

2

y

1

e

− ∫ (t)dta1

(t)

y

2 1

(t), (t)

y

1

y

2

W( , ) =

− ∫ dta1

{

t

_{y(1) = 0, (1) = −1}

2

y

′′

(t) − 3t (t) + 4y(t) = 0,

2

(t) = ∫

dt = ∫

dt = ∫ dt = ln t.

2

(t)

2

y

2

(t) =

c

1

t

2

+

(1) = 2 + (2 ln 1 + 1) = 2 + = −1

1

c

2

= −1

y(t) = − ln t.

t

2

(4)

PRZYKŁAD

Przykład 2:

Funkcja jest rozwiązaniem równania

Wyznaczyć rozwiązanie ogólne tego równania.

Drugie liniowo niezależne rozwiązanie wyznaczamy ze wzoru ( 3 )

Zatem ogólne rozwiązanie ma postać

gdzie są to dowolne stałe.

Publikacja udostępniona jest na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa - Na tych samych warunkach 3.0 Polska. Pewne prawa zastrzeżone na rzecz autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej. Zezwala się na dowolne wykorzystanie treści publikacji pod warunkiem wskazania autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej jako autorów oraz podania informacji o licencji tak długo, jak tylko na utwory zależne będzie udzielana taka sama licencja. Pełny tekst licencji dostępny na stronie

http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/pl/.

Data generacji dokumentu: 2019-04-15 07:15:57

Oryginalny dokument dostępny pod adresem: https://epodreczniki.open.agh.edu.pl/openagh-permalink.php? link=4928acdb5391d6138d2ad8ad8db98417