Analiza matematyczna 2
lista zada« nr 9 mno»niki lagrange'a Rozgrzewka i wiczenia pomieszane razem
1. (a) Uzasadnij wprost (tzn. nie stosuj¡c metody mno»ników Lagrange'a), »e minimum warun- kowym funkcji F (x1, x2) = x1 przy warunku G(x1, x2) = 0, gdzie G(x1, x2) = x31− x22, jest warto±¢ F (0, 0) = 0.
(b) Spróbuj zastosowa¢ metod¦ mno»ników Lagrange'a. Zauwa», »e metoda ta nie umo»liwia znalezienia faktycznego minimum warunkowego funkcji F .
(c) Uzasadnij, dlaczego tak jest.
2. (a) Zastosuj metod¦ mno»ników Lagrange'a, by w±ród walców o ustalonym polu powierzchni caªkowitej A znale¹¢ ten, który ma najwi¦ksz¡ obj¦to±¢ V .
Wskazówka: Przy odpowiednim doborze parametrów A = 2πr2+ 2πrh, V = πr2h.
(b) W±ród sto»ków o ustalonym polu powierzchni caªkowitej A znajd¹ ten, który ma najwi¦ksz¡
obj¦to±¢ V .
Wskazówka: Przy odpowiednim doborze parametrów A = πr2+ πr√
r2+ h2, V = 13πr2h. Z drugiego z otrzymanych równa« wyznacz λ, wstaw do pierwszego.
(c) W±ród trójk¡tów o zadanym promieniu r okr¦gu wpisanego znajd¹ ten o najmniejszym polu/obwodzie.
(d) W±ród trójk¡tów o zadanym promieniu R okr¦gu opisanego znajd¹ ten o najwi¦kszym ob- wodzie.
(e) W±ród trójk¡tów o zadanym promieniu R okr¦gu opisanego znajd¹ ten o najwi¦kszym polu.
Wskazówka: Parametryzuj warto±ciami k¡tów trójk¡ta.
(f) (dla wytrwaªych) W±ród trójk¡tów o zadanym promieniu R okr¦gu opisanego znajd¹ ten o najwi¦kszym promieniu r okr¦gu wpisanego.
(g) (dla ambitnych) W±ród trójk¡tów o zadanym promieniu r okr¦gu wpisanego i zadanym obwodzie l znajd¹ te, dla których dªugo±¢ promienia R okr¦gu opisanego jest minimalna/maksymalna.
3. Rzeka meandruje wzdªu» krzywej G(x, y) = 0, gdzie G(x, y) = sinπx2 − sinπy2 + y. Nasz dom znajduje si¦ w punkcie (π4,32). Chcemy si¦ wyk¡pa¢ w rzece i chcemy wiedzie¢, gdzie b¦dzie najbli»ej. Dla uproszczenia minimalizujemy kwadrat odlegªo±ci domu od punktu na rzece, tj.
F (x, y) = (x −π4)2+ (y −32)2.
(a) Zapisz ukªad równa« otrzymany metod¡ mno»ników Lagrange'a.
(b) Uzasadnij, »e punkt (0, 1) jest podejrzany o bycie ekstremum warunkowym.
(c) Uzasadnij, »e jest to minimum lokalne (oblicz macierz drugich pochodnych cz¡stkowych funkcji F (x, y) − λG(x, y) w tym punkcie).
(d) Sporz¡d¹ wykres krzywej danej równaniem G(x, y) = 0 i zauwa», »e (0, 1) jest minimum globalnym.
Zadanie dodatkowe: uzasadnij, »e (0, 1) jest minimum globalnym. W tym celu:
(e) zauwa», »e krzywa dana równaniem G(x, y) = 0 jest symetryczna wzgl¦dem prostej x = 1;
(f) wywnioskuj, »e je±li (p, q) jest minimum globalnym, to p ≤ 1;
(g) uzasadnij, »e je±li π2x + y = 1oraz x ≤ 1, to G(x, y) ≥ 0 i G(x, y) = 0 tylko dla x = 0, y = 1;
(h) wywnioskuj, »e caªy wykres krzywej G(x, y) = 0 dla x ≤ 1 le»y pod prost¡ π2x + y = 1i jedynym punktem przeci¦cia jest wªa±nie (0, 1).
4. Sonda kosmiczna znajduj¡ca si¦ w punkcie (2, 2, 2) chce jak najszybciej dotrze¢ do asteroidy, ale w miejscu o±wietlonym przez Sªo«ce. Powierzchnia asteroidy opisana jest równaniem x2+ y2+ z2= 4, za± obszar o±wietlony le»y w póªprzestrzeni √
2 x − y − z ≤ 0. W którym kierunku powinna uda¢ si¦ sonda?
Wskazówka: Jak w poprzednim zadaniu minimalizuj kwadrat odlegªo±ci.
Mateusz Kwa±nicki
