Algebra
WYKŁAD 5
Definicja
Macierzą nieosobliwą nazywamy macierz kwadratową, której wyznacznik jest różny od zera.
Macierzą osobliwą nazywamy macierz, której wyznacznik jest równy zeru.
Definicja
Macierzą odwrotną do macierzy kwadratowej A nazywamy macierz oznaczoną przez A
-1, spełniającą warunek
A
-1 A = A A
-1= 1 .
Twierdzenie
Macierz odwracalna A (tzn. taka, do której istnieje macierz odwrotna) jest macierzą nieosobliwą.
Macierz odwrotna A
-1do macierzy nieosobliwej A jest nieosobliwa.
Wyznacznik macierzy odwrotnej A
-1jest równy odwrotności wyznacznika macierzy A
A A
det det
1 1
Macierz odwrotna
Definicja
Macierzą dołączoną
A
Dmacierzy kwadratowej A nazywamy transpozycję macierzy utworzonej z dopełnień algebraicznych elementów macierzy A , tzn
.:A
D= [ A
ij]
T.
Twierdzenie
Macierz odwrotna jest wyrażona wzorem:
A A A
D
det
1
Macierz odwrotna
Przykład
Obliczyć macierz odwrotną do macierzy
1 1
2
1 2
4
1 1
3 A
Obliczamy wyznacznik macierzy
0 1 1
1 2
1 2
4
1 1
3
det
Obliczmy dopełnienia algebraiczne elementów macierzy A
. 1 0
1
1 1 1
1 1
1 2
21
11
A itp
A
Macierz odwrotna
Przykład (c. d.)
Tworzymy macierz dopełnień algebraicznych i macierz dołączoną
2 1
0
1 1
2
1 0
1
2 1
1
1 1
0
0 2
1
D
ij
A
A
Obliczamy macierz odwrotną
2 1
0
1 1
2
1 0
1
1
A A A
D
Macierz odwrotna
Rozpatrzmy ogólną postać układu n równań liniowych z n niewiadomymi
n n
nn n
n
n n
n n
b x
a x
a x
a
b x
a x
a x
a
b x
a x
a x
a
2 2 1
1
2 2
2 22 1
21
1 1
2 12 1
11
x
i, i = 1, 2, ..., n oznaczają niewiadome, a
ik R , i , k = 1, 2, ..., n , b
i R .
Rozwiązaniem powyższego układu nazywamy ciąg n liczb
x
nx x
x
1,
2,
3, ... ,
które wstawione do układu na miejsce niewiadomych spełniają ten układ, tzn.
zmieniają go w tożsamość.
Układy równań liniowych
Definicja
Macierz współczynników układu równań
a a
a
a a
a
a a
a A
nn n
n n
...
...
...
...
n2 1
2 22
21
1 12
11
nazywamy macierzą (główną) układu równań.
Układy równań liniowych
Układ równań liniowych można zapisać za pomocą równania macierzowego
b b b
x x x
a a
a
a a
a
a a
a
n m nn
n
n n
...
...
...
...
...
...
2 1 2
1
n2 1
2 22
21
1 12
11
,
w skrócie
B AX
gdzie
Kolumna wyrazów wolnych Kolumna niewiadomych układu równań
b b b B
n
...
2 1
x x x X
n
...
2 1
Układy równań liniowych
Definicja
Wyznacznikiem układu równań
nazywamy wyznacznik macierzy A
. Definicja
Układem Cramera
nazywamy układ równań, którego wyznacznik jest różny od 0
(tzn. macierz A układu jest nieosobliwa).
Wynika stąd, że dla układu Cramera macierz odwrotna A
-1zawsze istnieje
!Mnożąc lewostronnie przez A
-1obie strony równania macierzowego otrzymujemy wektor rozwiązań X
A
-1(AX) = A
-1B (A
-1A)X = A
-1B I X = A
-1B X = A
-1B
czyli
X = A
-1B
Układ Cramera
Rozwiązywanie układu Cramera - metoda macierzowa
Krok 1. Obliczamy macierz
A
-1odwrotną do A
.Krok 2.
Mnożymy lewostronnie wektor wyrazów wolnych B
przez macierz A
-1otrzymując wektor niewiadomych X X = A
-1B
Układ Cramera
Rozwiązywanie układu Cramera - metoda wyznacznikowa (wzory Cramera)
Wykonując stosunkowo proste przekształcenia otrzymanego wzoru można wykazać, że rozwiązanie układu równań daje się zapisać w postaci
det det
...
det ,
det ...
det ,
det det ,
det
22 1
1
A
x A A
x A A
x A A
x A
n nj
j
gdzie A
jjest macierzą utworzoną przez zastąpienie w macierzy A kolumny o numerze j , kolumną wyrazów wolnych, j = 1, 2, ... ,n.
Powyższa postać rozwiązania układu równań nosi nazwę wzorów Cramera.
Układ Cramera
Przykład
Rozwiązać układ równań:
8 2
9 3
2
2 3
3 2
1
3 2
1
3 2
1
x x
x
x x
x
x x
x
Obliczamy kolejno wyznaczniki:
, 25 1
2 1
3 1 2
1 1 3
det
A
75 8
2 1
9 1 2
2 1 3 det
, 50 1
8 1
3 9 2
1 2 3 det
, 25 1
2 8
3 1 9
1 1 2
det
1 2
3
A A
A
Stąd: x
1=1, x
2=2, x
3=3.
Układy równań liniowych
Definicja
Układ równań liniowych nazywamy układem jednorodnym, gdy wszystkie jego wyrazy wolne są równe zeru, w przeciwnym przypadku układ równań nazywamy układem niejednorodnym.
Układ jednorodny ma zawsze rozwiązanie zerowe
x
1= 0, x
2= 0, ..., x
n= 0
.Z faktu, że układ Cramera ma dokładnie jedno rozwiązanie, wynika że:
Rozwiązanie zerowe jest jedynym rozwiązaniem układu jednorodnego, gdy jest on układem Cramera.
Warunkiem koniecznym na to, by układ jednorodny miał rozwiązanie niezerowe jest, aby nie był on układem Cramera, a więc by
det A = 0.
Układy równań liniowych
Definicja
Podmacierz macierzy
A
jest to macierz powstała przez skreślenie w macierzyA
pewnej liczby wierszy i kolumn.
Definicja
Wyznacznik kwadratowej podmacierzy nazywamy minorem.
Definicja
Rzędem macierzy nazywamy najwyższy ze stopni jej różnych od zera minorów.
Rząd macierzy
A
oznaczamy symbolemrzA
, lubrankA
.Macierz zerowa ma rząd równy 0.
Uwaga
Dla dowolnej macierzy
A
o wymiarzem n rzA
min
(m, n
) .Rząd macierzy
Przykład
Obliczyć rząd macierzy
9 8 7
6 5 4
3 2 1 A
Ponieważ
det A = 0
jej rząd jest <3.
Wybieramy wiec podmacierze macierzyA
wymiaru22
i obliczamy ich wyznaczniki, np.
0 3 8
5 5 4
2
1
Znaleźliśmy minor stopnia
2
różny od0
, a zatem rząd macierzyA
jest równy2
.Rząd macierzy
Własności rzędu macierzy
Poniższe operacje nie zmieniają rzędu macierzy (aczkolwiek zmieniają samą macierz):
1. transpozycja
2. odrzucenie wiersza (kolumny) złożonego z samych zer
3. pomnożenie lub podzielenie wszystkich elementów pewnego wiersza (kolumny) przez tę samą liczbę różną od zera
4. dodanie do elementów pewnego wiersza (kolumny) odpowiednich elementów innego wiersza (kolumny) pomnożonych przez tę samą liczbę
5. dodanie do elementów pewnego wiersza (kolumny) kombinacji liniowej odpowiednich elementów pozostałych wierszy (kolumn)
6. odrzucenie jednego z dwóch wierszy (kolumn) o odpowiednich elementach proporcjonalnych
7. odrzucenie wiersza (kolumny) będącego kombinacją liniową pozostałych wierszy (kolumn).
Rząd macierzy
Rozważmy układ
m
równań liniowych zn
niewiadomymi
m n
mn m
m
n n
n n
b x
a x
a x
a
b x
a x
a x
a
b x
a x
a x
a
...
...
...
...
2 2 1
1
2 2
2 22 1
21
1 1
2 12 1
11
o współczynnikach
a
ik orazb
i .Macierz układu równań wymiaru
mn
ma postać
m m m
n
a a
a a
A
, 1
1 11
...
...
...
Ogólna postać układu równań liniowych
Definicja
Macierz rozszerzona jest to macierz powstała przez dopisanie do macierzy głównej układu równań wektora wyrazów wolnych
b b b
a a
a
a a
a
a a
a C
mn m
m m
n n
...
...
...
...
...
2 1
2 1
2 22
21
1 12
11
(inne oznaczenie macierzy rozszerzonej
A|B
).
Ogólna postać układu równań liniowych
Twierdzenie (Kroneckera – Capellego)
Jeżeli rzędy macierzy układu równań oraz macierzy rozszerzonej są sobie równe oraz są równe liczbie niewiadomych
rz A = rz C = n
,to układ równań ma dokładnie jedno rozwiązanie (układ oznaczony).
Jeżeli rzędy macierzy układu równań oraz macierzy rozszerzonej są sobie równe, ale są mniejsze od liczby niewiadomych
rz A = rz C < n
,to układ równań ma nieskończenie wiele rozwiązań (układ nieoznaczony).
Jeżeli rząd macierzy głównej jest mniejszy niż rząd macierzy rozszerzonej
rzA < rz C
,to układ równań nie ma rozwiązań (układ sprzeczny).
Ogólna postać układu równań liniowych
Algorytm rozwiązywania układu równań liniowych
A X = B
Krok 1. Wyznaczamy rząd macierzy układu
A
.Krok 2. Wyznaczamy rząd macierzy rozszerzonej
A
|B
.Jeżeli
rz A <
rz A
|B
, to koniec procedury - układ równań jest sprzeczny.Jeżeli
rz A = rz A
|B
, to krok 3.Krok 3. Rozwiązujemy układ równań.
a) Jeżeli
rz A = rz A
|B =
liczba niewiadomych,to układ równań jest oznaczony (można go rozwiązać np. stosując wzory Cramera), b) Jeżeli
rz A = rz A
|B = r <
liczba niewiadomych, układ równań jest nieoznaczony.Aby go rozwiązać wybieramy z układu
r
równań odpowiadających nieosobliwej podmacierzy rzędur
.Pozostawiamy po lewej stronie niewiadome związane z podmacierzą, zaś pozostałe przenosimy na drugą stronę równania i traktujemy jako parametry rozwiązania.
