1. DZIAŁANIA UOGOLNIONE
Rodziną indeksowaną nazywamy f-cję która liczbom naturalnym przyporządkowuje zbiory. Przykład.: N0 – liczby naturalne z zerem właściwym; I=N0, X∈R, X-przestrz./zbór,
Φ–rodzina indeksowana; Φi=Ai=[i,i+1], i=0,1,...; A0=[0,1], A1=[1,2], ...; przykł: (brak)
Rodzina indeksowana zbioru: niech I≠∅ będzie rodziną indeksów. Funkcję Φ: I→ρ(x) ; i→Φ(i)=Φi nazywamy rodziną indeksowaną zbioru.
Sumą uogólnioną podzbio. rodziny Φ nazyw: ∪(i∈Φ)≡{x∈X: (i∈I) x∈Φi}
Iloczynem uogóln. podzbio. rodziny Φ nazyw.: ∩(i∈Φ)≡{x∈X: (i∈I) x∈Φi} przykł: I=N0, X∈R, Φi=Ai –[i,i+1), i=0, 1, ...; ∪(i∈I)Ai=[0,+∞)=R+=Φ;
∩(i∈I)Ai=[0,+∞)=R+=Φ; Własności sumy i iloczynu uog.: 1) Prawa de Morgana (∪(i∈I)Φi)’=∩( i∈I)Φi’ ; (∩(i∈I))’=∪(i∈I)Φi’ ; 2) Prawa de Morgana uogólnione dla
różnicy zbiorów: A\∪(t∈T) At= ∩(t∈T) (A\At) ; A\∩(t∈T) At= ∪(t∈T) (A\At) 3) Własności: a) (x∈∪(t∈T) At)⇔ (t∈T) (x∈At) ; b) (x∈∩(t∈T) At)⇔ (t∈T) (x∈At) ; c)
(x∉∪(t∈T) At)⇔ (t∉T) (x∈At) ; d) (x∉∩(t∈T) At)⇔ (t∉T) (x∈At) ; e) A∨ ∪(t∈T) At= ∪(t∈T) (A∨At) ; f) ∪(t∈T) (At Bt)⊂ ∪(t∈T) At ∪(t∈T) Bt ; g) ∩(t∈T) At ∨
∩(t∈T) Bt ⊂ ∩(t∈T) (At∨Bt);
2. RELACJA RÓWNOWAŻNOŚCI
Parą uporządkowaną (a,b) nazywamy zbiór {{a},{b}}, Iloczynem kartezjańskim nazywamy zbiór A1× A2×...×An= {(a1, a2, ...an):ai∈Ai , i=1,2,...,n} Relacja: Niech X≠∅≠Y,
wtedy podzbiór R iloczynu kartezjańskiego X×Y nazywamy relacją binarną (dwuelementową), między elementami zbioru X i zbioru Y. Dziedziną relacji R⊂X×Y nazywamy zbiór DR={x:X, (y∈Y) xRy}, przeciwdziedziną nazywamy zbiór DR-1={y:Y, (x∈X) xRy};
Relację R⊂X×X nazywamy relacją równoważności w X jeżeli ma ona własności: 1. jest zwrotna (x∈X) xRx inaczej- [(x,x)∈R], 2. Jest symetryczna (x∈X) xRy⇒yRx inacz- [(x,y)∈R⇒(x,y)∈R], 3. Jest przechodnia (x,y∈X) xRy yRz⇒xRz inacz- [(x,y)∈R (y,z)∈R ⇒(x,z)∈R], przykład: (brak)
Zasada abstrakcji: Tw. Jeżeli R jest relacją równoważn. w zb. X to odwzorowanie: ϕ:X→P(x), x→ϕ(x)=(notujemy)=[x] {y∈X:xRy} (czyt. elem. zbioru X przyporządkow. cały podzb.), ma własn: 1. (x∈X) ϕ(x)≠∅, 2. (y∈X) (x∈X) y∈ϕ(x)=[x], 3. (x∈X) [[x]=[y] ([x] [y]≠0)]; [x] – klasa abstrak. elem. x = klasa elem. x; „ ” – czyt. albo kroją się te klasy,
3. RELACJA CZĘŚCIOWEGO I LINIOWEGO PORZĄDKU
Df. Mowimy że relacja ≤ jest relacja częściowego porządkującą zbiór X, jeżeli relacja ≤ ma własn: 1. (x∈X) x∈X (zwrotność), 2. (x,y∈X) [x≤y y≤x ⇒ x=y] (antysymetria), 3. (x,y,z∈X) [x≤y x≤z ⇒ x≤z] (przechodniość); Przykł: Relacja ≤ w R: X≠∅, P(x), gdzie P to zb. liczb rzeczy.: (A,B∈P(x)) [A≤B ⇔ A⊂B], spełnia 1. A≤A (A⊂A),itd. dla ‘≤’ i ‘⊂’ pkty 2 i 3; R częściowo porządkuje zbiór A jeżeli DR=A i R jest relacją częściowo porządkującą.
Df. Mówimy że relacja częściowego porządku ≤ w zbiorze X porządkuje x liniowo, jeżeli jest dodatkowo spójna i spełnia war spójności 4. (x,y∈X) x≤y ∨ y≤x; Element największy (najmniejszy) A⊂X, Df. Elem. xo∈A nazyw. najw. (najmn.) w zbiorze A jeżeli: najw: (x∈A) x≤x0 , najmn: (x∈A) x0≤x;
Element maksymalny: x0∈A jest elem. maksym. zbioru jeśli: ~ (x∈X) (x0≤x x0≠x). Element minimalny: x0∈A jest elem. minim. zbioru jeśli: ~ (x∈X) (x0≥x x0≠x).
Kresy zbiorów: X≠0, (X, ≤), ∅≠A⊂X Df. Mowimy ze A jest ograniczone z góry jeżeli (a∈X) (x∈A) x≤a; ograniczone z dołu jeżeli (b∈X) (x∈A) b≤x; Zbiór oraniczonym nazyw. taki który jest jednocześnie ograniczony z góry i z dołu. || Jeżeli zb. A jest ograniczony gory i zbiór ograniczeń ma element najmniejszy, to ten elem. nazyw. kresem górnym zb. A (supA). || Jeżeli zb. A jest ograniczony dołu i zbiór ograniczeń ma element największy, to ten elem. nazyw. kresem dolnym zb. A (intA). 4. FUNKCJE
Def. Funkcji: Relację f spełniającą warunek (x,y,z) ((x,y)∈f (x,z)∈f ⇒ y=z) nazywamy funkcją. F-cja jest przykładem relacji binarnej. Inaczej: Mówimy że relacja R⊂X×Y jest f-cją z X do Y lub odwzorowaniem zbioru X w Y, jeżeli (x∈X) cięcie relacji R[x] jest zbiorem co najwyżej 1-dno e;emetowym. Piszemy: f: X→Y. Zbiór X to dziedzina f-cji (Df), każdy element x∈X to argument f-cji. Zbiór Y to przeciwdziedziną f-cji (Df-1). Elementy zbioru Y to wartości f-cji.
Def. Odwzorowanie f: X→Y nazywamy injekcją jeżeli f-cja f jest różnowartościowa, tzn spełnia warunek: (x1,x2) x1≠x2⇒ f(x1)≠f(x2) (odwzorowanie różnowartościowe)
Def. Odwzorowanie f: X→Y nazywamy surjekcją jeżeli f-cja f spełnia warunek: (y∈Y) (x∈X) f(x)=y, tzn. jeżeli f(X)=Y (odwzorowanie X ma w Y); Def. Odwzorowanie f: X→Y nazywamy bijekcją jeżeli f-cja jest jednocześnie injekcją i surjekcją.
Obrazy i przeciwobrazy: f: X→Y, (X≠∅≠Y), A⊂X; Obrazem zbioru A przy odwzorowaniu f nazywamy nastepujacy podzb. zbioru Y: f(A):={y∈Y: (x∈A) y=f(x)}. Przeciwobrazem zbioru B⊂Y przy odwzorow. f nazyw. następuj. podzb. zbioru X: f-1(B):={x∈X: f(x)∈B}; Własności obrazów i przeciwobr.: 1. f(∪(t∈T) A
t)= ∪(t∈T) f(At),
A={At⊂X: t∈T}, 2. f(∩(t∈T) At) ⊂ ∪(t∈T) f(At), 3. f-1(∪(t∈T) Bt)= ∪(t∈T) f(Bt), 4. a) f-1(∩(t∈T) Bt) ⊂ ∪(t∈T) f-1(bt); b) f(A1)\f(A2) ⊂ f(A1\A2), f-1(B1\B2) = f-1(B1)\f-1(B2),
f(f-1(B)=B o ile B⊂f(x), f-1(f(A))⊃A;
Tw. (o parze funkcji wzajemnie odwrotnych) Niech f-cja równowartościowa f odwzorowuje zbiór X na zbiór Y. Jeżlei każdemu elem. y∈Y przyporządkowujemy jedyny elem. x∈X spełniający równość y=f(x), to tak określone odwzorow. zbioru Y na zbiór X nazyw. f-cją odwrotną do f i oznaczamy symb. f –1, tj. f –1:Y→X, gdzie
(x∈X, y∈Y) y=f(x)⇔ x= f –1(y); Z tego wynika że: f -1(f(x))=x i f -1(f(y))=y. Wyktesy takich f-cji są symetr. względem f=x.
5. CIAŁA LICZBOWE
Ciało jest tpo zespół (A,□,○) złożony ze zb. A, 1. działania □, które: a) jest przemien. i łączne, b) wyznacza w zbi. A elem. neutr. ō, c) każdemu elem. a ze zb. A
przyporządkowuje elem. odwrotny ā ; 2. oraz działania ○, które: a) jest przemienne (abelowe) i łączne, b) jest rozdzielne wzgl. działa. □, c) wyznacza w zbiorze A elem. neutral. ŏ rózny od ō, d) każdemu elementowi a zbioru A różnemu od ō przyporządkowuje elem. odwrotny ă. Przykł.: jest ciało liczbowe R liczb rzecz. w którym a,b,c, Działanie □ to dodaw. i ○ mnożenie. Łączność: a(ab)=(ab)c, przemienno: ab=ba, rozdzieln: a(b+c)=ab+ac, elem. neutral, 0(+) i 1(×). W ciele rzeczyw. dane sa tez wlasnoci (a-b)+b=a, (a/b)b=a Ciało liczb zespolonych Własności: 1. łącz. dodaw. (a,b)+[(c,d)+(e,f)]= [(a,b)+(c,d)]+(e,f); 2. ele. neutr.+ ((a,b)∈Z) (a,b)+(0,0)= (0,0)+(a,b)=(a,b) 3. elem.
przeciw. ((a,b)∈Z) (-(a,b)) (a,b) (a,b)+[- (a,b)]= -(a,b)+ (a,b)=(0,0) 4. przemien.+(abelow.) (a,b)+(c,d)= (c,d)+(a,b); 5. łącz.×. (a,b)[(c,d)(e,f)]= [(a,b)(c,d)](e,f); 6. ele. neutr.
(a,b)(1,0)= (1,0)(a,b)=(a,b); 7. roz.× wzgl.+ (a,b)[(c,d)+(e,f)]=(a,b)(c,d)+ (a,b)(e,f); 8. el. odwr. ((a,b)≠(0,0)) ((a,b)-1) (a,b)(a,b)-1= (a,b)-1(a,b)=(1,0) 9. przemien.×
(a,b)(c,d)=(c,d)(a,b) (zob. więcej Liczb. zesp. 6) 6. LICZBY ZESPOLONE
Niech a,b,c,d,... będą elementami ciała R liczb rzeczywistych. Wprowadzimy obecnie pewne uogólnienie liczby rzeczywistej; będzie nim uporządkowana para liczb rzeczywistych spełniająca pewne definicje i nazywana liczbą zespoloną. (własności ciała zob. pkt. 5 Ciało liczbowe)
Liczbami zespolonymi nazywamy uporządkowane pary liczb rzeczywistych np. (a,b),(c,d), dla których określamy równość, dodawanie i mnożenie w sposób następujący: (a,b)=(c,d)Ùa=c∧b=d; (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d); (a,b)(c,d)=(ac-bd,ad+bc);
Tw. Zbiór wszystkich liczb zespolonych jest ciałem przemiennym względem dodawania i mnożenia.
Modułem liczby z=a+jb, oznaczanym przez |z|, nazywamy rzeczywistą liczbą nieujemną, będącą pierwiastkiem sumy kwadratów części rzeczywistej i części urojonej tej liczby: |z|= √(a2+b2); Wł: 1. ||z
1|-|z2||≤ |z1±z2|≤|z1|+|z2| 2. |z1z2|=|z1||z2| 3. |z1|/z2|=|z1|/|z2|
Tw. Licz. zesp. jest ⇔ =0, gdy jej moduł jest =0: (z=0)Ù(|Z|=0).
Liczbą sprzeżoną z liczbą z=a+jb, którą będziemy oznaczać przez (ž), nazywamy liczbami sprzężonymi. sp(z)=sp(x+iy) x-iy; Wł: 1. z⋅sp(z)= x2+y2= |z|2
2. sp(z1+z2)=sp(z1)+sp(z2) 3. j.w.(⋅) 4. j.w.(:) 5. j.w.(-) 6. sp(sp(z))=z 7. |sp(z)|=|z| 8. x=((z+sp(z))/2) y=((z-sp(z))/2i)
Def. Potęgą stopnia naturalnego n liczby z, oznaczaną przez zn, nazywamy n-krotny iloczyn liczby z przez siebie.
Ineterpret. geometr. licz. zesp.: Liczbę zesp. z=x+iy interpretujemy jako wektor wodzący OP=[x,y] punktu P(x,.y) na płaszczyżnie zespol., gdzier na osi odcietych odkładamy część rzeczyw. a na osi rzędnych urojoną, dla li.zesp. z≠0 mamy z= √( x2+y2)⋅ ((x/√( x2+y2))+ i(y/√( x2+y2)))= r(cosΦ+ i sinΦ)), r=|z|
Def. Argumentem liczby z=x+jy ≠0, oznaczanym przez Arg z, nazywamy każdą liczbę rzeczywistą Φ, spełniającą dwa warunki: cosΦ=x/|z|, sinΦ=y/|z|, gdzie |z|=√(x2+y2)>0
jest modułem liczby z.
Def. Pierwiastkiem n-tego stopnia z liczby z (n∈N) nazyw. każdą li. zesp., której n-ta potęga równa się z, Jeżeli z=r(cosΦ+ isinΦ)≠0 i n∈N to istnieje dokładnie n różnych pierwiastków n-tego stopnia z liczby z. Są nimi liczby: zk= n√r (cos((Φ+2kπ)/n)+ isin((Φ+2kπ)/n)), k∈Z=0, 1,…, n-1, r=|z|.
W przypadku n=2 piszemy √z. Nazywamy go także pierwiastkiem algebraicznym. Def. (Wzór Eulera). Potęgę ex o podstawie w i wykładniku z= x+jy, należącym do ciała liczb
zespolonych , określamy: ejy :=cosy+jsiny,; F-jce elementarne l.zesp.: 1. ex=exejy= ex(cosy+jsiny), 2. sinz= (ezi-e-zi)/z 3. cosz= (ezi+e-zi)/z 4. lnz={ln|z|+ i(Φ+2kπ), k∈Z};
Wrór de Moivre’a (cosΦ+ isinΦ)n= cos nΦ+ isin nΦ, n∈N; zn=n|z| (cos nΦ+ isin nΦ); Wzór ma zasosow. w trygonom.: (cosΦ+ isinΦ)n= cosnΦ+ (n
1)icosn-1ΦsinΦ-
(n
2)cosn-2Φsin2Φ+ …+ insinnΦ; Oddzielając część rzecz. i uroj. otrzymujemy: cosnΦ= cosnΦ- (n2)cosn-2Φ⋅ sin2Φ+…, sinnΦ= (n1)cosn-1Φ⋅ sinΦ– (n3)cosn-3Φ⋅ sin3Φ+…;
7. PRZESTRZEŃ LINIOWA
Def: Przestrz. liniowa na R: Niech A będzie zb.. zaś „+” i „⋅” działaniami określonymi na tym zb. Układ złoż. ze zb. A i wymień. działań będziemy nazyawali przestrz. wektorową lub liniową, elem. tego zb. wektorami, jeż. będą spełn. warunki: 1. ukł. złoż. ze zb. A i działania „+” stanowi grupę abelową 2. dla dowolnych wekt. x i y przestrzeni A i dow. liczb rzeczyw. α i β zachodzą równości a) α(x+y)= αx+αy b) (α+β)x= αx+βx c) (αβ)x= α(βx) d) 1⋅x=x; Przykł: Rn- zb. wszystk. ciągów (x1, ...,xn), gdzie x1, ...,xn są
licz. rzeczyw. dodaw. 2 takich ciągów: (x1, ...,xn)+ (y1, ...,yn)= (x1+y1, ...,xn+yn), mnoż: α(x1, ...,xn)= (αx1, ...,αxn), Układ taki (Rn,+,⋅) stanowi przestrz. liniową.
8. PRZESTRZEŃ METRYCZNA I Metryka– Określenie metryki: X≠∅, d: X2→R
+ , (x,y)→d(x,y); F-cję d: X2→R+ nazywamy metryką, gdy ma własn: 1. d(x,y)=0 ⇔ x=y (jednozn) 2. d(x,y)=d(y,x) (symetr.)
3. d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y) (nier. trójkąta)
Parę (X,d) nazywamy przestrzenią metryczną przy czym (brak)
Przykład: X=R, d(x,y)=|x-y|, x,y∈R, (R,||) przestrzeń liczb rzeczywistych z metryką naturalną, spr. własn: 1. d(x,y)=0 ⇔ |x-y|=0 ⇔ x-y=0 ⇔x=y, 2. d(x,y)=|x-y|=|-(y-x)|=|y-x|=d(y,x),
3. D(x,y)=|x-y|=|x-z+z-y|=|(x-z)+(z-y)|≤|x-z|+|x-y|=d(x,z)+d(z,y);
Kule w p.m. x0∈X, r>0; Kulą otwartą o środku x0 i promieniu r nazywamy zbiór: Kº(x0,r) {x∈X: d(x0,x)<r}; Kulą domkniętą o środku x0 i prom. R nazywamy zbiór:
K¯(x0,r) { x∈X: d(x0,x) ≤r}; Zbiór otwarty df: mówimy że A⊂X jest zbio. otwa. w p.m. (X,d) jeżeli ma własn: (x∈A) (Kº(x,ε)) Kº(x,ε)⊂A; Każdy pkt. o własności zbiou
otw. Nazywamy punktem wewnętrz. zbioru A; Zbiór wszystkich punktów wewn. zbioru A nazywa się wnętrzem zbioru A i oznacza symb. „Aº” lub „intA”; Zbiór jest domknięty ⇔ gdy zbiór A⊂Aº (tzn. gdy jest = swojemu wnętrzu), Zbiór jest dmknięty w p.m. (x,d) ⇔ ma własn: ((xn)⊂A) xn→x ⇒ x∈A; Brzeg: (X,d), A⊂X, ∂A A¯\Aº =
A¯ A’¯, pkt P nazywamy brzegowym zbioru A, gdy P nie jest ani wewnętrzny ani zewn. wzgl. zbio. A, tzn jeśli w każdym otoczeniu pktu P conajm. jedn. pkt ∉ A i jedn. ∈ A. Brzegiem nazywamy zb. pktów brzegowych; Domknięcie1: Jeżeli zb. A jest podzb p.m. to domknięciem zb. A nazyw. zbiór A¯={x∈W: ((xn)⊂A) lim xn=x};
Domknięciem2 nazywamy sumę: zbioru A i pochodnej zb. A i oznaczamy „clA” lub „Ā”; (więcej zobacz Granice)
Ciągi zbieżne w p.m.: (X,d) xn∈X Df. Ciągiem (xn) elementów p.m. (X,d) nazywamy zbieżnym do granicy x∈X jeżeli ma on własn.:
(ε>0) (n0∈N) (n>n0) d(xn,x)<ε ;lim(x→0) nn=x, xn–(n→∞)→x, d(xn,x) –(n→∞)→0; Własności ciągów zbieżn. w p.m. (X,d): 1. ciąg stały jest zbieżny {xn=x, n=1,2,...;
lim(n→∞) xn=x} 2. ciąg ma conajwyżej 1 granicę, 3. Jeżeli Xn→X to dla dowolnego podciągu Xnk ciągu Xn: lim(k→∞) Xnk=X
9. PRZESTRZEN METRYCZNA II
Warunek zbieżności ciągu (Cauchy’ego) : Mówimy że ciąg (xn) w przestrz. metryczn. (X,d) spełnia warunek Cauchy’ego jeżeli ma własn:
(ε>0) (n0∈N) (n>n0) (m∈N) d(xn,xn+m)<ε, d(xn,xn+m)–(n→∞)→0; Tw. Każdy ciąg zbieżny spełnia warunek Cauchy’ego: (ε>0) (n0∈N) (n>n0) d(xn,x)<ε (xn→x);
d(xn,xn+m)≤d(xn,x)+d(xn+m,x)< ε/2+ε/2 dla n>n0 ; Przestrzeń metr. zupełna, to przestrzeń metr. (X,d) o własn.: (x ⊃ (xn)∈(c)) lim(n→∞) xn = x∈X, {{gdzie (xn)∈(c)
oznacza: xn spełnia war. Cauchy’ego}} Przykł: 1. zb. licz. rzecz. ze zwykłą metryką d(a,b)= |a-b| jest przestrz. zupełną, 2. (R,||) 3. (r2,dε) dε(P,Q)= √((xP-xQ)2+ (yP-yQ)2), P(xP,yP),
Q(xQ,yQ) 3. (Rn,d), x=(x1, ..., xn). y=(y1, ..., yn), d(x,y)= √((i=1)Σ(n)(xi-yi)2)
Tw. (Banacha o punkcie stałym) Jeżeli f: (X,d)→(X,d) jest odwzorowaniem zwężającym p.m. zupełnej w siebie ze stałą kontrakcji (punktem stałym) 0≤α<1, to 1. (sp(x)∈X) sp(x)=f(sp(x)) 2. dla dowolon. x0∈X ciąg kolejnych przybliżeń (xn) startujacy z pktu x0 jest zbież. do sp(x), 3. zachodzi oszacowanie d(sp(x),xn)≤(αn
/(1-α)) d(x0,f(x0)) Dowód: Wykazać że (xn) spełnia war. Cauchy’ego: d(x1,x2)= d(f(x0),f(x1))≤ L d(x0,x1) ,, d(x2,x3)= d(f(x1),f(x2))≤ L d(x1,x2) ,, ..(z zasady trójk.).. ,, d(xn,xn+1)≤
Ln d(x
0,x1) ;; d(xn,xn+p)≤ d(xn,xn+1)+ d(xn+1,xn+p)≤ d(xn,xn+1)+ d(xn+1,xn+2)+ …+ d(xn+p-1,xn+p)≤ Ln d(x0,x1)+ Ln+1 d(x0,x1)+ …+ Ln+p-1 d(x0,x1)= (Ln+ Ln+1+ …+ Ln+p-1) d d(x0,x1)=
Ln ((1-Lp)/ (1-L)) d(x
n,x1)≤ Ln (1/ (1-L)) d(x0,x1);; Ln→0 ponieważ L<1 →0. Stąd wynika, że ciąg jest ciągiem Cauchy’ego. Ponieważ (X,d) to przestrz. metr. zupełna to
lim(n→∞) Xn= sp(x)∈X.
10. PRESTRZEŃ METRYCZNA III Zbieżność „po współrzędnych” w Rn:
Zbieżność jednostajna ciągu f-cyjnego w p.m. C[a,b]: f: [a,b]→R ; fn→f ;; sup([a,b]) |fn(x)- f(x)|→0 ;; (ε>0) (n0∈N) (n>n0) (x∈[a,b]) |fn(x)- f(x)|<ε ;. Zbieżność niemal
jednostajna: Mowimy że ciąg f-cji (fn) taki że f: (a,b)→R jest niemal jednost. zbież. do f-cji granicznej f, jeżeli jest on jednostaj. zbieżny na dowolnym przedziale domkniętym
[α,β]⊂(a,b) .; Przestrzeń metrzeń metrzyczna C[0,1]:
11. PRZESTRZEŃ METR. IV, GRANICE, CIĄGŁOŚĆ F-CJI Definicja granicy lim(x→x0) f(x) f-cji f: (X,d)→(Y, ρ)
Def (Heinego): Mówimy, że f-cja f ma w punkcie x0 granicę g co zapisujemy lim(x→x0)f(x)=g) ⇔ gdy dla każdego ciągu (xn) o wyrazach ze zbioru Df\{x0} i zbieżnego do
punktu x0 ciąg (f (xn)) jest zbieżny do punktu g.; lim(x→x0) f(x)=g⇔ ((xn)∈Df\{x0}) xn→x0, f(xn)→g .;
Def (Cauchy’ego): Mówimy, że f-cja f ma w punkcie x0 granicę g ⇔ gdy dla każdego ε>0 istnieje takie r>0, że dla każdego x∈Df 0<|x-x0|< r⇒|f(x)-g|< ε;
lim(x→x0) f(x)=g⇔ (ε>0) (δ>0) (x∈X) d(x,x0)< δ⇒ d(f(x),g) <ε; Własności: działania arytmet. na granicach f-cji: Jeżeli lim(x→x0) f(x)=g, lim(x→x0)=p, i x0 jest pktem
skupienia zbio. Df Dh , to: 1,2,3. lim(x→x0) [f(x)±×h(x)]= g±×p; 4. lim(x→x0) [f(x)/h(x)]=g/p, p≠0; 5. Jeż. lim(x→x0) f(x)=g oraz lim(y→g) h(y)=p, to lim(x→x0) h[f(x)]=p;.
Ciągłość funkcji: Niech f oznacza f-cję liczbową i niech x0∈Df :
Def (Heinego ciągłości funkcji): Mówimy, że f-cja jest ciągła w punkcie x0 ⇔ gdy dla każdego ciągu (xn) o wyrazach ze zbioru Df i zbieżnego do punktu x0 ciąg (f(xn)) jest
zbieżny do punktu f(x0).
Def (Cauchy’ego): Mówimy, że f-cja f jest ciągła w punkcie x0 ⇔ gdy (ε>0) (δ>0) (x∈X) d(x,x0)<δ ⇒ ρ(f(x0)-f(x))<ε.
Tw. F-cja f jest ciągła w punkcie x0 będącym punktem skupienia dziedziny Df ⇔ gdy lim(x→x0) f(x)=f(x0).
Def: Mówimy, że f-cja f jest ciągła ⇔ gdy jest ciągła w każdym punkcie swej dziedziny.
Jednostajna ciągłość a lipschitzowalność: F-cja f: (X,d)→(Y,ρ) jest jednost. ciągła na X gdy: (ε>0) (δ>0) (x1,x2∈X) d(x1,x2)≤δ ⇒ρ(f(x1),f(x2))<ε;
Def. (Warunek Lipschitza): Mówimy że f: (X,d)→(Y,ρ) spełnia war. Lipsch. ze stałą Lipsch. L, jeżeli: (0≤L) (x1,x2∈X) ρ(f(x1),f(x2))≤ L⋅d(x1,x2). F-cja, która spoełnia war.
Lipsch. jest jednostajnie ciągła: (1) ρ(f(x
1),f(x2))≤ L⋅d(x1,x2)< L⋅δ ;; d(x1,x2)<δ - jednostajność ;; (2) ρ(f(x1),f(x2))<ε - jednostajność:: z (1) i (2) wynika, że L⋅δ=ε ⇒ δ=ε/L
12. WŁASNOŚCI F-CJI CIĄGŁYCH NA ZB. ZWARTYM
Zbiory zwarte: Podzbiór A p.m. (X,d) nazyw. zb. zwartym, jeżeli ma własność: dowol. ciąg (xn)⊂A zawiera podciąg zbież. do elem. zbioru A, tzn: (Xn⊂A) (Xnk) Xnk–
(k→∞)→ x∈A; Podzb. zwarty p.m. (X,d) jest zbiorem domkniętym i ograniczonym. Ciągły obraz p.m. zwartej jest zbio. zwartym. Def. Przestrz. metr. (X,d) nazyw. zwartą gdy: (Xn⊂X) (Xnk) Xnk–(k→∞)→ x∈X Tw. podzbiór zwarty w p.m. (X,d) jest zb. domkn. i ogranicz.
Tw. (Cantora o jedn. ciągł.) Jeż. f-cja f: (X,d)→(Y,ρ) jest ciągłym odwzorow. p.m. zwartej (X,d) w p. m. (Y,ρ), to f jest jednost. ciągła na X. Dowód: ~ (ε>0) (δ>0) (x1,x2∈X) [d(x1,x2)<δ ⇒ρ(f(x1),f(x2))<ε];;
E(ε>0) (δ>0) (x1,x2∈X) [d(x1,x2)<δ ⇒ρ(f(x1),f(x2))≥ε];;
δ1=1, x1,y1 d(x1,y1)<1 ρ(f(x1),f(y1))≥ε;;
δ2=1/2, x2,y2 d(x2,y2)<1/2 ρ(f(x2),f(y2))≥ε;; ...
(Xnk),Xnk –(n→∞)→ sp(x) – zbieżny;; d(xnk,ynk)<1/nk ρ(f(xnk),f(ynk))≥ε;;
(Xnk),Xnk –(m→∞)→ sp(y);; d(xnkm,ynkm)<1/nkm ρ(f(xnkm),f(ynkm))≥ε;;
xn→sp(x), yn→sp(y) ⇒ d(xn,yn)→ d(sp(x),sp(y));;
d(xnkm 0,ynkm)→ d(sp(x) 0,sp(y)), stąd sp(x)=sp(y);;
f(xnkm)→f(sp(x)), f(ynkm)→f(sp(y)) ⇒ d(f(xnkm),f(ynkm))→ d(f(sp(x)),f(sp(y)));;
d(f(xnkm) 0,f(ynkm))→ d(f(sp(x)) 0,f(sp(y))) stąd : f(sp(x))=f(sp(y));;
a więc f(xnkm)-f(ynkm)= 0 ~(≥ε);;.
Tw. (Weierstrassa): F-cja rzeczyw. f: (X,d)→(R,||) okraślona i ciągła na przestrz. metr. zwartej (X,d) (np. f-cja f określona i ciągła na przedz.<a,b>) jest f-cją ograniczona (na tym określonym przedziale) i osiąga swoje kresy {tzn. isnieją takie liczby c1 i c2 że f(c1)= inf(a≤x≤b) f(x)), f(c2)= sup(a≤x≤b) f(x)}. Dowód: ograniczoność jest oczywista, gdyż
funkcja jest określona na ograniczonym przedziale domkn., mając zaś na myśli że f-cja jest ciągła na przedziale domkniętym i osiąga na tym przedziale kres dolny i górny zbioru swoich wartości. Jeż. fcja ciągła jest określ. na przedz. otwartym, to nie może być ograniczona, więc kresy zbioru jej wartości nie mogą w ogóle isnieć np. tgx x∈(-π/2,π/2). Jeż f-cja ciągła na przedz. otw. jest ogranicz. na przedz. otwar. to i tak nie może osiągać na nim kresu swoich wartości np. f(x)=x, x∈(a,b) tylko inf(a,b) x=a, sup(a,b) x=b. 13. CIĄGI RZECZYWISTE I
Granica właściwa ciagu i własn.: war. Cauchy’ego zbieżności ciągu: Liczba x jest granicą ciągu (xn) ⇔ gdy: lim(n→∞) xn=x ⇔ (ε>0) (n0) (m>n0) (k>n0) (|xm-xk|<ε);
Własn. c. zbież. do gran wł. w R – 1. działania na gran. ciągów: Dane są ciągi xn i yn: a,b,c. lim(n→∞) (xn±×yn)= lim(n→∞)xn±× lim(n→∞)xn d. lim(n→∞) (xn/yn)= (lim(n→∞)xn)/
(lim(n→∞)yn), yn≠0, lim(n→∞)yn≠0; e. jeż. (n0) (n0≤n) xn<yn to lim(n→∞)xn≤ lim(n→∞)yn 2. ciągi stałe są zbież. (xn=x, n=1,2... to lim(n→∞)xn=x) 3. ciąg ma conawyż. jedn. granicę
4. dowol. podc. ciągu zbież. jest zbież. i to do tej samej granicy 5. Tw. dla a>0 n√a→n, n√n→1 6. w przestrz. zupełn (R,||) każdy ciąg który spł. war Cauch. jest zbież. do elem. z
R 7. Tw. o 3 ciągach: Jeż. ciągi (xn) i (yn) są zbież. w R i lim(n→∞)xn= lim(n→∞)yn oraz ciąg (zn) ma własn.: (n0∈N) (n>n0) xn≤zn≤yn , to ciąg (zn) jest zbież. oraz lim(n→∞)xn=
lim(n→∞)yn= lim(n→∞)zn Przykład: liczba Eulera e=(1+1/n)n
Tw. (o ciągu ograniczonym) 8. c. monotonicz. i ogranicz. jest zbieżn. 9. ciąg zbieżny jest ogranicz. 10. c. ogranicz. zawiera podciąg zbieżny (tw. Balzano -Weierstr. ) 11. każdy c. niemalej./ nierosn. ogranicz. z góry/ dołu ma granicę właściw. w R 12. c. jest ogran. w R jeżeli spełnia war. Cauchy’ego.
Tw. (O ciągu monotonicznym) Ciąg xn nazyw.: 1. rosną. jeż. (n∈N) (xn<xn+1) 2. malej. jeż. (n∈N) (xn>xn+1) 3. niemalej. (n∈N) (xn≤xn+1) 4. nierosn. (n∈N) (xn>=xn+1)
14. CIĄGI RZECZYWISTE II
Zupełność przetrz. metryczn. R: Przestrzeń (R,||), przestrz. liczb rzeczyw. z metryką natur. jest przestrz. metr. zupełną; Przestrzenią zupełna nazyw. p.m. (X,d) o własn: (x⊃xn∈(c)) lim(n→∞)xn=x∈X czyli taką w której każdy ciąg Cauchy’ego jest zbież. do jakiegoś elem. tej przestrz.
Granice niewłaściwe: Ciąg x≡n≡ nazyw. rozbieżnym do „±∞” lub zbież. do granicy niewł. „±∞” jeżeli: lim(n→∞)xn=+(-)∞ ⇔ (M) (n0) (n>n0) xn>(<)M
15. POCHODNA F-CJI 1 ZMIENNEJ I
Def: Granicę właściwą ilorazu różnicowego gdy ∆x→0 nazywamy pochodną f-cji w punkcie i oznaczamy symbolem f‘(x0), f‘(x0)=lim(∆x→0) [f(x0 + ∆x) - f(x0)]/∆x.
Def: Iloraz różnicowy f-cji f w punkcie x0 i dla przyrostu ∆x zmiennej niezależnej jest to stosunek [f(x0+∆x)-f(x0)]/∆x.
Tw. (O reprezentacji przyrostu): Jeżlei f: Ux0→X ma pochodna f’(x0) w p. x0 to słuszny jest wzór: ∆f(x0)=f(x0+∆x)-f(x0)= f’(x0)dx+ω(∆x) gdzie ω jest f_cją taką że ω(0)=0,
lim(∆x→0) ω(∆x)/∆x=0 Dowód: ∆f(x0)=f’(x0)∆x+ (∆f(x0)- f’(x0)∆x) (ω(∆x));; lim(∆x→0) ((∆f(x0)- f’(x0)∆x)/∆x)= lim(∆x→0) [(∆f/∆x)⋅( x0)- f’(x0)]=0.;
Warunek koniecz. różniczkow. f-cji f w p.m.: Tw. jeż. f-cja f: Ux0→R ma poczhodą w p. x0, to f-cja f jest ciągła w p. x0, Dowód: lim(∆x→0) f(x0+∆x)= f(x0).
16. POCHODNA F-CJI 1 ZMIENNEJ II
Tw. (O pochodnej funkcji złożonej): Jeż. R⊃Ux0–f→f(Ux0)–g→R, jeż. f-cja f ma pochodną w p. x0, a f-cja g ma pochodną w punkcie y0= f(x0) to istnieje poch. fcji g⋅f w x0:
g’[f(x0)]* f’(x0)= (g⋅f)’(x0).
Def: Pochodną n-tego rzędu f-cji f w punkcie x okreœlamy następująco: f (n) (x)= [f (n-1)](x), n=1,2,...przy czym [f (0)]’(x)=f‘(x).
Def: Zakładamy że ist. pochodna f(n-1)(x) f-cji f: R⊃Ux
0→R dla x∈Ux0. Oznaczamy Φ(x)=fn-1(x). Jeż. istnieje Φ’(x0), to tę f-cję (pierwsz. poch. f-cji Φ) nazywamy n-ta poch.
f-cji f w p. x0 lub poch. n-tego rzędu w p. x0, fn(x0), n=0,1,...;
Tw. (O pochodnej funkcji odwrotnej): Jeż. f-cja f: R⊃Df–na→Df-1⊂R, jeż. f-cja f jest ciągła i monoton. i ma poch. w Df: f’(x)≠0, x∈Df to f-cja odwrotna f-1 ma poch. w Df-1 y
f-1’(x
0)=1/f’(f-1(x0));
Tw. (O pochodneej sumy, ilocz. ilorazu) f-cji: Dane sa f-cje f,g: Uxo→R takie że isnieje f’(x0) i g’(x0), wtedy: 1. (f(x0)±g(x0))’= f’(x0)± g’(x0) 2. [f(x0)g(x0)]’= f’(x0)g(x0)+
f(x0)g’(x0) 3. [f(x0)/g(x0)]’= {[f’(x0)g(x0)- f(x0)g’(x0)]/ g2(x0)}
17. TWIERDZENIA O WARTOŚCI ŚREDNIEJ
Tw. (Rolle’a): Jeżeli f-cja f jest ciągła na przedziale <a;b> i różniczkowalna na przedziale (a;b) oraz f(a)=f(b), to istnieje taki punkt c∈(a;b), że f ‘(c)=0. Dowód: A) f(x)=const f’(x)=0 B) f(x)≠const. x∈<a,b> istnieje supf(x)>f(a)∨ inff(x<f(a), z tw. Weiestr. f(c)=inff(x)), c≠a, c≠b:: [f(c+ ∆x)-f(c)]/∆x ={≥0 dla ∆x>0, ≤0 dla ∆x<0}, Ponieważ
c+∆x∈<a,b>, z założ. wiemy że istnieje poch. f’(c) więc 0≤f-‘(c)= f’(c)= f+’(c)≤0 czyli f’(c)=0;.
Tw. (Lagrange’a): Jeżeli f-cja f:[x0,x]→R jest ciągła na przedziale domkn. <x0,x> ist f’(x) dla x∈(x0,x), to istnieje taki punkt c∈(x0,x), że f(x)-f(x0)= f’(c)(x-x0). Wnioski: 1)
Jeż. f-cja f: R⊃Df→R ma w Df poch. ograniczoną to f-cja jest lipschitzowalna. 2) jeż. f-cja f: R⊃(a,b)→R istnieje f’(x)=0, x∈(a,b) to f=cont. inacz: jeżeli dla każdego x∈<a;b>
f’(x)=0 to dla każdego x∈<a;b> f(x)- f(x0)=0(x-x0) ⇒ f(x)=f(x0). Jeżeli f’(x0)=0 w każdym punkcie przedziału (a;b), to f-cja f jest na tym przedziale stała. 3) jeżeli dla każdego
x∈ (a;b) f‘(x)>0 to: a) x<x0, f(x)-f(x0)=f‘(x)(x-x0)<0; f(x)-f(x0)<0⇒f(x)<f(x0) b) x0<x, f(x)-f(x0)=f(x0)(x-x0)>0⇒ f(x)>f(x0). Jeżeli f‘(x)>0 w każdym punkcie przedziału (a;b), to
f-cja f jest na tym przedziale rosnąca 4) Jeżeli f ‘(x)<0 w każdym punkcie przedziału (a;b), to f-cja f jest na tym przedziale malejąca.
Tw. (Taylora): Jeżeli f-cja f: Ux0→R ma ciągłe pochodne do rzędu n-1 f-cji w Ux0 oraz ma pochodną rzędu n w Ux0, to (x∈Ux0) oraz x≠x0 istnieje liczba ς∈(0,1) taka że
f(x)= K=0Σn-1 [(fK(x0)/k!)* (x-x0)K]+ [(f(n)(c))/n!)* (x-x0)n] reszta Lagrangea, c=x0+ς(x-x0) Dowód: (dla przypadku 2≤n) –dla n=1 twierdzenie zredukuje się bowiem do tw. Lagrange’a
o wart. średniej.;; Obieram dowol. x∈Ux0, obierając dowolną licz. λ∈R definiujemy f-cję φ=φx,λ: Ux0→R, t→φ(t);; φ(t) f(x)- K=0Σn-1 [(f K(t)/k!)* (x-t)K]- λ((x-t)n)/n! ,t∈Ux0,
Rozpatrzmy zawężenie (restrykcję) f-cji φ do przedź. ([x0,x] lub [x,x0]); φ(x)=0; Dobieram λ aby φλ(x0)=0, Z tw. Rolla: poniważ spełnione są założ. tw. Rolla, istnieje c należące
do przedz. o końc. (x) i (x0) takie że φ’(c)=0;;
φ’(t)= (-1)K=0Σn-1 [(fK+1(t)/k!)* (x-t)K]+ K=0Σn-1 [(fK(t)/ (k-1)!)* (x-t)K-1]+ [λ(x-t)n-1/(n-1)!]= (-1)K=0Σn-1 [(fK+1(t)/ k!)* (x-t)K]+ K=0Σn-2 [(fK+1(t)/ k!)* (x-t)K]+ [λ(x-t)n-1/ (n-1)!]= (-1)⋅
[(fn(t)/ (n-1)!)* (x-t)n-1]+ [λ(x-t)n-1/ (n-1)!]= (-1)⋅ [(fn(c)/ (n-1)!)* (x-c)n-1]+ [λ(x-c)n-1/ (n-1)!]=0;; (x-c)n-1/ (n-1)!⋅ [λ- fn(φ)]=0;; λ=fn(φ), c=x
0+ ς(x-x0), ς∈(0,1);;.
Wz. Maclaurina: We wzorze Taylora kładąc x0=0 otrzymamy K=0Σn-1[(f (K) (0)) /k!]*xK +R n, gdzie Rn=[f (n) C/n!]* x n. Punkt c jest położony między 0 i x.
18. CAŁKA RIEMANNA I
Suma całkowa Riemanna f-cji f na przedziale <a;b>: Rn= k=1Σn f(ck)*∆xk, δn=max(1≤k≤n)∆xk – średnica przedziału, ∆xk=xk-xk-1, k=1, 2, ..,n – długość prezdz. częściowego;
Def: Jeżeli dla każdego ciagu normalnego podziału przedziału [a,b] na przedzialiki częściowe, ciąg sum częściowych (Rn) jest zbież. do granicy właści. niezależnie od wyboru
punktów pośrednich ci , to granicę tę nazywamy całką oznaczoną (Riemanna) z f-cji f na przedziale [a,b] i oznaczamy symbolem a∫bf(x)dx. O f-cji mówimy że jest ona R
całkowalna na przedziale domkniętym <a,b>;
Warunek koniczny R-całkow. f-cji: jeż. f-cja f: [a,b]→R jest r-całkow. to jest ona f-cją ograniczoną na [a,b],
19. CAŁKA RIEMANNA II
Liniowość całki Riemanna: Tw. Jeżeli f-cje f,g: [a,b]→R sa R-całkowal. na przedz. [a,b] to 1) (dodaw.) f-cja f+g: [a,b]→R: x→(f+g)(x)=f(x)+g(x), jest również całkowalna na tym przedz. [a,b] i ma miejsce równość: a∫b[f(x)+g(x)]dx= a∫bf(x)dx+ a∫bg(x)dx (addytywność całki wzgl. f-cji podcałk.) 2) (wyłącz. czynn. stałego) f-cja αf: [a,b]→R
,α∈R(jednorodność całki) : x→(αf)(x)=αf(x);;
R(a,b) – zbiór wszystk. f-cji R całkow. na [a,b], (a,b)- przestrz. wektorowa z działań. dodaw. mnoż. f-cji przez skalar po wspólczynnikach.;; Operator całkowy T: R(a,b)→R, f→T(f)= a∫bf(x)dx, jest funkcjonałem liniowym T(f+g)=T(f)+T(g); T(αf)=αT(f), całkoa liniowa jest funkcjon. liniowym;;
Tw. (O całkowaniu przez podstawienie całki ozn.): Jeżeli: 1) f-cja g(t) jest ciągła na przedziale <a,b> i przekształca go na przedz. <α,β> 2) f-cja t= h(x) jest klasy C1 <a;b> 3)
zbiorem wartości f-cji t= h(x) jest przedział <α,β>, i przy tym α=h(a) i β=h(b) to prawdziwy jest wzór dla całki oznaczonej a∫bg[h(x)]h’(x)dx= α∫βg(t)dt. ;; Zeszyt: Jeż. 1.
φ:<α,β> -na→<a,b> ma choch w <α,β> 2. f:<a,b>→R ma f. pierwotną na <a,b> to ∫(f⋅φ)f’(t)dt= (F⋅Φ)(t)+c, t∈<a,b>;
Tw. (O całkowaniu przez części): Jeżeli f-cje u i v są klasy C1 na pewnym przedziale, to na tym przedziale prawdziwy jest wzór ∫u(x)*v’(x)dx = u(x)*v(x) -∫u’(x)*v(x)dx ,
który nazywamy wzorem na całkowanie przez części.
Tw. (O całkowaniu przez części dla całki oznaczonej): Jeżeli f-cje U i V są klasy C1
<a;b> to a∫b U(x)*V’(x)dx= U(x)*V(x)ab - a∫bU’(x)*V(x)dx.
Tw. (O jednostajnej ciągłości) F-cja ciągła określ. na przedz. domkn., a więc zwartym jest R-całkowalna na tym przedziale.
Własności całki oznaczonej: 1) Wartość całki oznaczonej nie zależy od oznaczenia zmiennej całkowania 2) F-cja całkowalna na pewnym przedziale domkniętym jest także całkowalna na każdym podprzedziale tego przedziału. 3) Jeżeli f-cje f i g są całkowalne na przedziale <a;b>, to również f-cja (f+g) jest całkowalna na tym przedziale oraz
a∫b[f(x)+g(x)]dx= a∫bf(x)dx+ a∫bg(x)dx. 4) Jeżeli f-cja f jest całkowalna na przedziale <a;b> oraz A=const również f-cja A*f jest całkowalna na tym przedziale i a∫bAf(x)dx= Aa∫b
f(x)dx. 5) Jeżeli f-cje f i g są całkowalne na przedziale <a;b>, to również iloczyn jest f-cją całkowalną na tym przedziale, iloczyn zawiera punkty nieciągłości funkcji f i g 6) Zmiana wartości f-cji w skończonej liczbie punktów przedziału nie wpływa ani na całkowalność tej f-cji w tym przedziale ani na wartość całki, jeśli f-cja ta jest całkowalna. 7) Jeżeli a,b,c są dowolnymi punktami pewnego przedziału, na którym f-cja f jest całkowalna, to a∫c f(x)dx +c∫b f(x)dx= a∫bf(x)dx 8) Niech f i g będą f-cjami całkowalnymi na
przedziale <a;b>, wówczas f(x)≤g(x); dla x∈<a,b>⇒a∫bf(x)dx≤a∫bg(x)dx 9) Niech f będzie f-cją na przedziale <a;b>, wówczas: m≤f(x)≤M dla x∈<a,b>⇒ m⋅(b-a)≤
a∫bf(x)dx≤M⋅(b-a). 10) (Newtona - Leibniza): Jeżeli ∅ jest dowolną f-cją pierwotną f-cji f ciągłej na przedziale <a;b>, to
a∫bf(x)dx=∅ (b) -∅ (a). 11) Jeż. f-cja f:<a,b> jest
R-całkow. i jest f-cja ograniczoną na <a,b> poza zbiorm A miary (Lebesque) zero, oraz f(x)=0 dla x∉A, to a∫bf(x)dx=0,;
20. CAŁKA RIEMANNA III
Interpretacja geometryzna całki oznaczonej: Def: niech f będzie f-cją ciągłą i przyjmującą na przedz. <a,b>jedynie nieujemne wart.: 0≤f(x). Wiemy, że istn. wówczas całka
a∫bf(x)dx, równa wspólnej granicy sum dolnych i górnych, która to granica nie zależy od ciagu normalnego podziałów przedz. <a,b>. Tę wspólną granicę limsn= limSn= a∫bf(x)dx
nazywamy w tym przy. polem figury płaskiej określonej w protokatnym ukł. kartezjańskim OXY układem nierówności a≤x≤b, 0≤y≤f(x), Takie oznaczenie pola figury jest zgone z określeniem pola figury płaskiej.
Tw. Jeżeli ciągłe na przedziale <a;b> f-cje f1 i f2 spełniają na tym przedziale nierówność f1(x)≤ f2(x) to pole D figury D ograniczonej wykresami tych f-cji i prostymi x= a i
x= b wyraża się wzorem D= a∫b [f2(x)-f1(x)]dx.
Tw. Jeśli krzywa l jest określona równaniami parametrycznymi x= x(t) i y= y(t), t∈<α,β.> gdzie obie są ciągłe oraz ciągła dodatnia pochodna dx/dt na przedziale <α,β>, to pole D fig. pładkiej D ograniczonej tą linią, osią ox oraz prostymi x=a, x=b gdzie x(α)=a, x(β)=b, dane jest całką |D|= α∫β|y(t)|*x’(t)dt., gdy postać wyraźna: to jej pole
P=a∫b|f(x)|dx, gdy postać bigunowa: Jeż. dan jest we współrz. bigunowych: r=f(φ), φ∈<α,β>, 0<β-α<2π, przy czym f(φ) jest ciągła, nieujem. na przedz. <α,β> to pole:
P=1/2a∫br2dφ;
Tw. Łuk AB określony równaniem wyraźnym y= f(x) a≤x≤b, gdzie f jest f-cją klasy C1<a;b> ma długość l wyrażającą się wzorem l=
a∫b√(1+f ’ 2(x)) dx.
Tw. Jeżeli krzywa dana równaniami parametrycznymi x= x(t) y= y(t) t∈<α,β> jest łukiem zwykłym oraz f-cje x(t), y(t) są klasy C1<α,β> to jej długość l wyraża się całką l= α∫β √([x’(t)]2+[y‘(t)]2)dt ; długość wyraźną postacią: L= a∫b√(1+[f(x)]2)dx, gdy w post, biegunowej: (r-nia jak przy polu) L= a∫b√(f2(φ)+[f’(φ)]2)dφ;
Tw. Objętość V bryły V powstałej w wyniku obrotu dookoła osi ox trapezu krzywoliniowego odpowiadającego ciągłej na przedziale <a;b> f-cji f, wyraża się całką V =∏
a∫b f 2 (x)dx.
Tw. Jeżeli równanie łuku AB dane jest w postaci parametrycznej x=x(t), y=y(t), t∈<α,β> oraz f-cje x=x(t) i y=y(t) są klasy C1<α,β>, f-cja x(t) jest ściśle monotoniczna i y(t)
nieujemna, to objętość bryły obrotowej powstałej w wyniku obrotu dookoła osi ox trapezu krzywoliniowego dana jest wzorem V= ∏α∫βy2(t)*x’(t)dt.
Tw. Pole S powierzchni obrotowej S powstałej w wyniku obrotu dookoła osi ox krzywej y= f(x) a≤x≤b, gdzie f jest f-cją klasy C1<a;b> wyraża się całką S=2∏ a∫bf(x)√(1+f ’2(x)) dx.
20. B RACHUNEK CAŁKOWY FUNCJI JEDNEJ ZMIENNEJ
Def: Funkcją pierwotną danej f-cji na przedziale X nazywamy każdą różniczkowalną f-cję F, której pochodna F’ jest równa f-cji f na tym przedziale, tj. dla każdego x∈X F’(x)=f (x).
F-cję F mającą w pewnym przedziale f-cję pierwotną nazywamy całkowalną w sensie Newtona na tym przedziale. Wyznaczenie f-cji pierwotnych danej f-cji f nazywamy całkowaniem f-cji f. Całkowanie to znajdowanie fcji. pierwotnej.
PYTANIA: 1) Kiedy zagadnienie ma rozwiązanie 2) Ile ma rozwiązań 3) Jak je wyznaczyć
Tw. 1.1. (Warunek wystarczający całkowalności funkcji): Każda f-cja ciągła na przedziale X ma na tym przedziale f-cję pierwotną.
Tw. 1.2. (O istnieniu nieskończenie wielu funkcji pierwotnych danej f-cji): Jeśli F jest dowolną ustaloną f-cją pierwotną f-cji f na przedziale X to wszystkie f-cje postaci F(x)+C, gdzie C jest stałą dowolną są również f-cjami pierwotnymi f-cji f na tym przedziale.
Tw. 1.3. (O jednakowej postaci wszystkich funkcji pierwotnych danej f-cji): Jeśli F jest dowolną, ustaloną f-cją pierwotną f-cji f na przedziale X to każda inna f-cja pierwotna G f-cji f na tym przedziale jest postaci G(x)=F(x)+C, gdzie C jest odpowiednią do f-cji F i G dobraną stałą.
Def: Zbiór wszystkich f-cji pierwotnych f-cji f na przedziale X i tylko takich f-cji nazywamy całką nieoznaczoną f-cji f na przedziale X i oznaczamy symbolem ∫f (x) dx. Z definicji całki nieoznaczonej i twierdzeń o f-cjach pierwotnych otrzymujemy podstawowy wzór ∫f(x)dx= F(x)+C, w którym F dowolną ustaloną f-cją pierwotną f-cji f na przedziale X, C jest stałą dowolną, zwaną tu stałą całkowania.
Tw. (O pochodnej całki): Pochodna całki nieoznaczonej jest równa f-cji podcałkowej: [∫f(x)dx]’= f(x); ∫f(x)dx= F(x)+C, F’(x)= f(x); [∫f(x)dx]’= (F(x)+C)’= F’(x)+f(x). Tw. (Całka pochodnej): Całka nieoznaczona pochodnej f-cji jest sumą tej funcji i stałej dowolnej ćf’(x)dx=f(x)+C
Tw. (O ograniczoności funkcji podcałkowej): F-cja podcałkowa na przedziale domkniętym jest ograniczona na tym przedziale. Tw. (O całkowaniu funkcji ciągłej): F-cja ciągła na przedziale domkniętym jest całkowalna na tym przedziale.
Tw. F-cja ograniczona na przedziale domkniętym i mająca w nim skończoną liczbę punktów nieciągłości jest całkowalna na tym przedziale. DF: Wzór rekurencyjny: In=∫xn ex dx = xnex - nI n - 1 .
21. CAŁKA NIEWŁAŚCIWA
Def.1a: Całk. niewł. z f-cji ograniczonej na przedz nieogranicz: Niech f-cja f: <a,∞)→R jest R-całkow. na każdym przedziale <a;b>⊂<a,+∞), tedy rodzine całek If(a,∞)= a∫bf(x)dx b∈(a,∞), nazywamy całką niewł. f-cji f w granicach <a,∞> i oznaczamy a∫∞ f(x)dx
Def.1b:(zbieżność) mówimy że cał. niewł. a∫∞ f(x)dx jest zbieżna, jeżeli istnieje granica właściwa lim(b→+∞) a∫bf(x)dx
Def.2a: Całk. niewł. z f-cji nieogr. na przedz skończ.: Niech Rodzinę całek (a∫αf(x)dx) a<α<b, lim(x→b-)f(x)=±∞, nazyw. całk. niewł f-cji nieogr. f w przedz. <a,b>
Def.2b:(zbieżność) mówimy że cał. niewł. a∫bf(x)dx jest zbieżna, jeżeli istnieje granica właściwa lim(α→b-) a∫αf(x)dx
Podstawowe kryt. zbieżn. całk. niewł.: 1. Keż. f,g: <a,∞)→R są R-całkow. na każdym przedz. <a,β>⊂<a,∞) oraz (a≤A) (x>A)f(x)≤g(x) to a) ze zbież. całk. a∫∞g(x)dx
wynika zbieżn. a∫∞f(x)dx b) odwrotnie: ze zb. a∫∞f(x)dx ⇒ a∫∞g(x)dx 2. Jeż. zbież. jest a∫∞|f(x)|dx to mowim. że cał. niewł. a∫∞f(x)dx jest bezwzględnie zbieżna, także zbież w
zwykł. sensie 3. Jeż. zbież. jest a∫∞f(x)dx i jednocześnie a∫∞|f(x)|dx jest rozbież. to mówimy że a∫∞f(x)dx jest warunkowo zbieżna. 4. Kryterium zbież. całki (Dirichleta)(?) Jeżeli
Różne rodzaje zbieżn. cał niweł.: 1. Jeż. zbież. jest a∫∞|f(x)|dx to mówimy że całk niewł. a∫∞f(x)dx jest bezwzgl. zbież. (też zbież. w normal. znaczeniu) 2. Jeż. a∫∞f(x)dx jest
zbież. i jednocześ. a∫∞|f(x)|dx jest rozbież. to mówimy że całk. a∫∞f(x)dx jest warunkowo zbież.;
22. CAŁKI EULERA
Def. Całka Eulera 1-ego rodzaju (β-eulera): β(a,b) 0∫1 xa-1(1-x)b-1dx, a,b>0 Całka Eulera 2-ego rodzaju (Γ-eulera): Γ(a) 0∫∞xa-1e-x dx, a>0
Własn: 1. całka β a) β(a,b)=β(a,b) b) β(a,b)= [(b-1)/ (a+b-1)]β⋅ (a,b-1) c) β(n,a)= [(1⋅2⋅..⋅n-1)/ ((a+1) ⋅..⋅(a+n-1))] d) β(m,n)= [((n-1)!(m-1)!)/ (m+n-1)!] e) β(a,1-a)= [-π/sinaπ], 0<a<1 f) β(1/2,1/2)=π 2. całka Γ a) Γ(a,b)= lim(n→∞) na⋅ [(1⋅2⋅..⋅n-1)/ (a(a+1)⋅...⋅(a+n-1))] b) Γ(a+1)= aΓ(a) c) Γ(n+1)= n! d) β(a,b)= [Γ(a)Γ(b)]/ [Γ(a+b)] e) Γ(a)Γ(1-a)=
π/sinaπ f) Γ(1/2)=√π; 23. SZEREGI LICZBOWE
Def. Szeregiem liczbowym rzeczyw. nazyw. parę uporządkjow. ((an),(sn)) Tradycyjnie te parę notujemy (k=1)Σ(n)ak, (sn)- ciąg sum częściowych,
Def. (zbieżności szeregu) Szereg (k=1)Σ(∞)ak jest zbież ⇔ gdy zbież. jest do gr. właściw. ciąg sum częściow. tego szeregu. W przeciw. wypadku mówimy że szer. (k=1)Σ(n)ak jest
rozbież.
Tw. (war. koniczny zbieżn. szeregu) Jeż. (k=1)Σ(∞)ak jest zbież. to lin(n→∞)an=0 Dowód: Szereg (k=1)Σ(∞)ak jest zbież ⇔ lim(n→∞)sn=s∈R, (sn)- spełnia war. (Cauch.) ⇔
(ε>0) (n0∈N) (n>n0) (m∈N) |sn+m-sn|<ε ⇒ |sn-sn-1|→0;; |(k=1)Σ(k)ak - (k=1)Σ(n-1)ak |=|an|
Tw. (o zbieżn. bezwzgle. szeregu) Szereg (n=1)Σ(∞)an jest zbież. bezwzgl. jeż. zbież. jest szereg (n=1)Σ(∞)|an|, Dowód: (n=1)Σ(∞)a’n- utworzony z wyrazów dodatn. (n=1)Σ(∞)an :: (n=1)Σ(∞)a’’n- utworzony z wyrazów ujemn. (n=1)Σ(∞)an ;; (sn)-ciąg sum (n=1)Σ(∞)an;; (s’n)-ciąg sum (n=1)Σ(∞)a’n;; (s’’n)-ciąg sum (n=1)Σ(∞)a’’n;; (s*)- suma (n=1)Σ(∞)|an|;; s’n≤s* oraz s’’n≤s*,
więc (s’n) i ( s’’n) są rosnące więc sa zbiezne, więc (n=1)Σ(∞)a’n i (n=1)Σ(∞)a’’n są zbieżne;; S’-suma (n=1)Σ(∞)a’n; S’’ suma (n=1)Σ(∞)a’’n; S-suma (n=1)Σ(∞)an;; Sn=S’m-S’’r i n=m+r, jeżeli
n→∞to m,r→∞;; limSn= limS’m- limS’’r=S’-S’’ czyli szereg (n=1)Σ(∞)an jest zbieżny i jego sumą jest liczba S’-S’’. ;;
Tw. (szereg zespolony) szer. zesp. (n=0)Σ(∞)zn jest zbież. ⇔ gdy zbieżny jest szreg części rzeczyw. (n=0)Σ(∞)xn i części urojonej (n=0)Σ(∞)yn
24. SZEREGI LICZBOWE II
Tw. (kryterium porównawcze zbieżn. dla szer. li. nieujemn.) Dane sa szer. (n=1)Σ(∞)an ; (n=1)Σ(∞)an ; (an,bn≥0, n=1,2,...), Jeżeli (n0∈N) (n0≤n) an≤bn , to: a) jeżeli szer. (n=1)Σ(∞)bn jest zbież, to zbież. jest też szer. (n=1)Σ(∞)an; b) jeż. szer. (n=1)Σ(∞)an jest rozbież. to rozbież jest szr. (n=1)Σ(∞)bn;
Tw. (kryterium pierwiastkowe Cauchy’ego) Dany jest szer. (n=1)Σ(∞)an ; Oznaczamy α=limnsupn√(|an|). Jeżeli 1) α<1 to (n=1)Σ(∞)an jest zbieżny 2) α>1 to (n=1)Σ(∞)an jest rozbież.
3) α=1 to przypadek wątpliwy;
Tw. Jeż. szeregi (n=1)Σ(∞)an i (n=1)Σ(∞)bn są zbieżne to zbieżne są tez szeregi: (n=1)Σ(∞)(an+bn) oraz (n=1)Σ(∞)δan i (n=1)Σ(∞)(an+bn)= (n=1)Σ(∞)an+ (n=1)Σ(∞)bn ; i (n=1)Σ(∞)δan = δ(n=1)Σ(∞)an
Tw. (Kryterium ilorazowe d’Alamberte’a) Dany jest szer. (n=1)Σ(∞)an wtedy a) jeżeli limsup|an+1/an|<1 to szer. jest zbireż. b) jeż limsup|an+1/an|≥ dal n≥n0 to szer. jest rozb.
Tw. (kryterium całkowe zbieżn szer. liczb. o wyr. dodat.) Jeż. dany jest szer. (n=1)Σ(∞)an o wyraz. dodatnich oraz f-cja f:[a,∞]→R+\{0} ma własn: a) f jest ciągła b) f
monotonicznie dąży do 0 począwszy od pewnego x0≥1 c) f(n)=an, n=1,2,... to: szereg (n=1)Σ(∞)an jest zbież. (rozbież) ⇔ gdy zbieżna (rozbież.) jest całka niewł. 1∫∞f(x)dx
25. SZEREGI LICZBOWE III
Szereg naprzemienny: szereg (n=1)Σ(∞)(-1)n+1an , an>0, nazyw. szer. naprzem.
Tw. (Kryterium Leibnitza) Jeż. an monotonicznie dąży do 0, to szer. (n=1)Σ(∞)(-1)n+1an jest zbież. oraz |Rn|≤an+1 , n=1,2,...
Uwaga, jeż. szereg jest zbież. w zwykłym sensie, lecz nie bezwzgl. zbież. nazywamy go szeregiem warunkowo zbieżnym, przykładowo szereg anharmoniczny (n=1)Σ(∞)(-1)n/n
**Tw: Jeżeli ciąg sum częściowych szeregu o wyrazach nieujemnych jest ograniczony z góry, to szereg jest zbieżny.
**Tw. Jeżeli wyrazy szeregów Σ(od n=1 do ∞) an oraz Σ (od n=1 do ∞) bn są nieujemne, a ponadto istnieje taka liczba naturalna m., że dla każdego n>m. Jest spełniona
nierówność an<=bn to z e zbieżności szeregu bn wynika zbieżność an i odwrotnie.
26. SZEREGI FUNKCYJNE I
Def: (szeg funkcyjny rzeczywisty) Dany jest ciąg funkcji (fn) n∈N0 ; fn: R⊃D→R, x→fn(x), n=0,1,..., Piszemy ciąg sum częściowych (sn) n∈N0 : Sn:D→R,
x→Sn(x) (k=0)Σ(n)fn(x), k=0,1,2,...; Uporządkowane pary ((fn),(Sn)) nazywamy szeregiem funkcyjnym, notujemy (n=0)Σ(∞)fn(x), x∈D
Zbieżność punktowa: Mówimy że szereg (n=0)Σ(∞)fn jest zbież. punktowo w D, jeż. szer. (n=0)Σ(∞)fn(x) jest zbieżny (jako szre. liczb.)
Def. (Zbieżność jednostajna): szer. f. (n=0)Σ(∞)fn jest zbież. jednost. do supSna D jeż. sup(x∈D) |Sn(x)- S(x)|→0 Piszemy wtedy że Sn S(x) („ ” jednostajnie dąży),
(ε>0) (n0) (n>n0) (x∈D) |Sn(x)- S(x)|<ε
Def. (niemal jednost. zbież) Jeż. szereg f-cyjny (n=0)Σ(∞)fn jest jednost. zbież. na każdym przedz. [a,b]⊂D, to szereg nazyw. niemal jednostajnie zbieżnym na D.
Tw. (kryterium Weierstrassa,) Jeż. szer. f. (n=0)Σ(∞)fn określony na D ma własn: a) (n0∈N) (n0≤n) (x∈D) |fn(x)|≤an , b) szereg liczbowy o wyrazach dodatnich (n=0)Σ(∞)an
jest zbież. to: szer. (n=0)Σ(∞)fn jest zbieżny jednostajnie i bezwzględnie.
Tw. (o ciągłości sumy szer. f.) jeż. (fn)n∈N0 jest ciągiem f-cji ciągłych na D, oraz szer. (n=0)Σ(∞)fn jest jednost. zbież. do sumy S, to S jest f-cją ciągłą na D.
Tw. (o całkowaln. sumy szer.) Jeż. wyrazy szer. (n=0)Σ(∞)fn sa R-całkow. (w sensie Riem.) na D=(a,b) oraz szer. (n=0)Σ(∞)fn jest jednost. zbież. na D (niemal jed. zbież.) to: a∫b(n=0)Σ(∞)fn(x)dx= (n=0)Σ(∞)a∫bfn(x)dx
Tw. (o różniczkowaln. sumy szer.) Jeż. wyrazy szer. (n=0)Σ(∞)fn mają ciągłe pochodne w (a,b), szer. (n=0)Σ(∞)fn jest zbież. (pktowo) w (a,b) oraz szer. (n=0)Σ(∞)f ’n jest zbież. jednost.
(niemal jednost. zbież) to ma pochodną ((n=0)Σ(∞)fn(x))’= (n=0)Σ(∞)fn’(x)
27. SZEREGI FUNKCYJNE II POTEGOWE
(*)(*) (n=0)Σ(∞)an(x-x0)n; (*) (n=0)Σ(∞)anxn, an- współczynnik szer. potęgowego.
Promień zbieżn szer. potęgow. R R sup{r≥0 (n=0)Σ(∞)anrn} jest zbieżny, |x|<r
Tw (Cauchy’ego- Hadamarda) Jeżeli limsup(n√|a
n|) to wtedy prom R zbieżn szer: R= {0 gdy λ=∞, ∞ gdy λ=0, 1/λ gdy λ∈R+\{0}}
Tw. Jeżeli instn, gran. lim(n→∞)|an+1/an|= λ to prom. zbieżn. R szeregu: R={0 gdy λ=+∞, 1/λ gdy 0<λ<+∞, ∞ gdy λ=0}.
Tw. Jeżeli szereg (n=0)Σ(∞)anxn ma prom. zbieżny szeregu R, to ten szer. jest zbież. niemal jednost. na przedz (-R,R) i jest zbieżna suma szeregu na każdym przedziale przedziale
[-a,a]⊂(-R;R)).
Tw. (o całkow. szer. potęgow.) Dla dowoln x∈(-R,R) 0∫x ((n=0)Σ(∞)an tn)dt= (n=0)Σ(∞)(an/n+1)xn+1; Promień szer. po prawej stronie równości nie ulega zmianie.
Tw. (o różniczkow. szer. potęgow.) Jeż. x∈(-R,R) to ((n=0)Σ(∞)xn)’= (n=1)Σ(∞)xn-1; i prom. szer. potęg. stale ma ten sam przedz. zbieżności.
Szer. potęgow. zesp: (*)(*) (n=0)Σ(∞)zn(z-z0)n; (*) (n=0)Σ(∞)anzn, Jeż. λ=limnsupn√|an|, to szer. (*) jest zbież. bezwzględnie na każdym kole domknietym |z|≤a, a<z, gdzie R= {0 gdy
