1
Geometria analityczna pªaszczyzny - elipsa A. Mróz
1. Uªó» równanie elipsy w najprostszej postaci wiedz¡c, »e: (a) póªosie równaj¡ si¦ odpowiednio 4 i 2,
(b) odlegªo±¢ mi¦dzy ogniskami równa si¦ 6, a dªugo±¢ póªosi wielkiej równa si¦ 5, (c) dªugo±¢ póªosi wielkiej równa si¦ 10, a mimo±ród e = 0, 8,
(d) dªugo±¢ póªosi maªej równa si¦ 3, a mimo±ród e = √1 2,
(e) suma dªugo±ci póªosi równa si¦ 8, a odlegªo±¢ mi¦dzy ogniskami wynosi równie» 8.
2. Dane jest równanie elipsy 25x2 + 169y2 = 4225. Wyznacz dªugo±ci jej osi, wspóªrz¦dne ognisk
i mimo±ród.
3. Zbadaj poªo»enie punktów A1 = (−2, 3), A2 = (2, −2), A3 = (−1, 3), A4 = (−4, −3) i A5 =
(3, −2)wzgl¦dem elipsy 8x2+ 5y2= 77.
4. Napisz równania prostych przechodz¡cych przez punkt A = (2, −5
3) i ogniska elipsy 5x
2+ 9y2 =
45.
5. Napisz równanie elipsy maj¡cej ogniska na osi Ox, znaj¡c równania jej kierownic x = ±8 i mi-mo±ród e = √2
2 .
6. Znajd¹ mimo±ród elipsy wiedz¡c, »e o± maª¡ wida¢ z ko«ca osi wielkiej pod k¡tem π 3.
7. Znajd¹ mimo±ród elipsy wiedz¡c, »e odlegªo±¢ mi¦dzy jej kierownicami jest cztery razy wi¦ksza od odlegªo±ci mi¦dzy ogniskami.
8. Dana jest elipsa o równaniu 9x2+ 5y2 = 45. Znajd¹ mimo±ród tej elipsy i równania jej kierownic.
9. Dana jest elipsa o równaniu 12x2+ 16y2 = 192. Znajd¹ odlegªo±¢ ogniska od kierownicy.
10. Orbita kuli ziemskiej jest elips¡ o póªosi wielkiej dªugo±ci a ≈ 150 · 106km i mimo±rodzie e =
0, 017. Wiedz¡c, »e Sªo«ce znajduje si¦ w ognisku tej elipsy znajd¹ o ile najkrótsza odlegªo±¢ Ziemi od Sªo«ca (ok. 2 stycznia) jest krótsza od najdªu»szej (ok. 2 lipca).
11. Wierzchoªek trójk¡ta maj¡cego nieruchom¡ podstaw¦ porusza si¦ w ten sposób, »e obwód trójk¡ta zachowuje staª¡ wielko±¢. Znajd¹ równanie toru wierzchoªka przy zaªo»eniu, »e dªugo±¢ podstawy trójk¡ta równa si¦ 24 cm a dªugo±¢ obwodu równa si¦ 50 cm.
12. Poªudnik ziemski ma ksztaªt elipsy; stosunek jej osi równa si¦ 299
300. Wyznacz mimo±ród poªudnika
ziemskiego. 13. Na elipsie x2
30+ y2
24 = 1znajd¹ punkt odlegªy od jej osi maªej o 5.
14. Elipsa przechodzi przez punkty A = (√3, −2) i B = (−2√3, 1), a osie wspóªrz¦dnych s¡ osiami symetrii elipsy. Znajd¹ równanie tej elipsy.
15. Znajd¹ punkty przeci¦cia elipsy x2
36 + y2
12 = 1 z prost¡ 2x − y − 9 = 0.
16. Przez ognisko elipsy x2
a2 +
y2
b2 = 1 poprowadzono ci¦ciw¦ prostopadª¡ do osi wielkiej. Znajd¹
dªugo±¢ ci¦ciwy. 17. Dana jest elipsa x2
16 + y2
9 = 1. Znajd¹ dªugo±¢ ±rednicy skierowanej wzdªu» dwusiecznej k¡ta
zawartego mi¦dzy osiami wspóªrz¦dnych.
18. Dana jest elipsa 4x2+ 15y2 = 60. Przez punkt A = (1,3
2) poprowadzono ±rednic¦ tej elipsy.
Znajd¹ równanie ±rednicy sprz¦»onej.
2 20. Znajd¹ równanie prostej przechodz¡cej przez ±rodki ci¦ciw
2x − y + 7 = 0, 2x − y − 1 = 0 elipsy 64x2+ 100y2= 6400.
21. Znajd¹ równanie tej ci¦ciwy elipsy 36x2+ 100y2 = 3600, której ±rodkiem jest punkt A = (5, 3).
22. Znajd¹ równanie stycznej do elipsy 18x2+ 32y2 = 576w punkcie A = (4, 3).
23. Znajd¹ równanie stycznych do elipsy
(a) 12x2+ 16y2 = 192równolegªych do prostej x − 2y = 0,
(b) 9x2+ 16y2= 144 równolegªych do prostej x + y − 1 = 0.
24. Znajd¹ równania stycznych do elipsy 16x2+ 25y2 = 400przechodz¡cych przez punkt A = (10, 4).
25. Dobierz tak warto±¢ wspóªczynnika m, aby prosta mx − 2y + 5 = 0 byªa styczna do elipsy
x2
9 + y2
4 = 1.
26. Dane s¡ dwie elipsy
x2 15 + y2 9 = 1, x2 19 + y2 3 = 1.
Znajd¹ równania stycznych do pierwszej elipsy przechodz¡cych przez ogniska drugiej elipsy. 27. Dana jest elipsa o równaniu (x−4)2
25 +
(y−2)2
16 = 1.Znajd¹ jej ogniska.
28. Dana jest elipsa o równaniu (x−2)2
16 +
(y+4)2
12 = 1.Znajd¹ równania kierownic tej elipsy.
29. Elipsa jest styczna do osi Ox w punkcie A = (7, 0) a do osi Oy w punkcie B = (0, 4). Napisz równanie tej elipsy wiedz¡c, »e jej osie s¡ równolegªe do osi ukªadu wspóªrz¦dnych.
30. Elipsa jest styczna do osi Oy w punkcie A = (0, 3) i przecina o± Ox w punktach B = (3, 0) i C = (7, 0). Znajd¹ równanie tej elipsy wiedz¡c, »e jej osie s¡ równolegªe do osi ukªadu wspóªrz¦dnych. 31. Znajd¹ warunek, przy którym prosta Ax + By + C = 0 jest styczna do elipsy b2x2+ a2y2= a2b2.
32. Prosta x−y−5 = 0 jest styczna do elipsy, której ogniska s¡ w punktach F1 = (−3, 0)i F2 = (3, 0).
Znajd¹ równanie tej elipsy.
33. Znajd¹ wspólne styczne do elips o równaniach 4x2+ 5y2 = 20, 5x2+ 4y2= 20.
34. Znajd¹ równanie elipsy maj¡cej ogniska na osi Ox symetrycznie wzgl¦dem pocz¡tku ukªadu stycznej do dwóch prostych 3x − 2y − 20 = 0, x + 6y − 20 = 0.
35. Znajd¹ równanie elipsy maj¡cej ogniska na osi Ox symetrycznie wzgl¦dem pocz¡tku ukªadu wiedz¡c, »e przechodzi ona przez punkt A = (4, −1) i jest styczna do prostej x + 4y − 10 = 0. 36. Znajd¹ równanie okr¦gu, którego ±rednic¡ jest wspólna ci¦ciwa elipsy x2+ 5y2 = 36 i paraboli
x2 = 8y.
37. Znajd¹ miejsce geometryczne punktów, z których elips¦ x2
a2 +
y2
b2 = 1wida¢ pod k¡tem prostym.
38. W elips¦ x2
a2 +
y2
b2 = 1 wpisano trójk¡t ABC, którego jeden bok AB pokrywa si¦ z osi¡ wielk¡.
Wierzchoªek C porusza si¦ po elipsie. Znajd¹ tor, po którym porusza si¦ ±rodek ci¦»ko±ci trójk¡ta ABC.
39. Dookoªa pocz¡tku ukªadu wspóªrz¦dnych obraca si¦ pr¦t OP dªugo±ci p z pr¦dko±ci¡ k¡tow¡ ω, a dokoªa punktu P obraca si¦ drugi pr¦t P Q dªugo±ci q z pr¦dko±ci¡ k¡tow¡ −ω. Znajd¹ tor punktu Q wiedz¡c, »e w chwili pocz¡tkowej obydwa pr¦ty pokrywaªy si¦ z osi¡ Ox, a punkt P znajdowaª si¦ mi¦dzy O i Q.
