5. Układy równań liniowych jednorodnych
Układ równań liniowych
=
⋅ + +
⋅ +
⋅
=
⋅ + +
⋅ +
⋅
=
⋅ + +
⋅ +
⋅
0 0 0
2 2 1 1
2 2
22 1 21
1 2
12 1 11
n mn m
m
n n
n n
x a x
a x a
x a x
a x a
x a x
a x a
K
KK KKKKKKKKKK
K K
nazywamy układem równań liniowych jednorodnych.
Układ równań liniowych jednorodnych ma zawsze rozwiązanie zerowe
2 0
1 =x = =xn =
x K , które nazywa się teŜ rozwiązaniem trywialnym.
Twierdzenie
Warunkiem koniecznym i dostatecznym istnienia nietrywialnego rozwiązania układu równań liniowych jednorodnych jest, aby rząd r( A) macierzy współczynników A był mniejszy od liczby niewiadomych r(A)<n.
Przykład
Układ równań
=
⋅
− +
⋅
= +
⋅
−
⋅
0 2
5
0 3
2
3 2
1
3 2 1
x x
x
x x x
oprócz rozwiązania zerowego x1 =0, x2 =0, x3 =0, ma takŜe rozwiązanie niezerowe, gdyŜ
−
= −
2 1 5
1 3
A 2 , r(A)≤min(2,3)=2, 17 0 1
5 3
2 − = ≠ ⇒ r(A)=2<3=n.
RozwaŜmy układ równań
=
⋅ + +
⋅ +
⋅
=
⋅ + +
⋅ +
⋅
=
⋅ + +
⋅ +
⋅
0 0 0
2 2 1 1
2 2
22 1 21
1 2
12 1 11
n nn n
n
n n
n n
x a x
a x a
x a x
a x a
x a x
a x a
K
KK KKKKKKKKKK
K K
Twierdzenie
Warunkiem koniecznym i dostatecznym istnienia nietrywialnego rozwiązania układu n równań liniowych jednorodnych o n niewiadomych jest, aby detA=0.
Przykład
Układ równań
=
⋅
−
⋅ +
=
⋅
−
⋅ +
⋅
= +
−
⋅
0 5
4
0 2
6 3
0 2
3 2 1
3 2
1
3 2 1
x x
x
x x
x
x x x
ma tylko rozwiązanie zerowe, gdyŜ
0 51 5 4 1
2 6 3
1 1 2
det =− ≠
−
−
−
=
A .
Przykład
Układ równań
=
⋅ + +
⋅
=
⋅ +
⋅ +
−
=
⋅ +
−
⋅
0 14
5
0 5
4
0 3
2
3 2
1
3 2 1
3 2
1
x x
x
x x
x
x x
x
ma rozwiązanie niezerowe, gdyŜ
0 14 1 5
5 4 1
3 1 2
det − =
−
= A
oraz r(A)=2<3=n.
Rozwiązywanie układów równań za pomocą operacji elementarnych.
Niech dany będzie układ równań
=
⋅ + +
⋅ +
⋅
=
⋅ + +
⋅ +
⋅
=
⋅ + +
⋅ +
⋅
m n mn m
m
n n
n n
b x a x
a x a
b x a x
a x a
b x a x
a x a
K
KK KKKKKKKKKK
K K
2 2 1 1
2 2
2 22 1 21
1 1
2 12 1 11
Macierz podstawowa tego układu ma postać
=
mn m
m
n n
a a
a
a a
a
a a
a A
K K K K K
K K
2 1
2 22
21
1 12
11
Tworzymy macierz rozszerzoną (uzupełnioną)
[ ]
=
=
m mn m
m
n n
b b b
a a
a
a a
a
a a
a b A
U K
K K K K K
K K
2 1
2 1
2 22
21
1 12
11
.
Wykonując operacje elementarne, sprowadzamy macierz A do postaci kanonicznej (bazowej), w rezultacie otrzymamy postać kanoniczną macierzy U
′
′
′
′
′
′
′
′
′
+ + +
0 0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0
0 0
0
0 0
0
1 0
0
0 1
0
0 0
1
2 1
1 ,
2 1
, 2
1 1
, 1
K K
K K K
K K
K K K K K
K K
K K
K K K
K K
K K K K K
K K
kn k k
k
n k
n k
b b b
a a
a a
a a
Niewiadome x1, x2, K , x , których współczynniki są elementami macierzy k I nazywamyk zmiennymi bazowymi, natomiast zmienne xk+1, xk+2, K , x nazywamy zmiennymin niebazowymi (swobodnymi). Zmienne niebazowe traktuje się dalej jako parametry, tzn.
przyjmujemy xk+1 =t1, xk+2 =t2, K , xn =tn−k. Otrzymamy wtedy układ postaci
∈
⋅
′
−
−
⋅
′
−
′
=
⋅
′
−
−
⋅
′
−
′
=
⋅
′
−
−
⋅
′
−
′
=
−
− +
− +
− +
R t
t t
a t
a b x
t a t
a b x
t a t
a b x
k n
k n kn k
k k k
k n n k
k n n k
,
1,
1 1 ,
2 1
1 , 2 2 2
1 1
1 , 1 1 1
K K
KK KKKKKKKKKK
K K
.
Rozwiązanie tego układu nazywa się rozwiązaniem ogólnym.
Przykład
Metodą operacji elementarnych rozwiązać układ równań
=
⋅ +
⋅
−
⋅ +
⋅
=
⋅ +
⋅
−
⋅ +
⋅
=
−
⋅ +
⋅
−
3 2
3 2
2
10 5
5 3
7
1 4
3
4 3
2 1
4 3
2 1
4 3 2
1
x x
x x
x x x
x
x x x
x
Macierz U jest postaci
−
−
−
−
=
3 10
1
2 3 2 2
5 5 3 7
1 4 3 1 U
Postać kanoniczna tej macierzy jest następująca
−
−
0 0 0 0 0
1 0
0 1
8 1 8 11
2 1 8 11
2 1 8 1
Stąd wynika, Ŝe zmienne x1, x2 są bazowe, a zmienne x3, x4 niebazowe. Przyjmując x3 =t1,
2
4 t
x = moŜemy napisać rozwiązanie ogólne
R t t t
x t x
t t x
t t x
∈
=
=
⋅
−
⋅ +
=
⋅
−
⋅ +
=
2 1
2 4
1 3
2 2 1 8 1 11 8 1 2
2 2 1 8 1 1 8 11 1
, .
JeŜeli postać kanoniczna macierzy U jest następująca
′
′
′
′
′
′
′
′
′
′
′
′
+ + +
+ +
m k k kn k k
k
n k
n k
b b b b b b
a a
a a
a a
K K
K K K
K K
K K K K K
K K
K K
K K K
K K
K K K K K
K K
2 1 2 1
1 ,
2 1
, 2
1 1
, 1
0 0
0 0
0 0
0 0
0
0 0
0
0 0
0
1 0
0
0 1
0
0 0
1
przy czym co najmniej jeden z elementów bk′+1, K , b′m jest róŜny od zera, to dany układ jest sprzeczny.
Przykład
Rozwiązać układ równań metodą operacji elementarnych
=
−
⋅
=
⋅
− +
⋅
=
⋅ +
⋅
−
⋅
0 15
0 8
5
1 8
2 10
2 1
3 2 1
3 2 1
x x
x x x
x x x
Mamy
−
−
−
=
0 0 1
0 1 15
8 1 5
8 2 10 U
Skąd otrzymujemy
−
−
−
−
1 0 0 0
6 1 0
0 1
4 1 20
1 5 2
co oznacza, Ŝe układ jest sprzeczny.
Rozwiązania bazowe
RozwaŜmy układ m równań liniowych o n niewiadomych. Jeśli spełniony jest warunek n
U r A
r( )= ( )< , to układ posiada rozwiązanie ogólne, w którym k zmiennych jest bazowych, a n−k niebazowych.
Rozwiązaniem bazowym nazywa się rozwiązanie szczególne, otrzymane przy załoŜeniu, Ŝe n−k zmiennych jest równych zeru. Układ posiada nie więcej niŜ
k n
rozwiązań bazowych.
Przykład
Znaleźć wszystkie rozwiązania bazowe układu
=
⋅ + +
⋅
= +
⋅ +
5 5
2
4 2
3 2
1
3 2 1
x x
x
x x x
Mamy
=
5 4 5 1 2
1 2 U 1
Skąd
− 1
2 1 1 0
3 0 1
co oznacza, Ŝe x1, x2 są bazowe, a x niebazowa. Kładąc 3 x3 =t, otrzymujemy rozwiązanie ogólne
R t t
x t x
t x
∈
= +
=
⋅
−
=
3 2 1
1 3 2
.
Znajdziemy teraz rozwiązania bazowe.
- Pierwsze rozwiązanie bazowe:
Niech x1 =0. Wtedy mamy układ
=
⋅ +
= +
⋅
5 5
4 2
3 2
3 2
x x
x x
skąd znajdujemy x2 = 35, x3 = 32. Czyli
=
=
=
3 2 3
3 5 2
1 0
x x x
- Drugie rozwiązanie bazowe:
Niech x2 =0. Wtedy mamy układ
=
⋅ +
⋅
= +
5 5
2
4
3 1
3 1
x x
x x
skąd znajdujemy x1 =5, x3 =−1. Czyli
−
=
=
=
1 0 5
3 2 1
x x x
- Trzecie rozwiązanie bazowe:
Niech x3 =0. Wtedy mamy układ
= +
⋅
=
⋅ +
5 2
4 2
2 1
2 1
x x
x x
skąd znajdujemy x1 =2, x2 =1. Czyli
=
=
=
0 1 2
3 2 1
x x x
Uwaga
Wszystkie trzy rozwiązania bazowe moŜna otrzymać z rozwiązania ogólnego, a mianowicie:
- pierwsze rozwiązanie bazowe – przyjmując t= 32 , - drugie rozwiązanie bazowe – przyjmując t=−1, - trzecie rozwiązanie bazowe – przyjmując t=0.
