Przykłady rozwiązywania
układów równań liniowych
niejednorodnych o ...
Autorzy:
Julian Janus
(1)
(2)
(3)
Przykłady rozwiązywania układów równań liniowych niejednorodnych o stałych współczynnikach metodą
Przykłady rozwiązywania układów równań liniowych niejednorodnych o stałych współczynnikach metodą
przewidywań
przewidywań
Autor: Julian JanusPRZYKŁAD
Przykład 1:
Przykład 1:
Wyznaczyć rozwiązanie ogólne układu równań
metodą przewidywań.
Rozwiązaniem ogólnym równania jednorodnego
jest
patrz: Przykłady rozwiązywania układów równań liniowych niejednorodnych o stałych współczynnikach metodą uzmienniania stałych-1.
Funkcję można zapisać następująco:
Szukamy rozwiązania szczególnego dla następującego układu równań
Ponieważ liczba czyli współczynnik przy w funkcji wykładniczej, nie jest wartością własną macierzy to szukamy rozwiązania szczególnego układu ( 2 ) w postaci:
Po zróżniczkowaniu i podstawieniu do ( 2 ) otrzymujemy Stąd układ równań ma postać:
a jego rozwiązaniem jest . Zatem rozwiązanie szczególne ma postać
Teraz szukamy rozwiązania szczególnego dla układu równań
Ponieważ liczba - współczynnik przy w funkcji wykładniczej, jest wartością własną jednokrotną macierzy to szukamy rozwiązania szczególnego układu ( 3 ) w postaci:
(t) = [
] = [
] ⋅ [
] + [ ]
x
′x
′1(t)
(t)
x
′ 22
2
1
3
(t)
x
1(t)
x
21
e
t(t)
x
c(t) = [
] = [
] ⋅ [
]
x
′x
′1(t)
(t)
x
′ 22
2
1
3
(t)
x
1(t)
x
2(t) =
x
ce
tA⋅ C = [
+
] ⋅ [ ] =
2 3e
t 13e
4t−
2+
3e
t 23e
4t−
1+
3e
t 13e
4t+
1 3e
t 23e
4tc
1c
2[
(
23e
t+
31e
4t) + (−
c
1 31e
t+
13e
4t)
c
2]
(−
2+
) + (
+
)
3e
t 23e
4tc
1 13e
t 23e
4tc
2f(t)
f(t) = [ ] = (t) + (t), gdzie
1
(t) = [ ] =
[ ] ,
(t) = [ ] .
e
tf
1f
2f
11
0
e
0t1
0
f
2e
t0
1
[
x
′1(t)
] = [
] ⋅ [
] + [ ] .
(t)
x
′ 22
2
1
3
(t)
x
1(t)
x
21
0
0,
t
A,
(t) = [ ] .
x
p1a
1a
2(t)
x
p1[ ] = [
0
] ⋅ [ ] + [ ] = [
] .
0
2
2
1
3
a
a
121
0
2 + + 1
a
2 + 3
1a
1a
2a
2{ 2 + = −1
a
1a
22 + 3 = 0
a
1a
2= − ,
=
a
1 34a
2 12(t) = [
] .
x
p1−
3 4 1 2[
x
′1(t)
] = [
] ⋅ [
] + [ ] .
(t)
x
′ 22
2
1
3
x
x
12(t)
(t)
0
1
e
t1
t
A,
(t) = [ ] t + [ ] .
2 tb
1 t(4) Po zróżniczkowaniu i podstawieniu do ( 3 ) otrzymujemy
Po podzieleniu obu stron powyższej równości przez i wymnożeniu macierzy otrzymujemy
Stąd dostajemy układ równań:
którego rozwiazaniem jest gdzie jest dowolną liczbą rzeczywistą. Przyjmując
rozwiązanie szczególne układu ( 5 ) jest dane wzorem Zatem otrzymujemy rozwiązanie ogólne układu ( 1 ) postaci
PRZYKŁAD
Przykład 2:
Przykład 2:
Wyznaczyć rozwiązanie ogólne układu równań gdzie
Równanie jednorodne
jest rozważane w Rozwiązywanie układów równań liniowych jednorodnych o stałych współczynnikach, gdy wartości własne są jednokrotne, ale nie wszystkie rzeczywiste-1. Jednokrotnymi wartościami własnymi macierzy są
i rozwiązanie ogólne układu jednorodnego jest wówczas postaci
gdzie są to dowolne stałe, należące do zbioru liczb rzeczywistych. Funkcję można zapisać następująco :
Wyznaczamy rozwiązanie szczególne dla następującego układu równań
(t) = [ ] t + [ ] .
x
p2a
1a
2e
tb
1b
2e
t(t)
x
p2([ ] (t + 1) + [ ]) = [
a
1] ⋅ ([ ] t + [ ]) + [ ] .
a
2b
1b
2e
t2
2
1
3
a
a
12b
1b
2e
t0
1
e
te
t[
a
1t + +
a
1b
1] = [
] ⇔ [
] = [ ] .
t + +
a
2a
2b
2(2 + )t + 2 +
a
1a
2b
1b
2(2 + 3 )t + 2 + 3 + 1
a
1a
2b
1b
2( + )t + + −
a
1a
2b
1b
2a
1(2 + 2 )t + 2 + 2 − + 1
a
1a
2b
1b
2a
20
0
,
⎧
⎩
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
+ = 0
a
1a
2− + + = 0
a
1b
1b
22 + 2 = 0
a
1a
2− + 2 + 2 = −1
a
2b
1b
2= − ,
= ,
= − − ,
a
1 13a
2 13b
1 13b
2b
2= 0,
b
2(t) = [
] t + [
] .
x
p2−
1 3 1 3e
t−
130
e
tx(t) = (t) +
x
cx
p1(t) +
x
p2(t) = [
] +
(
2+
) + (−
+
)
3e
t 13e
4tc
1 13e
t 13e
4tc
2(−
2+
) + (
+
)
3e
t 23e
4tc
1 13e
t 23e
4tc
2[
−
34] + [
] t + [
] .
1 2−
1 3 1 3e
t−
130
e
t(t) = A ⋅ x(t) + f(t),
x
′A =
⎡
i
f(t) =
.
⎣
⎢
−1
1
−1
−1
1
0
2
0
1
⎤
⎦
⎥
⎡
⎣
⎢
2 cos t + 1
sin t
− 2
e
t⎤
⎦
⎥
(t) =
=
⋅
x
′⎡
⎣
⎢
(t)
x
′ 1(t)
x
′ 2(t)
x
′ 3⎤
⎦
⎥
⎡
⎣
⎢
−1
1
−1
−1
1
0
2
0
1
⎤
⎦
⎥
⎡
⎣
⎢
(t)
x
1(t)
x
2(t)
x
3⎤
⎦
⎥
A
= 1,
= 1 + i,
= 1 − i
λ
1λ
2λ
3x(t) =
c
1⎡
+
cos t −
sin t
+
sin t +
cos t
,
⎣
⎢
0
2
1
⎤
⎦
⎥e
tc
2⎛
⎝
⎜
⎡
⎣
⎢
0
1
1
⎤
⎦
⎥
⎡
⎣
⎢
−1
0
0
⎤
⎦
⎥
⎞
⎠
⎟e
tc
3⎛
⎝
⎜
⎡
⎣
⎢
0
1
1
⎤
⎦
⎥
⎡
⎣
⎢
−1
0
0
⎤
⎦
⎥
⎞
⎠
⎟e
t,
i
c
1c
2c
3f(t)
f(t) =
⎡
= (t) + (t) + (t), gdzie
(t) =
,
(t) =
,
(t) =
.
⎣
⎢
2 cos t + 1
sin t
− 2
e
t⎤
⎦
⎥ f
1f
2f
3f
1⎡
⎣
⎢
2 cos t
sin t
0
⎤
⎦
⎥ f
2e
t⎡
⎣
⎢
0
0
1
⎤
⎦
⎥ f
3⎡
⎣
⎢
1
0
−2
⎤
⎦
⎥
(t) =
= A ⋅ x(t) + (t) =
⋅
+
.
′⎡
⎣
⎢
(t) ⎤
⎦
⎥
1⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
(5)
(6)
(7) Ponieważ liczby nie są wartościami własnymi macierzy to szukamy rozwiązania szczególnego układu ( 5 ) w postaci:
Po zróżniczkowaniu i podstawieniu do ( 5 ) a następnie po przeniesieniu na lewą stronę otrzymujemy następującą tożsamość:
która jest prawdziwa dla dowolnego jeżeli spełniają układ równań
Rozwiązaniem powyższego układu jest i wtedy rozwiązanie szczególne ma postać
Wyznaczamy teraz rozwiązanie szczególne dla następującego układu równań
Ponieważ liczba - współczynnik przy w funkcji wykładniczej, jest jednokrotną wartością własną macierzy to szukamy rozwiązania szczególnego układu ( 5 ) w postaci:
Po zróżniczkowaniu i podstawieniu do równania ( 6 ) oraz przeniesieniu na lewą stronę otrzymujemy następującą tożsamość:
która jest prawdziwa dla dowolnego jeżeli spełniają układ równań
którego rozwiazaniem jest gdzie jest dowolną liczbą
rzeczywistą. Przyjmując rozwiązanie szczególne układu ( 6 ) ma wtedy postać Pozostaje nam wyznaczyć rozwiązanie szczególne dla układu równań
Szukamy rozwiązania szczególnego układu ( 7 ) w postaci:
(t) =
= A ⋅ x(t) + (t) =
⋅
+
.
x
′⎡
⎣
⎢
(t)
x
′ 1(t)
x
′ 2(t)
x
′ 3⎤
⎦
⎥
f
1⎡
⎣
⎢
−1
1
−1
−1
1
0
2
0
1
⎤
⎦
⎥
⎡
⎣
⎢
(t)
x
1(t)
x
2(t)
x
3⎤
⎦
⎥
⎡
⎣
⎢
2 cos t
sin t
0
⎤
⎦
⎥
i, −i
A,
(t) =
cos t +
sin t.
x
p1⎡
⎣
⎢
a
a
1121a
31⎤
⎦
⎥
⎡
⎣
⎢
a
a
1222a
32⎤
⎦
⎥
(t)
x
p1cos t +
sin t =
,
⎡
⎣
⎢
−2 −
a
a
1111+
−
a
a
1221+
+
a
a
2122− 2
a
31−
+
a
11a
31a
32⎤
⎦
⎥
⎡
⎣
⎢
−
−1 +
a
11−
a
a
1212−
+
a
a
2122−
− 2
a
22a
32−
−
a
12a
31a
32⎤
⎦
⎥
⎡
⎣
⎢
0
0
0
⎤
⎦
⎥
t,
a
11,
a
12,
a
21,
a
22,
a
31,
a
32.
⎧
⎩
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
−2 −
a
11+
a
12+
a
21− 2
a
31= 0
+
−
+ 2
= 0
a
11a
12a
22a
32−
+
= 0
a
11a
21a
221 −
a
12+
a
21+
a
22= 0
−
+
= 0
a
11a
31a
32−
a
12+
a
31+
a
32= 0
= − ,
= ,
= − ,
= ,
= − ,
=
a
11 85a
12 15a
21 65a
22 25a
31 107a
32 109(t) =
cos t +
sin t.
x
p1⎡
⎣
⎢⎢
−
8 5−
6 5−
7 10⎤
⎦
⎥⎥
⎡
⎣
⎢⎢
1 5 2 5 9 10⎤
⎦
⎥⎥
(t) =
= A ⋅ x(t) + (t) =
⋅
+
.
x
′⎡
⎣
⎢
(t)
x
′ 1(t)
x
′ 2(t)
x
′ 3⎤
⎦
⎥
f
2⎡
⎣
⎢
−1
1
−1
−1
1
0
2
0
1
⎤
⎦
⎥
⎡
⎣
⎢
(t)
x
1(t)
x
2(t)
x
3⎤
⎦
⎥
⎡
⎣
⎢
0
0
e
t⎤
⎦
⎥
1
t
A,
(t) =
+
t
.
x
p2⎛
⎝
⎜
⎡
⎣
⎢
b
b
1121b
31⎤
⎦
⎥
⎡
⎣
⎢
b
b
1222b
32⎤
⎦
⎥
⎞
⎠
⎟e
t(t)
x
p2=
,
⎡
⎣
⎢
( +
b
12b
21− 2 + ( − 2 )t
b
31b
22b
32+
+ t
b
11b
22b
12−1 +
b
11+
b
32+ t
b
12⎤
⎦
⎥e
t⎡
⎣
⎢
0
0
0
⎤
⎦
⎥
t,
b
11,
b
12,
b
21,
b
22,
b
31,
b
32,
⎧
⎩
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
+
− 2
= 0
b
12b
21b
31+
= 0
b
11b
22−1 +
b
11+
b
32= 0
− 2
= 0
b
22b
32= 0
b
12= 2,
= 0,
= −2
=
,
= −1,
b
11b
12b
22b
31 12b
21b
32b
21= 0,
b
21(t) =
+
t
.
x
p2⎛
⎝
⎜
⎡
⎣
⎢
2
0
0
⎤
⎦
⎥
⎡
⎣
⎢
−2
0
−1
⎤
⎦
⎥
⎞
⎠
⎟e
t(t) =
= A ⋅ x(t) + (t) =
⋅
+
.
x
′⎡
⎣
⎢
(t)
x
′ 1(t)
x
′ 2(t)
x
′ 3⎤
⎦
⎥
f
3⎡
⎣
⎢
−1
1
−1
−1
1
0
2
0
1
⎤
⎦
⎥
⎡
⎣
⎢
(t)
x
1(t)
x
2(t)
x
3⎤
⎦
⎥
⎡
⎣
⎢
1
0
−2
⎤
⎦
⎥
(t) =
.
3⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
Po zróżniczkowaniu i podstawieniu do równania ( 7 ) otrzymujemy następujący układ równań
którego rozwiazaniem jest Rozwiązanie szczególne układu ( 7 ) ma postać
Zatem rozwiązanie ogólne układu ( 4 ) jest następujące:
Publikacja udostępniona jest na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa - Na tych samych warunkach 3.0 Polska. Pewne prawa zastrzeżone na rzecz autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej. Zezwala się na dowolne wykorzystanie treści publikacji pod warunkiem wskazania autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej jako autorów oraz podania informacji o licencji tak długo, jak tylko na utwory zależne będzie udzielana taka sama licencja. Pełny tekst licencji dostępny na stronie
http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/pl/.
Data generacji dokumentu: 2019-04-16 01:39:35
Oryginalny dokument dostępny pod adresem: https://epodreczniki.open.agh.edu.pl/openagh-permalink.php? link=f3d84af89ec5e983d32383953e60a219
Autor: Julian Janus
