Podstawy przetwarzania sygnałów
3. Całki wielowymiarowe — zadania do samodzielnego rozwiązania
Zad. 3.1 Oblicz
Z
A
1
(2 − x)(y + 1)l2(dxdy), gdzie A = {(x, y); x 0, y 0; x + y ¬ 1}.
Zad. 3.2 Oblicz
Z
yex2sin(x2+ y2) l2(dxdy), gdzie U = {(x, y); |x| + |y| < 1}.
Zad. 3.3 Oblicz całkę
Z
D
ln(x2+ y2) l2(dxdy), gdzie
D = {(x, y); 1 ¬ x2+ y2 ¬ 4, x 0, y 0}.
Zad. 3.4 Oblicz
Z
A
sin(y2+ z2)
x2 l3(dxdydz), gdzie A = {(x, y, z); x > 1, y2+ z2 < π2}.
Zad. 3.5 Oblicz
Z
V
y l3(dxdydz), gdzie V = {(x, y, z); 0 ¬ y ¬ 1; y2 ¬ x2 + z2 ¬ y}.
Zad. 3.6 Oblicz całkę
Z
A
√ 1
x2+ y2+ z2 ln(x2+ y2+ z2) l3(dx, dy, dz), gdzie A = {(x, y, z) | x2+ y2+ z2 ¬ 1}.
Zad. 3.7 Oblicz całkę
Z
A
exp{(x2+ y2+ z2)−1/2}
(x2+ y2+ z2)2 l3(dx dy dz),
gdzie A jest zbiorem ograniczonym sferami x2+ y2+ z2 = 14 i x2+ y2+ z2 = 1.
Zad. 3.8 Obliczyć granicę całek
Z
A
1 + x + y n
n
e−x−y−z l3(dxdydz), gdzie A = {(x, y, z); 0 < x + y < 1, z > 0, x > 0, y > 0}.
Zad. 3.9 Oblicz, o ile istnieje, granicę
n→∞lim
Z
(0,∞)3
(1 + x + y)n
1 + (1 + x + y)ne−x−y−z2/2l3(dxdydz).
Zad. 3.10 Oblicz, o ile istnieje, granicę
n→∞lim
Z
U
n2sin x2+ y2 n2
!
cos
z n
l3(dxdydz), gdzie U = {(x, y, z); x2+ y2 ¬ 4, 0 ¬ z ¬ 2}.
Zad. 3.11 Znajdź granicę
n→∞lim
Z
A
y sin
ny ln
1 + x n
l2(dx, dy), gdzie A = [0, 1] × [0, 1].
Zad. 3.12 Znajdź granicę
n→∞lim
Z
A
1 − x + y
√n
!
√n
l2(dx, dy), gdzie A = {(x, y) ; x, y 0, x + y ¬ 1}.
