4. Caªki
w. 4.1 Oblicz caªki RAf (x)µ(dx), gdzie
1. A := R, f (x) := x2, µ := δ−1+ δ1, 2. A := (0, 10], f (x) := x2, µ := ∞ P k=1 1 kδk, 3. A := R+, f (x) := exp(x), µ := ∞ P k=0 1 k!δk, 4. A := R+, f (x) := (1/2)x, µ := ∞ P k=0 (1/3)kδk, 5. A := R, f (x) := cos(πx), µ := ∞ P k=1 (1/2)k k δk, 6. A := [0, π/2], f(x) = sin(x), µ := l, 7. A := R, f (x) := |x| exp(−|x|), µ := l + ∞ P k=1 1 k2kδk.
w. 4.2 Zbadaj, czy okre±lone s¡ caªki RAf (x)µ(dx), gdzie
1. A := R, f (x) := exp(−x) cos(x2− ln(x)), µ := P∞ k=1 δk, 2. A := R+, f (x) := cos(xln(x)2), µ := l, 3. A := (0, 1], f(x) := x, µ := ∞ P k=1 δ1/k. w. 4.3 (*) Niech miara µ ma posta¢
µ :=
n
X
k=1
φkδxk,
gdzie φk∈ R+, xk∈ R dla ka»dego 1 ≤ k ≤ n.
1. Poka» , »e µ jest jednoznacznie wyznaczona przez warto±ci caªek R xkµ(x) dla
k = 0, 1, 2, ...
2. Wywnioskuj, »e µ jest jednoznacznie wyznaczona przez swoj¡ transformat¦ Lapla-ce'a Lµ(t) := Z exp(tx)µ(dx). Wskazówka: ∂k ∂tkLµ (0) = Z xkµ(dx).
3. Caªkowanie przez cz¦±ci: Niech f : R → R b¦dzie funkcj¡ o no±niku zwartym i ró»niczkowaln¡ w sposób ci¡gªy. Wówczas
Z f dµ = − Z ∞ −∞ f0(x)µ((−∞, x])dx. Wskazówka: Z f dµ = n X k=1 φkf (xk) = − n X k=1 φk Z ∞ xk f0(x)dx.
