Nawigacja - macierze

(1)

Rok I Temat 2 MACIERZE. ALGEBRA MACIERZY 1 Definicja macierzy

2 Działania algebraiczne na macierzach 3 Macierz odwrotna

Definicja

Macierzą nazywamy skończony ciąg liczbowy

( )

aij , gdzie i= 1 2, , ...,n, j= 1 2, , ...,m zapisany w postaci tablicy prostokątnej o n wierszach i m kolumnach

a a a a a a a a a a a a a a a a j m j m i i ij im n n nj nm 11 12 1 1 21 22 2 2 1 2 1 2 ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...                    

Wszystkie elementy o pierwszym wskaźniku (indeksie) i tworzą i-ty wiersz; wszystkie elementy o drugim wskaźniku j tworzą j-tą kolumnę macierzy.

Stosujemy następujące oznaczenia macierzy

[ ]

A= A= A

×

a_{ij n m}, aij ,

Symbol n ×m nazywamy wymiarem macierzy. Jeżeli n=m, to macierz A nazywamy macierzą kwadratową n-tego stopnia

(

stA =n

)

. Elementy a_ii

(

i= 1 2, ,...,n

)

macierzy kwadratowej A tworzą główną przekątną.

Macierz kwadratową J =           1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ... ... ...

nazywamy macierzą jednostkową.

Macierz, której każdy element jest zerem nazywamy macierzą zerową i oznaczamy symbolem 0.

Macierzą transponowaną macierzy A =

[ ]

× a_{ij n m} nazywamy macierz AT

[ ]

ji _{n m} a = × . Macierze A =

[ ]

× a_{ij n m} i B =

[ ]

×

b_{ij n m} nazywamy równymi

(

A=B

)

, jeżeli ich odpowiednie elementy są równe: a_ij =b_ij, i=1 2, ,..., ,n j=1 2, ,...,m Sumą macierzy A =

[ ]

× a_{ij n m} i B =

[ ]

× b_{ij n m} nazywamy macierz C=

[ ]

(

C=A+B

)

× c_{ij n m} o elementach c_ij =a_ij+b_ij, i=1 2, , ..., ,n j=1 2, , ...,m. Iloczynem macierzy A =

[ ]

×

a_{ij n m} i liczby λ nazywamy macierz B =

[ ]

×

b_{ij n m},

(

B= λA

)

, gdzie

(2)

Definicja

Zakładamy, że liczba kolumn macierzy A =

[ ]

×

a_{ij n k} równa się liczbie wierszy macierzy

[ ]

B = ×

b_{ij k m}. Iloczynem macierzy A i macierzy B nazywamy macierz C =

[ ]

×

c_{ji n m}

(

C=A B⋅

)

, której elementy są postaci c_ij =a b_i_{1 1}_j+a b_i_{2 2}_j+ +... a b_{in nj}, i=1 2, , ..., ,n j=1 2, , ...,m.

Mnożenie macierzy nie jest, na ogół, przemienne

(

AB≠BA

₎

. Definicja

Macierzą odwrotną względem danej macierzy kwadratowej A nazywamy macierz A−1 taką, że AA−1=A A−1 =J.

Twierdzenie

Zakładamy, że działania na macierzach są wykonalne. ) ( ) ( , A B C A B C A B B A+ = + + + = + + AC AB C B A BC A C AB) = ( ), ( + )= + ( T T T T T T _A _B _AB _B _A B A+ ) = + ,( ) = ( . Przykłady 1.       = 22 21 12 11 a a a a A ,       = 22 21 12 11 b b b b B Wykazać, że ₍_A_{+ )}_B T ₌_AT ₊_BT_. Rozwiązanie       = 22 12 21 11 a a a a AT ,       = 22 12 21 11 b b b b BT . =       + + + + =               +       = + T T T b a b a b a b a b b b b a a a a B A 22 22 21 21 12 12 11 11 22 21 12 11 22 21 12 11 ) (       + + + + = 22 22 12 12 21 21 11 11 b a b a b a b a       + + + + =       +       = + 22 22 12 12 21 21 11 11 22 12 21 11 22 12 21 11 b a b a b a b a b b b b a a a a B AT T zatem (A+ )B T =AT +BT.

2. Korzystając z definicji macierzy odwrotnej wyznaczyć macierz odwrotną do macierzy       − = 5 3 1 2 A .

(3)

Rozwiązanie Szukamy macierzy _      = − u t y x A 1 _{takiej, że} J A A⋅ −1= , czyli _      =             − 1 0 0 1 5 3 1 2 u t y x , Stąd            = − = = = ⇒ = + = − = + = − ⇔       =       + + − − 13 2 13 3 13 1 13 5 1 5 3 0 2 0 5 3 1 2 1 0 0 1 5 3 5 3 2 2 u t y x u y u y t x t x u y t x u y t x , więc           − = − 13 2 13 3 13 1 13 5 1 A . 3. Dane są macierze . 6 0 2 4 5 3 0 2 1 , 4 1 6 2 0 5 1 3 2           − − − =           − − = B A Wykazać, że ₍_AB₎T ₌_BT_AT Rozwiązanie

(

)

          − − − − = 28 12 6 7 10 19 11 1 13 T AB ,           − − − − =           − −           − − − = ⋅ 28 12 6 7 10 19 11 1 13 4 2 1 1 0 3 6 5 2 6 4 0 0 5 2 2 3 1 T T A B Zadania 1. Dane są macierze:           − =           − − − =           − − = 4 1 5 7 0 1 0 3 2 , 2 0 4 1 6 3 2 1 0 , 6 4 0 1 5 2 3 0 1 C B A . Wykazać, że: a)

(

A+B

)

+C=A+

(

B+C

)

; b) A

(

BC

) (

= AB

)

C; c)

(

)

T T T B A B A+ = + ; d)

(

A+B

)

C=AC+BC; e) A

(

B+C

)

=AB+AC; f)

(

)

T T T A B AB = .

2. Wyznaczyć macierz X z równania:

a) _      − =       − 1 2 6 4 8 0 23 2 X ; b) _      − − =       5 5 3 3 2 3 1 2 X ; c) _      =             3 0 0 2 1 2 3 7 5 7 3 4 X ;

(4)

d)

[

11 15

]

3 1 1 5 6 3 2 1 − =             − − X Odpowiedzi: 2. a) _      3 1 5 2 ; b) _      − − 1 1 1 1 ; c) _      − − 126 38 93 28 ; d)

[

1 −1 2 3

]

. Lp. Literatura Rozdział

1 Zbiór zadań z matematyki pod red. R. Krupińskiego. Skrypt dla studentów AM w Szczecinie

I § 3 2 Winnicki K., Landowski M.; Wykłady z matematyki. Skrypt

dla studentów AM w Szczecinie

I § 1.2.-1.3. 3 Lassak. M. Matematyka dla studiów technicznych.

Supremum, 2006.