Podstawy teoretyczne

(1)

1. 

1. PODSTAWY TEORETYCZNE

1.1. Wprowadzenie

W pierwszym wykładzie przypomnimy podstawowe działania na macierzach. Niektóre z nich zostały opisane bardziej szczegółowo w innych opracowaniach wykładów. My zajmiemy się tymi, które przydatne będą w zrozumieniu późniejszych przekształceń macierzowych. Ponadto przypomnimy podstawowe zagadnienia z teorii sprężystości.

1.2. Podstawowe działania na macierzach

Przyjmijmy, że macierz [D] jest macierzą cosinusów kierunkowych

[

D

]

=

[



i ' j

]

(1.1)

Wówczas macierz transformowana jest równa macierzy odwrotnej (transformacja ortonormalna)

[

D

]

−1

≡

[

D

]

T (1.2)

Wektor to macierz wierszowa. Weźmy pod uwagę wektor o trzech składowych, który zapisujemy ogólnie jako:

{A}=[ A

1

A

2

A

3

]

1 x3 (1.3)

Transponując wektor otrzymamy macierz (kolumnową) o wymiarach 1x3

[ A]

T

=

[

A

₁

A

₂

A

₃

]

3×1 (1.4)

Macierz odwrotna do danej to taka, która po przemnożeniu przez daną daje macierz jedynkową

{A}

−1

_{⋅{A}=[ I ]}

_(1.5)

Macierz odwrotną obliczamy z zależności:

{A}

−1

₌

1 det

{A}

⋅

[

−1

i j

_⋅M

ij

]

T (1.6)

gdzie

M

_ijjest macierzą minorów Przykład:

(2)

Obliczyć macierz odwrotną do danej macierzy A, która jest określona następująco:

A

=

{

1

3 −1 3

3

4

2 −1 5

}

Obliczamy wyznacznik macierzy A

det A

=1⋅3⋅5−1⋅4⋅23⋅3⋅−1−2⋅3⋅3−−1⋅4⋅1−5⋅3⋅−1=−1

Wyznaczamy macierz minorów

M

_ij

=

[

−2 −1

19

7 −9

1 −13 −5

6 ]

Następnie obliczamy wartość wyrażenia

[

−1ij⋅M_ij

]

T

M

ij

=

[

19

2 −13

−7 −1

5 −9 −1

6 ]

Dla przykładu obliczymy dwie wartości z macierzy odwrotnej do danej macierzy A

A

11

=

1 −1

⋅19=−19

A

₂₃

=

1 −1

⋅5=−5

W analogiczny sposób obliczamy pozostałe wyrazy macierzy odwrotnej. W rezultacie otrzymamy końcową postać macierzy odwrotnej w postaci:

{A}

−1

₌

{

−19 −2 13

7

1 −5

9

1 −6

}

(3)

a) skalarnego (absolutnego)

A⋅B=c

(1.7) b) wskaźnikowego

c

=A

i

⋅B

i (1.8) c) macierzowego

A→[ A]=

[

A

1₂

A

₃

]

=[ A

1

A

2

A

3

]

T

B →[B]=

[

B

12

B

₃

]

A⋅B=[ A]

T

[ B]=[ A

1

A

2

A

3

]

1×3

⋅

[

B

1

B

₂

B

₃

]

3×1

=[C ]

1×1 (1.9)

Pamiętajmy o tym, że mnożenie dwóch macierzy jest możliwe tylko wtedy, gdy liczba kolumn pierwszej z nich jest równa liczbie wierszy drugiej. Możemy to zapisać:

A

_[m×n]

⋅B

[n× p]

=C

[m× p] (1.10)

Łatwo zatem zauważyć, że np. w wyniku mnożenia dwóch macierzy o wymiarach 3x3 otrzymujemy macierz także o wymiarach 3x3

[ A]

3×3

[ B]

3×3

=[C ]

3×3 (1.11)

Wskaźnikowo mnożenie dwóch macierzy zapisujemy

A

_ij

⋅B

jk

=C

ik (1.12)

Transpozycja iloczynu dwóch macierzy

 A B

T

=B

T

_A

T _(1.12)

1.3. Działanie tensora na wektor

(4)

T a=b

T

_ij

a

_j

=b

i

[T ]

3×3

[a]

3×1

=[b]

3×1

(1.13)

co przedstawiają powyższe równania w zapisie odpowiednio absolutnym, wskaźnikowym oraz wektorowym.

Działanie tensora można przykładowo zaprezentować w następujący sposób:

a⋅T =c

[a]

₃_×1

[T ]

₃_×3

 niewykonalne

a

i

⋅T

ij

=c

j

[a]

1×3 T

[T ]

3×3

=[b]

1×3 T

A

_{i '}

=

i ' j

A

j

[ A

'

]=[ D][ A]

A

_j

=

ji '

A

i '

[ A]=[ D]

T

[ A

'

]

(1.14) 1.4. Transformacja tensora

Korzystając z prawa transformacji tensora wyznaczymy teraz współrzędne tensora w układzie obróconym. Postać macierzową wektora b w układzie pierwotnym możemy przedstawić jako

[b]=[T ][a] (1.15)

natomiast w układzie obróconym

[b

'

]=[T

'

][a

'

]

(1.16)

Szukany tensor w układzie obróconym wyznaczamy w następujący sposób - odwołujemy się do (1.1):

[b

'

]=[ D][b]

[b]=[ D]

T

[b

'

]

[a]=[ D]

T

[a

'

]

(1.17)

podstawiamy do wzoru (1.16) i otrzymujemy

[ D]

T

[b

'

]=[T ][ D]

T

[a

'

]

[b

'

]=[T ][ D][ D]

T

[a

'

]

[b

'

]=[T ][a

'

]

[T

'

]=[ D][T ][ D]

T (1.18)

1.5. Podstawowe sformułowania metody elementów skończonych w nawiązaniu do równań mechaniki kontinuum

(5)

W analizie będziemy przyjmować prostokątny układ współrzędnych kartezjańskich

[

1,2,3

]

lub

[

x , y , z

]

Stan naprężenia w nieskończenie małej objętości ciała, które poddano działaniu obciążenia opisujemy w układzie współrzędnych za pomocą składowych tensora, które po uporządkowaniu w macierz



_ij zapiszemy:



ij

=

[



11



12



13



21



22



23



31



32



33

]

(1.19)

Naprężenia, dla których

i

= j

, czyli



11 ,



22 ,



33 przedstawiają naprężenia normalne.

Natomiast naprężenia, dla których

i

≠ j

, czyli



₁₂ ,



₂₁ ,



₁₃ ,



₃₁ ,



₂₃ ,



₃₂ przedstawiają naprężenia styczne.

Tensor stanu naprężenia jest symetryczny, a więc zachodzą następujące zależności



12

=

21



13

=

31



23

=

32 (1.20)

Wykorzystując fakt, że tensor stanu naprężenia jest symetryczny, możemy ten tensor zapisać w postaci wektora

=

[



xx



yy



zz



xy



xz



yz

]

T

(1.21)

Tutaj, jak poprzednio powtarzające się indeksy oznaczają składowe normalne, natomiast różne odnoszą się do składowych stycznych.

Stan odkształcenia nawiązujący do opisu tensorowego możemy przedstawić w uporządkowanej macierzy o składowych



ij



ij

=

[



11



12



13



21



22



23



31



32



33

]

(1.22)

Posługiwać się będziemy również wektorem odkształcenia

_

, którego składowe będą równe

=

[



11



22



33



12



13



23

]

T

(1.23)

Warto zauważyć, że w powyższym zapisie posługujemy się tzw. inżynierskimi definicjami odkształceń stycznych, związanymi z odpowiednimi składowymi tensora odkształceń. Opisują to następujące związki

(6)

Pracę w zapisach wskaźnikowym i macierzowym opisujemy



ij



ij

=

T



(1.25)

Składowe pola przemieszczeń w punkcie opisane są w zapisie odpowiednio wskaźnikowym i macierzowym:

u

_i

=

[

u

₁

, u

₂

, u

₃

]

T (1.26)

1.5.1.1. Podstawowe równania w zapisie wskaźnikowym

Przypomnijmy podstawowy układ równań liniowej teorii sprężystości. Typowe zadanie dla ciała odkształcalnego wymaga znalezienia funkcji naprężeń



lub przemieszczeń

u

spełniających następujące równania:

• trzy równania różniczkowe cząstkowe równowagi (równania Naviera)



ij , j

b

i

=0 i , j=1,2,3

(1.27)

gdzie



_{ij , j}

=

∂

ij

∂ x

j

• sześć równań różniczkowych cząstkowych geometrycznych (równania Cauchy'ego)



ij

=

1

2 

u

i , j

u

j ,i



(1.28)

gdzie

u

_{i , j}

=

∂ u

i

∂ x

j

• sześć równań algebraicznych fizycznych (równania Hooke'a)



ij

=E

ijkl



kl (1.29)

Z powyższego zapisu nie wynika bezpośrednio, że liczba równań Hooke'a jest równa sześć. Dopiero gdy weźmiemy pod uwagę założenia o izotropii układ (3.11) zredukuje się do deklarowanej liczby równań.

Ponadto poszukiwane rozwiązania muszą spełniać dodatkowe zależności:

• równania nierozdzielności geometrycznej w każdym punkcie obszaru:



ij , kl



kl ,ij

−

ik , jl

−

jl ,ik

=0

(1.30) • naprężeniowe i przemieszczeniowe warunki brzegowe:

(7)



ij

⋅n

j

= p

i (1.31)

warunek należy spełnić na brzegu

S

_

u

_i

=u

i

✴ _(1.32)

warunek należy spełnić na brzegu

S

_u

Należy dodać, że brzegi

S

_ i

S

_u są rozłączne i w sumie tworzą cały brzeg, tzn. spełnione są poniższe warunki:

S

_

∩S

u

=0

(1.33)

S

_

∪S

u

=S

(1.34)

Ze względu na złożoność problemu, określenie funkcji analitycznych spełniających warunki (1.27.) -(1.32.) nie jest sprawą łatwą. Ponadto skomplikowane warunki brzegowe mogą dodatkowo utrudnić rozwiązywanie takiego zadania, albo uczynić zadanie algebraicznie nierozwiązywalnym.

1.5.1.2. Podstawowe równania w zapisie macierzowym

Rozpocznijmy od równań geometrycznych, gdyż posłużą one jako równania wyjściowe do dalszej analizy. Składowe wektora odkształceń możemy zapisać:

• odkształcenia liniowe



11

=

∂ u

1

∂ x

1



22

=

∂ u

2

∂ x

2



33

=

∂ u

3

∂ x

3 (1.35) • Odkształcenia poprzeczne

(8)



12

=

21

=

1

2 

∂ u

1

∂ x

2



∂ u

2

∂ x

1





12

=

21

=



∂ u

1

∂ x

2



∂ u

2

∂ x

1





13

=

31

=

1

2 

∂ u

1

∂ x

3



∂ u

3

∂ x

1





13

=

31

=



∂ u

1

∂ x

3



∂ u

3

∂ x

1





23

=

32

=

1

2 

∂ u

2

∂ x

3



∂ u

3

∂ x

2





23

=

32

=



∂ u

2

∂ x

3



∂ u

3

∂ x

2



(1.36)

Powyższe równania możemy macierzowo zapisać

• ogólnie

=Lu

(1.37) • szczegółowo

[



11



22



33



12



13



23

]

[6 ×1]

=

[

∂

∂ x

1

0

0 ∂

∂ x

2

0

0 ∂

∂ x

3

∂

∂ x

2

∂

∂ x

1

0 ∂

∂ x

3

0 ∂

∂ x

1

0 ∂

∂ x

3

∂

∂ x

2

]

[6 ×3]

⋅

[

u

₁

u

₂

u

₃

]

[3 ×1] (1.38)

Równania równowagi Naviera możemy teraz zapisać w postaci:

• ogólnie

{

L

_}

T

⋅b=0

(1.39)

gdzie b jest wektorem sił masowych

(9)

[

∂

∂ x

1

0

0 ∂

∂ x

2

∂

∂ x

3

0

0 ∂

∂ x

2

0 ∂

∂ x

1

0 ∂

∂ x

3

0

0 ∂

∂ x

3

0 ∂

∂ x

1

∂

∂ x

2

]

[3×6]

⋅

{



11



22



33



12



13



23

}

[6×1]



{

b

1₂

b

₃

}

[3×1]

=0

(1.40)

Równania fizyczne (konstytutywne) określone są następująco:



11

=



11

−⋅

22

−⋅

33

E



12

=



12

G



22

=



22

−⋅

11

−⋅

33

E



13

=



13

G



33

=



33

−⋅

11

−⋅

22

E



23

=



23

G

(1.41)

gdzie E to moduł odkształcalności podłużnej (moduł Younga), G jest modułem odkształcalności postaciowej (moduł Kirchoffa) wyliczany z zależności:

G

=

E

2 ⋅1

, zaś



jest współczynnikiem

Poissona.

W postaci równania macierzowego powyższe zależności konstytutywne można zapisać:

• ogólnie

=C⋅

(1.42) • szczegółowo

{



11



22



33



12



13



23

}

=

1 E

⋅

[

1 − −

0

0 −

1 −

0

0 − −

1

0

0 1

0

0 1

0

0 1

]

⋅

{



11



22



33



12



13



23

}

(1.43)

Zależność (3.42) jest jednoznaczna, a macierz konstytutywna C jest nieosobliwa (tzn.

det

{

C

}

≠0

). Wynika z tego, że istnieje odwzorowanie odwrotne w postaci:

(10)

• ogólnej

=D⋅

(1.44) • szczegółowej

{



11



22



33



12



13



23

}

=

E

1⋅1−2⋅

⋅

[

1 −



0

0 

1−



0

0 



1−

0

0 1−2⋅

2

0

1 −2⋅

2

0

1 −2⋅

2 ]

⋅

{



11



22



33



12



13



23

}

(1.45)

1.5.2. Podstawy MES wynikające z równania pracy wirtualnej

Zakładamy trójwymiarowy element skończony zdefiniowany w kartezjańskim układzie współrzędnych [x,y,z]. Wektor przemieszczeń opiszemy

u

=[u v w]

T _(1.46)

gdzie przemieszczenia u, v, w oznaczają przemieszczenia odpowiednio po kierunkach osi x, y i z. Siły masowe zapiszemy następująco:

b

=[b

x

b

y

b

z

]

T _(1.47)

Poszczególne składowe oznaczają siły przypadające na jednostkę objętości, powierzchni lub długości. Przez d oznaczamy wektor przemieszczeń węzłowych elementu. Wymiar tego wektora jest analogiczny do liczby węzłów elementu przemnożonej przez liczbę przyjętych stopni swobody węzła. Przyjmując oznaczenie liczby stopni swobody przez n otrzymujemy

d

=

[

d

_i

]

; i

=1,2 ,... , n

(1.48)

Jeśli przyjmiemy, że przemieszczenia węzła mają opisywać składowe przesunięć po kierunkach osi x, y, z otrzymamy

d

i

=

[

d

xi

d

yi

d

zi

]

(1.49)

Warto zaznaczyć, że inne typy przemieszczeń, takie jak obroty czy krzywizny mogą być także traktowane jako składowe wektora przemieszczeń.

(11)

p

=

[

p

_i

]

; i

=1,2 ,... , n

(1.50)

Jeśli przemieszczenia dotyczą przesunięć po kierunkach osi x, y, z

p

_i

=

[

p

_xi

p

_yi

p

_zi

]

(1.51)

Teraz zakładamy pole przemieszczeń w elemencie jako funkcję przemieszczeń węzłów w postaci

u

_{[3 ×1]}

=N

[3 ×n]

d

[n×3] (1.52)

Macierz N nazywamy macierzą funkcji próbnych i określa wpływ danej składowej wektora przemieszczeń d na przemieszczenie dowolnego punktu elementu o współrzędnych x, y, z.

Zależność u możemy zapisać

=L u

(1.53)

Po podstawieniu zależności (1.52)

=L N d

(1.54)

Przyjmując podstawienie

B

=L N

(1.55)

gdzie B opisuje odkształcenia w każdym punkcie elementu spowodowane jednostkowym przemieszczeniem kolejnych stopni swobody węzłów. Stąd otrzymujemy

=B d

(1.56)

Z prawa fizycznego otrzymujemy zależność

=D 

=D B d

(1.57)

(12)

u

=

∫





T

 d =

1

2 ∫

_

 D 

T

d

=

1

2 ∫

_



T

D

T

d =

=

1

2 ∫

_

B d

e



T

DB d

=

1

2 d

e T

∫



B

T

DBd

 d

e (1.58)

Układ zapisujemy jako:

∫



B

T

_DBd

 d

e

=P

(1.59) Wprowadzając podstawienie:

∫



B

T

_DBd

=k

e (1.60)

Otrzymujemy równanie postaci: