MACIERZE Definicja 1

MACIERZE

Definicja 1. Macierzą prostokątną nazywamy funkcję A, która każdej uporządkowanej parze liczb naturalnych

 

i, j,1im,1 jn przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę

rzeczywistą a_ij, czyli A:

 

i,j aij.

Przyporządkowanie to zapisujemy w postaci tablicy prostokątnej:

 

^{a A}

a a

a

a a

a

a a

a

n ij m

mn m

m

n n





































2 1

2 22

21

1 12

11

,

gdzie

a_ij – element macierzy znajdujący się na przecięciu i-tego wiersza i j-tej kolumny, m – liczba wierszy,

n – liczba kolumn, n

m – wymiar macierzy.

Definicja 2. Dla macierzy A

 

aij _mn i B

 

bij _mn tego samego wymiaru określamy następujące działania:

a) Równość

   



aij m_n  bij m_n







aij bij



b) dodawanie (odejmowanie)

     



aij m_n  bij m_n  cij m_n







cij aij bij



c) mnożenie macierzy przez liczbę

   



kaij m_n  cij m_n







cij kaij



Własności działań na macierzach:

1) dodawanie

a) ABBA (przemienność) b)



AB



C A



BC



(łączność) 2) mnożenie przez liczbę

a) A A

b) 



A

 

 



A c) 



AB



AB d)







AAA

Definicja 3. Iloczynem AB macierzy A

 

aij _mp i B

 

bij _pn nazywamy macierz

 

cij _mn

C  _ , gdzie







 ^p

k

kj ik

ij a b

c

1

.

Własności mnożenia macierzy:

1) Mnożenie macierzy nie jest na ogół działaniem przemiennym:

BC AB . 2) Łączność



B C

 

A B



C A    

3) Rozdzielność względem dodawania



B C



A B A C A     

4) 



^A^B

 

 ^A



^B ^A



^B



.

5) Jeżeli A0 lub B0 AB0. Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe, tzn. z tego, że AB0 nie wynika, że A0B0.

Definicja 4. Macierzą transponowaną (przestawioną) macierzy A

 

aij _mn nazywamy macierz

 

ij _{n m}

T c

A  _ , gdzie c_ij a_ji,

tzn. macierz powstałą z macierzy A

 

aij _mn przez przestawienie wierszy na miejsce kolumn z zachowaniem ich kolejności.

Własności operacji transponowania:

1)

 

^{AT T  A}

2)



^A^B



^T  ^BT ^AT 3)



AB



^T  A^T B^T

Definicja 5. Macierz A

 

aij _nn o takiej samej liczbie wierszy i kolumn nazywamy macierzą kwadratową.

Macierz kwadratową A

 

aij _nn nazywamy:

a) diagonalną, jeżeli a_ij _ija_ij, przy czym







 

j i

j i

ij jeżeli jeżeli 1

 0 , np.

















5 0 0

0 1 0

0 0 2

b) jednostkową, jeżeli a_ij _ij, np.

















1 0 0

0 1 0

0 0 1

c) symetryczną, jeżeli A A^T, np.



















 1 2 0

2 3 1

0 1 2

MACIERZE, przykłady

Przykład 3.1.

Dane są macierze























 



 





 



 



 



3 1 3 1 8

3 5 3 0 1 0

1 1

2 1 1 1

6 5

1 3

2 B C

A

Wyznaczyć A2B3C. Rozwiązanie:



 







 











 





 











 



 



 























 





 





 





 



 







0 0 0

0 0 0 1 8 3

5 1 0

0 2 2

4 2 2 1

6 5

1 3 2

3 1 3 1 8

3 5 3 0 1 0 3

1 1

2 1 2 1

1 6 5

1 3 3 2

2

C B A

Przykład 3.2.

Obliczyć AB, gdzie

















 1 1

5 0

2 1

A 



 



 3 1

0 B 2 .

Rozwiązanie:











































































 

























3 3

15 5

6 4

3 1 0 1 1 1 2 1

3 5 0 0 1 5 2 0

3 2 1 0 1 2 2 1 3 1

0 2 1 1

5 0

2 1 B A

Mnożenie BA nie jest określone.

Przykład 3.3.

Znaleźć ABBA, gdzie _



 





2 3

5

A 1 , _



 



 

 4 1

3 B 2

Rozwiązanie:



 





 



 



 





 





 14 7

8 18 1

4 3 2 2 3

5 B 1

A



 







 



 







 



 





 1 22

4 11 2

3 5 1 1

4 3 A 2

B



 





 





 15 29

4 A 29

B B A

Przykład 3.4.

Rozwiązać równanie:































































3 1

4

0 1 1 2 1

2 2 1

1 1

X .

Rozwiązanie:

































































3 1

4

0 1 1 2 1

2 2 1

1 1

X 













































3 1 2

1 2

2 1

1 1

X

Aby było możliwe wykonanie mnożenia macierz X musi być wymiaru 21, stąd



























 























3 1 2

1 2

2 1

1 1

21 11

x

x , czyli



























3 2

1 2

2

12 11

21 11

21 11

x x

x x

x x

, a stąd











 1 1

21 11

x

x .

Ostatecznie _



 







  1 X 1 .