1. Obliczyć całki: (a)R (3

1. Obliczyć całki:

(a) ^R(3x⁴+²_x− 3 sin x + 3e^x+√

x)dx; (b) ^R(2x + 1)¹⁵dx; (c)^R 4xe^x2+1dx; (d)^R x²sin(2x³+ 4)dx.

(a)bezpośrednio, (b), (c), (d) przez podstawienie.

2. Obliczyć (a)^R3

−1

(2x²− x + 2)dx, (b) ^R1

0

e^2x−1dx, (c) ^R3

1 2

x²dx ; (d) ^Rπ

0

sin 3xdx.

3. Obliczyć pole figury ograniczonej z dołu osią OX, prostymi pionowymi x = a, x = b i krzywą y = f (x).

(a) f (x) = x²− x + 1, a = 1, b = 2; (b) f (x) = x − sin x + 2, a = 0, b = π, (c) f (x) =√

x + e^x, a = 1, b = 4.

4. Obliczyć pole figury ograniczonej krzywymi (a) y = x², y = −x+2, (b) y =√

x, y = −x+6, y = 0, (c) y = −x²+3x+1, y = x²−2x−2, (d) y = x², y =√

x.

Odpowiedzi

1. (a) ³₅x⁵− 2 ln |x| + 3 cos x + 3e^x+²₃√

x³+ C, (b) ₃₂¹ (2x + 1)¹⁶+ C, (c) 2e^x2+1 + C, (d)

−¹₆cos(2x³+ 4) + C.

2. (a) (²₃x³−¹₂x²+ 2x)|₋₁³ = 24¹₆,(b) ¹₂e^2x−1|¹₀ = ¹₂−¹₂e⁻¹, (c) ⁻²_x |³₁ = ⁴₃, (d) −¹₃cos 3x|^π₀ = 0.

3. (a) S=

2

R

1

(x² − x + 1)dx = ¹¹₆ , (b) S =

π

R

0

(x − sin x + 2)dx = ¹₂π² + 2π − 2, (c) S =

R4 1

(√

x + e^x)dx = ¹⁴₃ + e⁴− e.

4. (a) S = ^R1

−2

(−x + 2 − x²)dx = ⁹₂, (b) S = ^R4

0

√xdx + ^R6

4

(−x + 6)dx = ¹⁶₃ + 2, (c)

3

R

−¹₂

(−2x² + 5x + 3)dx = 14₂₄⁷ , (d) S =

1

R

0

(√

x − x²)dx = ¹₃.

Uwaga. Mogą być pomyłki w rachunkach. Proszę pisać jeśli coś się nie zgadza.

1