Modelowanie wielostopniowych przekładni zębatych metodą sztywnych elementów skończonych

(1)

M E C H AN I K A TEORETYCZNA I STOSOWANA

3, 16 (1978)

M OD ELOWAN IE WI E LOSTOP N I OWYC H PRZEKŁAD N I ZĘ BATYCH METOD Ą SZTYWN YCH ELEM EN TÓW SKOŃ CZON YCH

STEFAN B E R C Z Y Ń S K I, HENRYK M A Ć K O W I A K, KRZYSZTOF M A R C H E L E K (SZCZECIN )

Metoda sztywnych elementów skoń czonyc

h (SES) może być efektywnie wykorzystana

do obliczeń gię tno- skrę tnych drgań swobodnych i wymuszonych napę

dów wielostopnio-wych z przekł adniami zę batymi. W monografii [1], która jest najpełniejszym opracowaniem

metody SES, problem ten nie został poruszony. W niniejszej pracy przedstawiony jest

algorytm obliczeń, który stanowi rozwinię cie metody SES w jej zastosowaniu do obliczeń

napę dów z przekł adniami zę batymi. Algorytm opracowano dla modelu przekł adni zę

-batej przenoszą cej ś rednie moce (np. napę dy obrabiarek), w której nie wystę puje luz

obwodowy.

a)

- element jprę ż yjł o -ttumą cy t . r L r ». r _ i - i ~> —ł

1

r~ «-U _ i j Rys. 1

Przy tworzeniu przedstawionego modelu pominię to takie zjawiska, jak zmiana ką ta

przyporu

1

* na skutek odkształ ceń zę bów, wpływ nierównomiernoś ci rozkł adu obcią ż eni

a

wzdł uż linii styku zę bów oraz zazę bienia krawę dziowego powstają

cego wskutek zwichro-wania kół pod obcią ż eniem, bł ę dów wykonawczych i montaż owyc

h oraz zjawiska giros-J )

(2)

280 S. BE R C Z YŃ SKI, H . M AĆ K O WI AK, K . M AR C H E LE K

kopowe. Wpł yw tych czynników n a procesy dynamiczne zachodzą ce w napę dzie jest z reguł y lokalny i moż na go w pierwszym przybliż eniu przy analizie cał oś ci n apę du p o -miną ć.

N a rys. 1. pokazano model przykł adowej dwustopniowej przekł adni zę batej zbudo-wany ze sztywnych elementów skoń czonych, poł ą czonych mię dzy sobą elementami sprę ż ysto tł umią cymi o liniowych charakterystykach. Koł a zę bate są przedstawione za p o -mocą SES n r 2, 5,pir.

Rys. 2

N a rys. 2 przedstawiono sposób modelowania zazę bienia dla przypadku trzech współ -pracują cych kólp, r, s. Przyję to zał oż enie, że koł a współ -pracują ze sobą n a linii przypora.

Punkty styku Ppr- P, Ppr- r oraz Prs_r i Pr s_ j tylko w stanie równowagi pokrywają się tworzą c odpowiednio punkty Ppr i Prs (rys. 2). W czasie ruchu pun kty Ppr- P, Ppr- r oraz PM_r i P „ _s muszą cią gle znajdować się n a odpowiednich pł aszczyznach zazę bienia, któ-rych ś lady przecię cia z pł aszczyzną rysunku oznaczono przez / „ i lpr. Jest to równoznaczne z nał oż eniem na ukł ad wię zów geometrycznych. W pun ktach styku Ppr i Prs zaczepiono ukł ady współ rzę dnych Ppr>Zprl,Zpr2,Zvri oraz Prs, Zfsi, Zrs2, Zrs3. M acierze współ -rzę dnych punktów Ppr- P> Ppr^r i Prs- r, Prs- s w tych ukł adach mają postać:

; .. • . Pr

~P. = C O

H ^ p r - p l > Z_pr__vi, Z_pr__p3j, Ł >PT- r —

- . . VT~T ~

gdzie Ż j„._p — macierz kolumnową współ rzę dnych pun ktu Pp i. _p w ukł adzie Ppr,Ztrl,

(3)

MODELOWANIE WIELOSTOPNIOWYCH PRZEKŁADNI ZĘ BATYCH 281

M acierze wektorów kierunkowych pł aszczyzn zazę bienia mają postać

Upr = C0\ {Apr, Bpr, Cpr}', ^rs = C o l{^r s, Brs, Crs}.

R ówn an ia wię zów geometrycznych (pł aszczyzn zazę bienia) wyraż one są wzoram i: (1) fpr == Apr{Zpr- pl — Zpr- n) + Bpr{Zpr- p2 — Zpr- rz) + C pr(Zp r_p3 — Zpr- ri) ~ 0)

(2) f

rs

= A

r

.(Z„-

n

- Z„-

sl

) + B„(Z

r

,_

Ta

~Z„-

l

3 + C

r

,(Z

n

-

r3

- Z„-

t

a) = 0.

U kł ady współ rzę dnych są ukł adam i prawoskrę tnymi, przy czym osie Zpr2 i Zr s 2 są zwró-con e do osi obrotu kół n apę dzan ych w danej współ pracują cej parze.

Przy wyprowadzaniu wzorów ustalon o nastę pują ce reguł y:

litera stoją ca n a pierwszym miejscu w indeksie oznacza koł o napę dzają ce, litera stoją ca n a drugim miejscu — koł o n apę dzan e, n p. indeks pr oznacza, że koł o napę dzają ce m a n um er p zaś koł o n apę dzan e m a n um er r,

— kierunek obrotów koł a napę dzają cego (np. p) jest prawy, gdy ukł ad z nim zwią zany obraca się zgodnie z reguł ą ś ruby prawoskrę tnej wokół osi xpi,

— kierunek pochylenia linii zę bów koł a napę dzają cego (n p. p) jest prawy, gdy rzut

linii zę bów n a pł aszczyznę osi xpl, xp3 tworzy z osią xp l ką t od 0° do 90°.

Rys. 3

Współ rzę dne ApT, Bpr, Cpr wektora kierunkowego pł aszczyzny zazę bienia kół p i r opisują zależ noś ci

Apr = ( - i y + 1 c o sa „ sm / 3p r, Bpr = ( - l ) ' si n an ) w Cpr = cosancos/ 9p r, przy czym jO — gdy kierunek obrotów koł a p jest prawy, gdy kierunek obrotów koł a p jest lewy. y czym

jO —

~ \ l —

(0

\ l

0 — gdy kierunek; pochylenia linii zę bów koł a p jest prawy, \ gdy kierunek pochylenia linii zę bów koł a/ ) jest lewy,

gdzie «„ oznacza n om in aln y ką t przyporu koł a zę batego, zaś / 3pr ką t pochylenia linii zę ba

(4)

282 S. BERCZ YŃ SKI, H . M AĆ KOWI AK, K. M ARC H ELEK

Zależ noś ci (1) i (3) są także sł uszne dla przekł adni utworzonej z kół stoż kowych (rys. 3)» U kł ad współ rzę dnych Ppr! Zprl, Zpr2, Zpr3 powinien być tak zorientowany, aby oś Zprl pokrywał a się ze wspólną tworzą cą stoż ków podział owych obu kół p i r, zaś oś Zp P 2 zwró-cona był a w kierunku osi obrotu koł a napę dowego r.

Równania wię zów (1) i (2) należy wyrazić w tych samych współ rzę dnych, w których opisany jest ruch sztywnych elementów skoń czonych.

Jako współ rzę dne uogólnione opisują ce ruch sztywnych elementów skoń czonyc h przy-ję to trzy wzajemnie prostopadł e przemieszczenia translacyjne d wzdł uż osi xf oraz trzy ką ty obrotów f wokół tych osi. N a przykł ad przemieszczenia uogólnione SES /• i s wyraż one są zależ noś ciami:

qP = col{qn, qr2, ... qrS, qr6} = co l{8r, <J>P},

( 4) , r • > ,,»: , i

q5 = c o %s l, qs2) ... qsS, qs6} = col{Ss, <|>s},

gdzie qri, qsi oznacza przemieszczenia uogólnione kół r i s w ukł adach 0P, xP l, xr2, xr3 i Przemieszczenia punktów Prs kół r i s w ukł adzie ZP S l, Z „2, Zr s 3 wyrazić m oż na za pomocą współ rzę dnych uogólnionych, korzystają c z wzorów:

q,s_P = Ur s- PVP S- PqP,

q

_rs

-

_s

= U,,_,V„_,q„

przy czym > ( 4b ) r " ~ r U " " ' * ' ' "~r5> r s ~r 6 1 . f i * * , " " ' , ' qM_P = C O l i ^rs_si , qrs- s2> • •• qrs- sS, qrs- s6S — C O l{OP S_s, 4*rs- s/ »

gdzie qrs- ri—qrs- si oznaczają przemieszczenia kół r i s w ukł adzie Prs, ZP S 1, Zr s 2, Z „3. Wystę pują ce w równaniach (4a) macierze U „ _P i U „ _s transformacji przemieszczeń z ukł adów 0r, xn, xr2, xr3 i 0s, xsl, xs2, xs3 do ukł adu Pr s, Z,sl, Zrs2, Zta3 wyraż one są nastę pują co:

(5) UP S_P = T , UP S_S = „r ,

przy czym

oraz macierze wersorów osi ukł adów

h = col {jP i, jP 2, jP 3}, js = col {js l, js 2, js 3}, J r «- C 0l{jP S l, jP s 2, i"P s 3}.

"Wyraz CP S_P < I )t| macierzy CP S_P zdefiniowany jest nastę pują co: C „ - P (u, = cos(Xrl, Zrsk), h k = 1, 2, 3,

gdzie (XH, Zrsk) — oznaczają ką t zawarty mię dzy / - tą osią ukł adu zwią zanego z koł em r a k- tą osią ukł adu Prs, Z m, ZP s 2, ZP s 3, do którego transformuje się przemieszczenia. Macierze vr j_r, vP,_5 przenoszenia przemieszczeń z ukł adów Or, Xrl, Xr2, Xr3 i O , i,

^si>^s2,^s3 do ukł adu PrB) Zrst, Z„2) Zra3 są wyraż one w postaci

(5)

(6)

284 S. BERCZYŃ SJU, H . MAĆ KOWIAK, K. MARCHELEK przedstawić moż na w postaci: . . (15a) fpr = n JrZp r_p- < , . Zp r_r = 0, (16a) / „ - nr T sZr s_r- n ? ; Z „ _s = 0.

Podstawiają c do równań (15a) i (16a) zależ noś ci (12) uzyska się :

f

pr

= n

T pt

C^_

p

y^

p

qp- n

T pr

C^

r

V^

r

ą

r

= 0,

Wprowadzają c oznaczenia:

T

i _ nT r*T V * • T — n T_CT_{V *} pr—p — "pr^ pr- p ' pr- pi *pr—r — "pr^ pr—r 'p r —r j *• ' T — nT rT v * T — n T T V* 1- rs—r — "r s^ T i — r ' rs— r > x_{rs—s "rs^rs—s " rs—s?} równania (17) przyjmują postać fpr = Tp r_pqp- Tp r_rq , . = 0, 1 j fn = Tr s_rq , - Tr s_sqs = 0.

Wyraż enia (19) są liniowymi formami współ rzę dnych uogólnionych. Wyrazy macierzy Tp P- p, Tp r_r, Tr s_ ,5 Tr s_s są pochodnymi równań wię zów wzglę dem odpowiednich współ -rzę dnych uogólnionych, czyli T, r P ~ \ 8fpr > 8f "r

r

hŁ

(20)

L ^ " ' 8q

r2

'- ' 8q

r6

\ '

rs

-

s

~

Przy zał oż eniu, że wię zy są idealne, równania ruchu modelu napę du skł adają cego siC* z SES i uwzglę dniają cego wię zy geometryczne nał oż one n a zazę bienia moż na zapisać w pos-taci •

(21) Mq + Lq + K q = P + gX,

gdzie M oznacza diagonalną macierz współ czynników bezwł adnoś ci sztywnych elementów skoń czonych modelu, Lkwadratową macierz tł umienia, K kwadratową macierz sztywnoś ci, q kolumnową macierz współ rzę dnych uogólnionych, X kolumnową macierz nieoznaczo-nych mnoż ników Lagrange'a, zaś g prostoką tną macierz pochodnych równ ań wię zów wzglę dem współ rzę dnych uogólnionych.

Sposób budowania macierzy g (wzór (22)) przedstawiono dla nastę pują cych zał oż eń: jeś li w kolejnoś ci SES w modelu para kół o numerach p i / 'jest pierwszą parą współ pracu-ją cą , para kół r i s — drugą parą współ pracupracu-ją cą (koł o r jest koł em poś redniczą cym —

(7)

M O D E LO WAN I E WIELOSTOP N IOWYC H P R Z E KŁ AD N I ZĘ BATYCH ₂₈₅

liczbę współ pracują cyc

h par kół , a n- liczbę stopni swobody cał ego modelu, wówczas:

1 2 3 Jfc- 1 k

1

(22)

_{g = s}

0 Lpr- p 0

r

r 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 np5T1 rs- r 0

- T£ _.

0 0 0 0 0

0...

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 TTx tw- t 0 - Tr 0

0...

w nxl

Kolumnową macierz nieoznaczonych mnoż ników Lagrange'a przedstawia wzór

(ZJ) A = G O l ^ / l p r j / l fS, n i , A fW, . . . , / L u z / , 1 2 k 1

gdzie l

pr

jest nieoznaczonym mnoż nikie

m Lagrange'a przyporzą dkowany

m wię zo

m

geometrycznym nr 1 (pierwszej parze współ pracują cyc

h kół , tj. p i r), X

ty)

— nieoznaczonym

mnoż nikie

m Lagrange'a przyporzą dkowany

m wię zo

m geometrycznym nr k (ifc- tej parze

współ pracują cyc

h kół , tj. t i w).

Równania (21) moż na rozwią za

ć przy uż yci

u ETO, jednakże konieczne jest wyrugo-wanie nieoznaczonych mnoż ników Lagrange'a.

W tym celu wykorzystano metodę podaną w pracy [2]. Róż niczkują

c dwukrotnie

wzglę de

m czasu t równania wię zó

w geometrycznych uzyska się równania warunkowe

o postaci

Jpr = = *- pr—pHP *- pr— rQr ~ ^s Jrs ~ *rs — rHf *- rs — sHs *- N (24)

Równania (24) w notacji macierzowej przyjmują postać

(25)

g

Tq = 0.

Kolumnowy wektor przyspieszeń wyznaczony z równań (21) wyraż ony jest wzorem

(26) q' = M

(8)

-286 S. BERCZYŃ SKI, H . MAĆ KOWIAK, K. MARCHELEK

Podstawiają c (26) d o (25) i dokon ują c prostych przekształ ceń, otrzym a się m acierz

nieoznaczonych m n oż n ików Lagran ge'a:

(27) X = (

_gT

M -

1

g ) -

1

g

r

M -

1

( L q + Kq- P ).

Aby macierz (g

T

M ~ *g) był a odwracaln a speł niony m usi być warun ek jej n

ieosobli-woś ci. Analizują c budowę macierzy g ł atwo stwierdzić, że rzą d m acierzy ( g

T

M ~

1

g) jest

równy / co implikuje jej nieosobliwoś ć.

M acierz X wyraż oną wzorem (27) podstawia się d o ró wn ań (21)

(28) M q + L q + K q = P + g ( g

T

M -

1

g ) -

1

g

r

M -

1

( L q + K q - P ) .

Oznaczają c w równ an iu (28):

(29) L

/ =

-

g

( g

T

M -

1

g ) -

1

g

r

M -

1

L ,

(30) K

_r

=

• (31) P / =

uzyska się równanie ruchu w postaci

(32) M q+ (L+ L

/

)q + ( K + K

/

) q = P + P

r

.

Podstawiają c

L = L +L

f

; K= K+ K

/

; P ^ P + P ,

- do równania (32) uzyska się

(33) Mq+ tq+ Kq= P.

Macierze L, K i P tworzy się zgodnie z zasadami uję tymi w pracy [1].

Równania (33) opisują ruch liniowego modelu wielostopniowej przekł adni zę batej

I mogą być rozwią zane przy uż yciu metod i programów zamieszczonych w pracy [1].

Przedstawiona w niniejszej pracy metoda modelowania wielostopniowych przekł adni

• zę batych przy uż yciu metody sztywnych elementów skoń czonych może być stosowana

•w tych przypadkach, gdy w ukł adzie wystę puje wstę pne napię cie o wartoś ci gwarantują cej,

l e w trakcie jego pracy nie bę

dzie zachodzić odkrywanie luzów. W porównaniu z dotych-czas stosowanymi w praktyce obliczeniowej matematycznymi modelami drgań skrę tnych

[5, 6, 7, 9], model zbudowany z SES umoż

liwia wyznaczenie charakterystyk dynamicz-nych zarówno drgań skrę tnych jak i gię tnych poszczególnych wał ków napę du. Wprawdzie

"w metodach przedstawionych w pracach [5, 7] uwzglę dnia się wpł yw ugię ć wał

ków i pro-mieniowych odkształ ceń, ł oż ys

k na charakterystyki drgań skrę tnych, lecz tylko statycznie,

przez wprowadzenie tzw. skrę tnej podatnoś ci równoważ nej

. M odel matematyczny drgań

gię tno- skrę tnych powinien zatem dać dokł adniejsze wyniki. D odatkową zaletą modelu

wielostopniowej przekł adni zę batej zbudowanego z SES jest moż liwoś

ć wykorzystania

programów metody SES [1].

Literatura cytowana w tekś cie

1. J. KRUSZEWSKI i in., Metoda sztywnych elementów skoń czonych, Warszawa, 1975. 2. G . K. SUSŁOW, Mechanika teoretyczna, Warszawa 1960.

3. W. L. WEJC, A. E. KOCZURA, A. M . MARTYNIENKO, Obliczanie dynamiki napę dów maszyn, Warsza-wa 1975. ' - ,

(9)

MODELOWANIE WIELOSTOPNIOWYCH PRZEKŁADNI ZĘ BATYCH 287

4. K. OCHĘ DUSZKO, Kola zę bate, tom. I, Konstrukcja, Warszawa 1966.

5. Wilson W. KE R , Precical Solution of Torsional Vibration Problems, Volume I I , London 1963. 6. K. MARCHELEK, Dynamika obrabiarek, Warszawa 1974.

7. W. NADOLSKI, Modelowanie dynamiczne przekł adni zę batych jednostopniowych, Prace IPPT, Warszawa 1972.

8. M. MIELCZAREK, Moż liwoś ci wykorzystania systemowego modelu matematycznego do badania charakte-rystyk dynamicznych wielostopniowej przekł adni zę batej, Arch. Bud. Masz., 3, 22 (1975).

P e 3 io M e

M OflEJIH P OBAH KE M H O rO C T Yn E H 'qAT BI X 3YB^ATBIX I I E P E JWJ n O M E T O D Y 3KECTKH X K O H E ^H LI X 3J I E M E H T 0B

H3jioJKeH MeTOfl onpeaejieH H H H3rH6HO- KpyTiuii>Hbix KOJieSamiH rjiaBHMX npHBo^oB MeTajinope-H<ymnx craHKOB. <E>n3iwecKaH MOflejit n o d p o e n a ii3 wcecrctHX Korie- rawx sjieMeitroB, coeflMieirabix c noM om tio ynpyro- ffeMn(J)HpyioinHX ajieiweirroB c JiHHeiłHbiMH xapai<TepHCTHKaMH. Ka>Kflbift 3neirteHT, yn p yraii H JIH fleiwncbH pyiomH H , onpefleneH mecTbio K03cb({)HUHeHTaMH ynpyrocTH H fleMm})H poBaH H fi.

KOHeifflbie 3JieMeHTbi, MOflejiupyiomne syS^iaTŁie nepe^a^JH , HaxoflHTCH uop, fleiicTBH eM r eo -H anropHTM ee peuieHHH npeflcraBjieH bi B npocTOM BH«e, npnroflHOM RJIK 3 I | B M .

S u m m a r y

M OD ELLIN G O F M U LTIPLE TOOTH ED G EARS BY RIG ID F IN ITE ELEMEN TS A method of calculating the f lexural and torsional vibrations of the machine tool main drives is pre-sented. The physical model was constructed of rigid finite elements connected with elasticdamping elements of linear characteristics. Each elastic or damping element is defined by six rigidity or damping coefficients. The rigid finite elements modelling the gear are subjected to geometrical constraints resulting from the conditions of constant gearing. Both the mathematical model and the corresponding solution algorithm are presented in the form suitable for computations. POLITECH N IKA SZCZECIŃ SKA