I−1(θ) jest macierzą nieujemnie określoną

Statystyka I semestr zimowy 2017, seria XIII (przygotowanie do egzaminu)

1. Załóżmy, że ˆθ jest nieobciążonym estymatorem wektora parametrów θ. Przy założeniach nierów- ności Cramera-Rao (Klotz, str. 178) udowodnij, że varθ(ˆθ) − I⁻¹(θ) jest macierzą nieujemnie określoną.

2. Niech X1, X2, . . . , Xn będzie próbą prostą z rozkładu gamma Gamma(α, λ) o gęstości f (x) = Γ(α)⁻¹λ^αx^α−1e^−λx, x > 0.

Estymujemy funkcję parametryczną γ = α/λ za pomocą dwóch estymatorów:

• ˆγ1= ˆα/ˆλ, gdzie ˆα, ˆλ są estymatorami największej wiarygodności,

• ˆγ₂= (X₁+ . . . + X_n)/n.

(a) Porównaj asymptotyczną wariancję tych estymatorów.

(b) Wyznacz asymptotyczny przedział ufności dla γ wykorzystując ˆγ1 lub ˆγ2. Wskazówka jest na str. 180 podręcznika Klotza.

3. Rozważmy dwuwymiarowy model normalny

X1

X2



∼ Nµ1

µ2

 ,

 σ²₁ ρσ1σ2

ρσ1σ2 σ₂²



.

z wektorem parametrów θ = (µ1, µ2, σ²₁, σ²₂, ρ)^T. Za pomocą estymatora największej wiarygod- ności ˆθn z próby prostej o liczności n, wyznacz asymptotyczny przedział ufności dla funkcji parametrycznej γ = σ₁²/σ²₂.

Wskazówka jest na str. 194 − 195 podręcznika Klotza.

4. Testujemy hipotezę H0: µ1= µ2 oraz σ1= σ2 przeciw H1: µ1 6= µ2 lub σ1 6= σ2 na podstawie dwuwymiarowych obserwacji

X_i1 Xi2



∼ Nµ₁ µ2



,σ₁² 0 0 σ²₂



, gdzie i = 1, 2, . . . , n. Podaj test ilorazu wiarygodności dla H0. Wskazówka jest na str. 241 − 242 podręcznika Klotza.

5. W specjalnym studio mierzono czas reakcji na bodziec wzrokowy u n kierowców TIRów na chwilę przed oraz 15 minut po wypiciu 100 g wódki. Czasy reakcji (w sekundach) przed są: X1, . . . , Xn, natomiast czasy reakcji po wypiciu: Y1, . . . , Y_n. Na poziomie istotności α przetestuj hipotezę, że wódka wydłuża czas reakcji na bodziec.

6. Niech y = Xβ^∗+ ε, gdzie Eε = 0, var(ε) = σ²I oraz X jest macierzą n × p pełnego rzędu p.

(a) Policz estymator najmniejszych kwadratów, który w przybliżeniu spełnia ograniczenia li- niowe Aβ = c, gdzie A jest macierzą q × p pełnego rzędu q. Formalnie, policz

βˆ_λ= argmin_β||y − Xβ||²+ λ||Aβ − c||² , gdzie λ > 0.

(b) Policz var( ˆβ_λ).

(c) Policz E||Xβ^∗− X ˆβ_λ||².

1