Symulacyjne badanie dynamiki chaotycznych systemów multiagentowych

Pełen tekst

(1)Zeszyty Naukowe nr 764. 2007. Uniwersytetu Ekonomicznego w Krakowie. Jacek Wo∏oszyn Katedra Informatyki. Symulacyjne badanie dynamiki chaotycznych systemów multiagentowych Streszczenie: Chaotyczne systemy multiagentowe to systemy złożone z agentów wykazujących zachowanie chaotyczne. W pracy przedstawiono problematykę badania dynamiki tych systemów. Jedną z metod badawczych możliwych do wykorzystania w tym zakresie jest symulacja komputerowa. Chaotyczne systemy multiagentowe traktować należy jako jedno z narzędzi modelowania niektórych aspektów rzeczywistych złożonych systemów dynamicznych, w tym także systemów ekonomicznych. Słowa kluczowe: chaos deterministyczny, systemy multiagentowe, metody symulacyjne.. 1. Wst´p Badanie dynamiki złożonych systemów rzeczywistych lub hipotetycznych jest już od wielu lat wspólnym obszarem zainteresowań różnorodnych dziedzin nauki. Co pewien czas pojawiają się nowe podejścia teoretyczne proponujące odmienne traktowanie badanych systemów dynamicznych oraz związane z tym odmienne metody opisu i narzędzia konstruowania modeli rozważanych systemów. Często stosowaną metodą badawczą jest symulacja komputerowa pozwalająca na przeprowadzanie eksperymentów ze zbudowanymi wcześniej modelami [Wołoszyn 2000]. Konstruowanie modeli złożonych systemów dynamicznych znajduje zastosowanie m.in. w naukach ekonomicznych, z natury swej zajmujących się zjawiskami i relacjami zachodzącymi w systemach, których złożoność wynika z wieloelementowości systemu. Przedmiotem badań są systemy zbudowane z wielu elementów i wykazujące skomplikowane wzorce zachowań. Metody modelowania i analizowania złożonych zachowań takich systemów związane są z różnymi koncepcjami matematycznymi, z których wynikają wskazania dotyczące budowania adekwat-.

(2) 6. Jacek Wołoszyn. nych modeli symulacyjnych, a także techniki przeprowadzania eksperymentów z powstałymi modelami (zwykle przy istotnym wykorzystaniu technologii informatycznej). Do nowych i efektywnych narzędzi badawczych należy, m.in. koncepcja systemów multiagentowych. W niniejszym artykule rozpatrywane są systemy multiagentowe stanowiące modele dynamiczne zdolne do naśladowania zachowań złożonych systemów rzeczywistych, ze szczególnym uwzględnieniem możliwości obserwowania zjawisk mających cechy chaotycznego zachowania występujących w takich systemach. Obserwowany chaos ma charakter chaosu deterministycznego i wiąże się z występowaniem w badanym systemie nieregularnych przebiegów, których kształt jest bezpośrednio trudny do przewidzenia [Baker, Gollub 1998; Ott 1997; Schuster 1995]. Wspomniane zjawiska obserwowane są w systemach, których dynamika jest całkowicie deterministyczna, nie zawiera elementów losowości. 2. Systemy multiagentowe Istota podejścia multiagentowego w konstruowaniu modeli złożonych systemów związana jest z wewnętrzną strukturą systemu. System multiagentowy to zbiorowość wielu identycznych elementów dynamicznych nazywanych agentami, które współpracują ze sobą (lub mają potencjalną możliwość takiej współpracy). Często systemy multiagentowe wykorzystywane są w modelowaniu rozproszonej inteligencji [Ferber 1999; Jain, Chen, Ichalkaranje 2002; Luck, Marik, Stepankowa, Trappl 2001]. Oczywistym warunkiem współpracy agentów są ich zdolności komunikacyjne, które mogą być realizowane poprzez środowisko działania agentów. W dalszych rozważaniach przyjmiemy, że system multiagentowy przedstawia system dynamiczny, posiadający pewien stan opisywany zbiorem zmiennych stanu systemu i poruszający się w ustalonej przestrzeni stanów. System multiagentowy jako całość złożony jest z dwóch zasadniczych komponentów – środowiska oraz agentów. Każdy agent systemu multiagentowego stanowi odrębny, niezależny podsystem mający własną dynamikę oraz charakteryzowany przez własny stan. Agenty systemu występują w pewnej liczbie identycznych kopii, z których każda posiada odrębny zestaw tych samych zmiennych stanu. Wspomniane środowisko systemu multiagentowego jest pojedynczym podsystemem dynamicznym, który również posiada własny stan i własną dynamikę. Przedstawiona struktura systemu multiagentowego, złożonego z jednego środowiska oraz wielu kopii identycznych agentów (w skrajnym przypadku można rozważać również system multiagentowy złożony z jednego tylko agenta), naśladuje rzeczywiste systemy będące przedmiotem badań różnych nauk, w tym także nauk ekonomicznych..

(3) Symulacyjne badanie dynamiki…. 7. Przykładem systemu multiagentowego o opisanej wyżej organizacji może być dynamiczny model giełdy papierów wartościowych. W modelu takim występują agenty reprezentujące inwestorów giełdowych oraz środowisko stanowiące rynek akcji. Poszczególne agenty (inwestorzy) mają jednakową budowę i jednakowo określoną dynamikę. Mogą jednak znajdować się w różnych stanach (ich zmienne stanu mogą przyjmować w tym samym czasie różne wartości) i prezentować odmienne zachowania. Badanie dynamiki systemu multiagentowego związane jest z wykorzystaniem techniki symulacji komputerowej. Pomiędzy agentami i środowiskiem systemu zachodzą interakcje, w miarę jak system przemieszcza się w przestrzeni stanów podczas eksperymentu symulacyjnego. Z teoretycznego i aplikacyjnego punktu widzenia wygodne jest przyjęcie iteracyjnego charakteru dynamiki systemu multiagentowego [Wołoszyn 2004], którą wyznaczają m.in. następujące założenia. Każdy agent występujący w systemie multiagentowym ma zdefiniowaną funkcję przejścia przeprowadzającą jego stan bieżący w pewien stan pośredni biorący udział w ustaleniu stanu tego agenta w chwili następnej. Środowisko systemu również posiada podobnie określoną funkcję przejścia. Ze środowiskiem związana jest dodatkowo funkcja reakcji lokalnej, która określa lokalny wpływ środowiska na poszczególnego agenta. Każdy agent ma również zdefiniowaną funkcję recepcji uzależniającą wewnętrzny stan agenta od lokalnego wpływu środowiska. Współdziałanie wymienionych funkcji uaktywnia się w elementarnych etapach składających się na pojedynczy krok iteracyjny dynamiki systemu multiagentowego: – środowisko angażuje swoją funkcję przejścia wyznaczając na podstawie stanu własnego i stanu agentów nowy stan środowiska odpowiadający następnej chwili czasu, – środowisko wyznacza swoje lokalne wpływy na poszczególne agenty korzystając z funkcji reakcji lokalnej, – agenty wykorzystują swoją funkcję przejścia i przechodzą do pewnego stanu pośredniego, – agenty wykorzystują swoją funkcję recepcji i na podstawie lokalnego wpływu środowiska i własnego stanu pośredniego przechodzą do nowego stanu odpowiadającego następnej chwili czasu. Powtarzanie kroku iteracyjnego obejmującego wymienione etapy wyznacza sekwencję stanów całego systemu multiagentowego (środowiska i agentów) w kolejnych chwilach czasu. Dodatkowo środowisko może mieć swoją funkcję recepcji pozwalającą na odbieranie bodźców z zewnątrz systemu. Bodźce te są transmitowane dalej do agentów poprzez lokalne wpływy wywierane na nie przez środowisko. Agenty kontaktują się ze środowiskiem dwukierunkowo, poprzez wpływ ich stanu na wartość funkcji przejścia środowiska oraz poprzez recepcję lokalnych wpływów środowiska. Środowisko systemu multiagentowego może.

(4) 8. Jacek Wołoszyn. komunikować się z otoczeniem odbierając z niego pewne sygnały. Należy zwrócić uwagę, że agenty nie komunikują się bezpośrednio ze sobą ani ze światem zewnętrznym. Środowisko pełni więc rolę pośrednika i medium komunikacji między agentami. Jest to cecha naśladująca zachowanie rzeczywistych systemów złożonych, w których agenty nie kontaktują się wprost ze sobą, lecz używają pewnego wspólnego medium przekazu informacji. Odnosząc omówiony wyżej mechanizm komunikacji oraz jego wpływ na dynamikę systemu multiagentowego do zarysowanego modelu giełdy, możemy przedstawić następującą charakterystykę tego modelu pozostając przy jego iteracyjnym działaniu: – stan rynku akcji w pewnym elementarnym kroku wynika z poprzedniego stanu rynku (np. przedsiębiorstwa emitują nowe akcje) oraz stanu poszczególnych inwestorów (np. ceny akcji zmieniają się w odpowiedzi na popyt i podaż tworzony przez inwestorów), – rynek akcji indywidualnie wpływa na każdego z inwestorów (np. zależnie od struktury jego portfela akcji), – każdy inwestor ustala własne decyzje z uwzględnieniem swoich poprzednich decyzji (np. kontynuują planowane zakupy akcji), – inwestorzy weryfikują swoje decyzje na podstawie indywidualnego wpływu rynku akcji na każdego z nich (np. zmieniają decyzje w odpowiedzi na wahania cen akcji). Podczas ewolucji opisanego modelu systemu giełdowego inwestorzy nie kontaktują się ze sobą bezpośrednio, ale zamiast tego obserwują rynek akcji, na który sami jednocześnie mają wpływ. Zachowanie takie zapewnia wzajemną komunikację pomiędzy inwestorami, uwidaczniającą się szczególnie wyraźnie podczas gwałtownych zmian cen akcji. 3. Multiagentowe systemy chaotyczne Omawiane systemy multiagentowe są generalnie systemami o zdeterminowanej dynamice opisanej poprzez wspomniane wyżej funkcje przejścia, recepcji i reakcji lokalnej. Funkcje te determinują przechodzenie systemu z jednego stanu do drugiego. Obserwowane realnie istniejące systemy, będące systemami przedmiotowymi modeli ekonomicznych (także modeli przyrodniczych), zachowują się często w sposób praktycznie nieprzewidywalny. Takie efekty związane mogą być z obecnością w modelowanych systemach cech chaosu deterministycznego. Wiadomo, że istotnym warunkiem występowania zjawiska chaosu w systemie o deterministycznej dynamice jest nieliniowość dotycząca zależności pomiędzy zmiennymi systemu. W przeciwieństwie do systemów nieliniowych, systemy opisywane liniowymi zależnościami nie wykazują zachowań chaotycznych..

(5) Symulacyjne badanie dynamiki…. 9. W przeważającej większości przypadków systemy ekonomiczne są zdecydowanie nieliniowe [Peters 1997]. Ich linearyzacja wprawdzie znacznie upraszcza konstruowane modele matematyczne tych systemów, powoduje jednak często efekt uboczny w postaci istotnego zniekształcenia dynamiki badanego systemu. Najprostszym przykładem modelu systemu dynamicznego, który generuje przebiegi chaotyczne, jest odwzorowanie kwadratowe. Wspomniany model opisany jest przy pomocy następującej iteracyjnej formuły: x x+1 = 2 xt2 – 1. (1). Funkcja kwadratowa występująca w formule (1) wprowadza do rozważanego modelu nieliniowość decydującą o pojawieniu się w nim przebiegów mających charakter chaotyczny. Przyjmując wartość początkową x 0 = 0,671, a następnie wykonując pewną liczbę iteracji formuły (1), otrzymujemy w rezultacie szereg czasowy, którego wykres przedstawiony został na rys. 1. Na wykresie widać nieregularne zachowanie się naszego modelu. 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0 –0,2 –0,4 –0,6 –0,8 –1,0. Rys. 1. Wynik 200 iteracji odwzorowania xt + 1 = 2xt2 – 1 dla wartości początkowej x0 = 0,671 Źródło: opracowanie własne.. 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0 –0,2 –0,4 –0,6 –0,8 –1,0. Rys. 2. Wynik 200 iteracji odwzorowania xt + 1 = 2xt2 – 1 dla wartości początkowej x0 = 0,67100001 Źródło: opracowanie własne..

(6) Jacek Wołoszyn. 10. Kolejną cechą zachowania chaotycznego jest duża wrażliwość badanego systemu dynamicznego nawet na bardzo niewielką zmianę warunków początkowych. Wybierając niewiele różniącą się od poprzedniej nową wartość początkową x0 = 0,67100001, otrzymujemy zupełnie inny przebieg szeregu czasowego, pokazany na rys. 2. Jeszcze jedną charakterystyczną cechą zachowania chaotycznego jest utrzymywanie się nieregularności przebiegu obserwowanej zmiennych (lub zmiennych) systemu przy dowolnym wydłużaniu horyzontu czasowego eksperymentu. 4. Eksperymenty symulacyjne Przedmiotem prowadzonych eksperymentów symulacyjnych był chaotyczny system multiagentowy złożony z agentów iterujących odwzorowanie logistyczne: xi + 1 = kxi (1 – xi ). (2). gdzie k jest współczynnikiem logistycznym.. 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0. 100. 200. 300. 400. 500. 600. 700. 800. 900. Rys. 3. Początkowych 1000 iteracji odwzorowania logistycznego dla k = 3,99 i x0 = 0,8 Źródło: opracowanie własne.. Przykładowy logistyczny szereg czasowy przedstawiony został na rys. 3. Wartości, jakie współczynnik k przyjmował w przeprowadzonych eksperymentach, zostały ograniczone do przedziału [3,9; 4,0]. Dla wartości z tego przedziału wykorzystywane odwzorowanie (2) generuje przebiegi chaotyczne przerywany oknami okresowymi, co można dobrze zilustrować na diagramie Feigenbauma przedstawionym na rys. 4 i 5. System multiagentowy stanowiący przedmiot przeprowadzanych eksperymentów obejmował pewną liczbę jednakowych agentów, których stan opisany był zmienną reprezentującą kolejne wartości xt logistycznego szeregu czasowego oraz zmienną zawierającą wartość współczynnika k. Oprócz tych dwóch zmiennych agenty zawierały dodatkowe zmienne stanu wykorzystywane do sterowania opisaną dalej złożoną dynamiką agentów. Na początku eksperymentów stan agentów.

(7) Symulacyjne badanie dynamiki…. 11. obejmujący zmienne x i k w chwili zerowej ustalany był losowo. Ze względu na znaczny wzrost złożoności obliczeniowej procesu symulacji przy zwiększaniu liczby agentów większość eksperymentów przeprowadzono wykorzystując system zawierający trzy agenty.. Rys. 4. Diagram Feigenbauma odwzorowania logistycznego dla współczynnika k z przedziału [3,5; 4,0] Źródło: opracowanie własne.. Rys. 5. Powiększony fragment diagramu przedstawionego na rys. 4 dla przedziału współczynnika k [3,9; 4,0] Źródło: opracowanie własne.. W systemie pozbawionym wzajemnych interakcji agenty iterując odwzorowanie logistyczne poruszały się po różnych trajektoriach. Ich zmienne stanu x przyjmowały w jednej chwili różne wartości, co dało podstawę do wprowadzenia w środowisku systemu dwóch zmiennych stanu: x będącą średnią wartością stanu agentów oraz δ przedstawiającą średnią wartość x – x interpretowaną.

(8) Jacek Wołoszyn. 12. A2x(t) A1x(t). 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0. A0x(t). 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0. 1,0 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0,0. EnvironmenterrMean(t). 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0. EnvironmentxMean(t). jako średni błąd stanu agentów. Również w obrębie każdego agenta wprowadzono zmienną stanu δ reprezentującą błąd stanu danego agenta określony jako x – x . Przykładowy przebieg zmian stanu agentów i środowiska ilustruje rys. 6.. 0. 100. 200. 300. 400. 500. 600. 700. 800. 900. 0. 100. 200. 300. 400. 500. 600. 700. 800. 900. 0. 100. 200. 300. 400. 500. 600. 700. 800. 900. 0,50 0,45 0,40 0,35 0,30 0,25 0,20 0,15 0,10 0,05 0,00. Rys. 6. Stany agentów i środowiska systemu złożonego z 3 agentów iterujących odwzorowanie logistyczne. Zobrazowano 1000 początkowych iteracji. Górne trzy wykresy przedstawiają zmienną x poszczególnych agentów. Dwa dolne wykresy ilustrują – wartości zmiennych środowiska ( x– oraz δ) Źródło: opracowanie własne.. Jednym z celów prowadzonych eksperymentów symulacyjnych było stwierdzenie, czy za pomocą prostego algorytmu możliwe jest doprowadzenie do synchro-.

(9) Symulacyjne badanie dynamiki…. 13. nizacji stanu wszystkich agentów rozpoczynających iteracje od losowo wybranych wartości x oraz k. W tym celu wyposażono agenty w możliwość samodzielnej modyfikacji współczynnika logistycznego k, którego zmiany dokonywane są przez agenty w kolejnych iteracjach z pewną prędkością v ustalaną według zależności: ki = ki – 1 + vi. (3). gdzie: ki jest wartością współczynnika logistycznego, a vi przedstawia prędkość zmian tego współczynnika w i-tej iteracji. Wartość v ustalana jest indywidualnie przez każdego agenta w kolejnych iteracjach zgodnie z następującym algorytmem: jeżeli δi δi > rmax , to vi = fv (δi ) w przeciwnym razie jeżeli δi < = δi –1 , to vi = dv vi –1 w przeciwnym razie vi = – vi –1 gdzie: δi – błąd x agenta w i-tej iteracji, – δi – średni błąd x agentów w i-tej iteracji, rmax – współczynnik progowy ponownego ustalenia prędkości v, f v – funkcja ponownego ustalenia prędkości v, dv – współczynnik redukcji prędkości v, 0 < dv < 1. Przedstawiony wyżej algorytm dąży do ciągłego polepszania synchronizacji agentów poprzez zmiany wartości współczynnika k zachodzące z pewną prędkością. Jeśli zmiana k powoduje zmniejszenie błędu agenta w kolejnym kroku, to zmniejszana jest prędkość dalszych zmian, jeśli nie, to odwraca się kierunek zmian k na przeciwny. Ponieważ prędkość zmian k może tylko maleć, aby zapobiec utknięciu algorytmu w niepożądanym punkcie w przypadku znacznej dysproporcji błędu danego agenta i średniego błędu prędkość zmian współczynnika k, ustalana jest ponownie na pewną wartość początkową i proces stopniowego spowalniania zmian k powtarza się. Rolą funkcji f v (δ) jest ustalanie wartości v podczas wykonywanych nawrotów algorytmu zależnie od wartości błędu danego agenta. W prezentowanych eksperymentach symulacyjnych przyjęto następujące 3 założenia: rmax = 1,5, dv = 0,9, oraz f v (δ) = 0,001 · (1 – e –δ ). 5. Badanie dynamiki W wyniku przeprowadzonych eksperymentów symulacyjnych zaobserwowano, że opisany powyżej deterministyczny algorytm synchronizacji chaotycznych agentów iterujących odwzorowanie logistyczne jest skuteczny i prowadzi do stabilizacji stanu całego systemu..

(10) Jacek Wołoszyn. A2x(t). 0,8 0,6 0,4 0,2. A1x(t). 0,8 0,6 0,4 0,2. A0x(t). 14. 0,8 0,6 0,4 0,2 0. 100 000. 200 000. 300 000. 400 000. 500 000. 600 000. 700 000. 800 000. 900 000. Rys. 7. Stany trzech agentów iterujących odwzorowanie logistyczne. Synchronizacja orbit agentów następuje po początkowej fazie chaotycznej trwającej około 500 000 iteracji. W celu zachowania przejrzystości na wykresie przedstawiono jedynie wartości x wybrane co 1000 iteracji Źródło: opracowanie własne.. A0k(t). A0k(t). A0k(t). W pierwszej kolejności badano zachowanie chaotycznego systemu multiagentowego złożonego z trzech agentów. Zarejestrowana typowa dynamika systemu miała charakter dwufazowy, z początkową fazą chaotyczną reprezentowaną przez nieregularne trajektorie agentów oraz końcową fazą synchroniczną obejmującą regularne, okresowe zachowanie agentów. Ilustrację tej dynamiki stanowią wykresy zamieszczone na rys. 7. Początkową fazę chaotycznej dynamiki 4,00 3,99 3,98 3,97 3,96 3,95 3,94 4,00 3,99 3,98 3,97 3,96 3,95 3,94 4,00 3,99 3,98 3,97 3,96 3,95 3,94 100 000. 120 000. 140 000. 160 000. 180 000. 200 000. 220 000. 240 000. 260 000. Rys. 8. Zmiany współczynnika k odwzorowania logistycznego podczas fazy chaotycznej eksperymentu symulacyjnego. Zobrazowano co dwusetną iterację pomiędzy 100 000 a 260 000 Źródło. opracowanie własne..

(11) Symulacyjne badanie dynamiki…. 15. wypełniają trajektorie przypominające swoim przebiegiem typową trajektorię chaotyczną generowaną przez odwzorowanie logistyczne. Faza ta w przypadku systemów trójagentowych trwa od kilkuset tysięcy iteracji do kilku milionów iteracji. Podczas tej fazy eksperymentu poszczególne agenty przybierają różne od siebie stany i nie wykazują zgodności w nieokresowych oscylacjach. Rozbieżności ich stanu powodują, że każdy agent może przyjmować różny błąd δ. W tej samej – – fazie eksperymentu wartości X oraz δ również zmieniają się chaotycznie. 4,006 4,004 4,002 4,000 3,998 3,996 3,994 3,992 3,988 3,986 3,984 3,982 3,980 3,978 3,976 3,974 3,972 3,970 3,968 3,966 140 000 150 000 160 000 170 000 180 000 190 000 200 000 210 000 220 000 230 000 240 000 250 000 260 000 3,9908. 3,9906 3,9904 3,9902 3,9900 3,9898 3,9896 3,9894 3,9892 3,9890 3,9888 3,9886 3,9884 3,9882 3,9880 3,9878 3,9876 3,9874 3,9872 3,9870 3,9868 3,9866 3,9864 3,9862 3,9860 3,9858 3,9856 3,9854 3,9852 3,9850 3,9848 3,9846 3,9844 3,9842. 3,9840. 183 000 183 500 184 000 184 500 185 000 185 500 186 000 186 500 187 000 187 500 188 000 188 500 189 000. Rys. 9. Częściowe samopodobieństwo trajektorii współczynnika k podczas fazy chaotycznej eksperymentu symulacyjnego. Ukazano dwa fragmenty tej samej trajektorii w różnych skalach powiększenia. Na górnym wykresie zaznaczono obszar powiększony w dolnej części Źródło: opracowanie własne..

(12) Jacek Wołoszyn. 16. W fazie chaotycznej obserwowane w eksperymentach trajektorie zmiennej stanu agentów nie są rzeczywistym przebiegiem generowanym przez iterowane odwzorowanie logistyczne. W kolejnych iteracjach ulega bowiem zmianie współczynnik k, w różny sposób dla poszczególnych agentów (zgodnie z opisanym algorytmem synchronizacji). Współczynnik k zmienia się (rys. 8) w sposób przypominający chaotyczną dynamikę błądzenia przypadkowego. Trajektoria zmian współczynnika k determinowanych przez algorytm synchronizacyjny posiada pewne cechy częściowego samopodobieństwa [Mandelbrot 1982] dające się zaobserwować w różnych skalach wartości i czasu eksperymentu. Przykład takiego częściowego samopodobieństwa przedstawia rys. 9 Za zmiany wartości k odpowiada prędkość zmian v ustalana zgodnie z przyjętym algorytmem. Wartości v obserwowane w eksperymencie przedstawiono na rys. 10. Zgodnie z algorytmem synchronizacji prędkość v maleje jako wartość bezwzględna lub zmienia znak oraz ulega reinicjalizacji, gdy błąd danego agenta staje się zbyt duży w stosunku do średniego błędu δ .. 0,0002 0,0001 0,0000 –0,0001 –0,0002 1400. 1450. 1500. 1550. 1600. 1650. 1700. 1750. Rys. 10. Przebieg zmian prędkości v jednego z agentów systemu podczas fazy chaotycznej eksperymentu symulacyjnego. Zobrazowano kolejne iteracje pomiędzy 1400 i 1750 Źródło: opracowanie własne.. Po wykonaniu pewnej liczby iteracji system zaczyna przechodzić do fazy synchronizacji. Zanim to nastąpi, występuje przejściowa faza częściowej synchronizacji, w której część agentów (dwa spośród trzech) rozpoczynają zgodne oscylacje, pozostały agent natomiast nadal porusza się po trajektorii chaotycznej (rys. 11). W fazie częściowej synchronizacji agenty zgodne w swoich trajektoriach nie zmieniają w zauważalny sposób współczynników logistycznych, natomiast trzeci agent kontynuuje próby synchronizacji. Błąd δ trzeciego agenta znacznie odbiega od zbliżonych i mniejszych błędów δ pozostałych agentów. Powoduje to częste nawroty algorytmu synchronizacyjnego realizowanego przez agenta pozostającego w trajektorii chaotycznej. Przebieg zmian błędów δ agentów podczas fazy częściowej synchronizacji przedstawiono na rys. 12..

(13) A2x(t). 0,8 0,6 0,4 0,2. A1x(t). 0,8 0,6 0,4 0,2. A0x(t). Symulacyjne badanie dynamiki…. 0,8 0,6 0,4 0,2 470 000. 470 050. 470 100. 17. 470 150. 470 200. 470 250. 470 300. 470 350. 470 400. Rys. 11. Zmienne stanu trzech agentów iterujących odwzorowanie logistyczne. Pokazano kilkaset kolejnych iteracji z przejściowej fazy częściowej synchronizacji. A2x(t). 0,8 0,8 0,8 0,6 0,4 0,2. A1x(t). 0,8 0,8 0,8 0,6 0,4 0,2. A0x(t). Źródło: opracowanie własne.. 0,8 0,8 0,8 0,6 0,4 0,2 320 000. 340 000. 360 100. 380 000. 400 000. 420 000. 440 000. 460 000. 480 000. 500 000. Rys. 12. Błędy trzech agentów iterujących odwzorowanie logistyczne. Zobrazowano co setną iterację pomiędzy 320 000 i 520 000. W okolicach iteracji 415 000 następuje przejście od fazy chaotycznej do fazy częściowej synchronizacji. Agent 0 (dolny wykres) utrzymuje zachowanie chaotyczne i jego błąd przyjmuje większe wartości. Agenty 1 i 2 (górne wykresy) zostają zsynchronizowane i ich błędy maleją Źródło: opracowanie własne.. Po fazie częściowej synchronizacji, trwającej przeciętnie kilkaset tysięcy iteracji, system przechodzi do drugiej zasadniczej fazy, którą cechuje pełna synchronizacja stanu agentów. Uzyskany stan stabilny w przypadku systemów trójagentowych obejmował we wszystkich przeprowadzonych eksperymentach symulacyjnych cykl długości 4 iteracji lub cykl będący wielokrotnością 4 iteracji..

(14) Jacek Wołoszyn. A0k(t). A1k(t). A2k(t). 18. 4,00 3,99 3,98 3,97 3,96 3,95 3,94 4,00 3,99 3,98 3,97 3,96 3,95 3,94 4,00 3,99 3,98 3,97 3,96 3,95 3,94 350 000. 400 000. 450 000. 500 000. 550 000. 600 000. 650 000. 700 000. 750 000. 800 000. Rys. 13. Zmiany współczynnika k odwzorowania logistycznego podczas eksperymentu symulacyjnego. Zobrazowano co dwusetną iterację pomiędzy 350 000 i 850 000. System przechodzi z fazy chaotycznej do fazy częściowej i pełnej synchronizacji Źródło: opracowanie własne.. Wraz z wystąpieniem zgodności trajektorii agentów systemu następuje także stabilizacja współczynników k wynikająca ze znacznego zmniejszenia się błędów δ poszczególnych agentów. Ogólny przebieg takiej stabilizacji przedstawia rys. 13. Po synchronizacji stanu agentów wartość współczynnika k wszystkich agentów w systemie ustala się w pobliżu tej samej wartości wynoszącej około 3,96. Jest to wartość odpowiadająca dużemu oknu okresowemu na diagramie Feigenbauma dla odwzorowania iteracyjnego. Współczynniki k ustalone w poszczególnych agentach różnią się o około 0,25‰ swojej wartości i leżą w obrębie tego samego okna okresowego. To tłumaczy, dlaczego synchroniczne trajektorie stanowią cykle długości 4 iteracji lub cykle będące efektem podwojenia tego okresu pewną liczbę razy. 3,960 752 714 3,960 752 713 3,960 752 712 3,960 752 711 3,960 752 710 3,960 752 709 3,960 752 708 3,960 752 707 3,960 752 706 780 000. 800 000. 820 000. 840 000. 860 000. 880 000. 900 000. 920 000. 940 000. 960 000. Rys. 14. Zmiany współczynnika k odwzorowania logistycznego podczas fazy synchronicznej eksperymentu symulacyjnego. Zobrazowano co setną iterację między 780 000 a 980 000. Pionowa oś wartości została przeskalowana tak, aby uwidocznić zmiany k rzędu 10 –10 Źródło: opracowanie własne..

(15) Symulacyjne badanie dynamiki…. 19. A0x(t) A1x(t) A2x(t). Analiza stanu agentów w fazie synchronicznej wskazuje, że zmiany wartości współczynnika k agentów zachodzą nadal, podobnie jak w fazie dynamiki chaotycznej, w stosunku do której różnią się jednak skalą. W fazie synchronicznej zmiany k są 8 rzędów wielkości mniejsze i powodują jedynie powolny dryf współczynnika, zilustrowany w bardzo dużym powiększeniu na rys. 14. Aby zbadać stabilność systemu w stanie synchronizacji agentów przeprowadzono serię dodatkowych eksperymentów, w których po osiągnięciu fazy synchronizacji wywoływane było zaburzenie stanu agentów polegające na losowej zmianie wartości zmiennych stanu x wszystkich trzech agentów. Obserwacje zaburzonych w ten sposób systemów pokazały, że następował powrót do stanu synchronizacji agentów (rys. 15), który odbywał się znacznie szybciej niż osiąganie pierwotnej. 1,0 0,5 0,0 1,0 0,5 0,0 1,0 0,5 0,0 750 000. 750 100. 750 200. 750 300. 750 400. 750 500. 750 600. 750 700. 750 800. Rys. 15. Efekt losowego zaburzenia zmiennej stanu x agentów iterujących odwzorowanie logistyczne po osiągnięciu synchronizacji trajektorii. Zaburzenie zostało wymuszone w 750 000 iteracji. Na wykresie zobrazowano zmienną x w kolejnych następujących po zaburzeniu iteracjach. Po około 700 iteracjach system powraca do stanu synchronizacji Źródło: opracowanie własne.. A0k(t). 3,9610 3,9605 3,9600 3,9595. A0k(t). 3,9620 3,9615 3,9610 3,9605. A0k(t). 3,9620 3,9615 3,9610 3,9605 748 000. 749 000. 750 000. 751 000. 752 000. 753 000. 754 000. Rys. 16. Efekt losowego zaburzenia zmiennej stanu x agentów. Na wykresie zobrazowano współczynnik logistyczny k w kolejnych następujących po zaburzeniu iteracjach Źródło: opracowanie własne..

(16) Jacek Wołoszyn. 20. 74 000 000. 73 000 000. 72 000 000. 71 000 000. 70 000 000. 69 000 000. 68 000 000. 67 000 000. 66 000 000. 65 000 000. 64 000 000. 63 000 000. 62 000 000. 61 000 000. 4,00 3,95 3,90 4,00 3,95 3,90 4,00 3,95 3,90 4,00 3,95 3,90 4,00 3,95 3,90 4,00 3,95 3,90 4,00 3,95 3,90 4,00 3,95 3,90 4,00 3,95 3,90 4,00 3,95 3,90 60 000 000. A0k(t) A1k(t) A2k(t) A3k(t) A4k(t) A5k(t) A6k(t) A7k(t) A8k(t) A9k(t). synchronizacji na początku eksperymentu. Odzyskanie przez system okresowości trajektorii wymagało zaledwie około kilkuset do kilku tysięcy iteracji, po których współczynnik k agentów ustalał się na innym niż poprzednio poziomie (rys. 16). Podobnie jak dla przypadku systemów trójagentowych, przeprowadzono eksperymenty symulacyjne dla systemów złożonych z większej liczby agentów. Wybrano system zawierający 10 agentów i obserwowano w tym systemie przejście od fazy dynamiki chaotycznej do fazy synchronizacji. Wzrost złożoności systemu spowodował znaczny wzrost zapotrzebowania na zasoby obliczeniowe i pamięciowe niezbędne do przeprowadzenia eksperymentów, z tego też powodu udało się przeprowadzić na potrzeby niniejszej pracy tylko jeden pełny eksperyment symulacyjny.. Rys. 17. Zmiany współczynnika k agentów iterujących odwzorowanie logistyczne podczas eksperymentu symulacyjnego przeprowadzonego w systemie dziesięcioagentowym. Zobrazowano iteracje wybrane z krokiem co 5000 pomiędzy 60 000 000 a 75 000 000. System przechodzi z fazy chaotycznej do fazy częściowej oraz pełnej synchronizacji Źródło: opracowanie własne..

(17) Symulacyjne badanie dynamiki…. 21. 0,8 0,6 0,4 0,2 0,8 0,6 0,4 0,2 0,8 0,6 0,4 0,2 0,8 0,6 0,4 0,2 0,8 0,6 0,4 0,2 0,8 0,6 0,4 0,2 0,8 0,6 0,4 0,2 0,8 0,6 0,4 0,2 0,8 0,6 0,4 0,2. 74 999 600. 74 999 580. 74 999 560. 74 999 540. 74 999 520. 74 999 500. 74 999 480. 74 999 460. 74 999 440. 74 999 420. 74 999 400. 0,8 0,6 0,4 0,2 74 999 380. A0x(t) A1x(t) A2x(t) A3x(t) A4x(t) A5x(t) A6x(t) A7x(t) A8x(t) A9x(t). System złożony z 10 agentów iterujących odwzorowanie logistyczne wymaga znacznie większej liczby iteracji do osiągnięcia stanu synchronizacji niż system trójagentowy. W przeprowadzonym doświadczeniu badany system przeszedł do fazy synchronizacji dopiero po około 65 milionach iteracji (dla porównania, w przypadku systemu 3 agentów synchronizacja następowała po kilkuset tysiącach iteracji). Uzyskane wyniki ilustruje rys. 17. Agenty ustaliły swoje współczynniki k w okolicach wartości 3,906, która odpowiada oknu okresowemu diagramu Feigenbauma reprezentującemu trajektorię cykliczną o okresie 5 iteracji widoczną na wykresie dynamiki zmiennej stanu agentów w fazie synchronizacji (rys. 18).. Rys. 18. Cykl długości 5 iteracji osiągnięty przez w fazie synchronizacji w systemie dziesięcioagentowym Źródło: opracowanie własne..

(18) 22. Jacek Wołoszyn. Multiagentowe systemy chaotyczne ujawniają w eksperymentach symulacyjnych zachowanie złożone wynikające z interakcji między agentami i środowiskiem systemu. Jest to zachowanie bardziej skomplikowane niż zachowanie pojedynczych, izolowanych agentów. W przypadku systemów wykorzystywanych w eksperymentach opisanych w niniejszej pracy dynamika pojedynczego agenta odizolowanego od środowiska systemu jest klasyczną dynamiką chaotyczną generowaną przez iterowane odwzorowanie logistyczne. Po połączeniu podobnych agentów w system i stworzeniu możliwości komunikacji między nimi i środowiskiem systemu dynamika agentów ulega zmianie, pojawia się element kooperacji umożliwiający agentom synchronizację swoich trajektorii. 6. Podsumowanie Przeprowadzone doświadczenia wskazują, że stosunkowo prosty algorytm deterministyczny pozwala doprowadzić system chaotyczny do dynamiki regularnej. Algorytm, który tłumi zachowania chaotyczne i stabilizuje regularność dynamiki, jest w pełni zdeterminowany i nie zawiera żadnych elementów losowości. Oznacza to, że ten sam system rozpoczynając ewolucję od tych samych wartości początkowych będzie zmierzał do osiągnięcia fazy synchronizacji tą samą drogą. Innymi słowy, stabilizacja i osiągnięcie regularności trajektorii agentów jest nieodłączną cechą samego systemu realizującego określony algorytm, nie zaś efektem pomyślnego zbiegu okoliczności podczas eksperymentu symulacyjnego. Chaotyczny system multiagentowy może posiadać zdolność samostabilizacji polegającą na odszukiwaniu przez agenty krótkich orbit okresowych położonych blisko siebie. Ponieważ w systemach wykorzystanych do prowadzenia eksperymentów symulacyjnych zakres zmienności współczynnika k odwzorowania logistycznego obejmował przedział, w którym występują duże okna okresowe, badane systemy osiągając fazę synchronizacji lokowały się w obrębie tych okien przyjmując krótkie, kilkuiteracyjne trajektorie cykliczne. Do prowadzenia eksperymentów symulacyjnych z udziałem chaotycznych systemów multiagentowych konieczne jest intensywne wykorzystanie specjalistycznego oprogramowania komputerowego. Złożoność obliczeniowa symulacji powoduje konieczność przetwarzania bardzo dużych zbiorów danych mających objętość dziesiątków gigabajtów. Przeprowadzanie eksperymentów jest czasochłonne i wymaga użycia nowoczesnego sprzętu komputerowego oferującego odpowiednie zasoby obliczeniowe. Wśród kierunków dalszych badań należy wskazać eksperymenty symulacyjne z systemami o większej liczbie agentów, prowadzone w dłuższej perspektywie czasowej wykraczającej znacznie poza moment osiągnięcia synchronizacji, w tym także doświadczenia z wymuszanymi zaburzeniami trajektorii agentów..

(19) Symulacyjne badanie dynamiki…. 23. Interesujące wydaje się zbadanie zachowania systemów iterujących odwzorowanie logistyczne w innych przedziałach zmienności współczynnika logistycznego, w których nie występują szerokie okna okresowe. Należy także dążyć do zbadania analogicznego zachowania się systemów iterujących inne przekształcenia będące źródłem chaosu deterministycznego. Literatura Baker G.L., Gollub J.P. [1998], Wstęp do dynamiki układów chaotycznych, PWN, Warszawa. Ferber J. [1999], Multi-Agent Systems. An Introduction to Distributed Artificial Intelligence, Addison-Wesley, Boston. Jain L., Chen Z., Ichalkaranje N. [2002], Intelligent Agents and Their Applications, Physica-Verlag, New York. Luck M., Marik V., Stepankowa O., Trappl R. [2001], Multi-Agent Systems and Applications, Springer, New York. Mandelbrot B. [1982], The Fractal Geometry of Nature, W.H. Freeman, New York. Ott E. [1997], Chaos w układach dynamicznych, WNT, Warszawa. Peters E. [1997], Teoria chaosu a rynki kapitałowe, WIG-Press, Warszawa. Schuster H.G. [1995], Chaos deterministyczny. Wprowadzenie, PWN, Warszawa. Wołoszyn J. [2000], Elementy teorii chaosu deterministycznego w badaniach systemów ekonomicznych, Zeszyty Naukowe AE w Krakowie, Kraków, nr 551. Wołoszyn P. [2004], Modelowanie dynamiki chaotycznych systemów biologicznych z użyciem metod multiagentowych, rozprawa doktorska, maszynopis, Kraków. Simulative Research Into Chaotic Multi-Agent Systems Dynamics Chaotic multi-agent systems are comprised of agents that exhibit chaotic behaviour. The study presents issues concerning examination of dynamics of considered systems. A research method, which is available for application to this problem, is based on computer simulation. Chaotic multi-agent systems should be regarded as a tool for modelling of some aspects of real complex dynamic systems, including also economic systems. Key words: deterministic chaos, multi-agent systems, simulative methods..

(20)