STANY NIEUSTALONE W OBWODACH ELEKTRYCZNYCH
I. Wprowadzenie do ćwiczenia
1. Rozwiązywanie równań różniczkowych zwyczajnych
Dowolne równanie różniczkowe zwyczajne rzędu n
)
,...,
,
,
(
( 1) ) 1 ( ) ( ) ( − −=
n n n ndt
y
d
dt
dy
y
t
f
dt
y
d
(1)
z warunkami początkowymi:
0 0)
(
t
y
y
=
,
(
t
0)
y
01dt
dy
=
, …,
( 1) 0 0( 1) ) 1 ()
(
− − −=
n n ny
t
dt
y
d
(2)
mo
ż
na, za pomoc
ą
metody zmiennych stanu
, przedstawi
ć
jako układ n równa
ń
ró
ż
niczkowych rz
ę
du pierwszego. Najcz
ęś
ciej dobiera si
ę
je tak, aby ka
ż
da kolejna zmienna
{y
1,y
2, …,y
n} była pochodn
ą
po czasie poprzedniej:
=
=
=
=
=
− − − ) 1 ( ) 1 ( 1 2 3 1 2 1....
n n n ndt
y
d
dt
dy
y
dt
dy
y
dt
dy
y
y
y
(3)
Równanie (3) mo
ż
na zapisa
ć
w postaci:
=
=
=
=
− −)
,...,
,
,
(
....
2 1 ) ( ) ( ) 1 ( ) 1 ( 3 2 2 1 n n n n n ny
y
y
t
f
dt
y
d
y
dt
y
d
y
dt
dy
y
dt
dy
(4)
Równanie (4) mo
ż
na zapisa
ć
w postaci wektorowej:
=
)
,...,
,
(
...
...
2 , 1 3 2 2 1 n nf
t
y
y
y
y
y
y
y
y
dt
d
(5)
z wektorem warunków pocz
ą
tkowych:
=
− − 0( 1) 01 0 0 1 0 1 0...
)
(
...
)
(
)
(
n ny
y
y
t
y
t
y
t
y
(6)
2. Rozwi
ą
zywanie układów równa
ń
ró
ż
niczkowych zwyczajnych w MATLABie.
Rozwi
ą
zywanie układu równa
ń
ró
ż
niczkowych zwyczajnych realizuj
ą
w MATLABie funkcje
ODE
(ordinary differential equations
). W zale
ż
no
ś
ci od zastosowanego algorytmu
numerycznego rozró
ż
nia si
ę
funkcje: ode45 i ode23 (metody Rungego-Kutty), ode113
(metoda Adamsa), ode15s (metoda Geara), itd.
Sposób wywołania ka
ż
dej funkcji ODE jest jednakowy:
[t, y]=funkcja_ODE( plik_ODE, przedział czasu, warunek początkowy).
gdzie: plik_ODE nazwa m-pliku z definicj
ą
wybranego układu równa
ń
ró
ż
niczkowych,
przedział czasu – wektor okre
ś
laj
ą
cy czas pocz
ą
tkowy i ko
ń
cowy [t
ot
k],
warunek pocz
ą
tkowy – wektor okre
ś
laj
ą
cy warunki pocz
ą
tkowe funkcji i jej (n-1)
pochodnych.
Przykład 1
Równanie ró
ż
niczkowe opisuj
ą
ce ruch masy
m
zawieszonej na idealnej spr
ęż
ynie o
współczynniku spr
ęż
ysto
ś
ci
k
ma posta
ć
:
0
2 2=
+ ky
dt
y
d
m
Wyznaczy
ć
przebieg y(t) (czyli rozwi
ą
za
ć
równanie ró
ż
niczkowe) dla y
0=1,
(
0
)
=
0
dt
dy
w
czasie od 0 do 10s. Do oblicze
ń
przyj
ąć
m=1; k=1.
Rozwi
ą
zanie:
Zgodnie z (1) równanie to mo
ż
na przedstawi
ć
w postaci:
y
dt
y
d
=
−
2 2.
Wprowadzaj
ą
c zmienne stanu y
1, y
2zgodnie z (3) otrzymujemy:
=
=
dt
dy
y
y
y
1 2 1,
czyli zgodnie z (4)
−
=
=
1 2 2 1y
dt
dy
y
dt
dy
,
co w postaci wektorowej zgodnie z (5) mo
ż
na zapisa
ć
nast
ę
puj
ą
co:
−
=
1 2 2 1y
y
y
y
dt
d
.
Wektor warto
ś
ci pocz
ą
tkowych zgodnie z 6:
=
0
1
)
(
)
(
0 1 0t
y
t
y
.
Uzyskany układ równa
ń
mo
ż
na zapisa
ć
w m-pliku
wahadlo.m
na trzy sposoby:
- pierwszy
function wah = wahadlo(t,y)
wah=[y(2); -y(1)];
- drugi
function wah=wahadlo(t,y);
wah=zeros(2,1);
wah(1)=y(2);
wah(2)=-y(1);
- trzeci
Korzystaj
ą
c z równania stanu
x
=
Ax
+
Bu
dt
d
, dla
u=0 otrzymujemy w naszym przykładzie:
−
=
0
...
1
1
..
0
...
A
oraz
=
2 1y
y
x
. Wobec tego m-plik funkcyjny ma posta
ć
:
function wah=wahadlo(t,y)
A=[0 1; -1 0];
wah=A*y;
Rozwi
ą
zanie równania ró
ż
niczkowego uzyskujemy wywołuj
ą
c funkcj
ę
ODE w przestrzeni
roboczej MATLABa:
<< [t,y]=ode45(‘wahadlo’,[0 10],[1;0]);
Aby narysowa
ć
przebieg y(t) nale
ż
y poda
ć
polecenie:
<< plot(t,y(:,1));
Wywołanie funkcji ode i wykres y(t) mo
ż
na zrealizowa
ć
jednocze
ś
nie w m-pliku
np.:
wyk_wah.m
[t,y]=ode45(‘wahadlo’,[0 10],[1;0]);
plot(t,y(:,1));
grid;
xlabel(‘t [s]’);
ylabel(‘y’);
Realizacja tego zagadnienia przedstawiona jest na rys. 1.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 t[s] y
II. Opis zadania laboratoryjnego
W obwodzie przedstawionym na rys.2 w chwili t=0 zamkni
ę
to wył
ą
cznik. Wyznaczy
ć
przebieg pr
ą
du płyn
ą
cego przez cewk
ę
i napi
ę
cia na kondensatorze je
ż
eli e(t) = E
msinωt.
Przeprowadzi
ć
analiz
ę
stanu nieustalonego.
R2 L C e(t) R1 t=0
