4. Układy równań liniowych
Układ m równań o n niewiadomych x1,x2,K,xn ma postać
=
⋅ + +
⋅ +
⋅
=
⋅ + +
⋅ +
⋅
=
⋅ + +
⋅ +
⋅
m n mn m
m
n n
n n
b x a x
a x a
b x a x
a x a
b x a x
a x a
K
KK KKKKKKKKKK
K K
2 2 1 1
2 2
2 22 1 21
1 1
2 12 1 11
Układ równań moŜna zapisać w postaci macierzowej b x A⋅ = , gdzie
=
mn m
m
n n
a a
a
a a
a
a a
a A
K K K K K
K K
2 1
2 22
21
1 12
11
jest macierzą podstawową układu lub macierzą współczynników,
= xn
x x x M
2 1
jest wektorem niewiadomych,
= bm
b b b M
2 1
jest wektorem wyrazów wolnych.
Przykład
Układ równań liniowych
=
⋅
− +
⋅
−
= +
⋅
−
⋅
3 4
5
1 3
2
3 2
1
3 2 1
x x
x
x x x
moŜna zapisać w postaci macierzowej
b x A⋅ = gdzie
−
−
= −
4 1 5
1 3
A 2 ,
=
3 2 1
x x x
x ,
= 3 b 1 .
JeŜeli wektor b jest wektorem zerowym, to układ równań liniowych nazywamy układem równań liniowych jednorodnych. JeŜeli co najmniej jedna współrzędna wektora
b jest róŜna od zera, to układ nazywamy układem równań liniowych niejednorodnych.
Rozwiązaniem układu równań liniowych nazywamy taki zbiór wartości niewiadomych, które spełniają ten układ.
Układ równań liniowych moŜe być:
1) sprzeczny, gdy zbiór rozwiązań układu jest zbiorem pustym, tzn. układ nie ma Ŝadnego rozwiązania,
2) oznaczony, gdy zbiór rozwiązań układu zawiera dokładnie jeden element, tzn. układ ma dokładnie jedno rozwiązanie,
3) nieoznaczony, gdy zbiór rozwiązań układu zawiera nieskończenie wiele elementów, tzn.
układ ma nieskończenie wiele rozwiązań.
Układ n równań o n niewiadomych
RozwaŜmy układ równań
=
⋅ + +
⋅ +
⋅
=
⋅ + +
⋅ +
⋅
=
⋅ + +
⋅ +
⋅
n n nn n
n
n n
n n
b x a x
a x a
b x a x
a x a
b x a x
a x a
K
KK KKKKKKKKKK
K K
2 2 1 1
2 2
2 22 1 21
1 1
2 12 1 11
Oznaczmy
=
nn n
n
n n
a a
a
a a
a
a a
a A
K K K K K
K K
2 1
2 22
21
1 12
11
,
= xn
x x x M
2 1
,
= bn
b b b M
2 1
.
Wtedy układ moŜna zapisać w postaci
b x A⋅ = .
Układ równań nazywamy układem Cramera, jeŜeli detA≠0.
JeŜeli detA≠0, to macierz A jest nieosobliwa oraz istnieje macierz do niej odwrotna A .−1 Zatem
b A x A
A−1⋅ ⋅ = −1⋅ .
PoniewaŜ, na mocy definicji A−1⋅A=I oraz I⋅x=x, moŜemy stwierdzić, Ŝe rozwiązaniem układu Cramera jest wektor postaci
b A x= −1⋅ .
Rozwiązywanie układu Cramera z wykorzystaniem powyŜszego wzoru nazywamy metodą macierzy odwrotnej.
Przykład
Rozwiązać dany układ metodą macierzy odwrotnej
=
⋅ +
−
=
− +
⋅
= +
−
3 2
1 2
2
3 1
3 2 1
3 2 1
x x
x x x
x x x
Macierz podstawowa tego układu jest postaci
−
−
−
=
2 0 1
1 1 2
1 1 1
A .
Obliczamy wyznacznik tej macierzy
0 6 4 1 1 2 0 1
1 2
1 1
2 0 1
1 1 2
1 1 1
det = − + + = ≠
−
−
−
−
−
=
A ,
co oznacza, Ŝe układ jest układem Cramera. Wyznaczymy macierz odwrotną metodą operacji elementarnych
⇔ +
⋅
−
−
−
−
⇔ +
⋅
−
−
−
−
2 3 1
3 1 2
3 1 0 1
0 1 2
0 0 1
3 1 0
3 3 0
1 1 1 2
1 0 0
0 1 0
0 0 1
2 0 1
1 1 2
1 1 1
w w w
w w w
⇔ +
−
−
−
−
⇔ +
⋅
−
⋅
−
−
− 1 2
3 2
3 1
3 1 1
3 3 3
3 1 5
6 0 0
0 6 0
0 6 6 2
6
3 1 1
0 1 2
0 0 1
6 0 0
3 3 0
1 1
1 w w
w w
w w
−
3 1 1
3 3 3
0 2 2
6 0 0
0 6 0
0 0 6
Zatem
−
⋅
=
−
3 1 1
3 3 3
0 2 2 6
1 1
A ,
wobec czego
=
⋅
=
⋅
−
⋅
=
⋅
= −
2 1 1
12 6 6 6 1 3 1 2
3 1 1
3 3 3
0 2 2 6
1 1 b A
x ,
co oznacza, Ŝe rozwiązaniem tego układu jest x1 =1, x2 =1, x3 =2. Wprowadźmy macierze
=
+
−
+
−
+
−
nn j
n n j n n
n
n j
j
n j
j
j
a a
b a
a a
a a
b a
a a
a a
b a
a a A
K K
K K K K K K K K
K K
K K
1 , 1
. 2
1
2 1
, 2 2 1 , 2 22
21
1 1
, 1 1 1 , 1 12
11
,
gdzie j=1,2,K,n. Twierdzenie (Cramera)
JeŜeli detA≠0, to układ ma dokładnie jedno rozwiązanie określone wzorami
A xj Aj
det
=det , j=1,2,K,n.
PowyŜsze wzory nazywamy wzorami Cramera.
Przykład
Rozwiązać dany układ równań korzystając z wzorów Cramera
=
⋅ +
= + +
=
−
5 3
6 2
3 2
3 2 1
3 1
x x
x x x
x x
Mamy kolejno
−
=
3 1 0
1 1 1
1 0 1
A , detA=1,
−
=
3 1 5
1 1 6
1 0 2
A1 , detA1 =3,
−
=
3 5 0
1 6 1
1 2 1
A2 , detA2 =2,
=
5 1 0
6 1 1
2 0 1
A3 , detA3 =1. Zatem
1 3 3 det det 1
1 = = =
A
x A , 2
1 2 det det 2
2 = = =
A
x A , 1
1 1 det det 3
3 = = =
A
x A .
Układy równań liniowych niejednorodnych
RozwaŜmy układ równań
=
⋅ + +
⋅ +
⋅
=
⋅ + +
⋅ +
⋅
=
⋅ + +
⋅ +
⋅
m n mn m
m
n n
n n
b x a x
a x a
b x a x
a x a
b x a x
a x a
K
KK KKKKKKKKKK
K K
2 2 1 1
2 2
2 22 1 21
1 1
2 12 1 11
Macierz podstawowa tego układu jest postaci
=
mn m
m
n n
a a
a
a a
a
a a
a A
K K K K K
K K
2 1
2 22
21
1 12
11
Tworzymy macierz U , która powstaje z macierzy A przez dołączenie do niej kolumny wyrazów wolnych
=
m mn m
m
n n
b b b
a a
a
a a
a
a a
a
U K
K K K K K
K K
2 1
2 1
2 22
21
1 12
11
Macierz U nazywamy macierzą uzupełnioną (rozszerzoną). Łatwo zauwaŜyć, Ŝe )
( ) (U r A
r ≥ .
Twierdzenie (Kroneckera-Capelli’ego)
Układ równań liniowych ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy r(A)=r(U), przy czym gdy r(A)=r(U)=n, to układ ma dokładnie jedno rozwiązanie (jest oznaczony), jeŜeli zaś r(A)=r(U)<n, to układ ma nieskończenie wiele rozwiązań (jest nieoznaczony).
Wniosek
JeŜeli r(A)≠r(U), to układ nie ma rozwiązań (jest sprzeczny).
Przykład
W zaleŜności od parametru m∈R podać warunki rozwiązalności i rozwiązać (o ile rozwiązania istnieją) układ równań
=
⋅ + +
= +
⋅ +
= + +
⋅
2 3 2
1
3 2 1
3 2
1 1
m x m x x
m x x m x
x x x m
Mamy
) 2 ( ) 1 ( 2 3 1
1
1 1
1 1
det = =m3 − ⋅m+ = m− 2 ⋅ m+ m
m m
A .
1) Dla m≠1 i m≠−2 układ jest układem Cramera. Stosując wzory Cramera, otrzymyjemy kolejno
2 1 )
2 ( ) 1 (
) 1 ( ) 1 ( 1
1 1 1 1 det
1 det
det
2 2
2 1
1 +
− + + =
⋅
−
+
⋅
−
=−
⋅
=
= m
m m
m
m m
m m
m A m
A x A
2 1 ) 2 ( ) 1 (
) 1 ( 1
1 1
1 1 det
1 det
det
2 2
2 2
2 = +
+
⋅
−
= −
⋅
=
= m m m
m m
m m m A A
x A
2 ) 1 ( ) 2 ( ) 1 (
) 1 ( 1
1 1
1 1 det
1 det
det 2
2 2 2
2 3
3 +
= + +
⋅
−
= −
⋅
=
= m
m m
m m m
m m m A A
x A
2) Niech m=1. Wtedy układ ma postać
= + +
= + +
= + +
1 1 1
3 2 1
3 2 1
3 2 1
x x x
x x x
x x x
Mamy tutaj
=
1 1 1
1 1 1
1 1 1
A ,
=
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
U , r(A)=R(U)=1<3,
czyli układ ma nieskończenie wiele rozwiązań (jest nieoznaczony). Rozwiązania te moŜemy zapisać w postaci
R v u v
x u x
v u x
∈
=
=
−
−
=
, 1
3 2 1
.
3) Niech m=−2. Wtedy
=
⋅
− +
−
= +
⋅
−
= + +
⋅
−
4 2
2 2
1 2
3 2
1
3 2 1
3 2 1
x x
x
x x x
x x x
Mamy teraz
−
−
−
=
2 1 1
1 2 1
1 1 2 A
3 ) (A ≤
r , detA=0, oraz 3 0 2
1 1
2 = ≠
−
− , a więc r(A)=2.
Ponadto
−
−
−
−
=
4 2 1 1
2 1 2 1
1 1 1 2 U
3 ) 4 , 3 min(
)
(U ≤ =
r oraz 9 0
4 2 1
2 1 1
1 1 2
≠
−
=
−
−
−
, a więc r(U)=3.
W konsekwencji mamy r(A)=2≠3=r(U), co oznacza, Ŝe układ nie ma rozwiązań (jest sprzeczny).
