Metoda komputerowego wspomagania wyznaczania harmonogramów pracy pojazdów trakcyjnych Method of computer aided determining work schedules for traction vehicles

(1)

z. 64 Transport 2008

Tomasz AMBROZIAK, Renata PIĘTKA Politechnika Warszawska

Wydział Transportu ul. Koszykowa

tam@it.pw.edu.pl, pietkar@poczta.onet.pl

METODA KOMPUTEROWEGO WSPOMAGANIA WYZNACZANIA

HARMONOGRAMÓW PRACY POJAZDÓW TRAKCYJNYCH

Streszczenie

W artykule przedstawiona została propozycja metody komputerowego wspomagania wyznaczania harmonogramów pracy pojazdów trakcyjnych. W szczególności został przedstawiony model matematyczny zagadnienia przydziału pojazdów trakcyjnych do realizowanych zadań przewozowych. Harmonogramy pracy pojazdów trakcyjnych uzyskujemy stosując metodę tzw. mini-obiegów.

Słowa kluczowe: modelowanie matematyczne, optymalizacja sieci, transport kolejowy.

1. WPROWADZENIE

Istotą kolejowego przedsiębiorstwa kolejowego przewozów pasażerskich jest stworzenie takiej organizacji przewozów (poprzez odpowiednio ułożony i realizowany rozkład jazdy pociągów), która będzie spełniała coraz bardziej rosnące wymagania klientów.

Pojazdy trakcyjne są jednym z najcenniejszych elementów wyposażenia przedsiębiorstwa kolejowego. W związku z tym bardzo ważna jest kwestia maksymalnie intensywnego ich wykorzystania. Na racjonalne tj. ekonomiczne wykorzystanie pojazdów trakcyjnych wpływa, poza czynnikami technicznymi, właściwa organizacja ich pracy.

Nieoptymalne zaplanowanie harmonogramów pracy pojazdów trakcyjny przekłada się na wykorzystanie nadmiernej liczby pojazdów w stosunku do realizowanych zadań oraz wykonywanie przez pojazdy zbyt dużej liczby przejazdów „służbowych” (próżnych), co naraża przedsiębiorstwo na wysokie, niepotrzebne koszty.

Zastosowanie odpowiednich narzędzi wspomagania procesu harmonogramowania może prowadzić do zmniejszenia kosztów jakie ponosi przedsiębiorstwo, a związanych z korzystaniem z infrastruktury oraz zapewnieniem dostaw energii trakcyjnej. Biorąc zatem pod uwagę uwarunkowania kosztowe ważne jest takie zaprojektowanie harmonogramów pracy pojazdów, aby ograniczały one liczbę przebiegów służbowych (próżnych).

Optymalizacja harmonogramów pracy pojazdów staje się możliwa przy zastosowaniu komputerowego wspomagania wyznaczania harmonogramów pracy pojazdów trakcyjnych z zastosowaniem aparatu programowania matematycznego nieliniowego.

Poniżej przedstawione zostało jedno z możliwych podejść do wyżej wspomnianego zagadnienia.

(2)

2. OPIS PROBLEMU

Problem wyznaczania harmonogramów pracy pojazdów trakcyjnych w kontekście pasażerskiego transportu kolejowego scharakteryzować można następująco.

Podczas konstrukcji rozkładu jazdy na postawie popytu na przewozy pasażerskie określana jest liczba pociągów jaki należy uruchomić w celu zaspokojenia potrzeb przewozowych. Każdy pociąg scharakteryzowany jest poprzez:

• numer;

• termin kursowania(częstotliwość);

• relację pociągu określoną przez stację odjazdu oraz stację przybycia; • moment odjazdu ze stacji początkowej;

• moment przyjazdu do stacji końcowej; • typ składu przeznaczonego do jego obsługi.

Bazę transportową definiujemy jako miejsce obsługi technicznej składów pociągów (gdzie rozpoczynają i kończą one swoją pracę). Przyjmujemy założenie, że w bazach taboru, w dyspozycji przewoźnika znajduje się v pojazdów (składów), które przeznaczone są do obsługi założonych w rozkładzie jazdy pociągów „handlowych”.

Biorąc powyższe pod uwagę, zadaniem jest wyznaczenie takiego planu ruchu pojazdów, w skład którego wchodzą: plan tras i harmonogram ruchu pojazdów, aby:

• każdy z uruchamianych pociągów miał zapewniony skład;

• zminimalizowana została całkowita liczba użytych pojazdów (składów);

• zminimalizowany został całkowity koszt przejazdów „służbowych”(próżnych) oraz przejść składów na stacjach,

przy spełnieniu nałożonych ograniczeń, które wynikają z rozwiązywanego problemu.

Proponowana w artykule metoda ma na celu wsparcie pracy konstruktora planów pracy pojazdów trakcyjnych, który korzystając z niej będzie miał możliwość szybkiego sprawdzenia swoich koncepcji organizacji obsługi trakcyjnej pociągów i wyboru do realizacji najkorzystniejszego rozwiązania.

W przypadku organizacji kolejowych przewozów regionalnych, ze względu na konieczność uruchamiania około 500 pociągów w ciągu doby, wyznaczanie planów obiegów składów pojazdów przy zastosowaniu metod ścisłych jest trudne do uzyskania.

Ograniczenie rozmiaru problemu uzyskać można stosując kilkuetapową metodę rozwiązania ww. zagadnienia. Schemat metody przedstawia rysunek nr 1.

Aby przedstawić koncepcję mini-obiegów, założymy, że mamy optymalne rozwiązanie przedstawionego zagadnienia, tj., optymalny zbiór możliwych obiegów. Wtedy dla wszystkich obiegów znamy optymalną kolejność, w której poszczególne pociągi są obsługiwane. W celu wyznaczenia optymalnego zbioru mini-obiegów możemy zastosować następującą procedurę:

• rozpatrzymy każdy obieg od początku do końca;

• podzielimy go na segmenty identyfikowane przez przebywanie pojazdu w bazie utrzymania. Za każdym razem, gdy pojazd wyjeżdża z bazy rozpoczynamy nowy segment, a kiedy pojazd wraca do bazy kończymy ten segment. Otrzymane w ten sposób segmenty są optymalnym zbiorem mini-obiegów.

Powyższe przedstawienie optymalnego zbioru mini-obiegów sugeruje niektóre pożądane charakterystyki spełniane przez wygenerowane mini-obiegi a mianowicie:

(3)

• każdy mini-obieg rozpoczyna się i kończy w tej samej bazie;

• „długość” mini-obiegu wyrażona w godzinach, bądź kilometrach nie przekracza maksymalnych wartości określonych dla wykonywania przeglądów kontrolnych oraz obsługi taboru;

• mini-obiegi powinny zapewniać zgodność przejść w całym okresie planowania obiegów tj. np.: jeżeli pociąg jest uruchamiany pięć dni w tygodniu, to każdego dnia jego skład powinien mieć zapewniony takie samo przejście.

Rys. 1. Schemat metody rozwiązania Źródło: opracowanie własne.

Dla wyznaczenia mini – obiegów metodą, której schemat przedstawia rys. 1, w poszczególnych jej etapach formułowane jest odpowiednie zadanie optymalizacyjne. Rozwiązywanie problemu wyznaczenia mini – obiegów w kilku etapach pozwala na ograniczenie rozmiarów problemu, co pozwala na zastosowanie wspomagania komputerowego.

Do rozwiązywania zadań optymalizacyjnych w poszczególnych etapach metody wykorzystujemy program LINGO. Poniżej przedstawiono matematyczne zadanie optymalizacyjne oraz jego implementację w programie LINGO.

3. SFORMUŁOWANIE MATEMATYCZNE ZADANIA OPTYMALIZACYJNEGO Aby wykorzystać możliwości programu LINGO przy rozwiązywaniu zadań optymalizacyjnych, konieczne jest takie sformułowanie optymalizacyjnego zadania matematycznego, w którym wyróżnić należy konkretne zbiory i podzbiory. Dla problemów z dużą liczbą danych oraz zmiennych decyzyjnych takie podejście pozwala na zapisanie powtarzających się ograniczeń za pomocą pojedynczych poleceń programu LINGO.

Dla budowy optymalizacyjnego zadania matematycznego, wykorzystywanego w fazie I, II oraz III metody, w której wykorzystamy pakiet LINGO, zakładamy, że strukturę połączeń

(4)

pomiędzy bazami napraw i utrzymania oraz poszczególnymi zadaniami (pociągami) przedstawić można jako graf G=〈W, L〉, gdzie W oznacza zbiór wierzchołków, zaś zbiór L jest zbiorem łuków.

Zbiór wierzchołków podzielony jest na trzy rozłączne podzbiory: • W1 – zbiór wierzchołków odpowiadających bazom wyjazdowym;

• W2 – zbiór wierzchołków odpowiadających zadaniom (pociąg);

• W3 – zbiór wierzchołków odpowiadających bazom powrotnym.

Dla każdego z wierzchołków i∈ W2 (zadania) określamy:

• numer – n∈ ; • dzień kursowania d; • stację odjazdu od i S ; • stację przybycia prz i S ;

• moment odjazdu ze stacji początkowej od i T ; • moment przyjazdu do stacji końcowej prz

i T ;

• oraz wielkość Ziokreślającą typ składu przeznaczonego do obsługi zadania. Zbiór L składa się z czterech podzbiór łuków:

• L1 – zbiór łuków odpowiadających połączeniom między wierzchołkami ze zbiorów

W1 oraz W2 odpowiednio – łuki wyjazdowe;

• L2 – zbiór łuków odpowiadających połączeniom między wierzchołkami i, j ∈ W2, przy

czym stacja przybycia dla wierzchołka i jest taka sama jak stacja odjazdu dla wierzchołka j – przejścia na stacji;

• L3 – zbiór łuków odpowiadających połączeniom między wierzchołkami i, j ∈ W2, przy

czym stacja przybycia dla wierzchołka i jest różna od stacja odjazdu dla wierzchołka j – przejścia służbowe;

• L4 – zbiór łuków odpowiadających połączeniom między wierzchołkami ze zbiorów

W2 oraz W3 odpowiednio– łuki powrotne.

Dla łuków ze zbiorów L2 oraz L3, aby istniało połączenie między dowolnymi wierzchołkami i, j∈ W2 dodatkowo spełnione muszą być następujące warunki:

• momenty przyjazdu i odjazdu musza spełniać następujący warunek: prz

i

T + to_≤ od j

T , gdzie to_{jest czasem potrzebnym na „obrót” składu.} • czas postoju ( od

j

T - prz i

T ) na stacji zwrotnej nie może przekraczać maksymalnej wielkości, np.:12 godzin.

Dla każdego łuku l∈L między wierzchołkami i oraz j, gdzie i, j∈W, (i≠j), określony jest czas przejazdu ti,j.

W omawianym zadaniu optymalizacyjnym dla znalezienia rozwiązania optymalnego zastosowano kryterium kosztowe. Z każdym łukiem l∈L zawartym między wierzchołkami i oraz j związany jest koszt „przepływu” po tym łuku. Dla poszczególnych typów łuków może on być zdefiniowany jako:

• koszt ,

w i j

c wykorzystania do realizacji przewozów kolejnego pojazdu (składu) oraz koszt realizacji przejazdu służbowego po tym łuku - dla łuków wyjazdowych;

• koszt _ ,

p st i j

c związany z opłatami za zajęcie torów stacyjnych przez oczekujące pojazdy (składy) - dla łuków przejść na stacjach;

(5)

• koszt _ ,

p sl i j

c realizacji przejazdu służbowego- dla łuków wyjazdowych, przejazdów służbowych oraz łuków powrotnych.

Wprowadzamy następujące typy zmiennych decyzyjnych definiowanych następująco:

1, jeżeli łuk (i, j)∈L1 należy do dowolnego mini - obiegu

, w i j l∈

Λ

L1

x

=

⎧ ⎨ ⎩ 0, w przeciwnym przypadku. (3.1)

_ , p st i j l∈

Λ

L2

x

=

_ , p sl i j l∈

Λ

L3

x

=

, p i j l∈

Λ

L4

x

=

⎧ ⎨ ⎩ 0, w przeciwnym przypadku. (3.4) i i∈

Λ

W2

y

=

s

gdzie s∈C oznacz długość mini - obiegu,

W I fazie metody rozwiązywane jest następujące zadanie optymalizacyjne programowania liniowego.

Znaleźć minimum funkcji

1 2 3 4 _ _ _ _ _ _ , , , , , , , , , , , , , ( w p sl) w p st p st p sl p sl p sl p i j L i j i j i j i j i j L i j i j i j i j L i j i j i j i j L i j i j i j c c x c x c x c x ∈ ∧ ≠ ∈ ∧ ≠ ∈ ∧ ≠ ∈ ∧ ≠ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅

∑

→→→→ min (3.5) przy ograniczeniach: 2 1 2 2 _ _ , , , 1 w p st p sl j i j i j i i W i j∈ ∧ ≠Λ

∑

_{j W}_∈ x +_{j W}_{∈ ∧ ≠}

∑

_{i j} x +_{j W}_{∈ ∧ ≠}

∑

_{i j} x = (3.6) 2 1 2 2 3 2 2 _ _ _ _ , , , , , , 0 w p st p sl p p st p sl j i j i j i i j i j i j i W i j∈ ∧ ≠Λ

∑

_{j W}_∈ x +_{j W}_{∈ ∧ ≠}

∑

_{i j} x +_{j W}_{∈ ∧ ≠}

∑

_{i j} x −_{j W}

∑

_∈ x −_{j W i j}_{∈ ∧ ≠}

∑

x −_{j W}_{∈ ∧ ≠}

∑

_{i j} x = (3.7) 2 2 2 _ _ , , , , , ( , ) ( , ) i k j m, 0 p st p st i j k m i j k m W∈ ∧ ≠ ≠ ≠ ∧i j k m i j L∈ ∧Λ k m L∈ ∧ =n n ∧ =n n x −x = (3.8) _ _ , , , , , , ₂ ( , ) ₃ ( , ) ₃ 0 p sl p sl i j k m i j k m W∈ ∧ ≠ ≠ ≠ ∧i j k m i j L∈ ∧Λ k m L∈ ∧ = ∧ =n n_i _k n_j n_m x −x = (3.9) _ _ , , , , ( , ) , , , {0,1} w p st p sl p i j i j i j i j i j LΛ∈ x x x x ∈ (3.10)

W powyższym sformułowaniu ograniczenie (3.5) zapewnia pojazd trakcyjny do obsługi każdego pociągu ze zboru W2. Ograniczenie (3.6) jest klasycznym ograniczeniem na

zachowanie przepływu w wierzchołku i∈W2. Ograniczenia (3.7) oraz (3.8) są ograniczeniami

na zgodność przejść w mini– obiegach. Ograniczenia (3.9) definiują dziedzinę zmiennych decyzyjnych.

Po uzyskaniu w fazie I metody rozwiązania przedstawionego modelu, na podstawie uzyskanych wartości zmiennych decyzyjnych ,_

p st i j

x

tworzone są pierwsze grupy wierzchołków należących do zbioru W2.

(6)

4. PODSUMOWANIE I WNIOSKI KOŃCOWE

Przedmiotem rozważań w dalszych badaniach będą zagadnienia określone w fazach II oraz III przedstawionych na schemacie metody rozwiązania.

W fazie II formułowane i rozwiązywane będzie zadanie optymalizacyjne z fazy I uzupełnione o ograniczenia: 2 1 2 _ _ , , 1 p st p st j i j i i W i j j W j W i j x x ∈ ∧ ≠Λ

∑

_∈ + _{∈ ∧ ≠}

∑

≤ (3.11)

zapewniające, że mini – obieg rozpoczynać i kończyć się będzie w bazie. Sformułowanie adekwatnego do sytuacji zadania optymalizacyjnego

Po uzyskaniu w fazie II wartości zmiennych decyzyjnych ,_

p st i j

x

przeprowadzany jest kolejny etap grupowania wierzchołków należących do zbioru W2.

W fazie III zadanie optymalizacyjne z fazy I uzupełniane jest o ograniczenia zapewniające, że „długość” mini-obiegu wyrażona w godzinach, bądź kilometrach nie przekroczy maksymalnych wartości określonych dla wykonywania przeglądów kontrolnych oraz obsługi taboru.

W wyniku rozwiązania zadania optymalizacyjnego fazy III metody, otrzymujemy poszukiwany zbiór mini – obiegów, które następnie przypisane zostaną do pojazdów.

LITERATURA

[1] Ambroziak T, Piętka R.: Metoda wyznaczania suboptymalnych planów pracy pojazdów

(składów), Zeszyty Naukowe Politechniki Warszawskiej s. Transport, zeszyt 63, Warszawa

2007.

[2] Ambroziak T, Piętka R.: Metoda wyznaczania suboptymalnej organizacji przewozów

terminowych, Wybrane Zagadnienia Logistyki Stosowanej Rocznik 2005 PAN Kom.

Transportu.

[3] Cordeau J. F., Soumis F., Desrosiers J.: Simultaneous assignment of locomotives and cars to

passenger trains, Operations Research. Volume 49, Issue 4, July 2001.

[4] Ahuja R. K., Liu J., Orlin J. B., Sharma D., Shughart L..: Solving Real-Life Locomotive

Scheduling Problems, Working papers. Massachusetts Institute of Technology (MIT), Sloan

School of Management. (http://ideas.repec.org/s/mit/sloanp.html).

[5] Ziarati, K., Soumis F., Desrosiers J., Gelinas S., Saintonge A.: Locomotive assignment with

heterogeneous consists at CN North America, European Journal of Operational Research 97,

1997.

METHOD OF COMPUTER AIDED DETERMINING WORK SCHEDULES FOR TRACTION VEHICLES

Abstract

The proposal of the method of the computer aid of marking the schedules of the work of traction vehicles was introduced in the article. He became in the peculiarity introduced the mathematical model of the question of the allotment of traction vehicles to realized transport tasks. Applying the method of so-called mini-circulations we get the schedules of the work of traction vehicles.

Keywords: railway transport; network optimization; train scheduling.