Podstawienia trygonometryczne w całce niewymiernej

(1)

Podstawienia

trygonometryczne w całce

niewymiernej

Autorzy:

Tomasz Drwięga

2019

(2)

(1)

(2)

(3)

Podstawienia trygonometryczne w całce niewymiernej

Autor: Tomasz Drwięga

TWIERDZENIE

Twierdzenie 1:

Twierdzenie 1: o podstawieniach trygonometrycznych w całce niewymiernej

o podstawieniach trygonometrycznych w całce niewymiernej

1. Do obliczania całki stosujemy podstawienie

PRZYKŁAD

Przykład 1:

Obliczmy poniższą całkę niewymierną, stosując podstawienia trygonometryczne

Do rozwiązania zastosujemy podstawienie przyjmując w twierdzeniu o podstawieniach trygonometrycznych w całce niewymiernej.

Stąd

Następnie, korzystając z tożsamości trygonometrycznej , otrzymujemy

i wracając do podstawienia (tj. ) mamy odpowiedź

UWAGA

Uwaga 1:

Ostanią równość otrzymujemy korzystając z tożsamości trygonometrycznej

dla , a następnie przyjmując otrzymujemy

∫ R (x,

_√

−

a

−−−−

2

−

_x

−

2

) dx

x = a sin t,

_√

−

a

−−−−

2

−

_x

−

2

= a cos t, dx = a cos tdt.

∫ R (x,

_√

−

x

−−−−

2

−

_a

−

2

) dx

x =

a

,

= a tg t, dx =

.

cos t

√

−

x

−−−−

2

−

a

−

2 a sin tdtcos2t

∫ R (x,

_√

−

x

−−−−

2

+

_a

−

2

) dx

x = a tg t,

_√

−

x

−−−−

2

+

_a

−

2

=

a

, dx =

.

cos t cosadt2t

∫

x2

dx.

1−x2 √

x = a sin t,

a = 1

I = ∫

x2

dx =

= ∫

⋅ cos tdt = ∫

tdt

1−x2 √

∣

_∣∣

x=sin t =cos t 1−x2 √ dx=cos t dt

∣

∣∣

sin t 2 cos t

sin

2

cos 2α = 1 − 2

sin

2

α

I = ∫

sin

2

tdt = ∫ ( − cos 2t) dt = t − ⋅ sin 2t + C

1 2 12 12 12 12

t = arcsin x

x = sin t

I = arcsin x − sin(2 arcsin x) + C = arcsin x − x

1

+ C.

2 14 12 12

√

− −

1 − x

−−−

2

sin 2α = 2 sin α cos α = 2 sin α 1 −

_√

−

−−−−−−

sin

2

α

−

α ∈ [− , ]

π

2 π2

α = arcsin x

(3)

PRZYKŁAD

Przykład 2:

Obliczmy poniższą całkę niewymierną stosując podstawienia trygonometryczne

Zwróćmy uwagę, że w związku z występowaniem w całce wyrażenia do rozwiązania całki skorzystamy z podstawienia . Zatem

Następnie, korzystając z tożsamości trygonometrycznej , redukujemy wyrazy podobne oraz przekształcamy podstawienie do postaci Wówczas otrzymujemy

Przekształcając podstawienie do postaci otrzymujemy odpowiedź

UWAGA

Uwaga 2:

Powyższą równość otrzymujemy korzystając z jedynki trygonometrycznej dla , a następnie przyjmując

otrzymujemy

∫

dx x2_√_x2₋₁

,

− 1

x

2

− −

−−−

√

x =

1 cos t

I = ∫

dx

=

= ∫

⋅

dt

x2_√_x2₋₁

∣

x= 1 cos t = tg t −1 x2 √ dx=sin t dt t cos2

∣

1 1⋅ tg t t cos2 sin t t cos2

tg α =

sin α cos α

x =

1 cos t

t = arccos .

x1

I = ∫

1

⋅ sin tdt = ∫ cos tdt = sin t + C = sin(arccos ) + C

sin t cos t 1 x

x =

_{cos t}1

t = arccos

_x1

I = sin(arccos ) + C =

1

+ C.

x x−1 2 √ x

sin α = 1 −

_√

−

−−−−−−

cos

2

α

−

α ∈ [0, π]

α = arccos

1 x

sin(arccos ) =

1

.

x x−1 2 √ x

(4)

PRZYKŁAD

Przykład 3:

Obliczmy stosując podstawienie trygonometryczne całkę niewymierną

Ze względu na występowanie w funkcji podcałkowej wyrażenia do jej rozwiązania skorzystamy z podstawienia . Stąd

Wówczas na mocy tożsamości trygonometrycznej: (redukując wyrazy podobne) mamy

Przekształcając podstawienie do postaci otrzymujemy odpowiedź

UWAGA

Uwaga 3:

Ostatnią równość otrzymujemy korzystając z tożsamości trygonometrycznej

dla , a następnie przyjmując otrzymujemy

Publikacja udostępniona jest na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa - Na tych samych warunkach 3.0 Polska. Pewne prawa zastrzeżone na rzecz autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej. Zezwala się na dowolne wykorzystanie treści publikacji pod warunkiem wskazania autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej jako autorów oraz podania informacji o licencji tak długo, jak tylko na utwory zależne będzie udzielana taka sama licencja. Pełny tekst licencji dostępny na stronie

http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/pl/.

Data generacji dokumentu: 2019-04-15 06:18:57

Oryginalny dokument dostępny pod adresem: https://epodreczniki.open.agh.edu.pl/openagh-permalink.php? link=d6d501720fb94683411cd9ab9b1bcbaf